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线性代数 测评试题

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线性代数(经管类)测评·试题说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩.选择题部分一、单项选择题（每小题3分）.在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1. 设行列式D 1=2211b a b a ，D 2=2221113232a b a a b a --，则D 2= A.-D 1 B.D 1 C.2D 1 D.3D 12. 若A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1x 1021，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y 24202，且2A =B ，则 A.x =1，y =2 B.x =2，y =1C.x =1，y =1D.x =2，y =23. 已知A 是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的是 A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000001 B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001 C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000001 D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000100014. 设2阶实对称矩阵A 的全部特征值为1，-1，-1，则齐次线性方程组（E +A ）x =0的基础 解系所含解向量的个数为A.0B.1C.2D.35. 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3113有一个特征值为 A.-3 B.-2 C.1 D.26. 设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A A.1- B.0 C.1 D.27. 设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ，则A = A.2- B.21- C.21 D.2 8. 设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中A.必有一个零向量B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出9. 设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011 B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21110. 二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为A.0B.1C.2D.311. 3阶行列式001010 100的值为（ ）A.-1B.0C.1D.212. 设矩阵1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则3A =（ ）A. 1031⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1031⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C.1301⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 1201⎛⎫ ⎪⎝⎭13. 设A 是4阶方阵，且1A =，则2A 等于（ ）A.2B.4C.8D.1614. 下列说法错误的是（ ）A.两个同阶方阵秩相等，则它们等价B.两个同阶方阵等价，则它们的秩相等C.两个同阶方阵相似，则它们一定等价D.两个同阶方阵等价，则它们一定相似15. 设(1,1,0),(0,1,1,),(1,0,1)===αβγ，则（ ）A. ,,αβγ线性相关B. ,,αβγ的秩等于1C. ,,αβγ线性无关D. ,,αβγ的秩等于216. 设A 为3×4矩阵，且A 的秩()1r A =，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系所含解向量的个数为（）A.4B.3C.2D.117. 若 5 0n E A +=，则A 一定有特征值（ ）A.-5B.15-C.15 D.518. 若向量1(,1,)3k k k =-α与向量(1,1,0)正交，则k =（ ）A.-1B.0C.34 D.4319. 设123,,ααα是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则（ ）A. 12+αα也是Ax =b 的解B. 12-αα也是Ax =b 的解C. 12-αα是对应的齐次线性方程组的解D. 123++ααα也是Ax =b 的解20. 二次型22(,)6f x y x xy y =-+对应的对称矩阵为（ ）A. 1661-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B. 1331-⎛⎫ ⎪-⎝⎭C. 1061⎛⎫ ⎪-⎝⎭D. 1601-⎛⎫ ⎪⎝⎭21．设行列式11122122a a a a =3，删行列式111211212221a 2a 5a a 2a 5a ++=A ．-15B ．-6C ．6D ．1522．设A ，B 为4阶非零矩阵，且AB=0，若r(A )=3，则r(B)=A ．1B ．2C ．3D ．423．设向量组1α=(1，0，0)T ，2α=(0，1，0)T ，则下列向量中可由1α，2α线性表出的是A ．(0，-1，2)TB ．(-1，2，0)TC ．(-1，0，2)TD ．(1，2，-1)T24．设A 为3阶矩阵，且r(A )=2，若1α，2α为齐次线性方程组A x =0的两个不同的解.k 为任意常数，则方程组A x =0的通解为A ．k 1αB ．k 2αC ．12k 2α+αD ．12k 2α-α 25．二次型f(x 1,x 2,x 3)=x 12+2x 22+x 32-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 2x 3的矩阵是非选择题部分二、填空题（每小题3分）.26．3阶行列式234152111第2行元素的代数余子式之和A 21+A 22+A 23=________．27．设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|A *|=________．28．设矩阵A=102010⎛⎫ ⎪⎝⎭，B =301010-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AB T =________．29．设A 为2阶矩阵，且|A |=13，则|(-3A)-l |=________． 30．若向量组1α =(1，-2，2)T ， 2α=(2，0，1)T ，3α=(3，k ，3)T 线性相关，则数k=________．31．与向量(3，-4)正交的一个单位向量为________．32．齐次线性方程组1231232x x 3x 02x x 3x 0++=⎧⎨+-=⎩的基础解系所含解向量个数为________． 33．设3阶矩阵A 的秩为2，1α，2α为非齐次线性方程组A x =b 的两个不同解，则方程组A x =b 的通解为________．34．设A 为n 阶矩阵，且满足|E +2A |=0，则A 必有一个特征值为________．35．二次型f(x 1,x 2,x 3)=x 12+2x 1x 2+x 22+x 32的正惯性指数为________．36. 设A 为3阶矩阵，且A =3，则13-A = .37. 设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5312，则A *= . 38. 已知A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211111，若矩阵X 满足AX =B ，则X = . 39. 若向量组=1α(1，2，1)T ，=2α(k-1，4，2)T 线性相关，则数k= .40. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++030202321321321x x x x x x ax x x 有非零解，则数a = .41. 设向量=1α(1，-2，2)T ，=2α(2，0，-1)T ，则内积（21,αα）= .42. 向量空间V ={x =(x 1，x 2，0)T |x 1，x 2R ∈}的维数为 .43. 与向量（1，0，1）T 和（1，1，0）T 均正交的一个单位向量为 .44. 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3221的两个特征值之积为 .45. 若实二次型f(x 1，x 2，x 3)=2123222212x x x a ax x +++正定，则数a 的取值范围是 .46. 