山西省实验中学2020届高三上学期第二次月考数学(理)试题--含答案

山东省实验中学2024届高三调研考试数学试题2024.2说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设{}{}21,4,2,1,A x B x ==，若B A ⊆，则x =（）A.0B.0或2C.0或2- D.2或2-2.若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n =（）A.9B.10C.11D.123.已知向量()()1,3,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A.117B.17C.55D.2554.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A.24- B.3- C.3D.85.要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴A.向左平移12π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移6π个单位 D.向右平移12π个单位6.在三棱锥-P ABC 中，点M,N 分别在棱PC,PB 上，且13PM PC =，23PN PB =，则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为（）A.19B.29C.13D.497.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x （单位：2dm ）与水生植物的株数y （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型e (0)kx y c c =>去拟合x 与y 的关系，设ln ,z y x =与z 的数据如表格所示：得到x 与z 的线性回归方程2ˆˆ 1.z x a=+，则c =（）x3467z22.54.57A.-2B.-1C.2e -D.1e -8.双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右顶点分别为,A B ，曲线M 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则当9mn mn+取到最小值时，双曲线离心率为（）A.3B.4C.D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足210z z ++=，则（）A.1i 22z =-+ B.1z =C.2z z= D.2320240z z z z ++++= 10.过线段()404x y x +=≤≤上一点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.点O 恒在以线段AB 为直径的圆上B.四边形PAOB 面积的最小值为4C.AB 的最小值为D.OM ON +的最小值为411.已知函数())ln1f x x =+，则（）A.()f x 在其定义域上是单调递减函数B.()y f x =的图象关于()0,1对称C.()f x 的值域是()0,∞+D.当0x >时，()()f x f x mx --≥恒成立，则m 的最大值为1-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X 服从二项分布B～（n，p），若E （X）=30，D （X）=20，则P=__________．13.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为椭圆22143x y +=的右焦点，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点，且8AB =.直线12,l l 分别过点,A B 且均与x 轴平行，在直线12,l l 上分别取点,M N （,M N 均在点,A B 的右侧），ABN ∠和BAM ∠的角平分线相交于点P ，则PAB 的面积为__________.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,M N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB 内，且三角形PMN 的面积263PMN S =△，则点P 的轨迹长度为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图所示，圆O 的半径为2，直线AM 与圆O 相切于点,4A AM =，圆O 上的点P 从点A 处逆时针转动到最高点B 处，记(],0,πAOP θθ∠=∈.（1）当2π3θ=时，求APM △的面积；（2）试确定θ的值，使得APM △的面积等于AOP 的面积的2倍.16.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，12AA AC CB AB ===.（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值．17.盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；（2）设两局比赛后盒中新球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.18.已知函数()()21ln ,,2f x x a x a f x =∈'-R 是()f x 的导函数，()e x g x x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有唯一零点.①求实数a 的取值范围；②当0a >时，证明：()()4g x f x >'+.19.已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.山东省实验中学2024届高三调研考试数学试题2024.2说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设{}{}21,4,2,1,A x B x ==，若B A ⊆，则x =（）A.0B.0或2C.0或2- D.2或2-【答案】C 【解析】【分析】根据B A ⊆，可得24x =或22x x =，结合集合元素性质分别求解即可.【详解】由B A ⊆得24x =或22x x =，即0x =或2x =或2x =-，当0x =时，{}{}1,4,0,1,0A B ==，符合题意；当2x =时，{}{}1,4,4,1,4A B ==，不符合元素的互异性，舍去；当2x =-时，{}{}1,4,4,1,4A B =-=，符合题意；综上，0x =或2x =-.故选：C .2.若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n =（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】利用二项式系数的性质直接求解即可.【详解】因为22nx ⎫+⎪⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有11项，即10n =.故选：B3.已知向量()()1,3,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A.117B.1717C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】因为()()1,3,2,2a b ==，所以()()3,5,1,1a b a b +=-=-，所以()()·cos ,17a b a b a b a b a b a b+-+-==+-.故选：B.4.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A.24-B.3- C.3D.8【答案】A【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差()0d d ≠，由236,,a a a 成等比数列求出d ，代入6S 可得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差()0d d ≠，∵等差数列{}n a 的首项为1，236,,a a a 成等比数列，∴2326a a a =⋅，∴()()()211125+=++a d a d a d ，且11a =，0d ≠，解得2d =-，∴{}n a 前6项的和为61656566122422（）⨯⨯=+=⨯+-=-S a d .故选：A.5.要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴A.向左平移12π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移6π个单位 D.向右平移12π个单位【答案】A 【解析】【分析】先用诱导公式把正弦型函数化为余弦型函数，然后根据图象的平移变换的解析式的特征变化，得到答案.