苏教版八年级上数学期末解答题压轴题精选解析

苏教版八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷（提升篇）（Word 版 含解析）一、压轴题1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足3a c x +=，3b d y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足1413x -+==，()8223y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点． （1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．①试确定y 与x 的关系式；②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．2．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数，例如：8的内数是5；7的内数是4．（1）1的内数是______，20的內数是______，6的內数是______；（2）若3是x 的內数，求x 的取值范围；（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，9n =，如图2②，③；……①用n 表示t 的內数；②当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）3．如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=12x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．4．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点 P 在线段 AB 上以1/cm s的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x/cm s，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B 的另一条直线交x轴正半轴于点C，且OC＝3．图1 图2（1）求直线BC 的解析式；（2）如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；（3）如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 右侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标；6．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，求∠HPQ 的度数．7．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．8．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOA ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．9．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．10．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=29CP，求PFAF的值．（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）11．如图，直线l1的表达式为：y=-3x+3，且直线l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求点P的坐标．12．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．（1）如图1，已知A （3，2），B （4，0），请在x 轴上找一个C ，使得△OAB 与△OAC 是偏差三角形．你找到的C 点的坐标是______，直接写出∠OBA 和∠OCA 的数量关系______．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠D+∠B=180°，问△ABC 与△ACD 是偏差三角形吗？请说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB=DC ，AC 与BD 交于点P ，BD+AC=9，∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC ＜90°，且点C 到直线BD 的距离是3，求△ABC 与△BCD 的面积之和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）点C 是点A 、B 的融合点；（2）①2-1y x =；②见详解；③点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）【解析】【分析】（1）根据融合点的定义3a c x +=，3b d y +=，即可求解； （2）①由题意得：分别得到x 与t 、y 与t 的关系，即可求解；②利用①的函数关系式解答；③分∠DTH ＝90°、∠TDH ＝90°、∠HTD ＝90°三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）x ＝-17233a c ++==，y ＝54333b d ++==， 故点C 是点A 、B 的融合点；（2）①由题意得：x＝433a c t++=，y＝2533b d t++=，则3-4t x=，则()23-452-13xy x+==；②令x＝0，y＝-1；令y＝0，x＝12，图象如下：③当∠THD＝90°时，∵点E（t，2t＋5），点T（t，2t−1），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴t＝13（t＋4），∴t＝2，∴点E（2，9）；当∠TDH＝90°时，∵点E （t ，2t ＋5），点T （4，7），点D （4，0），且点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．∴4＝13（4＋t ） ∴t ＝8， ∴点E （8，21）；当∠HTD ＝90°时，由于EH 与x 轴不平行，故∠HTD 不可能为90°；故点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）．【点睛】本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．2．（1）2，7，4；（2）83x ≥；（3）①t 的内数=有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．【解析】【分析】（1）根据内数的定义即可求解；（2）根据内数的定义可列不等式2331x ≤+，求解即可；（3）①分析可得当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =……归纳可得结论；②分析可得当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，即可求解．【详解】解：（1）22311=⨯+，所以1的内数是2；232017⨯+>，所以20的内数是7；23614⨯+>，所以6的内数是4；（2）∵3是x 的內数，∴2331x ≤+， 解得83x ≥； （3）①当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =，……∴t 的内数=②当t 的内数为2时，最大实心正方形有1个；当t 的内数为3时，最大实心正方形有2个，当t 的内数为4时，最大实心正方形有1个，……即当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；∴当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个，由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，∴此时最大实心正方形的边长为8，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．【点睛】本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．3．（1）b=72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32t ﹣272；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+或9﹣或6时，△APQ 为等腰三角形．【解析】分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据12P S AQ y =⋅即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22t -<即可求得7<t <9或9<t <11.时，APQ 的面积小于3；③分三种情况：当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，即可求得．详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点，∴3=−m +2，解得m =−1，∴点P 的坐标为(−1,3)，把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1312b =⨯-+， 解得72b =； (2)∵72b =； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72，∴C 点的坐标为(−7,0)，①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)，∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7−t =9−t ，∴11273(9)32222S AQ yP t t =⋅=⨯-⨯=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t −9， ∴11327(9)32222S AQ yP t t ；=⋅=⨯-⨯=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327.22S t =- ②∵S <3， ∴273322t -<或327 3.22t -< 解得7<t <9或9<t <11. ③存在；设Q (t −7,0)，当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-∴22(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)， 当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-∴2(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，∴22(6)9(9)t t -+=-， 解得t =6. 故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.4．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP 和△BPQ 全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP 和△BPQ 中，{AP BQA B AC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，34t t xt =-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩; ②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，34xt t t=⎧⎨=-⎩ 解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.5．（1）443y x =-+；（2）612(,)55M ；（3）23(0,)7G 或(0,-1)G 【解析】【分析】（1）求出点B ，C 坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）结合图形，由S △AMB ＝S △AOB 分析出直线OM 平行于直线AB ，再利用两直线相交建立方程组求得交点M 的坐标；（3）分两种情形：①当n ＞2时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，垂足分别为M ，N ．求出Q （n-2，n-1）．②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），代入直线BC 的解析式解方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（-2，0），B（0，4），，又∵OC=3，∴C（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C的坐标代入得：304k bb+=⎧⎨=⎩，解得：434kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式为443y x=-+；（2）连接OM，∵S△AMB＝S△AOB，∴直线OM平行于直线AB，故设直线OM解析式为：2y x=,将直线OM的解析式与直线BC的解析式联立得方程组2443y xy x=⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：65125xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点612(,)55M；（3）∵FA=FB，A（-2，0），B（0，4），∴F（-1，2），设G（0，n），①当n＞2时，如图2-1中，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M，N．∵四边形FGQP 是正方形，易证△FMG ≌△GNQ ，∴MG=NQ=1，FM=GN=n-2，∴Q （n-2，n-1），∵点Q 在直线443y x =-+上， ∴41(2)43n n -=--+， ∴23=7n , ∴23(0,)7G ． ②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），∵点Q 在直线443y x =-+上， ∴4+1(2)43n n =--+， ∴n=-1，∴(0,-1)G ． 综上所述，满足条件的点G 坐标为23(0,)7G 或(0,-1)G 【点睛】 本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．（1）AB ∥CD ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°．【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，所以易证AB ∥CD ；（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，故结合已知条件GH ⊥EG ，易证PF ∥GH ； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得90902KPG PKG HPK ︒︒∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知1452QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ =45°．【详解】（1）AB ∥CD ，理由如下：∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°，又∵∠1=∠AEF ，∠2=∠CFE ，∴∠AEF +∠CFE =180°，∴AB ∥CD ；（2）由（1）知，AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°．又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ， ∴1()902FEP EFP BEF EFD ︒∠+∠=∠+∠= ∴∠EPF =90°，即EG ⊥PF ．∵GH ⊥EG ，∴PF ∥GH ；（3）∵∠PHK =∠HPK ，∴∠PKG =2∠HPK ．又∵GH ⊥EG ，∴∠KPG =90°﹣∠PKG =90°﹣2∠HPK ，∴∠EPK =180°﹣∠KPG =90°+2∠HPK ．∵PQ 平分∠EPK ， ∴1452QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠， ∴∠HPQ =∠QPK ﹣∠HPK =45°．答：∠HPQ 的度数为45°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．7．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）23． 【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =，∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．8．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.【详解】（180b-=，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；故答案为：（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），∴OA=6，OB=8，由运动知，OQ=t，PC=2t，∴OP=8-2t，∵D（4，3），∴114222ODQ DS OQ x t t=⨯=⨯=△，11823123 22ODP DS OP y t t=⨯=-⨯=-△（），∵△ODP与△ODQ的面积相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°.又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD.∵x轴平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD.∴∠GOA=∠OAC.∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE.∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.9．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ，记AD 与CE 的交点为G ，∵∠AGE=∠DGO ，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB 上取一点F ，使OF=OC ，∴△OCF 是等边三角形，∴CF=OC ，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB ，∴∠BCF=∠ACO ，∵AB=AC ，∴△BCF ≌△ACO （SAS ），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF ，要使OC=OE ，则有OC=12CE ， ∵BD=CE ， ∴CF=OF=12BD ， ∴OF=BF+OD ，∴BF ＜CF ， ∴∠OBC ＞∠BCF ，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC ＞30°，而没办法判断∠OBC 大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC 至P ，使DP=DB ，∵∠BDC=60°，∴△BDP 是等边三角形，∴BD=BP ，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP ，∴∠ABD=∠CBP ，∵AB=CB ，∴△ABD ≌△CBP （SAS ），∴∠BCP=∠A ，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°． 【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．10．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°， 在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵ EBC DCA ≌，∴EC =AD ，∵AD =AF +DF =2FH +DF ，∴2FH +DF =EC ．（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、BK ，∵∠AFK =60°，AF =KF ，∴△AFK 为等边三角形，∴∠KAF =60°，∴∠KAB =∠FAC ，在ABK 和ACF 中，AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF =∴∠AKB =∠AFC =120°，∴∠BKE =120°﹣60°=60°，∵∠BPC =30°，∴∠PBK =30°， ∴29BK CF PK CP ===， ∴79PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-= ∴779559CP PF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.11．（1）（1，0）；（2）362y x -＝；（3）92；（4）（6，3）． 【解析】【分析】（1）由题意已知l 1的解析式，令y=0求出x 的值即可；（2）根据题意设l 2的解析式为y=kx+b ，并由题意联立方程组求出k ，b 的值；（3）由题意联立方程组，求出交点C 的坐标，继而即可求出S △ADC ；（4）由题意根据△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到AD 的距离进行分析计算．【详解】解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，∴x=1，∴D （1，0）；（2）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b ，由图象知：x=4，y=0；x=3，y ＝32-，代入表达式y=kx+b ，∴40332k b k b +⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝， ∴326k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝，∴直线l 2的解析表达式为362y x -＝； （3）由33362y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），∵AD=3， ∴331922ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，则P 到AD 距离=3，∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，∵y=1.5x-6，y=3，∴1.5x-6=3，解得x=6，所以P （6，3）．【点睛】本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键.12．（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC 与△ACD 是偏差三角形，理由见解析；（3）272【解析】【分析】（1）根据偏差三角形的定义，即可得到C 的坐标，根据等腰三角形的性质和平角的定义，即可得到结论；（2）在AD 上取一点H ，使得AH=AB ，易证△CAH ≌△CAB ，进而可得∠D=∠CHD ，根据偏差三角形的定义，即可得到结论；（3）延长CA 至点E ，使AE=BD ，连接BE ，由SAS 可证∆BDC ≅∆EAB ，得EA=BD ，点B 到直线EA 的距离是3，根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）∵当AC=AB 时，△OAB 与△OAC 是偏差三角形，A (3，2)，B (4，0)，∴点C的坐标为（2，0），如图1，∵AC=AB，∴∠ACB=∠ABC，∵∠OCA+∠ACB=180°，∴∠OBA+∠OCA=180°，故答案为：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由如下：如图2中，在AD上取一点H，使得AH=AB．∵AC平分∠BAD，∴∠CAH=∠CAB，又∵ AC=AC，∴△CAH≌△CAB（SAS），∴CH=CB，∠B=∠AHC，∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，∴∠D=∠CHD，∴CH=CD，∴CB=CD，∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等，∴△ABC与△ACD是偏差三角形；（3）如图3中，延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，∴∠BDC=∠BAE，又∵AB=CD，∴∆BDC≅∆EAB（SAS），∴EA=BD，∵点C到直线BD的距离是3，∴点B到直线EA的距离是3，∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=12∙（AC+EA）×3 =12∙（AC+BD）×3 =12×9×3=272．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．。

