线性代数期末试卷及参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
（A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+
3．设A 为n 阶方阵，且2
50A A E +-=。则1(2)A E -+=（ ）
(A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()
3A E +
4．设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）。
（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；
（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；
（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则
（）
（A ）A 与B 相似（B ）A B ≠，但|A-B |=0 （C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|
二、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分)
1．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。（）
2．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则
1
11)(---=A B AB 。（）
3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。 ( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。 ( )
5．n 维向量组{
}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。（） 三、填空题（每小题4分，共20分）
1．01
2
1
0n n -。
2．A 为3阶矩阵，且满足=A 3,则1-A =______，*3A =。
3．向量组1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3247α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，
4120α⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。
4． 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解，其中A 的秩()R A =3，
11234η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，234444ηη⎛⎫ ⎪ ⎪
+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组Ax b =的通解为。
5．设
23111503A a -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，且秩(A )=2，则a =。 四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。
1．已知A+B=AB ，且
121342122A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，求矩阵B 。 2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)αβ=--=--，而
T
A αβ=，求n A 。
3.已知方程组1123211232
123x x ax x x x x ax x a ⎧
++=-⎪⎪
-+=-⎨⎪
⎪-++=⎩有无穷多解，求a 以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型
3231212
3222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=
5． A ，B 为4阶方阵，AB+2B =0，矩阵B 的秩为2且|E+A |=|2E -A |=0。（1）
求矩阵A 的特征值；（2）A 是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E |。
五．证明题（每题5分，共10分）。
1．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结
论。
2．设A 为m n ⨯矩阵，且的秩()R A 为n ，判断T
A A 是否为正定阵？证明你的结
论。
线性代数试卷解答
一、
1．（F ）（
A A n
λλ=） 2．（T ）
3．（F ）。如反例：100010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，000010001B ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭。 4．（T ）（相似矩阵行列式值相同） 5．（F ） 二、
1．选B 。初等矩阵一定是可逆的。
2．选B 。A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与1α，
2α，3α等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。
3．选C 。由052
=-+E A A ⇒()2
232()3A A E E A E A E E +-=⇒+-=，
()1
12()
3A E A E -⇒+=-)。
4．选D 。A 错误，因为n m <，不能保证()(|)R A R A b =；B 错误，0=Ax 的基础解系含有()A R n -个解向量；C 错误，因为有可能()(|)1R A n R A b n =<=+，
b Ax =无解；D 正确，因为()R A n =。
5．选A 。A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵,P Q ，使得
1112(,,
,)n PAP diag QBQ λλλ--==，因此,A B 都相似于同一个对角矩阵。
三、1．
()!11
n n +-（按第一列展开） 2．31；53（*A 3=233A ）