【详解】sin 2sin 2cos 2cos[2(326612y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此该函数图象向左平移12π个单位，得到函数cos 2y x =的图象，故本题选A.【点睛】本题考查了已知变化前后的函数解析式，求变换过程的问题，考查了余弦函数图象变换特点.6.在三棱锥-P ABC 中，点M,N 分别在棱PC,PB 上，且13PM PC =，23PN PB =，则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为（）A.19B.29C.13D.49【答案】B 【解析】【分析】分别过,M C 作,MM PA CC PA ''⊥⊥,垂足分别为,M C ''.过B 作BB '⊥平面PAC ，垂足为B '，连接PB ',过N 作NN PB ''⊥,垂足为N '.先证NN '⊥平面PAC ，则可得到//BB NN ''，再证//MM CC ''.由三角形相似得到13MM CC ''=，'2'3NN BB =，再由P AMN N PAMP ABC B PACV V V V ----=即可求出体积比.【详解】如图，分别过,M C 作,MM PA CC PA ''⊥⊥,垂足分别为,M C ''.过B 作BB '⊥平面PAC ，垂足为B '，连接PB ',过N 作NN PB ''⊥,垂足为N '.因为BB '⊥平面PAC ，BB '⊂平面PBB '，所以平面PBB '⊥平面PAC .又因为平面PBB ' 平面PAC PB '=，NN PB ''⊥，NN '⊂平面PBB '，所以NN '⊥平面PAC ，且//BB NN ''.在PCC '△中，因为,MM PA CC PA ''⊥⊥，所以//MM CC ''，所以13PM MM PC CC '=='，在PBB '△中，因为//BB NN ''，所以23PN NN PB BB '=='，所以11123231119332PAM P AMN N PAMP ABC B PACPAC PA MM NN S NN V V V V S BB PA CC BB ----⎛⎫'''⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫'''⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.故选：B7.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x （单位：2dm ）与水生植物的株数y （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型e (0)kx y c c =>去拟合x 与y 的关系，设ln ,z y x =与z 的数据如表格所示：得到x 与z 的线性回归方程2ˆˆ 1.z x a=+，则c =（）x3467z22.54.57A.-2B.-1C.2e -D.1e -【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，求得5,4x z ==，进而代入回归方程可求得ˆ2a=-，从而得出ˆ 1.22zx =-，联立ln z y =，即可求得本题答案.【详解】由已知可得，346754x +++==，2 2.5 4.5744z +++==，所以，有ˆ4 1.25a =⨯+，解得ˆ2a =-，所以，ˆ 1.22zx =-，由ln z y =，得ln 1.22y x =-，所以， 1.222 1.2e e e x x y --==⋅，则2e c -=.故选：C .8.双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右顶点分别为,A B ，曲线M 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则当9mn mn+取到最小值时，双曲线离心率为（）A.3B.4C.D.2【答案】D【解析】【分析】由题意9mn mn+利用均值定理可得3mn =，再利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】设(,0),(,0),(,),(,)A a B a C x y D x y --，则ACy m k x a ==+，BD y n k x a -==-，所以222y mn x a-=-，将曲线方程22222x a y a b -=代入得22b mn a=-，又由均值定理得996mn mn mn mn +=+≥，当且仅当9mn mn =，即223bmn a==时等号成立，所以离心率2e ==，故选：D.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e （e 的取值范围）．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足210z z ++=，则（）A.1i 22z =-+ B.1z =C.2z z = D.2320240z z z z ++++= 【答案】BC【解析】【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，代入题干方程求解判断A ，求复数的模判断B ，根据复数乘方运算及共轭复数的定义判断C ，利用复数的周期性求和判断D.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，由210z z ++=得()()2i i 10a b a b ++++=，即()()2212i 0a b a ab b -++++=，所以221020a b a ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1i 22z =-+或122z =--，故选项A 错误；由13i 22z =-+，所以1z ==，由122z =--，所以1z ==，故选项B 正确；当13i 22z =-+时，所以2211i 2222z ⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，13i 22z =--，所以2z z =，当122z =--时，所以221313i i 2222z ⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，13i 22z =-+，所以2z z =，故选项C 正确；因为321(1)(1)0z z z z -=-++=，所以31z =，所以()()()2320242345620202021202220232024z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+++++++++++ ()()()232201722111z z z z z z z z z z =+++++++++++ ()00011=++++-=- ，故选项D 错误.故选：BC10.过线段()404x y x +=≤≤上一点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.点O 恒在以线段AB 为直径的圆上B.四边形PAOB 面积的最小值为4C.AB 的最小值为D.OM ON +的最小值为4【答案】BCD 【解析】【分析】设(),4P a a -，则可求AB 的方程为(4)40ax a y +--=.结合,,,O A P B 四点共圆可判断A 的正误，求出OP 的最小值后可判断B 的正误，求出AB 所过的定点后可判断C 的正误，结合AB 的方程可求OM ON +，利用二次函数的性质可求其最小值，故可判断D 的正误.【详解】设(),4P a a -，因为AB 与,x y 轴均相交，故04a <<，连接,OA OB ，设线段:4(04)l x y x +=<<，则,,,O A P B 四点共圆，且此圆以OP 为直径，而以OP 为直径的圆的方程为：()()40x x a y y a -+-+=，整理得到：22(4)0x y ax a y +---=，故AB 的方程为：4(4)0ax a y ---=，整理得到：(4)40ax a y +--=.对于A ，若O 在以线段AB 为直径的圆上，则90AOB ∠=︒，由,,,O A P B 四点共圆可得90APB ∠=︒，而90∠=∠=︒PAO PBO ，2AO BO ==，故四边形OAPB 为正方形，故OP =，但P 为动点且OP 长度变化，故O 不恒在以线段AB 为直径的圆上，故A 错误.对于B ，四边形PAOB 面积为122S OA AP =⨯⨯⨯=而PO ≥=，当且仅当OP ⊥l 即()2,2P 时等号成立，故S 的最小值为4，故B 成立.对于C ，因为AB 的方程为：(4)40ax a y +--=，整理得到：()440a x y y -+-=，令0440x y y -=⎧⎨-=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，故AB 过定点()1,1Q ，设O 到AB 的距离为d ，则d OQ ≤=故AB =≥，当且仅当d =OQ AB ⊥时等号成立，故AB 的最小值为，故C 成立.