苏教版八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷中考真题汇编[解析版]一、压轴题1．如图，直线2y x m =-+交x 轴于点A ，直线122y x =+交x 轴于点B ，并且这两条直线相交于y 轴上一点C ，CD 平分ACB ∠交x 轴于点D ．（1）求ABC 的面积．（2）判断ABC 的形状，并说明理由．（3）点E 是直线BC 上一点，CDE △是直角三角形，求点E 的坐标．2．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．3．如图，已知四边形ABCO 是矩形，点A ，C 分别在y 轴，x 轴上，4AB =，3BC =．（1）求直线AC 的解析式；（2）作直线AC 关于x 轴的对称直线，交y 轴于点D ，求直线CD 的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；（3）若点P 是直线CD 上的一个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴正半轴于点C ，且OC ＝3．图1 图2（1）求直线BC 的解析式；（2）如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；（3）如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 右侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标；5．在平面直角坐标系xOy 中，若P ，Q 为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．图1为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．已知点A 的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B 的坐标为（b ，0）．①若b ＝﹣2，则点A ，B 的“相关矩形”的面积是 ；②若点A ，B 的“相关矩形”的面积是8，则b 的值为 ．（2）如图3，点C 在直线y ＝﹣1上，若点A ，C 的“相关矩形”是正方形，求直线AC 的表达式；（3）如图4，等边△DEF 的边DE 在x 轴上，顶点F 在y 轴的正半轴上，点D 的坐标为（1，0）．点M 的坐标为（m ，2），若在△DEF 的边上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，请直接写出m 的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若1,(2),(2)b a b b a -≥⎧=<⎩'⎨当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．（1）①点3,1)-的限变点的坐标是________；②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围．7．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．（1）如图1，①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为 ；（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ；（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转的过程中，在什么情况下线段BF 的长取得最大值？若AC =22a ，试写出此时BF 的值．8．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（深入探究）第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．（1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．（2）如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．求证：△ABC ≌△DEF ．第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（3）在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等，并作简要说明．9．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠． （初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．10．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在1B M或1B M的延长线上，那么EMF∠的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在1A M或1A M的延长线上，那么EMF∠的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在1B M或1B M的延长线上左侧，且80EMF∠=︒，求11C MB∠的度数；②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在1A M或1A M的延长线右侧，且60EMF∠=︒，求11C MA∠的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB，FB为折痕，设ABCα∠=︒，EBFβ∠=︒，11A BCγ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．11．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABFACFSS的值．12．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：2，CD 36，求线段AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）5；（2）直角三角形，理由见解析；（3）44,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）先求出直线122y x =+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标，把点C 代入直线2y x m =-+，求出m 的值，再求它与x 轴的交点A 的坐标，ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到；（2）用勾股定理求出BC 的平方，AC 的平方，再根据AB 的平方，用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形；（3）先根据角平分线求出D 的坐标，再去分两种情况构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出对应的边长，从而得到点E 的坐标．【详解】解：（1）令0x =，则10222y =⨯+=， ∴()0,2C ，令0y =，则1202x +=，解得4x =-， ∴()4,0B -，将()0,2C 代入2y x m =-+，得2m =，∴22y x =-+，令0y =，则220x -+=，解得1x =，∴1,0A ，∴5AB =，2OC =， ∴152ABC S AB OC =⋅=△； （2）根据勾股定理，222224220BC BO OC =+=+=，22222125AC AO OC =+=+=，且22525AB ==，∴222AB BC AC =+，则ABC 是直角三角形；（3）∵CD 平分ACB ∠， ∴12AD AC BD BC ==， ∴1533AD AB ==， ∴23OD AD OA =-=， ∴2,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭①如图，CED ∠是直角，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，过点C 作CM EN ⊥于点M ， 由（2）知，90ACB ∠=︒，∵CD 平分ACB ∠，∴45ECD ∠=︒，∴CDE △是等腰直角三角形，∴CE DE =，∵90NED MEC ∠+∠=︒，90NED NDE ∠+∠=︒，∴MEC NDE ∠=∠，在DNE △和EMC △中，NDE MEC DNE EMC DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DNE EMC AAS ≅，设DN EM x ==，EN CM y ==，根据图象列式：DO DN CM EN EM CO +=⎧⎨+=⎩，即232x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴43EN CM ==， ∴44,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②如图，CDE ∠是直角，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，同理CDE △是等腰直角三角形，且可以证得()CDO DEG AAS ≅，∴2DG CO ==，23EG DO ==， ∴28233GO GD DO =+=+=， ∴82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上：44,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭，82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解，与坐标轴交点的求解，图象围成的三角形面积的求解，还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几何知识，需要运用数形结合的思想去求解．2．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y ＝0得x ＝1，∴Q （1，0），OQ ＝1，∵∠QPR ＝45°∴∠PSQ ＝45°＝∠QPS∴PQ ＝SQ∴由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP∴OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝3+1＝4，SH ＝OQ ＝1∴S （4，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则341b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得1k 2b 3⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线PR 为y ＝﹣12x+3 由y ＝0得，x ＝6∴R （6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.3．（1）y =34-x +3；（2）y =34x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】【分析】（1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标．【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3，故A (0，3)，C (4，0)，设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：340b k b =⎧⎨+=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以直线AC 的解析式为：y =34-x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)，设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)，点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：-340n m n =⎧⎨+=⎩解得：343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以直线CD 的解析式为：y =34x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．（3） 点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值，由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边），此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：34x -3=3， x =8，故P 点坐标为(8，3)，||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4．【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．4．（1）443y x =-+；（2）612(,)55M ；（3）23(0,)7G 或(0,-1)G 【解析】【分析】（1）求出点B ，C 坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）结合图形，由S △AMB ＝S △AOB 分析出直线OM 平行于直线AB ，再利用两直线相交建立方程组求得交点M 的坐标；（3）分两种情形：①当n ＞2时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，垂足分别为M ，N ．求出Q （n-2，n-1）．②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），代入直线BC 的解析式解方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵直线y=2x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A （-2，0），B （0，4），，又∵OC=3，∴C （3，0），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B 、C 的坐标代入得：304k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为443y x =-+； （2）连接OM ，∵S △AMB ＝S △AOB ，∴直线OM 平行于直线AB ，故设直线OM 解析式为：2y x =,将直线OM 的解析式与直线BC 的解析式联立得方程组2443y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得：65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点612(,)55M ；（3）∵FA=FB ，A （-2，0），B （0，4），∴F （-1，2），设G （0，n ），①当n ＞2时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，垂足分别为M ，N ．∵四边形FGQP 是正方形，易证△FMG ≌△GNQ ，∴MG=NQ=1，FM=GN=n-2，∴Q （n-2，n-1），∵点Q 在直线443y x =-+上， ∴41(2)43n n -=--+， ∴23=7n , ∴23(0,)7G ． ②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），∵点Q 在直线443y x =-+上， ∴4+1(2)43n n =--+， ∴n=-1，∴(0,-1)G ．综上所述，满足条件的点G坐标为23(0,)7G或(0,-1)G【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．（1）①6；②5或﹣3；（2）直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤3．【解析】【分析】（1）①由矩形的性质即可得出结果；②由矩形的性质即可得出结果；（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3求出正方形AGCH的边长为3，分两种情况求出直线AC的表达式即可；（3）由题意得出点M在直线y＝2上，由等边三角形的性质和题意得出OD＝OE＝12DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，得出OF OD①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣2）；得出m的取值范围为﹣3≤m≤﹣或2﹣≤m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M 的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（22）；得出m的取值范围为2≤m≤3或2﹣≤m≤1；即可得出结论．【详解】解：（1）①∵b＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），如图2﹣1所示：∵点A的坐标为（1，2），∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，故答案为：6；②如图2﹣2所示：由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，∴|b﹣1|＝4，∴b＝5或b＝﹣3，故答案为：5或﹣3；（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的边长为3，当点C在直线x＝1右侧时，如图3﹣1所示：CG＝3，则C（4，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝kx+a，则214k ak a=+⎧⎨-=+⎩，解得；13ka=-⎧⎨=⎩，∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3；当点C在直线x＝1左侧时，如图3﹣2所示：CG＝3，则C（﹣2，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝k′x+b，则212k bk b=+⎧⎨-=-+''⎩，解得：k1 b1=⎧⎨='⎩，∴直线AC的表达式为：y＝x+1，综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）∵点M的坐标为（m，2），∴点M在直线y＝2上，∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），∴OD＝OE＝12DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，∴OF OD分两种情况：如图4所示：①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣2）或（2，2）；∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（22）或（﹣，2）；∴m的取值范围为2m≤3或﹣1≤m≤﹣综上所述，m 的取值范围为﹣3≤m ≤﹣2+3或2﹣3≤m ≤3．【点睛】此题主要考查图形与坐标综合，解题的关键是熟知正方形的性质、一次函数的图像与性质及新定义的应用．6．（1）①()3,1；②B ；（2）3s =；（3）59k ≤≤． 【解析】【分析】（1）利用限变点的定义直接解答即可；（2）先利用逆推原理求出限变点(2,1)A -、(2,1)B 对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到2y =，满足解析式的就是答案；（3）先OC OD ，的关系式，再求出点P 的限变点Q 满足的关系式，然后根据图象求出m n ，的值，从而求出s 即可；（4）先求出线段EF 的关系式，再求出点P 的限变点Q 所满足的关系式，根据图像求解即可．【详解】解：（1）①∵2a =， ∴11b b ==-='，∴坐标为：)，故答案为：)； ②∵对于限变点来说，横坐标保持不变，∴限变点(2,1)A -对应的原来点的坐标为：()2,1-或()21--，， 限变点(2,1)B 对应的原来点的坐标为：()2,2，∵()2,2满足2y =，∴这个点是B ，故答案为：B ；（2）∵点C 的坐标为(2,2)--，∴OC 的关系式为：()0y x x =≤，∵点D 的坐标为(2,2)-，∴OD 的关系式为：()0y x x =-≥，∴点P 满足的关系式为：()()00x x y x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩， ∴点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式为：当2x ≥时：1b x '=--，当02x <<时：b x x '=-=，当0x ≤时，b x x '==-，图像如下：通过图象可以得出：当2x ≥时，3b '≤-，∴3n =-，当2x <时，0b '≥，∴0m =，∴()033s m n =-=--=；（3）设线段EF 的关系式为：()022y ax c a x k k =+≠-≤≤>-，，， 把(2,5)E --，(,3)F k k -代入得：253a c ka c k -+=-⎧⎨+=-⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩， ∴线段EF 的关系式为()322y x x k k =--≤≤>-，， ∴线段EF 上的点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式4(2)|3|3(22)x xb x x x -⎧'=⎨-=--<⎩， 图象如下：当x ＝2时，b ′取最小值，b '＝2﹣4＝﹣2，当b '＝5时，x ﹣4＝5或﹣x +3＝5，解得：x ＝9或x ＝﹣2，当b ′＝1时，x ﹣4＝1，解得：x ＝5，∵ 25b '-≤≤，∴由图象可知，k 的取值范围时：59k ≤≤．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握一次函数的图象与性质以及最值的求解，此题有一定的难度．7．（1）①详见解析；②12α；（2）详见解析；（3）当B 、O 、F 三点共线时BF 最长，(10+2)a【解析】【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ，可求∠BDC 的度数；（2）连接CE ，由题意可证△ABC ，△DCE 是等边三角形，可得AC=BC ，∠DCE=60°=∠ACB ，CD=CE ，根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ；（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三角形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求10BO a =，2OF OC a ==，即可求得BF【详解】（1）①连接AD ，如图1．∵点C 与点D 关于直线l 对称，∴AC = AD ．∵AB = AC ，∴AB = AC = AD ．∴点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．②∵AD=AB=AC ，∴∠ADB=∠ABD ，∠ADC=∠ACD ，∵∠BAM=∠ADB+∠ABD ，∠MAC=∠ADC+∠ACD ，∴∠BAM=2∠ADB ，∠MAC=2∠ADC ，∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=12α 故答案为：12α．（2连接CE，如图2．∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∵∠BDC=1α，2∴∠BDC=30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE=60°，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE=CE，且∠CDE=60°∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴BD=AE，（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，，F是以AC为直径的圆上一点，设AC中点为O，∵在△BOF中，BO+OF≥BF，当B、O、F三点共线时BF最长；如图，过点O作OH⊥BC，∵∠BAC=90°，2a，∴24BC AC a==，∠ACB=45°，且OH⊥BC，∴∠COH=∠HCO=45°，∴OH=HC，∴OC=，∵点O是AC中点，ACa，∴OC=，==，∴OH HC a∴BH=3a，∴BO=，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴∠AFC=90°，∵点O是AC中点，∴OF OC==，∴BF a=，∴当B、O、F三点共线时BF最长；最大值为)a．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．8．（1）HL；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．【详解】（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL．（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH，其中G、H为垂足．∵∠ABC、∠DEF都是钝角∴G、H分别在AB、DE的延长线上．∵CG⊥AG，FH⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH．在△BCG和△EFH中，∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△BCG≌△EFH．∴CG＝FH．又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．（3）如图②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．9．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7【解析】【分析】（1）由DE∥BC，得到DB ECAB AC，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴DB ECAB AC=，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中AD AEDAB EACAB AC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中AD AEDAB EACAB AC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB和△EAC中AD AEDAB EACAB AC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE都是等腰直角三角形，AM为△ADE中DE边上的高，∴AM=EM=MD，∴AM+BD=CM；故答案为：90°，AM+BD=CM；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，△ADE与△ADC面积的和达到最大，∴△ADC面积最大，∵在旋转的过程中，AC始终保持不变，∴要△ADC面积最大，∴点D到AC的距离最大，∴DA⊥AC，∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7，故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．10．90︒，45︒；20︒，30︒；2aγβ+=，2aγβ-=.【解析】【分析】（1）①如图①知1112EMC BMC∠=∠，1112C MF C MC∠=∠得()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解：（1）①如图①中，1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=， 故答案为90︒. ②如图②中，111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=， 故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知， 11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；②如图④中根据折叠可知，11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=，112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=，()1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=，()112906090AMC ︒︒︒∴-+∠=， 1130A MC ︒∴∠=；（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，2a γβ∴+=；如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.11．（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF ＝∠1+∠BAF ＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC ≌△ADB ，即可推出∠BFC ＝∠ADB ＝90°；（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK ．只要证明△ABK ≌CAF ，可得S △ABK ＝S △AFC ，再证明AF ＝FK ＝BK ，可得S △ABK ＝S △AFK ，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝60°∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∵AD ⊥BN ，∴∠ADB ＝90°，∵∠MBN ＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴ABFAFCS2S∆∆=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．12．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝22+4．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴2223)x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.。