设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是 . 47. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0210A ,则*A = . 48. 设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = .49. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = . 50. 设向量T )4,1(1-=α,T )2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为 .51. 设向量组T T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k .52. 3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为 .53. 设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 .54. 设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A .55. 设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定，则实数t 的取值范围是 .56.设3阶行列式 168 020 02k k =且0k >，则参数k =______. 57.若矩阵0120a A ⎛⎫= ⎪⎝⎭为实反对称矩阵，则a =______. 58.若A 为n 阶方阵，|A |=3，且*A 为A 的伴随矩阵，则*AA =______.59.矩阵110220003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的等价标准形为______.60.若向量13(1,2,3)(,,)22b =α与向量线性相关，则b =______. 61.三元齐次线性方程组1230x x x ++=的通解是______.62.若A 是m n ⨯矩阵，且齐次线性方程组0Ax =只有零解，则A 的秩()r A =______.63.设2405A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2A A -的一个特征值为2，则2A A -的另一个特征值为______. 64.设1=α（，3，3），则α的长度α=______.65.若211A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为正定矩阵，则实数a 的取值范围为______.三、计算题(每小题10分).66．计算行列式D=1324413224133241的值.67．设矩阵A =111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =212223113112321333313233a a a a 3a a 3a a 3a a a a ⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭，求可逆矩阵P ，使得PA=B .68．设矩阵A =112223433⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =100211122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，矩阵X 满足X A=B ，求X .69．求向量组1α=(1，-1，2，1)T ,2α=(1，0，1，2)T ,3α=(0，2，0，1)T ,4α=(-1，0，-3，-1)T ,5α=(4，-1，5，7)T 的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．70．求线性方程组 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．71．已知矩阵A =20002101a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的一个特征值为1，求数a ，并求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q -1AQ =Λ．72．用配方法化二次型f(x 1，x 2，x 3)=x 12+3x 22-2x 32+4x 1x 2+2x 2x 3为标准形，并写出所作的可逆线性变换．73. 计算4阶行列式01111011 11011110.74. 求3阶方阵101012103A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.75. 求向量组()()()()12341,2,0,1,1,2,0,53,2,2,0,0,4,0,6=-===αααα，的秩和一个极大线性无关组.76. 当参数,a b 满足什么条件时，线性方程组12313123 21 23x x x x x a x x x b ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩一定有解. 77. 已知矩阵20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，求参数x 与y 的值.78. 求二次型123122331(,,)f x x x x x x x x x =++的矩阵，并用配方法求二次型的标准形.79. 计算4阶行列式3100131001310013=D 的值.80. 已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001001011223aa a a a a A ，求1-A . 81. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110011111A ,且矩阵X 满足X A E AX +=+3,求X .82. 设向量T T T T k k k k )1,1,1,1(,)1,,1,1(,)1,1,2,1(,)1,1,1,1(2321+=++===βααα,试确定当k 取何值时β能 由321,,ααα线性表出，并写出表示式.83. 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=+++1332122043214324321x x x x x x x x x x x 的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.84. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11131111x A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001B 相似，求数x 与可逆矩阵P ，使得B AP P =-1. 85. 用正交变换将二次型3123222132122),,(x x x x x x x x f +++=化为标准形，写出标准形和所作的正交变换.86. 计算行列式D =5111141111311112的值. 87. 设2阶矩阵A 的行列式21=A ，求行列式*12)2(A A +-的值.88. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101111010，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--301521，矩阵X 满足X =AX +B ，求X .89. 求向量组T T T T )10,1,3(,)6,3,1(,)1,5,2(,)1,2,1(4321-=--===αααα的秩和一个极大线性无关组， 并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.90. 利用克拉默法则解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232212322123221333c x c cx x b x b bx x a x a ax x ，其中c b a ,,两两互不相同.91. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111311a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 00010000相似，求数b a ,的值.92. 用正交变换化二次型212121455),(x x x x x x f ++=为标准型，并写出所作的正交变换.四、证明题(本题7分)93. 设1α,2α,3α为齐次线性方程组A x =0的一个基础解系，证明21α+2α+3α,1α+22α+3α,1α+2α+23α也是该方程组的基础解系．94. 设向量1234,,,αααα线性无关，证明：向量11212312341234,,,==+=++=+++ααααααααααββββ也线性无关.95. 设向量组321,,ααα线性相关，且其中任意两个向量都线性无关，证明：存在全不为零．．．．的常数321,,k k k 使得0332211=++αααk k k .96.设A ，B 均为n 阶矩阵，且A =B +E ，B 2=B ，证明A 可逆.。