对于D ，由AB 的方程为(4)40ax a y +--=可得44,0,0,4M N a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故()24416,04424OM ON a a a a +=+=<<---+，而20(2)44a <--+≤，故4OM ON +≥，当且仅当2a =等号成立，故OM ON +的最小值为4，故D 成立.故选：BCD .11.已知函数())ln1f x x =+，则（）A.()f x 在其定义域上是单调递减函数B.()y f x =的图象关于()0,1对称C.()f x 的值域是()0,∞+D.当0x >时，()()f x f x mx --≥恒成立，则m 的最大值为1-【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，先求原函数的导函数，再判断其导函数的符号即可；选项B ，取譬如“点(1,(1))f --和点(1,(1))f ”的特殊值判断即可；选项C ，||x x >=≥，11x +>，进而判断即可；选线D ，先构造函数()()()F x f x f x mx =---，将不等式的恒成立问题转化为函数的最值，即可判断.【详解】已知函数())ln 1f x x =+，||x x >=≥0x ->，故函数()f x 的定义域为R ，对于选项A ，函数()f x 的导函数为：()f x '=，0x ->，得()0f x '<，所以()f x 在其定义域上是单调递减函数，选项A 正确；对于选项B ，取特值：(1)ln f =(1)2)f -=+，且(1)(1)ln 2ln(22)ln(222)1222f f +-++==≠，即函数图象上存在点(1,(1))f --和点(1,(1))f 不关于()0,1对称，选项B 错误；对于选项C 0x ->11x -+>，得())ln1ln10f x x =-+>=，当x →+∞111x -+=+→，当x →-∞1x -+→+∞，同时()f x 在其定义域上是单调递减函数，故()f x 的值域是()0,∞+选项C 正确；对于选项D ，定义()()()F x f x f x mx =---，0x >，则))()ln1ln1F x x x mx =-+-++-，)()ln 1ln1F x x mx ⎛⎫=-++-⎪⎭，)()ln ln1F x x mx ⎛⎫=-+-，故)()lnF x x mx =-+-，其导函数()F x m m'==-，若,()0x ∈+∞，()()f x f x mx --≥恒成立，即函数()0F x ≥恒成立，由于(0)0F =，则(0)0F '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即(0)10F m '=--≥，得1m ≤-，当1m =-时，)()lnG x x x =-++，,()0x ∈+∞()1G x '=+，由于,()0x ∈+∞，则1>1<，()10G x '=+>，所以函数()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，且(0)ln100G =-+=，则,()0x ∈+∞时，()0G x >恒成立，同时,()0x ∈+∞，由于1m ≤-，mx x -≥则))()lnln()0F x x mx x x G x =--≥-++=>，显然()0F x >恒成立，,()0x ∈+∞时，()()f x f x mx --≥恒成立，则m 的最大值为1-正确；选项D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是转化为(0)0F '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，从而得到1m ≤-，最后验证得到1m =-时符合题意即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X 服从二项分布B～（n，p），若E （X）=30，D （X）=20，则P=__________．【答案】13【解析】【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解：随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．13.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为椭圆22143x y +=的右焦点，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点，且8AB =.直线12,l l 分别过点,A B 且均与x 轴平行，在直线12,l l 上分别取点,M N （,M N 均在点,A B 的右侧），ABN ∠和BAM ∠的角平分线相交于点P ，则PAB 的面积为__________.【答案】【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，写出直线l 的方程，求出||4AB =，不合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立抛物线的方程，由12||8AB x x p =+=+，求出k ，根据锐角三角函数表达边长，再进一步求出PAB 的面积．【详解】由22143x y +=的右焦点为()1,0，所以抛物线的焦点为(1,0)F ，故12p=，则2p =，因此抛物线24y x =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，代入抛物线的方程，得2y =±，所以(1,2)A ，(1,2)B -，所以||4AB =，不合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，所以212224k x x k ++=，所以221212222444||2822p p k k AB x x x x p k k ++=+++=++=+==，所以1k =±，由对称性不妨设1k =，则45AFx ∠=︒，因为ABN ∠和BAM ∠的平分线相交于点P ，//AM BN ，所以PA PB ⊥，45ABN ∠=︒，22.5ABP ∠=︒，所以在Rt ABP 中，sin 22.58sin 22.5AP AB =︒=︒，cos 22.58cos 22.5BP AB =︒=︒，所以18sin 22.58cos 22.52ABP S =⋅︒⋅︒ 32sin 22.58cos 22.516sin 45=︒︒=︒=，故答案为：14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,M N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB 内，且三角形PMN 的面积3PMN S =△，则点P 的轨迹长度为___________.【答案】263π【解析】【分析】由题意求出P 到MN 的距离，又易证1BD ⊥面1AB C ，进而得到P 点在1AB C V 所在平面的轨迹是以263为半径的圆，因为1AB C V 3<，所以该圆一部分位于三角形外，作出图形即可求解．【详解】因为正方体的棱长为16BD =，所以123BD MN ==，设P 到MN 的距离为d ，由1||2PMN S d MN ==263d =，11A D ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，∴111A D AB ⊥，又11AB A B ⊥，1111A D A B A = ，∴1AB ⊥平面11A D B ，11BD AB ∴⊥，同理可证1BD AC ⊥，又1AB AC A = ，1BD ∴⊥面1AB C ，P ∴点在1AB C V 所在平面的轨迹是以263为半径的圆，1AB C V内切圆的半径为123=，∴该圆一部分位于三角形外，如图有22226(2)()3x +=，解得63x =，∴6HOB π∠=，∴圆在三角形内的圆弧为圆周长的一半，∴1262622l π=⋅⋅，故答案为：263π.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图所示，圆O 的半径为2，直线AM 与圆O 相切于点,4A AM =，圆O 上的点P 从点A 处逆时针转动到最高点B 处，记(],0,πAOP θθ∠=∈.（1）当2π3θ=时，求APM △的面积；（2）试确定θ的值，使得APM △的面积等于AOP 的面积的2倍.【答案】（1）6（2）π2θ=【解析】【分析】（1）过点P 作PQ AM ⊥，利用圆的性质求得PQ ，代入面积公式直接求解即可；（2）设AOP 的面积为1,S APM 的面积为2S ，结合三角形面积公式建立方程，利用辅助角公式化简求解即可.【小问1详解】过点P 作PQ AM ⊥交AM 于点Q ，如图：因为圆O 的半径为2，由题意π2π22sin 22cos 22cos 323PQ θθ⎛⎫=+-=-=-= ⎪⎝⎭，又4AM =，所以APM △的面积为14362⨯⨯=.【小问2详解】连接AP ，设AOP 的面积为1,S APM 的面积为2S ，又1122sin 2sin 2S θθ=⨯⨯⨯=，()()211421cos 41cos 22S AM PQ θθ=⋅=⨯⨯⨯-=-，由题意212S S =，所以()41cos 4sin θθ-=，即sin cos 1θθ+=，所以π2sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()0,πθ∈，所以ππ5π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3π44θ+=，所以π2θ=，所以当π2θ=时，使得APM △的面积等于AOP 的面积的2倍.16.