解答题压轴题选讲1、已知，如图，一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．（1）求一次函数的表达式；（2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交y轴于点Q．①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围．2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时：①求直线AB相应的函数表达式；②当S△QOA=4时，求点P的坐标；（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．4．由小学的知识可知：长方形的对边相等，四个角都是直角．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=9，在它的边上取两个点E、F，使得△AEF是一个腰长为5的等腰三角形，画出△AEF，并直接写出△AEF的底边长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，并在图中相应的位置标出底边的长，如果图形不够用，请自己画出）．5．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG 和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．6．（1）问题背景：如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是__________；（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E、F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．7．如图①，A，D分别在x轴，y轴上，AB∥y轴，DC∥x轴．点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周，若顺次连接P，O，D三点所围成的三角形的面积为S，点P运动的时间为t秒，已知S与t之间的函数关系如图②中折线O′EFGHM所示．（1）点B的坐标为；点C的坐标为；（2）若直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分，求PD的解析式．8．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），（1）点A的坐标是，n= ，k= ，b= ；（2）x取何值时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值；（3）求四边形AOCD的面积；（4）是否存在y轴上的点P，使得以点P，B，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地．小陆因为有事，在A地停留0.5小时后出发，1小时后他们相遇，两人约定，谁先到B地就在原地等待．他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示．（1）说明图中线段MN所表示的实际意义；（2）求出小李和小陆在途中相遇时他们离出发地的距离；（3）若小陆到达B地后，立即按原速沿原路返回A地，还需要多少时间才能再次与小李相遇？（4）小李出发多少小时后，两人相距1km？（直接写出答案）10．如图，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足a2+b2﹣12a﹣12b+72=0，OC：OA=1：3．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为x E、x F，当BD平分△BEF的面积时，求x E+x F的值；（3）如图2，若M（2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在BM上取点G，使HG=HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否发生改变？若不变，请求其值，若改变，请说明理由．11．2014年白天鹅大酒店按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费3400元．从2015年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨，若该企业2015年处理的这两种垃圾数量与2014年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费5100元．（1）该酒店2014年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？（2）该企业计划2015年将上述两种垃圾处理总量减少到160吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2015年该酒店最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？12．一辆快车和一辆慢车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，快车到达B地后，原路原速返回A地．图1表示两车行驶过程中离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．（1）直接写出快慢两车的速度及A、B两地距离；（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇；（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．13．甲、乙两车从A地驶向B地，甲车比乙车早行驶2h，并且在途中休息了0.5h，休息前后速度相同，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中a的值；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数表达式，并写出相应的x的取值范围；（3）当甲车行驶多长时间时，两车恰好相距40km．答案与解析1．已知，如图，一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．（1）求一次函数的表达式；（2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交y轴于点Q．①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围．考点：一次函数综合题．分析：（1））由∠AOB=90°，∠OAB=45°，可得∠OBA=∠OAB=45°，即OA=OB，由A（3，0），可得B（0，3），代入y=kx+b可得出k，b的值，即可得出一次函数的表达式；（2）①过点C作x轴的垂线，垂足为D，易证△BOP≌△PDC，进而得出点P，C，的坐标，所点A，C的坐标代入y=k1x+b1求解即可．②由△BOP≌△PDC，可得PD=BO，CD=PO，由线段关系进而得出OA=OB，得出AD=CD，由角的关系可得△AOQ是等腰直角三角形，可得出OQ=OA，即可得出点Q的坐标．解答：解：（1）∵∠AOB=90°，∠OAB=45°∴∠OBA=∠OAB=45°，∴OA=OB，∵A（3，0），∴B（0，3），∴，解得k=﹣1．∴y=﹣x+3，（2）①如图，过点C作x轴的垂线，垂足为D，∵∠BPO+∠CPD=∠PCD+∠CPD=90°，∴∠BPO=∠PCD，在△B OP和△PDC中，，∴△BOP≌△PDC（AAS）．∴PD=BO=3，CD=PO，∵P（4，0），∴CD=PO=4，则OD=3+4=7，∴点C（7，4），设直线AC的函数关系式为y=k1x+b1，则，解得．∴直线AC的函数关系式为y=x﹣3；②点Q的位置不发生变化．由①知△BOP≌△PDC，当点P在x轴正半轴运动时，仍有△BOP≌△PDC，∴PD=BO，CD=PO，∴PO+PD=CD+OB，即OA+AD=OB+CD，又∵OA=OB，∴AD=CD，∴∠CAD=45°，∴∠CAD=∠QAO=45°，∴OQ=OA=3，即点Q的坐标为（0，﹣3）．点评：本题主要考查了一次函数的综合题，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是得出△BOP≌△PDC．2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB 上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时：①求直线AB相应的函数表达式；②当S△QOA=4时，求点P的坐标；（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）①利用待定系数法求解即可，②由①知点P坐标为（a，﹣a+3），可求出点Q坐标，再利用S△QOA=×|OA|×|﹣a+3|求出a的值，即可得出点P的坐标．（2）分两种情况①当∠QAC=90°且AQ=AC时，QA∥y轴，②，当∠AQC=90°且QA=QC时，过点Q作QH⊥x轴于点H，分别求解即可．解答：解：（1）①设直线AB的函数表达式为：y=kx+b（k≠0），将A（2，0），B（0，3）代入得，解得，所以直线AB的函数表达式为y=﹣x+3，②由①知点P坐标为（a，﹣a+3），∴点Q坐标为（﹣a，﹣a+3），∴S△QOA=×|OA|×|﹣a+3|=×2×|﹣a+3|=|﹣a+3|=﹣a+3=4．解得a=﹣，∴P点的坐标为（﹣，4），（2）设P点的坐标为（a，n），（a＜0，n＞0），则点C，Q的坐标分别为C（a，0），Q（﹣a，n），①如图1，当∠QAC=90°且AQ=AC时，QA∥y轴，∴﹣a=2，∴a=﹣2，∴AC=4，从而AQ=AC=4，即|n|=4，由n＞0得n=4，∴P点坐标为（﹣2，4）．设直线AB的函数表达式为y=cx+b（c≠0），将P（﹣2，4），A（2，0）代入得，解得，∴a=﹣2，b=2．②如图2，当∠AQC=90°且QA=QC时，过点Q作QH⊥x轴于点H，∴QH=CH=AH=AC，由Q（﹣a，n）知H（﹣a，0）．Q的横坐标﹣a=，解得a=﹣，Q的纵坐标QH==∴Q（，）∴P（﹣，），由P（﹣，），点A坐标为（2，0），可得直线AP的解析式为y=﹣x+1，∴b=1，∴a=﹣，b=1，综上所述当△QAC是等腰直角三角形时，a=﹣2，b=2或a=﹣，b=1．点评：本题主要考查了一次函数综合题，涉及一次函数解析式，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合，分类讨论．3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质．专题：压轴题．分析：（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠AB D=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可．解答：（1）解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．4．由小学的知识可知：长方形的对边相等，四个角都是直角．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=9，在它的边上取两个点E、F，使得△AEF是一个腰长为5的等腰三角形，画出△AEF，并直接写出△AEF的底边长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，并在图中相应的位置标出底边的长，如果图形不够用，请自己画出）．考点：矩形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．分析：分点A是顶角顶点和底角顶点两种情况作出图形，然后过点E作EG⊥AD于G，利用勾股定理列式求出AG：①点A是顶角顶点时，求出GF，再利用勾股定理列式计算即可得解；②点A是底角顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得AF=2AG．解答：解：如图，过点E作EG⊥AD于G，由勾股定理得，AG==3，①点A是顶角顶点时，GF=AF﹣AG=5﹣3=2，由勾股定理得，底边EF==2，②点A是底角顶点时，底边AF=2AG=2×3=6，综上所述，底边长为2或6．点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．5．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG 和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是BG=AE ；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．分析：（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；②由①可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．解答：解：（1）BG=AE．理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵四边形DEFG是正方形，∴DE=DG．在△BDG和△ADE中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG=AE．故答案为：BG=AE；（2）①成立BG=AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD=BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB=90°．∵四边形EFGD为正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°，∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG=AE；②∵BG=AE，∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG=AE．∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．∴AE=6．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF==，∴AF=2．点评：本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．6．（1）问题背景：如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E、F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．考点：四边形综合题．分析：（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证．解答：解：（1）EF=BE+DF，证明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为 EF=BE+DF．（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图②，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=2×（60+80）=280海里．答：此时两舰艇之间的距离是280海里．点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．7．如图①，A，D分别在x轴，y轴上，AB∥y轴，DC∥x轴．点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周，若顺次连接P，O，D三点所围成的三角形的面积为S，点P运动的时间为t秒，已知S与t之间的函数关系如图②中折线O′EFGHM所示．（1）点B的坐标为（8，2）；点C的坐标为（5，6）；（2）若直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分，求PD的解析式．考点：一次函数综合题．分析：（1）由于点P从点D出发，根据图②中S与t的图象可知，点P按顺时针方向沿五边形OABCD的边作匀速运动，又运动速度为1个单位长度/秒，所以DC=5，BC=5，AB=2，AO=8，OD=6，由此得到点C的坐标；过点B作BP ⊥OD于P，过点C作CQ⊥BP于Q，根据矩形的性质、勾股定理求出点B的坐标；（2）先求出五边形OABCD的周长为26，根据直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分，确定点P的位置有两种可能的情况：①在AB的中点；②在OA上，并且距离点A3个单位长度．再分别表示出点P的坐标，然后运用待定系数法求出PD的解析式．解答：解：（1）由题意，可知点P的运动路线是：D→C→B→A→O→D，DC=5，BC=10﹣5=5，AB=12﹣10=2，AO=20﹣12=8，OD=26﹣20=6，所以点C的坐标为（5，6）；如图①，过点B作BP⊥OD于P，过点C作CQ⊥BP于Q，则四边形DCQP、ABPO均为矩形，PQ=DC=5，CQ=DP=OD﹣AB=6﹣2=4，在Rt△BCQ中，∵∠BQC=90°，∴BQ===3，∴BP=BQ+PQ=3+5=8，∴点B的坐标为（8，2）；（2）设PD的解析式为y=kx+b．∵五边形OABCD的周长为：5+5+2+8+6=26，∴直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分时，点P的位置有两种可能的情况：①如果点P在AB的中点，那么DC+CB+BP=5+5+1=11，PA+AO+OD=1+8+6=15，点P的坐标为（8，1）．∵P（8，1），D（0，6），∴，解得，∴PD的解析式为y=﹣x+6；②如果点P在OA上，并且距离点A3个单位长度，那么DC+CB+BA+AP=5+5+2+3=15，PO+OD=8﹣3+6=11，点P的坐标为（5，0）．∵P（5，0），D（0，6），∴，解得，∴PD的解析式为y=﹣x+6．综上所述，PD的解析式为y=﹣x+6或y=﹣x+6．故答案为（8，2），（5，6）．8．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），（1）点A的坐标是（0，1），n= 2 ，k= 3 ，b= ﹣1 ；（2）x取何值时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值；（3）求四边形AOCD的面积；（4）是否存在y轴上的点P，使得以点P，B，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）由函数y=x+1的图象与y轴交于点A，可求点A的坐标，由y=x+1的图象过点D，且点D的坐标为（1，n），可得D的坐标，由一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1）与D（1，2），即可求出k，b的值．（2）根据图象即可得出答案；（3）先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S四边形AOCD=S△AOD+S△COD即可求解；（4）分三种情况讨论：①当DP=DB时，②当BP=DB时，③当PB=PD时分别求解．解答：解：（1）∵函数y=x+1的图象与y轴交于点A，∴令x=0时，y=0+1，解得y=1，∴A（0，1），∵y=x+1的图象过点D，且点D的坐标为（1，n），∴n=1+1=2，∴D（1，2），∵一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1）与D（1，2），∴解得，∴一次函数的表达式为y=3x﹣1故答案为：（0，1），2，3，﹣1．（2）由一次函数图象可得当x＞1时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值；（3）∵D（1，2），∴直线BD的解析式为y=3x﹣1，∴A（0，1），C（，0）∴S四边形AOCD=S△AOD+S△COD=×1×1+××2=（4）①当DP=DB时，设P（0，y），∵B（0，﹣1），D（1，2），∴DP2=12+（y﹣2）2=DB2=12+（2+1）2，∴P（0，5）；②当BP=DB时，DB=，∴P（0，﹣1﹣）或P（0，﹣1）；③当PB=PD时，设P（0，a），则（a+1）2=1+（2﹣a）2，解得a=，∴P（0，）．综上所述点P的坐标为（0，5），（0，﹣1﹣），P（0，﹣1）或（0，）．点评：本题考查了一次函数综合知识，难度适中，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用．9．小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地．小陆因为有事，在A地停留0.5小时后出发，1小时后他们相遇，两人约定，谁先到B地就在原地等待．他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示．（1）说明图中线段MN所表示的实际意义；（2）求出小李和小陆在途中相遇时他们离出发地的距离；（3）若小陆到达B地后，立即按原速沿原路返回A地，还需要多少时间才能再次与小李相遇？（4）小李出发多少小时后，两人相距1km？（直接写出答案）考点：一次函数的应用．分析：（1）通过观察图象可得到线段MN所表示的实际意义；（2）根据速度一定，路程与时间成正比即可求解；（3）求得2h后小李和小陆的距离，以及他们两人的速度，再根据路程和÷速度和=时间，列式计算即可求解；（4）分四种情况：第一种：小李出发而小陆未出发；第二种：小李停留时小陆出发；第三种：两人相遇之后且小陆未到达B地，；第四种：小陆到达B地而小李未到达；讨论即可求解．解答：解：（1）线段MN说明小李在行驶过程中停留0.5小时．（2）20÷（1.5÷0.5）=km．（3）（20﹣）÷（1.5÷1）=÷1.5=km， 20﹣﹣=km，÷[÷0.5+（20﹣）÷1.5]=÷[+]=÷=0.2小时．故还需要0.2小时时间才能再次与小李相遇．（4）第一种：小李出发而小陆未出发，小时后，两人相距1km；第二种：小李停留时小陆出发，小时后，两人相距1km；第三种：两人相遇之后且小陆未到达B地，小时后，两人相距1km；第四种：小陆到达B地而小李未到达，小时后，两人相距1km．点评：本题考查了一次函数的运用，学会看函数图象，理解函数图象所反映的实际意义，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．10．如图，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足a2+b2﹣12a﹣12b+72=0，OC：OA=1：3．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为x E、x F，当BD平分△BEF的面积时，求x E+x F的值；（3）如图2，若M（2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在BM上取点G，使HG=HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否发生改变？若不变，请求其值，若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）配方利用非负数的性质可求得a和b，可求得A、B坐标，再由条件可求得OC的长，可求得C的坐标；（2）过F、E分别向x轴引垂线，垂足分别为M、N，可证明△FMD≌△END，可得MD=ND，可求得x E+x F的值；（3）连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，证明△CMT≌△MAH，可证明△CGT是等腰直角三角形，可求得∠CGM=45°．解答：解：（1）∵a2+b2﹣12a﹣12b+72=0，∴（a﹣6）2+（b﹣6）2=0，∴a=b=6，∴A（6，0），B（0，6），∴OA=6，且OC：OA=1：3，∴OC=2，∴C（﹣2，0）；（2）如图2，过F、E分别向x轴引垂线，垂足分别为M、N，∵当BD平分△BEF的面积，∴D为EF中点，∴DF=DE，在△FMD和△END中∴△FMD≌△END（AAS），∴MD=ND，即1﹣x F=x E﹣1，∴x E+x F=2；（3）不改变，理由如下：如图3，连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，过M作MS⊥x轴于点S，∵M（2，4），C（﹣2，0），A（6，0），∴S（2，0），∴MS垂直平分AC，∴MC=MA，且MS=SC，∴∠CMA=90°，∴∠CMT+∠AMH=∠TCM+∠CMT=90°，∴∠TCM=∠AMH，在△CMT和△MAH中∴△CMT≌△MAH（AAS），∴TM=AH，CT=MH，又AH=HG，∴MT=GH，∴GT=GM+MT=MG+GH=MH=CT，∴△CGT是等腰直角三角形，∴∠CGM=45°，即当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数不改变．点评：本题主要考查一次函数的综合应用，主要知识点有点的坐标、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形中线的性质、垂直平分线的性质等．在（1）中配方得到非负数的和为0是解题的关键；在（2）中确定出D为EF的中点是解题的关键，构造全等三角形可找到点E、F横坐标的关系；在（3）中构造三角形全等，证得△CGT为等腰直角三角形是解题的关键．本题知识点较多，综合性较强，难度较大．11．2014年白天鹅大酒店按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费3400元．从2015年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨，若该企业2015年处理的这两种垃圾数量与2014年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费5100元．（1）该酒店2014年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？（2）该企业计划2015年将上述两种垃圾处理总量减少到160吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2015年该酒店最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设该酒店2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）设该酒店2015年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共w元，先求出x的取值范围，在求出w与x的关系式由一次函数的性质就可以得出结论．解答：解：（1）设该酒店2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意，得，解得答：该酒店2014年处理的餐厨垃圾40吨，建筑垃圾150吨；（2）设该酒店2015年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共w元，根据题意得，，解得x≥40．w=100x+30（160﹣x）=70x+4800，∴k=70＞0，∴w的值随x的增大而增大，∴当x=40时，w值最小，最小值=70×40+4800=7600（元）．答：2015年该酒店最少需要支付这两种垃圾处理费共7600元．点评：本题考查了一次函数的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，一元一次不等式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．12．一辆快车和一辆慢车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，快车到达B地后，原路原速返回A地．图1表示两车行驶过程中离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．（1）直接写出快慢两车的速度及A、B两地距离；（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇；（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．考点：一次函数的应用．分析：（1）由速度=路程÷时间就可以得出结论，由函数图象的数据意义直接可以得出A、B两地之间的距离；（2）设OA的解析式为y=kx，AB的解析式为y1=k1x+b1，CD的解析式为y2=k2x+b2，由一次函数与二元一次方程组的关系就可以求出结论；（3）先求出两车相遇的时间，找到关键点的坐标就可以画出图象．解答：解：（1）由题意，得，A、B两地距离之间的距离为2250km，快车的速度为：2250÷10=225km/h，慢车的速度为：2250÷30=75km/h；（2）设OA的解析式为y=kx，AB的解析式为y1=k1x+b1，CD的解析式为y2=k2x+b2，由题意，得2250=10k，，，解得：k=225，，，∴y=225x，y1=﹣225x+4500，y2=﹣75x+2250当225x=﹣75x+2250时，x=7.5．当﹣225x+4500=﹣75x+2250时，解得：x=15．答：慢车出发7.5小时或15小时时，两车相遇；（3）由题意，得7.5小时时两车相遇，10时时，两车相距2.5（225+75）=750km，15时时两车相遇，20时时两车相距750km，由这些关键点画出图象即可．点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，作函数图象的运用，解答时求出函数的解析式是关键．。