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线性代数试题及详细答案

线性代数试题及详细答案

线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。

4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。

6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。

10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。

线性代数测试试卷及答案

线性代数测试试卷及答案

线性代数A 卷一﹑选择题每小题3分,共15分1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是 A AB BA = B 222()AB A B = C 222()2A B A AB B +=++ D A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为A nB sC n s -D 以上答案都不正确3.如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于 A 10, 8 B 8, 10 C 10, 8-- D 10, 8--4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么A 2331A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭B 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭C 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭D 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =,则 A A 的行向量组和列向量组均线性相关 BA 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 C A 的行向量组和列向量组均线性无关 DA 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题每小题3分,共30分1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2. 设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ；3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关,则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为 ；9. 若二次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围为 ；10. 设A 为n 阶方阵,且满足2240A A I +-=,这里I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题每小题9分,共27分1. 已知210121012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵X 使之满足AX X B =+.2. 求行列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的一个最大无关组和秩.四﹑10分设有齐次线性方程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩ 问当λ取何值时, 上述方程组1有唯一的零解﹔2有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑12分求一个正交变换X PY =,把下列二次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑6分已知平面上三条不同直线的方程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数A 卷答案一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解 由AX X B =+得1()X A I B -=-. 2分下面求1()A I --. 由于110111011A I ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭4分而1()A I --=011111110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 7分所以10111001()11101111100011X A I B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 9分2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= 4分 123401131000440004-=-- 8分 160= 9分 .3. 解 由于3112341234011301131301053307330733r r --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭324212345011300212700424r r r r -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪+ ⎪--⎝⎭ 43123401132002120000r r -⎛⎫⎪-- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭6分 故向量组的秩是 3 ,123,,ααα是它的一个最大无关组;9分 四﹑解 方程组的系数行列式111111111A λλλ-=--2(1)(2)λλ=-+- 2分①当2(1)(2)0A λλ=-+-≠,即1λ≠-且2λ≠时,方程组有唯一的零解; 4分 ②当1λ=-时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为12 1 21 1 11 2 A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,它有一个二阶子式123021-=-≠-,因此秩A 2n =<这里3n =,故方程组有无穷多个解.对A 施行初等行变换,可得到方程组的一般解为132333,,,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中3x 可取任意数; 7分 ③当2λ=时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为11 1 11 1 11 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,显然,秩A 1n =<这里3n =,所以方程组也有无穷多个解.对A 施行初等行变换可得方程组的一般解为1232233,,,x x x x x x x =--⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中23,x x 可取任意数. 10分 五﹑ 解 二次型的矩阵为12 2 21 2 22 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2分因为特征多项式为212 221 2 (1)(5)22 1I A λλλλλλ----=---=+----, 所以特征值是1-二重和5. 4分把特征值1λ=-代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231232220,2220,2220,x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值1λ=-的特征向量为12(1,0,1),(0,1,1)T T αα=-=-.利用施密特正交化方法将12,αα正交化:11(1,0,1)T βα==-, 211(,1,)22T β=--,再将12,ββ单位化得1T η=,2(T η=, 8分 把特征值5λ=代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231234220,2420,2240,x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值5λ=的特征向量为3(1,1,1)T α=.再将3α单位化得3Tη=. 10分 令123(,,)0P ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则P 是一个正交矩阵,且满足1100010005T P AP P AP --⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭.所以,正交变换X PY =为所求,它把二次型化成标准形222123123(,,)5f x x x y y y =--+. 12分六﹑证明:必要性由123,,l l l 交于一点得方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解,可知231()()230()10231a b cb c R A R A bc a a b c c a c a ba b=⇒=⇒++= 2分由于2221211[()()()]01b cca b a c b a c a b=--+-+-≠,所以0a b c ++= 3分充分性：0()a b c b a c ++=⇒=-+2222222()2[()][()]022312366()10231a bac b ac a c a c a c b c a b c a b c b c b c a b c a a b c c a c a b c a b a b ⎫⇒=-=-+=-++-≠⎪⎪⎪⎬⎪==++=⎪⎪⎭又因为()()2R A R A ⇒==, 5分 因此方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解,即123,,l l l 交于一点. 6分线性代数习题和答案第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于A. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有A.秩A<nB.秩A=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536=.16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=a ij3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式i,j=1,2,3,则a 11A 21+a 12A 22+a 13A 232+a 21A 21+a 22A 22+a 23A 232+a 31A 21+a 32A 22+a 33A 232= . 18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a 线性相关,则a= .19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .24.设实二次型fx 1,x 2,x 3,x 4,x 5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T ；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数; 29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； 2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=511 1111 550 ----=5116205506255301040 ---=---=+=.27.解AB=A+2B即A-2EB=A,而A-2E-1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=A-2E-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=386 296 2129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.1秩B=3,所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组;A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T, ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.31.解fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx1,x2,x3的标准形y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证由于E-AE+A+A2=E-A3=E,所以E-A可逆,且E-A-1= E+A+A2 .33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.1Aη1=Aη0+ξ1=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解;2考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即l0+l1+l2η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾;所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。