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，122AA AC CB AB ===.（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）63【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理可得1//DF BC ，由线面平行的判定定理可得结果；（Ⅱ）由122AA AC CB AB ===，可设：AB=2a ，可得AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，分别以直线1,,CA CB CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图，利用向量垂直数量积为零列方程分别求出平面1A CD 的法向量、平面1A CE 的一个法向量，再由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（Ⅰ）如图，连结1AC ，交1AC 于点F ，连结DF ，因为D 是AB 的中点，所以在1ABC 中，DF 是中位线，所以1DF / / BC ，因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ；（Ⅱ）因为2AC CB AB ==，所以90ACB ︒∠=，即ACBC ⊥，则以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AA =AC=CB=2，则1(0,0,0),(1,1,0),(0,2,1),(2,0,2)C D E A ，则1(1,1,0),(0,2,1),(2,0,2)CD CE CA ===，设()111,,m x y z =r是平面1DA C 的一个法向量，则，即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，则111,1=-=-y z ,则(1,1,1)n =--同理可得平面1EA C 的一个法向量，则(2,1,2)n =-，所以，3cos ,3m n 〈〉=，所以sin ,3m n 〈〉=，即二面角D AC E --的正弦值为.63【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.17.盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；（2）设两局比赛后盒中新球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）815（2）分布列见解析，169【解析】【分析】（1）根据超几何分布概率公式求解即可；（2）根据超几何分布概率公式求得分布列，进而求得数学期望即可.【小问1详解】由题意可知当比赛使用1个新球，1个旧球时，盒中恰有3个新球，使用一局比赛后盒中恰有3个新球的概率112642C C 8C 15P ==.【小问2详解】由题意可知X 的可能取值为0,1,2,3,4，()22422266C C 60C C 225P X ==⋅=，()22111134424222226666C C C C C C 721+C C C C 225P X ==⋅⋅=，()1122112233444224222222666666C C C C C C C C 1142++C C C C C C 225P X ==⋅⋅⋅=，()22111132424222226666C C C C C C 323+C C C C 225P X ==⋅⋅=，()22222266C C 14C C 225P X ==⋅=，所以X 的分布列为X01234P622572225114225322251225()67211432116012342252252252252259E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18.已知函数()()21ln ,,2f x x a x a f x =∈'-R 是()f x 的导函数，()e xg x x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有唯一零点.①求实数a 的取值范围；②当0a >时，证明：()()4g x f x >'+.【答案】（1）答案见解析（2）①(){},0e -∞ ；②证明见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导得到()2x a f x x='-，根据导数与函数单调性间的关系，对a 分类讨论，即可得出结果；（2）①法一：直接对a 进行分类讨论，利用（1）的结果，即可得出结果；法二：分离常量得到21ln 2x a x=，构造函数()2ln xx x ϕ=，将问题转化成函数图象交点个数来解决问题；②构造函数()1e 2e (0)2xh x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，通过求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到()h x 的最小值，从而得出()1e 2e 2xg x x x ⎛⎫=≥-⎪⎝⎭，从而将问题转化成证明()()22e 1e 4e 0x x --++>，即可证明结果.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()2a x af x x x x='-=-，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无单调递减区间，当0a >时，令()0f x '>得x >()0f x '<得0x <<；此时()f x 单调递减区间为(；单调递增区间为)∞+，综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无单调递减区间，当0a >时，()f x 单调递减区间为(，单调递增区间为)∞+.【小问2详解】①法一；当0a =时，()f x 没有零点，不符合题意；当a<0时，由（1）知函数()f x 在()0,∞+单调递增，因为()()2211ln 122f x x a x x a x =-<--，取0m a =>，则()21((1)(3)02f m a a a a a <+-+-=++<，又()1102f =>，故存在唯一()0,1x m ∈，使得()00f x =，符合题意；当0a >时，由（1）可知，()f x 有唯一零点只需0f =，即ln 022a aa -=，解得e a =，综上，a 的取值范围为(){},0e ∞-⋃.法二：当0a =时，()f x 没有零点，不符合题意；由()0f x =，得到21ln 2x a x =，令()2ln x x x ϕ=，则()312ln xx x ϕ-'=，当(x ∈时，()0x ϕ'>，则()x ϕ在区间(单调递增，当)x ∞∈+时，()0x ϕ'<，则()x ϕ在区间)∞+单调递减，又lim ()0x x ϕ→+∞=，()0lim x x ϕ∞+→=-，所以102a <或1122ea ϕ==，即a<0或e a =，综上，a 的取值范围为(){},0e ∞-⋃.②由①得出e a =，令()1e 2e (0)2xh x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，则()()1e 2e xh x x '=+-，令()()1e 2e xg x x =+-，则()()2e 0xg x x =+>'恒成立，所以()h x '单调递增，又()10h '=，故当()0,1x ∈时，()0h x '<，则()h x 在区间()0,1上单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0h x '>，则()h x 在区间()1,∞+上单调递增；故()()10h x h ≥=，所以()1e 2e 2xg x x x ⎛⎫=≥-⎪⎝⎭，要证()()4g x f x >'+，只需证明()1e2e 442x f x x x⎛⎫->+=-⎪'+ ⎝⎭，即证()()22e 1e 4e 0x x --++>，由22229595Δ12e 167e 12e e 16e e 12e 16e 2222⎛⎫=+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭95e 12 2.7167.2022⎛⎫<-⨯+-⨯< ⎪⎝⎭，所以()()22e 1e 4e 0x x --++>成立，故不等式得证.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的②，构造函数()1e 2e (0)2x h x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，通过求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到()h x 的最小值，从而得出()1e 2e 2xg x x x ⎛⎫=≥-⎪⎝⎭，通过放缩，将问题转化成证明()()22e 1e 4e 0x x --++>，从而解决问题.19.