苏教版八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷（Word 版 含解析）一、压轴题1．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数，例如：8的内数是5；7的内数是4．（1）1的内数是______，20的內数是______，6的內数是______；（2）若3是x 的內数，求x 的取值范围；（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，9n =，如图2②，③；……①用n 表示t 的內数；②当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）2．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足a 6b 80-+-=．（1）a = ；b = ；直角三角形AOC 的面积为 ．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发以每秒2个单位长度的速度向点O 匀速移动，Q 点从O 点出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC =∠D CO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOD ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．3．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．4．如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t （s ）．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t ＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．5．如图，在△ABC 中，AB =AC =18cm ，BC =10cm ，AD =2BD ．（1）如果点P 在线段BC 上以2cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？6．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式；（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．AB=，7．如图，已知四边形ABCO是矩形，点A，C分别在y轴，x轴上，4BC=．3（1）求直线AC的解析式；（2）作直线AC关于x轴的对称直线，交y轴于点D，求直线CD的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；（3）若点P 是直线CD 上的一个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标．8．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF9．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．10．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.11．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)．（1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP 全等？（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？12．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．（1）求OAB ∠的度数；（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）2，7，4；（2）83x ≥；（3）①t 的内数n =有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．【解析】【分析】（1）根据内数的定义即可求解；（2）根据内数的定义可列不等式2331x ≤+，求解即可；（3）①分析可得当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =……归纳可得结论；②分析可得当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，即可求解．【详解】解：（1）22311=⨯+，所以1的内数是2；232017⨯+>，所以20的内数是7；23614⨯+>，所以6的内数是4；（2）∵3是x 的內数，∴2331x ≤+， 解得83x ≥； （3）①当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =，……∴t 的内数=②当t 的内数为2时，最大实心正方形有1个；当t 的内数为3时，最大实心正方形有2个，当t 的内数为4时，最大实心正方形有1个，……即当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；∴当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个，由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，∴此时最大实心正方形的边长为8，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．【点睛】本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．2．（1）6；8；24；（2）存在 2.4t =时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC ，见解析【解析】【分析】（1）利用非负性即可求出a ，b 即可得出结论,即可求出△ABC 的面积；（2）先表示出OQ ，OP ，利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出∠OAC=∠AOD ，进而判断出OG ∥AC ，即可判断出∠FHC=∠ACE ，同理∠FHO=∠GOD ，即可得出结论．【详解】解：(1) 解：（1）∵a 6b 80-+-=， ∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A （0，6），C （8，0）；∴S △ABC=6×8÷2=24,故答案为（0，6），（8，0）； 6；8；24(2) ∵114222ODQ D S OQ x t t ∆=⋅=⋅⋅= 11(82)312322ODP D S OP y t t ∆=⋅=⋅-⋅=- 由2123t t =-时, 2.4t =∴存在 2.4t =时,使得△ODP 与△ODQ 的面积相等(3) ）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由如下：∵x 轴⊥y 轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y 轴平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG ∥AC ，如图，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，∴HF ∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD ，∵OG ∥FH ，∴∠GOD=∠FHO ，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC ，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC ．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC ．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．3．（1）5y x =+；（2）3）PB 的长为定值52 【解析】【分析】（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证BFP GEP ∆≅∆，可确定BP 的定值即可．【详解】（1）对于直线:5L y mx m =+．当0y =时，5x =-．当0x =时，5y m =．()5,0A ∴-，()0,5B m ．OA OB =．55m ∴=．解得1m =．∴直线L 的解析式为5y x =+．（2）5OA =，AM =∴由勾股定理，OM ==．180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒．90AOB ∠=︒．90AOM BON ∴∠+∠=︒．90AOM OAM ∠+∠=︒．BON OAM ∴∠=∠．在AMO ∆与OBN ∆中，90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩．()AMO OBN AAS ∴∆≅∆．BN OM ∴==．．（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．AEB ∆为等腰直角三角形，AB EB ∴=90ABO EBG ∠+∠=︒．EG BG ⊥，90GEB EBG ∴∠+∠=︒．ABO GEB ∴∠=∠．AOB EBG ∴∆≅∆．5BG AO ∴==，OB EG = OBF ∆为等腰直角三角形，OB BF ∴=BF EG ∴=．BFP GEP ∴∆≅∆．1522BP GP BG ∴===． 【点睛】本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，构造 AOB EBG ∆≅∆，求BG ，再证BFP GEP ∆≅∆．4．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP 和△BPQ 全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP 和△BPQ 中，{AP BQA B AC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，34t t xt =-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩; ②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，34xt t t =⎧⎨=-⎩解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.5．（1）①△BPD 与△CQP 全等，理由见解析；②当点Q 的运动速度为125cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等；（2）经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．【解析】【分析】（1）①由“SAS”可证△BPD ≌△CQP ；②由全等三角形的性质可得BP=PC=12BC=5cm ，BD=CQ=6cm ，可求解； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇，列出方程可求解．【详解】解：（1）①△BPD 与△CQP 全等，理由如下：∵AB =AC =18cm ，AD =2BD ，∴AD =12cm ，BD =6cm ，∠B =∠C ，∵经过2s 后，BP =4cm ，CQ =4cm ，∴BP =CQ ，CP =6cm =BD ，在△BPD 和△CQP 中，BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP ≠CQ ，∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ，∴BP =PC =12BC =5cm ，BD =CQ =6cm ， ∴t =52， ∴点Q 的运动速度=612552=cm /s ，∴当点Q 的运动速度为125cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇， 由题意可得：125x ﹣2x =36， 解得：x =90， 点P 沿△ABC 跑一圈需要181810232++=（s ） ∴90﹣23×3=21（s ），∴经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定是本题的关键．6．（1）56°；（2）y=454x +；（3）36°或1807°. 【解析】【分析】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD ；（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果；（3）分①若EP=EC ，②若PC=PE ，③若CP=CE ，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及y=454x +解出x 即可. 【详解】 解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°，∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°，∵CD ⊥AB ，∴∠BDC=90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=34°，∴∠BPD =90-34=56°；（2）∵∠A =x °，∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902x -）°， 由（1）可得：∠ABP=12∠ABC=（454x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -）°=（454x +）°， 即y 与 x 的关系式为y=454x +； （3）①若EP=EC ，则∠ECP=∠EPC=y ，而∠ABC=∠ACB=902x -，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454x +， ∴902x -+902x --（454x +）=90°， 解得：x=36°；②若PC=PE ，则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902y -， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+[902x --（902y -）]=90，又y=454x +， 解得：x=1807°； ③若CP=CE ，则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ，由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+902x --（180-2y ）=90，又y=454x +， 解得：x=0，不符合， 综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或1807°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.7．（1）y =34-x +3；（2）y =34x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】【分析】（1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标．【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3，故A (0，3)，C (4，0)，设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：340b k b =⎧⎨+=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以直线AC 的解析式为：y =34-x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)，设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)，点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：-340n m n =⎧⎨+=⎩解得：343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以直线CD 的解析式为：y =34x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．（3）点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值，由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边），此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：34x -3=3， x =8，故P 点坐标为(8，3)，||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4．【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．8．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD ≌△CBE ，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE ；（2）先证明△BCD ≌△ABE ，得到∠BCD=∠ABE ，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC ，∠CQE=180°-∠DQB ，即可解答； （3）如图3，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE ；进而证明△DGF 和△ECF 全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD 和BE 始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG为等边三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF和△ECF中，∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．9．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=12 CE，∵BD=CE，∴CF=OF=12 BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．10．（1）5；（2）221；（3）221 【解析】【分析】（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA ，在△ABM 和△CAN 中， ===AMB CNA MAB NCA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABM ≌△CAN （AAS ），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22251=+；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°， ∴∠MAB+∠NAC=60°， ∵∠ABM+∠MAB=60°， ∴∠ABM=∠NAC ，在△AMB 和△CNA 中， ===AMB CNA ABM NAC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△AMB ≌△CNA （AAS ）， ∴CN=AM ，∵∠AMB=∠ANC=120°， ∴∠PMB=∠QNC=60°， ∴PM=12BM ，NQ=12NC ， ∵PB=1，CQ=2，设PM=a ，NQ=b ，∴2221=4a a +，2222=4b b +， 解得：3=a ，23=b ， ∴CN=AM=222323⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=43， ∴AB=22AP BP +=()22AM PM BP ++=221；（3）如图，在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°， 过B 作l 3的垂线，交于点P ，过A 作l 3的垂线，交于点Q ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠ACB=60°， ∴∠BCN+∠ACM=120°， ∵∠BCN+∠NBC=120°， ∴∠NBC=∠ACM ，在△BCN 和△CAM 中，BNC CMA NBC MAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCN ≌△CAM （AAS ），∴CN=AM ，BN=CM ，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP ，在△BPN 中，222BP NP BN +=，即22224NP NP +=，解得：NP=233， ∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM ，在△AQM 中，222AQ QM AM +=，即22234QM QM +=，解得：QM=3，∴AM=23=CN ，∴PC=CN-NP=AM-NP=43， 在△BPC 中，BP 2+CP 2=BC 2，即BC=22224322123BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=221.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.11．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇【解析】【分析】（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．【详解】（1）由题意知，BP=2t ，则PC=BC-BP=6-2t ，故答案为：6-2t ；（2）全等，理由如下：∵p Q V V =，t=1，∴BP=2=CQ ，∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，∴BD=4（cm ），又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ），在BPD △和CQP 中 BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BPD △≌CQP （SAS ）故答案为：全等．（3）∵p Q V V ≠，∴BP CQ ≠，又∵BPD △≌CPQ ，∠B=∠C ，∴BP=PC=3cm ，CQ=BD=4cm ，∴点,P Q 运动时间322BP t ==（s ）， ∴48332Q CQ V t===（cm/s ）， 故答案为：83；（4）设经过t 秒时，P 、Q 第一次相遇，∵2/p V cm s =，8/3Q V cm s =， ∴2t+8+8=83t ，解得：t=24此时点Q 走了824643⨯=（cm ），∵ABC 的周长为：8+8+6=22（cm ），∴6422220÷=，∴20-8-8=4（cm ），经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇，故答案为：24s ，在 BC 边上相遇．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．12．（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(8-，0)．【解析】【分析】（1）根据A ，(0,B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；（3）证明△POB ≌△DPA ，得到PA=OB=，DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．【详解】（1）A ，(0,B ，∴OA=OB=∵∠AOB=90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE 的值不变，理由如下：∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，∵PO=PD ，∴∠POD=∠PDO ，∵D 是线段OA 上一点，∴点P 在线段BC 上，∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，∴∠POC=∠DPE ，在△POC 和△DPE 中，90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△POC ≅△DPE(AAS)，∴OC=PE ，∵OC=12AB=12××=4， ∴PE=4；（3）∵OP=PD ， ∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP ，在△POB 和△DPA 中，OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△POB ≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=DA=PB ，∴DA=PB=-，∴OD=OA−DA=8-，∴点D 的坐标为(8，0)．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．。

解答题压轴题选讲1、已知，如图，一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．（1）求一次函数的表达式；（2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交y轴于点Q．①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围．2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），点P 是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时：①求直线AB相应的函数表达式；②当S△QOA=4时，求点P的坐标；（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．4．由小学的知识可知：长方形的对边相等，四个角都是直角．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=9，在它的边上取两个点E、F，使得△AEF是一个腰长为5的等腰三角形，画出△AEF，并直接写出△AEF的底边长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，并在图中相应的位置标出底边的长，如果图形不够用，请自己画出）．5．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．6．（1）问题背景：如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是__________；（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E、F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．7．如图①，A，D分别在x轴，y轴上，AB∥y轴，DC∥x轴．点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周，若顺次连接P，O，D三点所围成的三角形的面积为S，点P运动的时间为t秒，已知S与t之间的函数关系如图②中折线O′EFGHM所示．（1）点B的坐标为；点C的坐标为；（2）若直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分，求PD的解析式．8．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），（1）点A的坐标是，n= ，k= ，b= ；（2）x取何值时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值；（3）求四边形AOCD的面积；（4）是否存在y轴上的点P，使得以点P，B，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地．小陆因为有事，在A地停留0.5小时后出发，1小时后他们相遇，两人约定，谁先到B地就在原地等待．他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示．（1）说明图中线段MN所表示的实际意义；（2）求出小李和小陆在途中相遇时他们离出发地的距离；（3）若小陆到达B地后，立即按原速沿原路返回A地，还需要多少时间才能再次与小李相遇？（4）小李出发多少小时后，两人相距1km？（直接写出答案）10．如图，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足a2+b2﹣12a﹣12b+72=0，OC：OA=1：3．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为x E、x F，当BD平分△BEF的面积时，求x E+x F的值；（3）如图2，若M（2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在BM上取点G，使HG=HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否发生改变？若不变，请求其值，若改变，请说明理由．11．2014年白天鹅大酒店按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费3400元．从2015年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨，若该企业2015年处理的这两种垃圾数量与2014年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费5100元．（1）该酒店2014年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？（2）该企业计划2015年将上述两种垃圾处理总量减少到160吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2015年该酒店最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？12．一辆快车和一辆慢车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，快车到达B地后，原路原速返回A地．图1表示两车行驶过程中离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．（1）直接写出快慢两车的速度及A、B两地距离；（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇；（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．13．