线性代数考试练习题带答案

线性代数考试练习题带答案

线性代数试题集与答案解析一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 设向量组α1，α2，α3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( )。

(A) α 1 −α 2 ，α 2 −α 3 ，α 3 −α 1(B) α 1 ，α 2 ，α 3 + α 1(C) α 1 ，α 2 ，2 α 1 −3 α 2(D) α 2 ，α 3 ，2 α 2 + α 3正确答案：B解答参考：A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与α1，α2，α3等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，是线性相关向量组。

2.(A) 必有一列元素全为0；(B) 必有两列元素对应成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。

你选择的答案：未选择[错误]正确答案：C解答参考：3. 矩阵 ( 0 1 1 −1 2 ,0 1 −1 −1 0 ,0 1 3 −1 4 ,1 1 0 1 −1 ) 的秩为( )。

(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4你选择的答案：未选择[错误]正确答案：C解答参考：4. 若矩阵 ( 1 a −1 2, 1 −1 a 2 ,1 0 −1 2 ) 的秩为2,则 a的值为。

(A) 0(B) 0或-1(C) -1(D) -1或1正确答案：B解答参考：5. 二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 −8 x 2 x 3，则 f的矩阵为。

(A) ( 2 4 0 0 5 −8 0 0 5 )(B) ( 2 4 0 0 5 −4 0 −4 5 )(C) ( 2 2 0 2 5 −4 0 −4 5 )(D) ( 2 4 0 4 5 −4 0 −4 5 )正确答案：C解答参考：6. 设 A、 B为 n阶方阵，且 A与 B等价， | A |=0 ，则 r(B)(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n正确答案：A解答参考：7. 若矩阵 [ 1 2 2 −3 ,1 −1 λ−3 ,1 0 2 −3 ] 的秩为2,则λ的取值为(A) 0(B) -1(C) 2(D) -3正确答案：C8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 A x=0 的基础解系的是(A) 2(B) -2(C) 1(D) -1正确答案：B解答参考：二、判断题(判断正误，共6道小题)9.设A ,B 是同阶方阵，则AB=BA 。