已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.【答案】（1）(5){478}A =，，，(5)=3s .（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）观察数列，结合题意得到(5)A 及(5)s ；（2）先得到11()i s a ≤，故12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，再由12111()()()n n s a s a s a +++= 得到()1i s a =，从而证明出结论；（3）由题意得i j i a a +=或i j j a a +=，令1j =，得到32a a =或31a a =，当a b =时得到12n a a a na +++= ，当a b ¹时，考虑3a a =或3a b =两种情况，求出答案.【小问1详解】因为4785a a a ===，所以{}(5)4,7,8A =，则(5)=3s ；【小问2详解】依题意()1,12i s a i n ≥=，，， ，则有11()i s a ≤，因此12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，又因为12111()()()n n s a s a s a +++= ，所以()1i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.【小问3详解】依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ¹时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈.令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .【点睛】数列新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。

山东省实验中学2025届高三上学期第二次诊断考试（11月）数学试题一、单选题1．设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（）A ．0B ．1-C ．0或1-D ．0或12．已知复数z 满足()34i 12i z -=+，则z 的虚部是（）A ．25B ．25-C ．2i5D ．2i5-3．已知等比数列{}n a 中，1242,16a a a ==，则3a =（）A ．4B ．4±C ．8D ．8±4．设函数()132,0log ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()2f t >，则t 的取值范围是（）A ．()1,10,9∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭B ．()1,1,19∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭C ．11,9⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,9∞⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知11sin(),sin(),23αβαβ+=-=则2tan ()tan αβ等于A ．2B ．3C ．4D ．66．已知随机变量()2~2,N ξσ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a x a x+<<-的最小值为（）A ．5B ．112C ．203D ．1637．已知函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．3a >-B ．49103a -<<-C ．4933a -<<-D ．103a -<<-8．将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x ,y ,记A 事件为“8C x>8C y”,则()P A =（）A ．1136B ．13C ．1336D ．512二、多选题9．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C ．2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象10．如图，在四边形ABCD 中，o 60DAB ∠=，o120DCB ∠=，2AB =，BC =，2BA BC ⋅= ，则下列结果正确的是（）A ．o45ABC ∠=B ．AC =C ．BD =D ．ADC11．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线22:1C x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列四个结论，其中正确结论是（）A ．图形关于y 轴对称B ．曲线C 恰好经过4个整点（即横､纵坐标均为整数的点）C ．曲线CD ．曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3三、填空题12．若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则a =．13．已知向量,,a b c 满足,2,1,a b a b a b c a -=+==-= c b ⋅的最大值为.14．定义：如果集合A 存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()12,,,,2m A A A m m ∈≥N ，且12m A A A A ⋃⋃⋃= ，那么称无序子集组12,,,m A A A 构成集合A 的一个m 划分.若使函数()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭有且仅有一个零点的ω的取值集合为A ，则集合A 的所有划分的个数为.四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1452,2a S a ==.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足2n an b =，求{}n b 的前n 项和n T .16．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 3cos 3B A Cb c a-=-.(1)求ca的值；(2)若点D 在边AB 上，且2,2,BD DA CD AC ===ABC V 的面积.17．已知函数()e ln ,,0x n n n f x k x n k x x +⎛⎫=-+∈> ⎪⎝⎭N .(1)讨论()1f x 的单调区间；(2)若()3f x 有三个极值点，求正数k 的取值范围.18．口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.(1)记总的抽取次数为X ，求E （X ）；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y ，求E （Y ）并从实际意义解释E （Y ）与（1）中的E （X ）的大小关系.19．设5n ≥为正整数，120n a a a <<<< 为正实数列．我们称满足j ik ja ar a a -=-（其中1≤<<≤i j k n ）的三元数组(,,)i j k 为“r -比值组”.(1)若5n =，且{}n a 为等差数列，写出所有的1-比值组；(2)给定正实数r ，证明：中位数为4（即(,,)i j k 中4j =）的r -比值组至多有3个；(3)记r -比值组的个数为()n f r ，证明：2()4n n f r <.。