甲、乙两车从A地驶向B地，甲车比乙车早行驶2h，并且在途中休息了0.5h，休息前后速度相同，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中a的值；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数表达式，并写出相应的x的取值范围；（3）当甲车行驶多长时间时，两车恰好相距40km．答案与解析1．已知，如图，一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．（1）求一次函数的表达式；（2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交y轴于点Q．①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围．考点：一次函数综合题．分析：（1））由∠AOB=90°，∠OAB=45°，可得∠OBA=∠OAB=45°，即OA=OB，由A（3，0），可得B（0，3），代入y=kx+b可得出k，b的值，即可得出一次函数的表达式；（2）①过点C作x轴的垂线，垂足为D，易证△BOP≌△PDC，进而得出点P，C，的坐标，所点A，C的坐标代入y=k1x+b1求解即可．②由△BOP≌△PDC，可得PD=BO，CD=PO，由线段关系进而得出OA=OB，得出AD=CD，由角的关系可得△AOQ是等腰直角三角形，可得出OQ=OA，即可得出点Q的坐标．解答：解：（1）∵∠AOB=90°，∠OAB=45°∴∠OBA=∠OAB=45°，∴OA=OB，∵A（3，0），∴B（0，3），∴，解得k=﹣1．∴y=﹣x+3，（2）①如图，过点C作x轴的垂线，垂足为D，∵∠BPO+∠CPD=∠PCD+∠CPD=90°，∴∠BPO=∠PCD，在△B OP和△PDC中，，∴△BOP≌△PDC（AAS）．∴PD=BO=3，CD=PO，∵P（4，0），∴CD=PO=4，则OD=3+4=7，∴点C（7，4），设直线AC的函数关系式为y=k1x+b1，则，解得．∴直线AC的函数关系式为y=x﹣3；②点Q的位置不发生变化．由①知△BOP≌△PDC，当点P在x轴正半轴运动时，仍有△BOP≌△PDC，∴PD=BO，CD=PO，∴PO+PD=CD+OB，即OA+AD=OB+CD，又∵OA=OB，∴AD=CD，∴∠CAD=45°，∴∠CAD=∠QAO=45°，∴OQ=OA=3，即点Q的坐标为（0，﹣3）．点评：本题主要考查了一次函数的综合题，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是得出△BOP≌△PDC．2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时：①求直线AB相应的函数表达式；②当S△QOA=4时，求点P的坐标；（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）①利用待定系数法求解即可，②由①知点P坐标为（a，﹣a+3），可求出点Q坐标，再利用S△QOA=×|OA|×|﹣a+3|求出a的值，即可得出点P的坐标．（2）分两种情况①当∠QAC=90°且AQ=AC时，QA∥y轴，②，当∠AQC=90°且QA=QC时，过点Q作QH⊥x 轴于点H，分别求解即可．解答：解：（1）①设直线AB的函数表达式为：y=kx+b（k≠0），将A（2，0），B（0，3）代入得，解得，所以直线AB的函数表达式为y=﹣x+3，②由①知点P坐标为（a，﹣a+3），∴点Q坐标为（﹣a，﹣a+3），∴S△QOA=×|OA|×|﹣a+3|=×2×|﹣a+3|=|﹣a+3|=﹣a+3=4．解得a=﹣，∴P点的坐标为（﹣，4），（2）设P点的坐标为（a，n），（a＜0，n＞0），则点C，Q的坐标分别为C（a，0），Q（﹣a，n），①如图1，当∠QAC=90°且AQ=AC时，QA∥y轴，∴﹣a=2，∴a=﹣2，∴AC=4，从而AQ=AC=4，即|n|=4，由n＞0得n=4，∴P点坐标为（﹣2，4）．设直线AB的函数表达式为y=cx+b（c≠0），将P（﹣2，4），A（2，0）代入得，解得，∴a=﹣2，b=2．②如图2，当∠AQC=90°且QA=QC时，过点Q作QH⊥x轴于点H，∴QH=CH=AH=AC，由Q（﹣a，n）知H（﹣a，0）．Q的横坐标﹣a=，解得a=﹣，Q的纵坐标QH==∴Q（，）∴P（﹣，），由P（﹣，），点A坐标为（2，0），可得直线AP 的解析式为y=﹣x+1，∴b=1，∴a=﹣，b=1，综上所述当△QAC是等腰直角三角形时，a=﹣2，b=2或a=﹣，b=1．点评：本题主要考查了一次函数综合题，涉及一次函数解析式，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合，分类讨论．3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质．专题：压轴题．分析：（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠AB D=∠EBC=30°﹣α，且△BCD 为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可．解答：（1）解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．4．由小学的知识可知：长方形的对边相等，四个角都是直角．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=9，在它的边上取两个点E、F，使得△AEF是一个腰长为5的等腰三角形，画出△AEF，并直接写出△AEF的底边长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，并在图中相应的位置标出底边的长，如果图形不够用，请自己画出）．考点：矩形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．分析：分点A是顶角顶点和底角顶点两种情况作出图形，然后过点E作EG⊥AD于G，利用勾股定理列式求出AG：①点A是顶角顶点时，求出GF，再利用勾股定理列式计算即可得解；②点A是底角顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得AF=2AG．解答：解：如图，过点E作EG⊥AD于G，由勾股定理得，AG==3，①点A是顶角顶点时，GF=AF﹣AG=5﹣3=2，由勾股定理得，底边EF==2，②点A是底角顶点时，底边AF=2AG=2×3=6，综上所述，底边长为2或6．点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．5．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是BG=AE ；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．分析：（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；②由①可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．解答：解：（1）BG=AE．理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵四边形DEFG是正方形，∴DE=DG．在△BDG和△ADE中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG=AE．故答案为：BG=AE；（2）①成立BG=AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD=BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB=90°．∵四边形EFGD为正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°，∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG=AE；②∵BG=AE，∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG=AE．∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．∴AE=6．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF==，∴AF=2．点评：本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．6．（1）问题背景：如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E、F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．考点：四边形综合题．分析：（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证．解答：解：（1）EF=BE+DF，证明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为 EF=BE+DF．（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图②，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=2×（60+80）=280海里．答：此时两舰艇之间的距离是280海里．点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．7．如图①，A，D分别在x轴，y轴上，AB∥y轴，DC∥x轴．点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周，若顺次连接P，O，D三点所围成的三角形的面积为S，点P运动的时间为t秒，已知S与t之间的函数关系如图②中折线O′EFGHM所示．（1）点B的坐标为（8，2）；点C的坐标为（5，6）；（2）若直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分，求PD的解析式．考点：一次函数综合题．分析：（1）由于点P从点D出发，根据图②中S与t的图象可知，点P按顺时针方向沿五边形OABCD的边作匀速运动，又运动速度为1个单位长度/秒，所以DC=5，BC=5，AB=2，AO=8，OD=6，由此得到点C的坐标；过点B作BP⊥OD于P，过点C作CQ⊥BP于Q，根据矩形的性质、勾股定理求出点B的坐标；（2）先求出五边形OABCD的周长为26，根据直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分，确定点P 的位置有两种可能的情况：①在AB的中点；②在OA上，并且距离点A3个单位长度．再分别表示出点P的坐标，然后运用待定系数法求出PD的解析式．解答：解：（1）由题意，可知点P的运动路线是：D→C→B →A→O→D，DC=5，BC=10﹣5=5，AB=12﹣10=2，AO=20﹣12=8，OD=26﹣20=6，所以点C的坐标为（5，6）；如图①，过点B作BP⊥OD于P，过点C作CQ⊥BP于Q，则四边形DCQP、ABPO均为矩形，PQ=DC=5，CQ=DP=OD ﹣AB=6﹣2=4，在Rt△BCQ中，∵∠BQC=90°，∴BQ===3，∴BP=BQ+PQ=3+5=8，∴点B的坐标为（8，2）；（2）设PD的解析式为y=kx+b．∵五边形OABCD的周长为：5+5+2+8+6=26，∴直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分时，点P的位置有两种可能的情况：①如果点P在AB的中点，那么DC+CB+BP=5+5+1=11，PA+AO+OD=1+8+6=15，点P的坐标为（8，1）．∵P（8，1），D（0，6），∴，解得，∴PD的解析式为y=﹣x+6；②如果点P在OA上，并且距离点A3个单位长度，那么DC+CB+BA+AP=5+5+2+3=15，PO+OD=8﹣3+6=11，点P的坐标为（5，0）．∵P（5，0），D（0，6），∴，解得，∴PD的解析式为y=﹣x+6．综上所述，PD的解析式为y=﹣x+6或y=﹣x+6．故答案为（8，2），（5，6）．8．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），（1）点A的坐标是（0，1），n= 2 ，k= 3 ，b= ﹣1 ；（2）x取何值时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值；（3）求四边形AOCD的面积；（4）是否存在y轴上的点P，使得以点P，B，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）由函数y=x+1的图象与y轴交于点A，可求点A的坐标，由y=x+1的图象过点D，且点D的坐标为（1，n），可得D的坐标，由一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1）与D（1，2），即可求出k，b 的值．（2）根据图象即可得出答案；（3）先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S四边形AOCD=S△AOD+S△COD即可求解；（4）分三种情况讨论：①当DP=DB时，②当BP=DB时，③当PB=PD时分别求解．解答：解：（1）∵函数y=x+1的图象与y轴交于点A，∴令x=0时，y=0+1，解得y=1，∴A（0，1），∵y=x+1的图象过点D，且点D的坐标为（1，n），∴n=1+1=2，∴D（1，2），∵一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1）与D（1，2），∴解得，∴一次函数的表达式为y=3x﹣1故答案为：（0，1），2，3，﹣1．（2）由一次函数图象可得当x＞1时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值；（3）∵D（1，2），∴直线BD的解析式为y=3x﹣1，∴A（0，1），C（，0）∴S四边形AOCD=S△AOD+S△COD=×1×1+××2=（4）①当DP=DB时，设P（0，y），∵B（0，﹣1），D（1，2），∴DP2=12+（y﹣2）2=DB2=12+（2+1）2，∴P （0，5）；②当BP=DB时，DB=，∴P（0，﹣1﹣）或P（0，﹣1）；③当PB=PD时，设P（0，a），则（a+1）2=1+（2﹣a）2，解得a=，∴P（0，）．综上所述点P的坐标为（0，5），（0，﹣1﹣），P（0，﹣1）或（0，）．点评：本题考查了一次函数综合知识，难度适中，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用．9．小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地．小陆因为有事，在A地停留0.5小时后出发，1小时后他们相遇，两人约定，谁先到B地就在原地等待．他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示．（1）说明图中线段MN所表示的实际意义；（2）求出小李和小陆在途中相遇时他们离出发地的距离；（3）若小陆到达B地后，立即按原速沿原路返回A地，还需要多少时间才能再次与小李相遇？（4）小李出发多少小时后，两人相距1km？（直接写出答案）考点：一次函数的应用．分析：（1）通过观察图象可得到线段MN所表示的实际意义；（2）根据速度一定，路程与时间成正比即可求解；（3）求得2h后小李和小陆的距离，以及他们两人的速度，再根据路程和÷速度和=时间，列式计算即可求解；（4）分四种情况：第一种：小李出发而小陆未出发；第二种：小李停留时小陆出发；第三种：两人相遇之后且小陆未到达B地，；第四种：小陆到达B地而小李未到达；讨论即可求解．解答：解：（1）线段MN说明小李在行驶过程中停留0.5小时．（2）20÷÷0.5）=km．（3）（20﹣）÷÷1）=÷1.5=km， 20﹣﹣=km，÷[÷0.5+（20﹣）÷1.5]=÷[+]=÷=0.2小时．故还需要0.2小时时间才能再次与小李相遇．（4）第一种：小李出发而小陆未出发，小时后，两人相距1km；第二种：小李停留时小陆出发，小时后，两人相距1km；第三种：两人相遇之后且小陆未到达B地，小时后，两人相距1km；第四种：小陆到达B地而小李未到达，小时后，两人相距1km．点评：本题考查了一次函数的运用，学会看函数图象，理解函数图象所反映的实际意义，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．10．如图，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足a2+b2﹣12a﹣12b+72=0，OC：OA=1：3．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为x E、x F，当BD平分△BEF的面积时，求x E+x F的值；（3）如图2，若M（2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在BM上取点G，使HG=HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否发生改变？若不变，请求其值，若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）配方利用非负数的性质可求得a和b，可求得A、B坐标，再由条件可求得OC的长，可求得C 的坐标；（2）过F、E分别向x轴引垂线，垂足分别为M、N，可证明△FMD≌△END，可得MD=ND，可求得x E+x F的值；（3）连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，证明△CMT≌△MAH，可证明△CGT是等腰直角三角形，可求得∠CGM=45°．解答：解：（1）∵a2+b2﹣12a﹣12b+72=0，∴（a﹣6）2+（b﹣6）2=0，∴a=b=6，∴A（6，0），B（0，6），∴OA=6，且OC：OA=1：3，∴OC=2，∴C（﹣2，0）；（2）如图2，过F、E分别向x轴引垂线，垂足分别为M、N，∵当BD平分△BEF的面积，∴D为EF中点，∴DF=DE，在△FMD和△END中∴△FMD≌△END（AAS），∴MD=ND，即1﹣x F=x E﹣1，∴x E+x F=2；（3）不改变，理由如下：如图3，连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，过M作MS⊥x轴于点S，∵M（2，4），C（﹣2，0），A（6，0），∴S（2，0），∴MS垂直平分AC，∴MC=MA，且MS=SC，∴∠CMA=90°，∴∠CMT+∠AMH=∠TCM+∠CMT=90°，∴∠TCM=∠AMH，在△CMT和△MAH中∴△CMT≌△MAH（AAS），∴TM=AH，CT=MH，又AH=HG，∴MT=GH，∴GT=GM+MT=MG+GH=MH=CT，∴△CGT是等腰直角三角形，∴∠CGM=45°，即当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数不改变．点评：本题主要考查一次函数的综合应用，主要知识点有点的坐标、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形中线的性质、垂直平分线的性质等．在（1）中配方得到非负数的和为0是解题的关键；在（2）中确定出D为EF的中点是解题的关键，构造全等三角形可找到点E、F横坐标的关系；在（3）中构造三角形全等，证得△CGT为等腰直角三角形是解题的关键．本题知识点较多，综合性较强，难度较大．11．2014年白天鹅大酒店按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费3400元．从2015年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨，若该企业2015年处理的这两种垃圾数量与2014年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费5100元．（1）该酒店2014年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？（2）该企业计划2015年将上述两种垃圾处理总量减少到160吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2015年该酒店最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设该酒店2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）设该酒店2015年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共w元，先求出x的取值范围，在求出w与x的关系式由一次函数的性质就可以得出结论．解答：解：（1）设该酒店2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意，得，解得答：该酒店2014年处理的餐厨垃圾40吨，建筑垃圾150吨；（2）设该酒店2015年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共w元，根据题意得，，解得x≥40．w=100x+30（160﹣x）=70x+4800，∴k=70＞0，∴w的值随x的增大而增大，∴当x=40时，w值最小，最小值=70×40+4800=7600（元）．答：2015年该酒店最少需要支付这两种垃圾处理费共7600元．点评：本题考查了一次函数的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，一元一次不等式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．12．一辆快车和一辆慢车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，快车到达B地后，原路原速返回A地．图1表示两车行驶过程中离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．（1）直接写出快慢两车的速度及A、B两地距离；（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇；（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．考点：一次函数的应用．分析：（1）由速度=路程÷时间就可以得出结论，由函数图象的数据意义直接（2）设OA的解析式为y=kx，AB的解析式为y1=k1x+b1，CD的解析式为y2=k2x+b2，可以得出A、B两地之间的距离；由一次函数与二元一次方程组的关系就可以求出结论；（3）先求出两车相遇的时间，找到关键点的坐标就可以画出图象．解答：解：（1）由题意，得，A、B两地距离之间的距离为2250km，快车的速度为：2250÷10=225km/h，慢车的速度为：2250÷30=75km/h；（2）设OA的解析式为y=kx，AB的解析式为y1=k1x+b1，CD的解析式为y2=k2x+b2，由题意，得2250=10k，，，解得：k=225，，，∴y=225x，y1=﹣225x+4500，y2=﹣75x+2250当225x=﹣75x+2250时，x=7.5．当﹣225x+4500=﹣75x+2250时，解得：x=15．答：慢车出发7.5小时或15小时时，两车相遇；（3）由题意，得7.5小时时两车相遇，10时时，两车相距2.5（225+75）=750km，15时时两车相遇，20时时两车相距750km，由这些关键点画出图象即可．点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，作函数图象的运用，解答时求出函数的解析式是关键．13．甲、乙两车从A地驶向B地，甲车比乙车早行驶2h，并且在途中休息了0.5h，休息前后速度相同，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中a的值；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数表达式，并写出相应的x的取值范围；（3）当甲车行驶多长时间时，两车恰好相距40km．。

苏教版八年级数学上册压轴题期末复习试卷测试卷（解析版）一、压轴题1．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB AC=，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE 交BC于O，如果OE OD，那么CD BE=，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以ACB EFB∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF∠=∠（________）在OCD与OFE△中()________COD FOEOD OED OEF⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE△≌△，（________）所以CD FE=（________）因为AB AC=（已知）所以ACB B=∠∠（________）所以EFB B∠=∠（等量代换）所以BE FE=（________）所以CD BE=2．在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A(0，a)、B(b，0)满足：222110a b a b--+-=．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点为C(-3，m)，如图(1)所示．若SΔABC=16，求点D 的坐标；（3）平移线段AB到CD，若点C、D也在坐标轴上，如图(2)所示，P为线段AB上一动点(不与A、B重合)，连接OP，PE平分∠OPB，交x轴于点M，且满足∠BCE=2∠ECD．求证：∠BCD=3(∠CEP-∠OPE)．3．如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=12x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知A(3，0)，B(0，-1)，连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA=BC，连接AC（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA=CQ；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，直接写出此时∠APB的度数及P点坐标5．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF6．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．7．ABC 是等边三角形，作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，直线BD 交直线AP 于点E ，连接CE ．（1）如图①，求证：CE AE BE +=；（提示：在BE 上截取BF DE =，连接AF ．） （2）如图②、图③，请直接写出线段CE ，AE ，BE 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若26BD AE ==，则CE =__________．8．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D 作DF ∥AC 交AB 于F ，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD 与DE 的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)，其他条件不变，试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．9．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝3+a c ，y ＝3+b d ，那么称点T 是点A 和B 的融合点．例如：M （﹣1，8），N （4，﹣2），则点T （1，2）是点M 和N 的融合点．如图，已知点D （3，0），点E 是直线y ＝x +2上任意一点，点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点．（1）若点E 的纵坐标是6，则点T 的坐标为 ；（2）求点T （x ，y ）的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式：（3）若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点A 332)和B 3，0)，且与y 轴交于点D ，直线OC 与AB 交于点C ，且点C 3．(1)求直线AB 的解析式；(2)连接OA ，试判断△AOD 的形状；(3)动点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动，运动时间为t 秒，同时动点Q 从点O 出发沿y 轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q 到达点D 时，P ，Q 同时停止运动．设PQ 与OA 交于点M ，当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t 值．11．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)．（1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP 全等？（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？