2020届高考数学选择题填空题专项练习（文理通用）15比较大小第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·福建高三（理））设12a e-=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a b c d ,,,的大小关系为（ ） A ．c b d a >>>B ．c d a b >>> C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>.【答案】B 【解析】【分析】利用指数幂的运算性质化成同分母，再求出分子的近似值即可判断大小．【详解】3241e a e e ==，2416b e =，222444e c e e==，249e d e =，由于 2.7e ≈，27.39e ≈，320.09e ≈，所以c d a b >>>，故选：B ．【点睛】本题主要考查比较幂的大小，属于基础题．2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】【分析】根据所给数据，分别求出平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，然后进行比较可得选项. 【详解】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=，中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c .故选：B.【点睛】本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log 6p =，5log 10q =，7log 14r =，则p ，q ，r 的大小关系为（ ）A ．q p r >>B ．p r q >>C ．p q r >>D ．r q p >>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算的公式化简,,p q r 为形式相同的表达式，由此判断出,,p q r 的大小关系.【详解】依题意得31+log 2p =，51log 2q =+，71log 2r =+，而357log 2log 2log 2>>，所以p q r >>.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.4. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件、C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列,若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C5．（2020·四川棠湖中学高三月考（文））设log a =log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】【分析】根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.【详解】因为20182018201811log 2018log log ,2a =>=>=201920191log log ,2b ==102019201820181c =>=，故本题选C.【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】0.10.1341,log 0.10,00.51a b c =>=<<=<，a c b ∴>>，故选C 。

数 学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，集合B ＝{x |2x ＋1>1}，则∁B A ＝(A)A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |2x ＋1>1}＝{x |x >－1}，∁B A ＝[3，＋∞)，故选A.2．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”是“∃x 0∈R ，使f (x 0)<0”的(A) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”时，函数与x 轴有两个交点，所以“∃x 0∈R ，使f (x 0)<0”成立．而“∃x 0∈R ，使f (x 0)<0”，即x 2＋bx ＋c ＜0，Δ＝b 2－4c ＞0，即b 2＞4c ，c 不一定有c ＜0.综上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c ＜0”是“∃x 0∈R ，使f (x 0)＜0”的充分不必要条件；故选A.3．设a ＝log 48，b ＝log 0.48，c ＝20.4，则(A) A ．b <c <a B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c【解析】∵b 的底数大于0小于1而真数大于1，∴b <0，∵a ＝log 48＝32，c ＝20.4<20.5＝2<32，∴a >c >b .故选A.4．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值为(B)A.355B. 2C.352 D. 5【解析】作出平面区域如图所示．∴当直线y ＝x ＋b 分别经过A ，B 时，平行线间的距离最小，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x －y －3＝0，解得A (2，1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0，解得B (1，2)， 两条平行线分别为y ＝x －1，y ＝x ＋1，即x －y －1＝0，x －y ＋1＝0. ∴平行线间的距离为d ＝|－1－1|2＝2，故选B.5．函数y ＝e |x |4x 的图象可能是(C)【解析】令y ＝f (x )＝e |x |4x ，则f (－x )＝e |－x |4（－x ）＝－e |x |4x ＝－f (x )，则函数y ＝f (x )＝e |x |4x 为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B ；当x ＝1时，y ＝e 4，排除A ；当x →＋∞时，e |x |4x →＋∞，排除D.故选C.6．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是(A)A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.9【解析】此程序框图执行的是输入一个正整数n ，求11×2＋12×3＋…＋1n ×（n ＋1）的值S ，并输出S .S ＝11×2＋12×3＋…＋1n ×（n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1.令S 等于0.7，解得n ＝73不是正整数，而n 分别输入3，4，9时，可分别输出0.75，0.8，0.9.故选A.7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(C)A ．289B ．1024C ．1225D ．1378【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项b n ＝n2，则由b n ＝n 2(n ∈N ＋)可排除D ，将A 、B 、C 选项代入a n ＝n2(n ＋1)验证知只有1225符合，故选C.8．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两个动点，|AB →|＝4，OC →＝53OA →－23OB →.若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为(C)A ．8＋4 3B ．8－4 3C ．12D ．4【解析】因为M 是线段AB 的中点，所以OM →＝12OA →＋12OB →，从而OC →·OM →＝⎝⎛⎭⎫53OA→－23OB →·(12OA →＋12OB →)＝56OA →2－13OB →2＋12OA →·OB →，由圆的方程可知圆O 的半径为4，即|OA →|＝|OB →|＝4，又因为|AB →|＝4，所以〈OA →，OB →〉＝60°，故OA →·OB →＝8，所以OC →·OM →＝12. 9．点A 、B 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足|MA ||MB |＝2，若△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为(D)A.23B.33C.22D.32【解析】设A (－a ，0)，B (a ，0)，M (x ，y )．∵动点M 满足|MA ||MB |＝2，则（x ＋a ）2＋y 2＝2（x －a ）2＋y 2，化简得⎝⎛⎭⎫x －5a 32＋y 2＝16a 29. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1， ∴12×2a ×43a ＝8，12×2b ×13a ＝1，解得a ＝6，b ＝62， ∴椭圆的离心率为1－b 2a 2＝32.故选D.10．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 上一动点，则AP ＋D 1P 的最小值为(D)A ．2B.6＋22 C ．2＋ 2 D.2＋ 2【解析】把对角面A 1C 绕A 1B 旋转，使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1，则在△AA 1D 中，AD 1＝1＋1－2×1×1×cos 135°＝2＋2为所求的最小值．故选D.11．已知函数f (x )＝x 2－2ln |x |与g (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的g (x )＝(C)A ．sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π2B ．sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2C ．sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2D ．sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2【解析】因为f (x )＝x 2－2ln |x |为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x ，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，所以当x <0时，f (x )min ＝f (－1)＝1，所以g (x )的最大周期是2.所以T ＝2πω＝2，ω＝π，又g (x )恰好在x ＝1和x ＝－1处取得最大值1，故φ＝－π2，故选C.12．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数．若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是(B)A. 3B.32C.33 D ．0【解析】记点(1，f (1))为点A 1，若f (x )逆时针旋转π6后与原图象重合，则A 1绕原点逆时针旋转π6后的对应点A 2在f (x )图象上，同时有A 2绕原点逆时针旋转π6后的对应点A 3也在f (x )图象上，以此类推，则f (x )的图象上至少有以原点为圆心的一个圆周上的12等分的12个点．当f (x )取值为3时，因为OA 1与x 轴正半轴夹角为π3，其逆时针旋转π6时形成的12个散点中，由圆的对称性知，点A 1和A 9的横坐标相同，即在同一个x 处同时存在2个f (x )值，不符合函数定义，故A 项错误．同理，当f (x )＝33和0时亦不符合函数定义，故C ，D 项错误． 故f (x )的可能取值只能是32.故正确答案为B.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．定积分⎠⎛011－（x －1）2d x ＝__π4__．【解析】⎠⎛011－（x －1）2d x 表示半径为1的四分之一圆的面积．14．在公差大于0的等差数列{a n }中，2a 7－a 13＝1，且a 1，a 3－1，a 6＋5成等比数列，则数列{(－1)n －1a n }的前21项和为__21__．【解析】公差d 大于0的等差数列{a n }中，2a 7－a 13＝1，可得2a 1＋12d －(a 1＋12d)＝1，即a 1＝1，由a 1，a 3－1，a 6＋5成等比数列，可得(a 3－1)2＝a 1(a 6＋5)，即为(1＋2d －1)2＝1＋5d ＋5，解得d ＝2(负值舍去)，则a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，n ∈N *，所以数列{(－1)n －1a n }的前21项和为a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a 19－a 20＋a 21＝1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21.15．若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为__2__． 【解析】由题意可知－x 3＋6x 2－9x ＋a ＝－2在(0，＋∞)上有两解，即a ＝x 3－6x 2＋9x －2在(0，＋∞)上有两解，设g (x )＝x 3－6x 2＋9x －2，则g ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令g ′(x )＝0得x ＝1或x ＝3.∴当0<x <1时，g ′(x )>0，当1<x <3时，g ′(x )<0，当x >3时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(0，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝1时，g (x )取得极大值g (1)＝2，当x ＝3时，g (x )取得极小值g (3)＝－2. 作出g (x )的函数图象如图所示：∵a ＝x 3－6x 2＋9x －2在(0，＋∞)上有两解，∴a ＝2.16．点M 为棱长是22的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 球面上的动点，点N 为B 1C 1的中点，若满足DM ⊥BN ，则动点M 的轨迹的长度为__410π5__．【解析】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径R ＝2， 由题意，取BB 1的中点H ，连接CH ， 则CH ⊥NB ，DC ⊥NB ，∴NB ⊥平面DCH ， ∴动点M 的轨迹就是平面DCH 与内切球O 的交线， ∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长是22，∴O 到平面DCH 的距离为d ＝25，截面圆的半径r ＝R 2－d 2＝225， 所以动点M 的轨迹的长度为截面圆的周长2πr ＝410π5.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】(1)由正弦定理，得2c －a b ＝2sin C －sin Asin B，2分 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B .即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C ).4分 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ， 因此sin Csin A ＝2.6分(2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14， b ＝2， 得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解得a ＝1，从而c ＝2.9分又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.10分 因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.12分 18．(本小题满分12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值mm < 185 185≤m < 205 m ≥205 等级三等品二等品一等品(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足X ～N (218，140)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【解析】(1)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.3分(2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件．再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件．故所求的概率P ＝C 32C 41C 11＋C 31C 42C 11C 84＝37.9分 (3)“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为170×0.025＋180×0.1＋190×0.2＋200×0.3＋210×0.26＋220×0.09＋230×0.025＝200.4，“质量提升月”活动后，产品质量指标值X 近似满足X ～N (218，140)，则E (X )＝218. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.12分19．(本小题满分12分)如图，ABCD 是边长为2的正方形，平面EAD ⊥平面ABCD ，且EA ＝ED ，O 是线段AD 的中点，过E 作直线l ∥AB, F 是直线l 上一动点．(1)求证：OF ⊥BC ；(2)若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，求此时二面角B —OF —C 的余弦值．【解析】(1) 因为EA ＝ED ，O 是AD 中点，故EO ⊥DA ，1分 又因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ，故EO ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥BC ；2分 因为EF ∥AB ，BC ⊥AB ，所以EF ⊥BC ， 故BC ⊥平面EOF ，3分 所以BC ⊥OF .4分(2) 设BC 的中点为M ，则有OM ⊥DA ，由(1)，EO ⊥平面ABCD ， 所以OE 、OA 、OM 两两垂直．可如图建立空间直角坐标系O －xyz .