12．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等）， 在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）∴CD FE =（全等三角形对应边相等） ∵AB AC =（已知）∴ACB B =∠∠（等边对等角）∴EFB B ∠=∠（等量代换）∴BE FE =（等角对等边）∴CD BE =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.2．（1）A （0，3），B （4，0）；（2）D （1，－265）；（3）见解析 【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求解；（2）如图1中，设直线CD 交y 轴于E ．首先求出点E 的坐标，再求出直线CD 的解析式以及点C 坐标，利用平移的性质得到点D 坐标；（3）如图2中，延长AB 交CE 的延长线于M ．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求证；【详解】（1）∵222110a b a b --++-=，∴220,2110a b a b --=+-=， ∴2202110a b a b --=⎧⎨+-=⎩， ∴34a b =⎧⎨=⎩， ∴A （0，3），B （4，0）；（2）如图1中，设直线CD 交y 轴于E ．∵CD//AB ，∴S △ACB =S △ABE ，∴12AE×BO=16， ∴12×AE×4=16， ∴AE=8，∴E （0，-5），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，将点A （0，3），（4，0）代入解析式中得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ， ∴直线AB 的解析式为y=334x -+， ∵AB//CD ， ∴直线CD 的解析式为y=34x c -+， 又∵点E （0，－5）在直线CD 上， ∴c=5，即直线CD 的解析式为y=354x --， 又∵点C （-3，m ）在直线CD 上， ∴m=115， ∴C （-3， 115）， ∵点A （0，3）平移后的对应点为C （-3，115）， ∴直线AB 向下平移了265个单位，向左平移了3个单位， 又∵B （4，0）的对应点为点D ，∴点D 的坐标为（1，－265）； （3）如图2中，延长AB 交CE 的延长线于点M ．∵AM ∥CD ，∴∠DCM=∠M ，∵∠BCE=2∠ECD ，∴∠BCD=3∠DCM=3∠M ，∵∠M=∠PEC-∠MPE ，∠MPE=∠OPE ，∴∠BCD=3（∠CEP-∠OPE ）．【点睛】考查了非负数的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质、一次函数的应用等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．3．（1）b=72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32t ﹣272；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+或9﹣或6时，△APQ 为等腰三角形．【解析】分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据12P S AQ y =⋅即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22t -<即可求得7<t <9或9<t <11.时，APQ 的面积小于3；③分三种情况：当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，即可求得．详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点，∴3=−m +2，解得m =−1，∴点P 的坐标为(−1,3)，把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1312b =⨯-+， 解得72b =； (2)∵72b =； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72，∴C 点的坐标为(−7,0)，①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)，∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7−t =9−t ， ∴11273(9)32222S AQ yP t t =⋅=⨯-⨯=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t −9， ∴11327(9)32222S AQ yP t t ；=⋅=⨯-⨯=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327.22S t =- ②∵S <3， ∴273322t -<或327 3.22t -< 解得7<t <9或9<t <11. ③存在；设Q (t −7,0)，当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-∴22(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)， 当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-∴2(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，∴22(6)9(9)t t -+=-， 解得t =6.故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.4．（1）(1，-4)；（2）证明见解析；（3）()135,1,0APB P ︒∠= 【解析】【分析】（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．【详解】解：(1)作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH+∠CBH=90°，因为AB BC ⊥，所以.∠ABO+∠CBH=90°，所以∠ABO=∠BCH ，在△ABO 和△BCH 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABO BCH ∴∆≅∆:BH=OA=3，CH=OB=1，:OH=OB+BH=4，所以C 点的坐标为（1，-4）；(2)因为∠PBQ=∠ABC=90°，,PBQ ABQ ABC ABQ PBA QBC ∴∠-=∠-∠∴∠=∠在△PBA 和△QBC 中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PBA QBC ∴∆≅∆:.PA=CQ ；(3) ()135,1,0APB P ︒∠= BPQ ∆是等腰直角三角形，:所以∠BQP=45°，当C 、P ，Q 三点共线时，∠BQC=135°，由（2)可知，PBA QBC ∴∆≅∆；所以∠BPA=∠BQC=135°，所以∠OPB=45°，所以.OP=OB=1，所以P 点坐标为（1，0) ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD ≌△CBE ，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE ；（2）先证明△BCD ≌△ABE ，得到∠BCD=∠ABE ，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC ，∠CQE=180°-∠DQB ，即可解答； （3）如图3，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE ；进而证明△DGF 和△ECF 全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD 和BE 始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD ，∠A=∠BCE=60°在△ACD 与△CBE 中，AC=CB ，∠A=∠BCE ，AD=CE∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴CD=BE ，即CD 和BE 始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD ，∵AB=AC ，∴AE=BD ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC ，在△BCD 和△ABE 中，BC=AB ，∠DBC=∠EAB ，BD=AE∴△BCD ≌△ABE （SAS ），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF 始终等于EF 是正确的，理由如下：如图，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ，∴△ADG 为等边三角形，∴AD=DG=CE ，在△DGF 和△ECF 中，∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC∴△DGF ≌△EDF （AAS ），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．6．（1）见详解，（2）2BD CF ，证明见详解，（3）23．【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =，∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．7．（1）见解析；（2）图②中，CE+BE=AE ，图③中，AE+BE=CE ；（3）1.5或4.5【解析】【分析】（1）在BE 上截取BF DE =，连接AF ，只要证明△AED ≌△AFB ，进而证出△AFE 为等边三角形，得出CE+AE= BF+FE，即可解决问题；（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF，只要证明△ACE≌△AFB，进而证出△AFE为等边三角形，得出CE+BE= BF+BE，即可解决问题；图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，只要证明△AEB≌△AFC，进而证出△AFE为等边三角形，得出AE+BE =CF+EF，即可解决问题；（3）根据线段CE，AE，BE，BD之间的数量关系分别列式计算即可解决问题．【详解】（1）证明：在BE上截取BF DE=，连接AF，在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，设∠EAC=∠DAE=x．∵AD=AC=AB，∴∠D=∠ABD=12（180°-∠BAC-2x）=60°-x，∴∠AEB=60-x+x=60°．∵AC=AB，AC=AD，∴AB=AD，∴∠ABF=∠ADE，∵BF DE=，∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE，BF=DE，∴△AFE为等边三角形，∴EF=AE，∵AP是CD的垂直平分线，∴CE=DE，∴CE=DE=BF，∴CE+AE= BF+FE =BE；（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，∵AE =AE∴△ACE≌△ADE，∴∠ACE=∠ADE∵AB =AD，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABF=∠ADE=∠ACE∵AB=AC，BF=CE，∴△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠BAF=∠CAE∵∠BAC=∠BAE+∠CAE =60°∴∠EAF=∠BAE+∠BAF =60°∴△AFE为等边三角形，∴EF=AE，∴AE=BE+BF= BE+CE，即CE+BE=AE；图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，∵AE =AE∴△ACE≌△ADE，∴∠ACE=∠ADE∵AB =AD ，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=∠ADE=∠ACE∵AB=AC ，BE=CF ，∴△ACF ≌△ABE ，∴AE=AF ，∠BAE=∠CAF∵∠BAC=∠BAF+∠CAF =60°∴∠EAF=∠BAF+∠BAE =60°∴△AFE 为等边三角形，∴EF=AE ，∴CE =EF+CF= AE + BE ，即AE+BE=CE ；（3）在（1）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，∵CE+AE=BE ，∴BE-CE=3，∵BD=BE+ED=BE+CE=6，∴CE=1.5；在（2）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，因为图②中，CE+BE=AE ，而BD=BE-DE=BE-CE ，所以BD 不可能等于2AE ；图③中，若26BD AE ==，则AE=3，∵AE+BE=CE ，∴CE-BE=3，∵BD=BE+ED=BE+CE=6，∴CE=4.5．即CE=1.5或4.5．【点睛】本题考查几何变换，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴DF＝BD∵点D是BC的中点∴BD＝CD∴DF＝CD∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵ABC∆是等边三角形，点D是BC的中点∴AD⊥BC∴90ADC∠︒＝∵60BDF ADE∠∠︒＝＝∴30ADF EDC∠∠︒＝＝在ADF∆与EDC∆中AFD ECDDF CDADF EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()ADF EDC ASA∆∆≌∴AD＝DE；（2）结论：AD＝DE.证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F ∵ABC∆是等边三角形∴AB＝BC，60B BAC BCA∠∠∠︒＝＝＝∵DF∥AC∴BFD BAC BDF BCA∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵∠ADC是ABD∆的外角∴60ADC B FAD FAD∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD＝∠CDE在AFD∆与DCE∆中AFD DCEAF CDFAD EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()AFD DCE ASA∆∆≌∴AD＝DE；（3）如下图，ADE∆是等边三角形.证明：∵BC CD=∴AC CD=∵CE平分ACD∠∴CE垂直平分AD∴AE=DE∵60ADE∠=︒∴ADE∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.9．（1）（73，2）；（2）y＝x﹣13；（3）E的坐标为（32，72）或（6，8）【解析】【分析】（1）把点E的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E的坐标，根据融合点的定义求求解即可；（2）设点E的坐标为（a，a+2），根据融合点的定义用a表示出x、y，整理得到答案；（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．【详解】解：（1）∵点E是直线y＝x+2上一点，点E的纵坐标是6，∴x+2＝6，解得，x＝4，∴点E的坐标是（4，6），∵点T（x，y）是点D和E的融合点，∴x ＝343+＝73，y ＝063+＝2， ∴点T 的坐标为（73，2）， 故答案为：（73，2）； （2）设点E 的坐标为（a ，a +2），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，∴x ＝33a +，y ＝023a ++， 解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2，∴3x ﹣3＝3y ﹣2，整理得，y ＝x ﹣13； （3）设点E 的坐标为（a ，a +2），则点T 的坐标为（33a +，23a +）， 当∠THD ＝90°时，点E 与点T 的横坐标相同， ∴33a +＝a ， 解得，a ＝32， 此时点E 的坐标为（32，72）， 当∠TDH ＝90°时，点T 与点D 的横坐标相同， ∴33a +＝3， 解得，a ＝6，此时点E 的坐标为（6，8），当∠DTH ＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH 为直角三角形时，点E 的坐标为（32，72）或（6，8） 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义，解题关键是灵活运用分情况讨论思想．10．（1）y ＝﹣3x +2；（2）△AOD 为直角三角形，理由见解析；（3）t ＝23或3． 【解析】【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b ，即可求解；（2）由点A 、O 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，故DO 2＝OA 2+AD 2，即可求解； （3）点C，1），∠DBO ＝30°，则∠ODA ＝60°，则∠DOA ＝30°，故点C1），则∠AOC ＝30°，∠DOC ＝60°，OQ ＝CP ＝t ，则OP ＝2﹣t ．①当OP ＝OM 时，OQ ＝QH +OH（2﹣t ）+12（2﹣t ）＝t ，即可求解；②当MO ＝MP 时，∠OQP ＝90°，故OQ ＝12O P ，即可求解；③当PO ＝PM 时，故这种情况不存在． 【详解】 解：（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：3=220k b b ⎧+⎪⎨⎪=+⎩，解得：=2k b ⎧⎪⎨⎪=⎩故直线AB 的表达式为：y＝﹣3x +2； （2）直线AB 的表达式为：y+2，则点D （0，2）， 由点A 、O 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，故DO 2＝OA 2+AD 2，故△AOD 为直角三角形；（3）直线AB 的表达式为：y＝﹣3x +2，故点C，1），则OC ＝2， 则直线AB 的倾斜角为30°，即∠DBO ＝30°，则∠ODA ＝60°，则∠DOA ＝30° 故点C1），则OC ＝2，则点C 是AB 的中点，故∠COB ＝∠DBO ＝30°，则∠AOC ＝30°，∠DOC ＝60°， OQ ＝CP ＝t ，则OP ＝OC ﹣PC ＝2﹣t ，①当OP ＝OM 时，如图1，则∠OMP＝∠MPO＝12（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，过点P作PH⊥y轴于点H，则OH＝12OP＝12（2﹣t），由勾股定理得：PH＝3（2﹣t）＝QH，OQ＝QH+OH＝32（2﹣t）+12（2﹣t）＝t，解得：t＝23；②当MO＝MP时，如图2，则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，故OQ＝12OP，即t＝12（2﹣t），解得：t＝23；③当PO＝PM时，则∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，故这种情况不存在；综上，t ＝23． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点，还利用了方程和分类讨论的思想，综合性较强，难度较大，解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算．11．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇【解析】【分析】（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．【详解】（1）由题意知，BP=2t ，则PC=BC-BP=6-2t ，故答案为：6-2t ；（2）全等，理由如下：∵p Q V V =，t=1，∴BP=2=CQ ，∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，∴BD=4（cm ），又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ），在BPD △和CQP 中BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BPD △≌CQP （SAS ）故答案为：全等．（3）∵p Q V V ≠，∴BP CQ ≠，又∵BPD △≌CPQ ，∠B=∠C ，∴BP=PC=3cm ，CQ=BD=4cm ，∴点,P Q 运动时间322BP t ==（s ）， ∴48332Q CQ V t===（cm/s ）， 故答案为：83； （4）设经过t 秒时，P 、Q 第一次相遇，∵2/p V cm s =，8/3Q V cm s =， ∴2t+8+8=83t ，解得：t=24此时点Q 走了824643⨯=（cm ），∵ABC 的周长为：8+8+6=22（cm ），∴6422220÷=，∴20-8-8=4（cm ），经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇，故答案为：24s ，在 BC 边上相遇．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090AACB∠=︒∠=︒9060ABC A∴∠=︒-∠=︒BD是ABC∠的角平分线，DE AB⊥CD ED∴=在BCD∆和BED∆中，CD EDBD BD=⎧⎨=⎩()BCD BED HL∴∆≅∆BC BE∴=EBC∴∆是等边三角形；（2）如图，延长ED使得DF MD=，连接MF3,090AACB∠=︒∠=︒，BD是ABC∠的角平分线，DE AB⊥60,ADE BDE AD BD∴∠=∠=︒=60,18060 MDF ADE MDB ADE BDE∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF∴∆是等边三角形,60MF DM F DMF∴=∠=∠=︒60BMG∠=︒DMF DM B MGG DM G∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB∠=∠在FMG∆和DMB∆中，60F MDBMF MDFMG DMB∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FMG DMB ASA∴∆≅∆GF BD∴=，即DF DG BD+=AD DF DG MD DG∴=+=+即AD DG MD=+；（3）结论：AD DG ND=-，证明过程如下：如图，延长BD使得DH ND=，连接NH由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN∴∆是等边三角形,60NH ND H HND∴=∠=∠=︒60BNG∠=︒HND BND BNDBNG∠+∠=+∠∴∠，即NHNB D G∠=∠在HNB ∆和DNG ∆中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HNB DNG ASA ∴∆≅∆HB DG ∴=，即DH BD DG +=ND AD DG ∴+=即AD DG ND =-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．。

苏教版八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷（Word 版 含解析）一、压轴题1．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．2．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．3．已知ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点M 是AC 的中点，延长BM 至点D ，使DM ＝BM ，连接AD ．（1）如图①，求证：DAM ≌BCM ；（2）已知点N 是BC 的中点，连接AN ．①如图②，求证：ACN≌BCM；②如图③，延长NA至点E，使AE＝NA，连接，求证：BD⊥DE．4．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式；（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．5．如图1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直线DE经过点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D和E，AD=8，BE=6．（1）①求证：△ADC≌△CEB；②求DE的长；（2）如图2，点M以3个单位长度/秒的速度从点C出发沿着边CA运动，到终点A，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B出发沿着线BC—CA运动，到终点A．M，N两点同时出发，运动时间为t秒(t＞0)，当点N到达终点时，两点同时停止运动，过点M作PM⊥DE 于点P，过点N作QN⊥DE于点Q；①当点N在线段CA上时，用含有t的代数式表示线段CN的长度；②当t为何值时，点M与点N重合；③当△PCM与△QCN全等时，则t=．6．已知三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，点D （0，－4），M （4，－4）．（1）如图1，若点C 与点O 重合，A （－2，2）、B （4，4），求△ABC 的面积；（2）如图2，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，若∠AOG ＝55°，求∠CEF 的度数；（3）如图3，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，N 为AC 上一点，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，∠NEC+∠CEF ＝180°，求证∠NEF ＝2∠AOG ．7．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．8．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOA ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．9．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．10．如图，已知直线l 1：y 1＝2x +1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2＝﹣x ﹣2与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点．(1)求P 点的坐标；(2)求△APB 的面积；(3)x 轴上存在点T ，使得S △ATP ＝S △APB ，求出此时点T 的坐标．11．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠；（2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．12．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．（1）求OAB ∠的度数；（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）5y x =+；（2）223）PB 的长为定值52 【解析】【分析】（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证BFP GEP ∆≅∆，可确定BP 的定值即可．【详解】（1）对于直线:5L y mx m =+．当0y =时，5x =-．当0x =时，5y m =．()5,0A ∴-，()0,5B m ．OA OB =．55m ∴=．解得1m =．∴直线L 的解析式为5y x =+．（2）5OA =，17AM =．∴由勾股定理，2222OM OA AM =-=．180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒．90AOB ∠=︒．90AOM BON ∴∠+∠=︒．90AOM OAM ∠+∠=︒．BON OAM ∴∠=∠．在AMO ∆与OBN ∆中，90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩．()AMO OBN AAS ∴∆≅∆．22BN OM ∴==．．（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．AEB ∆为等腰直角三角形，AB EB ∴=90ABO EBG ∠+∠=︒．EG BG ⊥，90GEB EBG ∴∠+∠=︒．ABO GEB ∴∠=∠．AOB EBG ∴∆≅∆．5BG AO ∴==，OB EG =OBF ∆为等腰直角三角形，OB BF ∴=BF EG ∴=．BFP GEP ∴∆≅∆．1522BP GP BG ∴===． 【点睛】本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，构造 AOB EBG ∆≅∆，求BG ，再证BFP GEP ∆≅∆．2．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC ，再判断出∠CAD=∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG ，OF=MG ，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q （1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR 的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥l∴∠ACB ＝∠ADC∵∠ACE ＝∠ADC+∠CAD ，∠ACE ＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝BC∴△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，（2）解：如图2，过点M 作MF ⊥y 轴，垂足为F ，过点N 作NG ⊥MF ，交FM 的延长线于G ，由已知得OM ＝ON ，且∠OMN ＝90°∴由（1）得MF ＝NG ，OF ＝MG ，∵M （1，3）∴MF ＝1，OF ＝3∴MG ＝3，NG ＝1∴FG ＝MF+MG ＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则341bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR为y＝﹣12x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.3．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析【解析】【分析】（1）由点M是AC中点知AM=CM，结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证；（2）①由点M，N分别是AC，BC的中点及AC=BC可得CM=CN，结合∠C=∠C和BC=AC 即可得证；②取AD中点F，连接EF，先证△EAF≌△ANC得∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，据此知∠AFE=∠DFE=90°，再证△AFE≌△DFE得∠EAD=∠EDA=∠ANC，从而由∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM即可得证．【详解】解：（1）∵点M是AC中点，∴AM=CM，在△DAM和△BCM中，∵AM CMAMD CMBDM BM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAM≌△BCM（SAS）；（2）①∵点M是AC中点，点N是BC中点，∴CM=12AC，CN=12BC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∴CM=CN，在△BCM和△ACN中，∵CM CNC CBC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCM≌△ACN（SAS）；②证明：取AD中点F，连接EF，则AD=2AF，∵△BCM≌△ACN，∴AN=BM，∠CBM=∠CAN，∵△DAM≌△BCM，∴∠CBM=∠ADM，AD=BC=2CN，∴AF=CN，∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC，由（1）知，△DAM≌△BCM，∴∠DBC=∠ADB，∴AD∥BC，∴∠EAF=∠ANC，在△EAF和△ANC中，AE AN EAF ANC AF NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF ≌△ANC （SAS ），∴∠NAC=∠AEF ，∠C=∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DFE=90°，∵F 为AD 中点，∴AF=DF ，在△AFE 和△DFE 中，AF DF AFE DFE EF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DFE （SAS ），∴∠EAD=∠EDA=∠ANC ，∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°，∴BD ⊥DE ．【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．4．（1）56°；（2）y=454x +；（3）36°或1807°. 【解析】【分析】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD ；（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果；（3）分①若EP=EC ，②若PC=PE ，③若CP=CE ，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及y=454x +解出x 即可. 【详解】 解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°，∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°，∵CD ⊥AB ，∴∠BDC=90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=34°，∴∠BPD =90-34=56°；（2）∵∠A =x °，∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902x -）°， 由（1）可得：∠ABP=12∠ABC=（454x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -）°=（454x +）°， 即y 与 x 的关系式为y=454x +； （3）①若EP=EC ，则∠ECP=∠EPC=y ， 而∠ABC=∠ACB=902x -，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454x +， ∴902x -+902x --（454x +）=90°， 解得：x=36°；②若PC=PE ，则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902y -， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+[902x --（902y -）]=90，又y=454x +， 解得：x=1807°； ③若CP=CE ， 则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ，由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+902x --（180-2y ）=90，又y=454x +， 解得：x=0，不符合， 综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或1807°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.5．（1）①证明见解析；②DE =14；（2）①8t －10；②t =2；③t =10,211【解析】【分析】（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC ECBAC CB∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：CN＝CN−BC＝8t−10；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得：t＝2，∴当t为2秒时，点M与点N重合；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10−8t，解得：t＝10 11；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，则3t＝8t−10，解得：t＝2；综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于1011s或2s，故答案为：1011s或2s．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．【解析】【分析】（1）作AD⊥ x轴于D,BE⊥x轴于E,由点A,B的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;（2）作CH∥x轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．【详解】解：（1）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,∵A（﹣2,2）、B（4,4）,∴AD＝OD＝2,BE＝OE＝4,DE＝6,∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝12×（2+4）×6﹣12×2×2﹣12×4×4＝8;（2）作CH // x轴,如图2,∵D （0,﹣4）,M （4,﹣4）,∴DM // x 轴,∴CH // OG // DM,∴∠AOG ＝∠ACH,∠DEC ＝∠HCE,∴∠DEC+∠AOG ＝∠ACB ＝90°,∴∠DEC ＝90°﹣55°＝35°,∴∠CEF ＝180°﹣∠DEC ＝145°;（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC ＝∠ACB ＝90°,而∠HEC+∠CEF ＝180°,∠NEC+∠CEF ＝180°,∴∠NEC ＝∠HEC,∴∠NEF ＝180°﹣∠NEH ＝180°﹣2∠HEC,∵∠HEC ＝90°﹣∠AOG,∴∠NEF ＝180°﹣2（90°﹣∠AOG ）＝2∠AOG ．【点睛】本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．7．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）23． 【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =，∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．8．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；（2）根据运动速度得到OQ=t ，OP=8-2t ，根据△ODP 与△ODQ 的面积相等列方程求解即可；（3）由∠AOC=90°，y 轴平分∠GOD 证得OG ∥AC ，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，得到∠FHC=∠ACE ，∠FHO=∠GOD ，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC ，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.【详解】（1280a b b -+-=，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A （0，6），C （8，0）；故答案为：（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A （0，6），C （8，0），∴OA=6，OB=8，由运动知，OQ=t ，PC=2t ，∴OP=8-2t ，∵D （4，3），∴114222ODQ DS OQ x t t=⨯=⨯=△，11823123 22ODP DS OP y t t=⨯=-⨯=-△（），∵△ODP与△ODQ的面积相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°.又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD.∵x轴平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD.∴∠GOA=∠OAC.∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE.∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.9．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH＝2EF，CH＝2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH2EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH2CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，AF）2+EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.10．（1）P(﹣1，﹣1)；（2）32；（3）T(1，0)或(﹣2，0)．【解析】【分析】（1）解析式联立构成方程组，该方程组的解就是交点坐标；（2）利用三角形的面积公式解答；（3）求得C的坐标，因为S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝|x+12|，所以|x+12|＝32，解得即可．【详解】解：（1）由212y xy x=+⎧⎨=--⎩，解得11xy=-⎧⎨=-⎩，所以P（﹣1，﹣1）；（2）令x＝0，得y1＝1，y2＝﹣2∴A（0，1），B（0，﹣2），则S△APB＝12×（1+2）×1＝32；（3）在直线l1：y1＝2x+1中，令y＝0，解得x＝﹣12，∴C（﹣12，0），设T（x，0），∴CT＝|x+12 |，∵S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝12•|x+12|•（1+1）＝|x+12|，∴|x +12|＝32， 解得x ＝1或﹣2，∴T (1，0)或(﹣2，0)．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是准确将条件转化为二元一次方程组，并求出各点的坐标．11．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，推出△BEF 是等边三角形，得到BE=EF ，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=12CF=3． 【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE=DC ，∴∠E=∠DCE ，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，即∠EDB=∠ACD ；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE=EF ，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD ，在△DEF 与△CAD 中， EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CAD （AAS ），∴EF=AD ，∴AD=BE ；（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，AB BCABF CBFBF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=3，∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12．（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(8-，0)．【解析】【分析】（1）根据A，(0,B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；（3）证明△POB ≌△DPA ，得到PA=OB=，DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．【详解】（1）A，(0,B ，∴OA=OB=∵∠AOB=90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE 的值不变，理由如下：∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，∵PO=PD ，∴∠POD=∠PDO ，∵D 是线段OA 上一点，∴点P 在线段BC 上，∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，∴∠POC=∠DPE ，在△POC 和△DPE 中，90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△POC ≅△DPE(AAS)，∴OC=PE ，∵OC=12AB=12××=4， ∴PE=4；（3）∵OP=PD ，∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP ，在△POB 和△DPA 中，OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△POB ≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=DA=PB ，∴DA=PB=-，∴OD=OA−DA=8-，∴点D 的坐标为(8，0)．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．。

苏教版数学八年级上册压轴题期末复习试卷（Word 版含解析）一、压轴题1．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB AC=，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE交BC于O，如果OE OD，那么CD BE=，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以ACB EFB∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF∠=∠（________）在OCD与OFE△中()________COD FOEOD OED OEF⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE△≌△，（________）所以CD FE=（________）因为AB AC=（已知）所以ACBB=∠∠（________）所以EFB B∠=∠（等量代换）所以BE FE=（________）所以CD BE=2．如图，已知四边形ABCO是矩形，点A，C分别在y轴，x轴上，4AB=，3BC=．（1）求直线AC的解析式；（2）作直线AC关于x轴的对称直线，交y轴于点D，求直线CD的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b=+关于x轴的对称直线的解析式；（3）若点P是直线CD上的一个动点，试探究点P在运动过程中，||PA PB-是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标．3．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．4．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． （1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BP= cm ，CQ= cm ． （2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？5．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）6．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．（1）如图1，①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为 ；（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ；（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转的过程中，在什么情况下线段BF 的长取得最大值？若AC 2a ，试写出此时BF 的值．7．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =-+分别交,x y 轴于A B ，两点，C 为线段AB 的中点，(,0)D t 是线段OA 上一动点（不与A 点重合），射线//BF x 轴，延长DC 交BF 于点E ．（1）求证：AD BE =；（2）连接BD ，记BDE 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（3）是否存在t 的值，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．8．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC 的度数；（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 9．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．10．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，连结CD ．（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，请猜想BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系．11．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接 EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．（1）求证：FHA ADC ≌△△；（2）求证：点G 是EF 的中点．12．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．（1）如图1，已知A （3，2），B （4，0），请在x 轴上找一个C ，使得△OAB 与△OAC 是偏差三角形．你找到的C 点的坐标是______，直接写出∠OBA 和∠OCA 的数量关系______．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠D+∠B=180°，问△ABC 与△ACD 是偏差三角形吗？请说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB=DC ，AC 与BD 交于点P ，BD+AC=9，∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC ＜90°，且点C 到直线BD 的距离是3，求△ABC 与△BCD 的面积之和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等）， 在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）∴CD FE =（全等三角形对应边相等）∵AB AC =（已知）∴ACB B =∠∠（等边对等角）∴EFB B ∠=∠（等量代换）∴BE FE =（等角对等边）∴CD BE =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.2．（1）y =34-x +3；（2）y =34x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】【分析】（1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标．【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3，故A (0，3)，C (4，0)，设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：340b k b =⎧⎨+=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以直线AC 的解析式为：y =34-x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)，设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)，点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：-340n m n =⎧⎨+=⎩解得：343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以直线CD 的解析式为：y =34x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．（3）点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值，由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边），此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：34x -3=3， x =8，故P 点坐标为(8，3)，||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4．【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．3．（1） 122°；（2）12BEC α∠=；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ；【解析】 【分析】 （1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数． 【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122，故答案为：122︒；（2）如图2示，CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902BQC A ∠=︒-∠． （4）由（3）可知，119090645822BQCA ， 再根据（1），可得180()BPCPBC PCB 1118022QBC QCB 1180902Q 118090582119；由（2）可得：11582922R Q ;故答案为：119，29．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（1）BP=3cm ，CQ=3cm ；（2）全等，理由详见解析；（3）154；（4）经过803s 点P 与点Q 第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和时间相乘可得BP 、CQ 的长；（2）利用SAS 可证三角形全等；（3）三角形全等，则可得出BP=PC ，CQ=BD ，从而求出t 的值；（4）第一次相遇，即点Q 第一次追上点P ，即点Q 的运动的路程比点P 运动的路程多10+10=20cm 的长度．【详解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s ，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm ，∵AB=10cm ，点D 为AB 的中点，∴BD=5cm ．又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，∴PC=8﹣3=5cm ，∴PC=BD又∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△BPD 和△CQP 中，PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BPD ≌△CQP(SAS)（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP 与CQ 不是对应边，即BP≠CQ∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，∴点P ，点Q 运动的时间t=433BP =s ， ∴154Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得154x=3x+2×10， 解得80x=3 ∴经过803s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．5．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．6．