依题意设点E 的坐标为(0，0，s )，点F 的坐标为(0，t ，s )(s >0，t ∈R )，又B (1，2，0)，C (－1，2，0)，所以OF →＝(0，t ，s )，BF →＝(－1，t －2，s )，6分由(1)知OF ⊥BC ，故OF 与平面BCF 垂直，等价于OF ⊥BF ， 故OF →·BF →＝0，从而t (t －2)＋s 2＝0，即t 2－2t ＋s 2＝0， 直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，即关于t 的方程有唯一实数解， 所以Δ＝4－4s 2＝0，解得s ＝1，此时t ＝1.8分 故点E 的坐标为(0，0，1)，点F 的坐标为(0，1，1)．因为OF ⊥平面FBC ，所以OF ⊥BF 且OF ⊥CF ，所以∠BFC 即二面角B —OF —C 的平面角.10分因为FB →＝(1，1，－1)，FC →＝(－1，1，－1)， 所以cos ∠BFC ＝FB →·FC →||FB →·||FC→＝13，即若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直时， 二面角B —OF —C 的余弦值为13.12分20．(本小题满分12分)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点F 为(0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO 、BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．【解析】(1)由已知可设抛物线的方程为：x 2＝2py (p >0)，则p2＝1⇒p ＝2，所以抛物线C 的方程是x 2＝4y .2分(2)设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 124，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，所以k AO ＝x 14，k BO ＝x 24，所以直线AO 的方程是：y ＝x 14x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 14x ，y ＝x －2，∴x M ＝84－x 1，同理由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24x ，y ＝x －2，∴x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝1＋12|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4（x 1＋x 2）＋x 1x 2，①5分设AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，∴x 2－4kx －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 且|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋1，代入①得到： |MN |＝82·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2＋116－16k －4＝82·k 2＋1|4k －3|，7分 设4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝3＋t4， ①当t >0时，|MN |＝8225＋t 2＋6t4t ＝221＋25t 2＋6t >22；9分②当t <0时，|MN |＝8225＋t 2＋6t 4t＝221＋25t 2＋6t ＝22⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥22×45＝825，当t ＝－253时，|MN |取得最小值825，此时，k ＝－43；11分综上所述：|MN |的最小值是825.12分 21．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明： 对任意的t >0, 存在唯一的s, 使t ＝f (s )．(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t ), 证明： 当t >e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.【解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫0，1e 1e ⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞f ′(x ) － 0 ＋f (x )极小值所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.2分 (2)证明：当0<x ≤1时，f (x )≤0，设t >0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)，由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增，h (1)＝－t <0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)>0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立.6分 (3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s >1，从而ln g （t ）ln t ＝ln s ln f （s ）＝ln s ln （s 2ln s ）＝ln s 2ln s ＋ln ln s ＝u2u ＋ln u ，其中u ＝ln s ．7分 要使25<ln g （t ）ln t <12成立，只需0<ln u <u2，当t >e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾． 所以s >e ，即u >1，从而ln u >0成立.9分另一方面，令F (u )＝ln u －u 2，u >1.F ′(u )＝1u －12，令F ′(u )＝0，得u ＝2. 当1<u <2时，F ′(u )>0；当u >2时，F ′(u )<0. 故对u >1，F (u )≤F (2)<0，因此ln u <u2成立.11分 综上，当t >e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1， 即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.2分由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2， ①将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①得y ＝x ＋2.4分 所以直线l 的斜率角为π4.5分(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)， 代入x 29＋y 2＝1并化简得5t 2＋182＋27＝0，7分Δ＝(182)2－4×5×27＝108>08分设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2.则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275>0，所以t 1<0，t 2<0. 所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝1825.10分23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －3|. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝c，求证：a2a＋1＋b2b＋1≥1.【解析】(1)f(x)≤x＋1，即|x－1|＋|x－3|≤x＋1.①当x<1时，不等式可化为4－2x≤x＋1，解得x≥1，又∵x<1，∴x∈∅；②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x＋1，解得x≥1，又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3.③当x>3时，不等式可化为2x－4≤x＋1，解得x≤5，又∵x>3，∴3<x≤5.3分综上所得，1≤x≤3，或3<x≤5，即1≤x≤5，∴原不等式的解集为[1，5].5分(2)证明：由绝对值不等式性质得，|x－1|＋|x－3|≥|(1－x)＋(x－3)|＝2，7分∴c＝2，即a＋b＝2.令a＋1＝m，b＋1＝n，则m>1，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，a2a＋1＋b2b＋1＝（m－1）2m＋（n－1）2n＝m＋n＋1m＋1n－4＝4mn≥4⎝⎛⎭⎫m＋n22＝1，原不等式得证.10分。