（1）①详见解析；②12α；（2）详见解析；（3）当B 、O 、F 三点共线时BF 最长，(10+2)a【解析】【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ，可求∠BDC 的度数；（2）连接CE ，由题意可证△ABC ，△DCE 是等边三角形，可得AC=BC ，∠DCE=60°=∠ACB ，CD=CE ，根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ；（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三角形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求10BO a =，2OF OC a ==，即可求得BF【详解】（1）①连接AD ，如图1．∵点C 与点D 关于直线l 对称，∴AC = AD ．∵AB = AC ，∴AB = AC = AD ．∴点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．②∵AD=AB=AC ，∴∠ADB=∠ABD ，∠ADC=∠ACD ，∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=12α故答案为：12α．（2连接CE，如图2．∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∵∠BDC=12α，∴∠BDC=30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE=60°，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE=CE，且∠CDE=60°∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴BD=AE，（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，，F是以AC为直径的圆上一点，设AC中点为O，∵在△BOF中，BO+OF≥BF，当B、O、F三点共线时BF最长；如图，过点O作OH⊥BC，∵∠BAC=90°，2a ， ∴24BC AC a ==，∠ACB=45°，且OH ⊥BC ，∴∠COH=∠HCO=45°，∴OH=HC ， ∴2OC HC =， ∵点O 是AC 中点，AC 2a ， ∴2OC a =， ∴OH HC a ==，∴BH=3a ， ∴10BO a =，∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，∴∠AFC=90°，∵点O 是AC 中点， ∴2OF OC a ==， ∴102BF a =， ∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；最大值为102)a ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．7．（1）详见解析；（2）36(04)2BDE t t S -+≤<=；（3）存在，当78t =或43时，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．【解析】【分析】（1）先判断出EBC DAC ∠=∠，CEB CDA ∠=∠，再判断出BC AC =，进而判断出△BCE ≌△ACD ，即可得出结论；（2）先确定出点A ，B 坐标，再表示出AD ，即可得出结论；（3）分两种情况：当BD BE =时，利用勾股定理建立方程2223(4)t t +=-，即可得出结论；当BD DE =时，先判断出Rt △OBD ≌Rt △MED ，得出DM OD t ==，再用OM BE =建立方程求解即可得出结论．【详解】 解：（1）证明：射线//BF x 轴，EBC DAC ∴∠=∠，CEB CDA ∠=∠，又C 为线段AB 的中点，BC AC ∴=，在△BCE 和△ACD 中， CEB CDA EBC DAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△ACD （AAS ），BE AD ∴=；（2）解：在直线334y x =-+中， 令0x =，则3y =，令0y =，则4x =， A ∴点坐标为(4,0)，B 点坐标为(0,3)，D 点坐标为(,0)t ，4AD t BE ∴=-=，113(4)36(04)222BDE ABD B S S AD y t t t ∴==⋅=-⨯=-+<；（3）当BD BE =时，在Rt OBD ∆中，90BOD ∠=︒，由勾股定理得：222OB OD DB +=，即2223(4)t t +=-解得：78t =； 当BD DE =时，过点E 作EM x ⊥轴于M ，90BOD EMD ∴∠=∠=︒，//BF OA ，OB ME ∴=在Rt △OBD 和Rt △MED 中，==BD DE OB ME ⎧⎨⎩， ∴Rt △OBD ≌Rt △MED （HL ），OD DM t ∴==，由OM BE =得：24t t =- 解得：43t =， 综上所述，当78t =或43时，使得△BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．8．（1）60°；（2）EF=AF+FC ，证明见解析；（3）AF=EF+2DF ，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC 的度数；（2）在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，证明△AEG ≌△ACF ，然后再证明△AFG 为等边三角形，从而可得出EF ＝EG ＋GF ＝AF ＋FC ；（3）在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，证明方法类似（2），先证明△ABG ≌△EBF ，再证明△BFG 为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC ，AD 为BC 边上的中线，∴可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，又△ABE 为等边三角形，∴AE=AB=AC ，∠EAB=60°，∴可设∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC ，证明如下：∵AB=AC ，AD 为BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠FDC=90°，∵∠CFD ＝60°，则∠DCF=30°，∴CF ＝2DF ，在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．9．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECB CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．10．（1）BC BD =，理由见解析；（2）BF BP BD +=，证明见解析；（3）BF BP BD +=．【解析】【分析】（1）利用含30的直角三角形的性质得出12BC AB =，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆，得出CP BF =即可解答；（3）同（2）的方法得出结论．【详解】解：（1）90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，故答案为：BC BD =；（2）BF BP BD +=，理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，DBC ∴∆是等边三角形，60CDB ∴∠=︒，DC DB =，线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，60PDF ∴∠=︒，DP DF =，CDB PDB PDF PDB ∴∠-∠=∠-∠，CDP BDF ∴∠=∠，在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF ∴∆≅∆，CP BF ∴=，CP BP BC +=，BF BP BC ∴+=，BC BD =，BF BP BD ∴+=；（3）如图③，BF BD BP=+，理由：90ACB∠=︒，30A∠=︒，60CBA∴∠=︒，12BC AB=，点D是AB的中点，BC BD∴=，DBC∴∆是等边三角形，60CDB∴∠=︒，DC DB=，线段DP绕点D逆时针旋转60︒，得到线段DF，60PDF∴∠=︒，DP DF=，CDB PDB PDF PDB∴∠+∠=∠+∠，CDP BDF∴∠=∠，在DCP∆和DBF∆中，DC DBCDP BDFDP DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF∴∆≅∆，CP BF∴=，CP BC BP=+，BF BC BP∴=+，BC BD=，BF BD BP∴=+．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF∆≅∆，是一道中等难度的中考常考题．11．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC=，利用AAS得到AFH CAD∆≅∆；（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD=，再EK AD⊥，交DG延长线于点K，同理可得到AD EK=，等量代换得到FK EH=，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS得到FHG EKG≅△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】证明：（1）∵FH AG⊥，90AEH EAH∴∠+∠=︒，90FAC∠=︒，90FAH CAD∴∠+∠=︒，AFH CAD∴∠=∠，在AFH∆和CAD∆中，90AHF ADCAFH CADAF AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFH CAD AAS∴∆≅∆，（2）由（1）得AFH CAD∆≅∆，FH AD∴=，作FK AG⊥，交AG延长线于点K，如图；同理得到AEK ABD∆≅∆，EK AD∴=，FH EK∴=，在EKG∆和FHG∆中，90EKG FHGEGK FGHEK FH∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EKG FHG AAS∴∆≅∆，EG FG∴=．即点G是EF的中点．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K字形全等进行证明是解本题的关键．12．（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由见解析；（3）27 2【解析】【分析】（1）根据偏差三角形的定义，即可得到C的坐标，根据等腰三角形的性质和平角的定义，即可得到结论；（2）在AD上取一点H，使得AH=AB，易证△CAH≌△CAB，进而可得∠D=∠CHD，根据偏差三角形的定义，即可得到结论；（3）延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，由SAS可证∆BDC≅∆EAB，得EA=BD，点B到直线EA的距离是3，根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）∵当AC=AB时，△OAB与△OAC是偏差三角形，A(3，2)，B(4，0)，∴点C的坐标为（2，0），如图1，∵AC=AB，∴∠ACB=∠ABC，∵∠OCA+∠ACB=180°，∴∠OBA+∠OCA=180°，故答案为：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由如下：如图2中，在AD上取一点H，使得AH=AB．∵AC平分∠BAD，∴∠CAH=∠CAB，又∵ AC=AC，∴△CAH≌△CAB（SAS），∴CH=CB，∠B=∠AHC，∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，∴∠D=∠CHD，∴CH=CD，∴CB=CD，∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等，∴△ABC与△ACD是偏差三角形；（3）如图3中，延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，∴∠BDC=∠BAE，又∵AB=CD，∴∆BDC≅∆EAB（SAS），∴EA=BD，∵点C到直线BD的距离是3，∴点B到直线EA的距离是3，∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=12∙（AC+EA）×3 =12∙（AC+BD）×3 =12×9×3=272．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．。

苏教版数学八年级上册 压轴题 期末复习试卷（提升篇）（Word 版 含解析）一、压轴题1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足3a c x +=，3b d y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足1413x -+==，()8223y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点． （1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．①试确定y 与x 的关系式；②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．2．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数，例如：8的内数是5；7的内数是4．（1）1的内数是______，20的內数是______，6的內数是______；（2）若3是x 的內数，求x 的取值范围；（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，9n =，如图2②，③；……①用n 表示t 的內数；②当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）3．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足a 6b 80-+-=．（1）a = ；b = ；直角三角形AOC 的面积为 ．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发以每秒2个单位长度的速度向点O 匀速移动，Q 点从O 点出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC =∠D CO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOD ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．4．如图，直线l 1：y 1=﹣x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P （m ，3）为直线l 1上一点，另一直线l 2：y 2=12x +b 过点P ． （1）求点P 坐标和b 的值；（2）若点C 是直线l 2与x 轴的交点，动点Q 从点C 开始以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t 秒．①请写出当点Q 在运动过程中，△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②求出t 为多少时，△APQ 的面积小于3；③是否存在t 的值，使△APQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．5．在ABC 中，AB AC =，D 是直线BC 上一点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE .（1）如图，当 D 在线段BC 上时，求证：BD CE =.（2）如图，若点D 在线段CB 的延长线上，BCE α∠=，BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.（3）如图，当点D 在线段BC 上，90BAC ∠=︒，4BC =，求DCE S最大值. 6．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．7．(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．①请直接写出∠AEB 的度数为_____；②试猜想线段AD 与线段BE 有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2， △ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同－直线上， CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．8．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF9．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．10．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．11．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接 EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．（1）求证：FHA ADC ≌△△；（2）求证：点G 是EF 的中点．12．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．（1）如图1，已知A （3，2），B （4，0），请在x 轴上找一个C ，使得△OAB 与△OAC 是偏差三角形．你找到的C 点的坐标是______，直接写出∠OBA 和∠OCA 的数量关系______．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠D+∠B=180°，问△ABC 与△ACD 是偏差三角形吗？请说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB=DC ，AC 与BD 交于点P ，BD+AC=9，∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC ＜90°，且点C 到直线BD 的距离是3，求△ABC 与△BCD 的面积之和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）点C 是点A 、B 的融合点；（2）①2-1y x =；②见详解；③点E 的坐标为：（2，9）或（8，21） 【解析】【分析】（1）根据融合点的定义3a c x +=，3b d y +=，即可求解； （2）①由题意得：分别得到x 与t 、y 与t 的关系，即可求解；②利用①的函数关系式解答；③分∠DTH ＝90°、∠TDH ＝90°、∠HTD ＝90°三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）x ＝-17233a c ++==，y ＝54333b d ++==， 故点C 是点A 、B 的融合点；（2）①由题意得：x ＝433a c t ++=，y ＝2533b d t ++=，则3-4t x =，则()23-452-13xy x+==；②令x＝0，y＝-1；令y＝0，x＝12，图象如下：③当∠THD＝90°时，∵点E（t，2t＋5），点T（t，2t−1），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴t＝13（t＋4），∴t＝2，∴点E（2，9）；当∠TDH＝90°时，∵点E（t，2t＋5），点T（4，7），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴4＝13（4＋t ） ∴t ＝8， ∴点E （8，21）；当∠HTD ＝90°时，由于EH 与x 轴不平行，故∠HTD 不可能为90°；故点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）．【点睛】本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．2．（1）2，7，4；（2）83x ≥；（3）①t 的内数=有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．【解析】【分析】（1）根据内数的定义即可求解；（2）根据内数的定义可列不等式2331x ≤+，求解即可；（3）①分析可得当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =……归纳可得结论；②分析可得当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，即可求解．【详解】解：（1）22311=⨯+，所以1的内数是2；232017⨯+>，所以20的内数是7；23614⨯+>，所以6的内数是4；（2）∵3是x 的內数，∴2331x ≤+， 解得83x ≥； （3）①当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =，……∴t 的内数=②当t 的内数为2时，最大实心正方形有1个；当t 的内数为3时，最大实心正方形有2个，当t 的内数为4时，最大实心正方形有1个，……即当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；∴当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个，由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，∴此时最大实心正方形的边长为8，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．【点睛】本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．3．（1）6；8；24；（2）存在 2.4t =时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC ，见解析【解析】【分析】（1）利用非负性即可求出a ，b 即可得出结论,即可求出△ABC 的面积；（2）先表示出OQ ，OP ，利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出∠OAC=∠AOD ，进而判断出OG ∥AC ，即可判断出∠FHC=∠ACE ，同理∠FHO=∠GOD ，即可得出结论．【详解】解：(1) 解：（1）∵b 80-=， ∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A （0，6），C （8，0）；∴S △ABC=6×8÷2=24,故答案为（0，6），（8，0）； 6；8；24(2) ∵114222ODQ D S OQ x t t ∆=⋅=⋅⋅= 11(82)312322ODP D S OP y t t ∆=⋅=⋅-⋅=- 由2123t t =-时, 2.4t =∴存在 2.4t =时,使得△ODP 与△ODQ 的面积相等(3) ）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由如下：∵x 轴⊥y 轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y 轴平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG ∥AC ，如图，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，∴HF ∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD ， ∵OG ∥FH ，∴∠GOD=∠FHO ，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC ，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC ．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC ．【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．4．（1）b=72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32t ﹣272；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+2或9﹣2或6时，△APQ 为等腰三角形． 【解析】分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据12P S AQ y =⋅即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22t -<即可求得7<t <9或9<t <11.时，APQ 的面积小于3；③分三种情况：当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，即可求得．详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点，∴3=−m +2，解得m =−1，∴点P 的坐标为(−1,3)，把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1312b =⨯-+，解得72b =； (2)∵72b =； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72，∴C 点的坐标为(−7,0)，①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)，∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7−t =9−t ， ∴11273(9)32222S AQ yP t t =⋅=⨯-⨯=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t −9， ∴11327(9)32222S AQ yP t t ；=⋅=⨯-⨯=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327.22S t =- ②∵S <3， ∴273322t -<或327 3.22t -< 解得7<t <9或9<t <11. ③存在；设Q (t −7,0)，当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-∴22(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)， 当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-∴2(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，∴22(6)9(9)t t -+=-， 解得t =6.故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.5．（1）见解析；（2）αβ=，理由见解析；（3）2【解析】【分析】（1）证明()ABD ACE SAS ≅△△，根据全等三角形的性质得到BD CE =；（2）同（1）先证明()ABD ACE SAS ≅△△，得到∠ACE=∠ABD ，结合等腰三角形的性质和外角和定理用不同的方法表示∠ACE ，得到α和β关系式；（3） 同（1）先证明()ABD ACE SAS ≅△△，得到ABC ADCE S S ∆=四边形，那么DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形，当AD BC ⊥时，ADE S ∆最小，即DCE S ∆最大．【详解】解：（1）∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS ≅△△，∴BD CE =；（2）同（1）的方法得()ABD ACE SAS ≅△△，∴∠ACE=∠ABD ，∠BCE =α，∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α，在ABC 中，∵AB= AC ，∠BAC=β，∴∠ACB=∠ABC =12(180°-β)= 90°-12β， ∴∠ABD= 180°-∠ABC= 90°+12β， ∴∠ACE=∠ACB +α= 90°-12β+α， ∵∠ACE=∠ABD = 90°+12β， ∴90°-12β+α= 90°+12β， ∴α = β；（3）如图，过A 做AH BC ⊥于点H ，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45ABC ∠=︒，122BH AH BC ===， 同（1）的方法得，()ABD ACE SAS ≅△△，AEC ABD S S ∆∆∴=,AEC ADC ABD ADC S S S S ∆∆∆∆+=+， 即142ABC ADCE S S BC AH ∆==⋅=四边形， ∴DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形，当ADE S ∆最小时，DCE S ∆最大，∴当AD BC ⊥2AD =，时最小，2122ADE S AD ∆==， 422DCE S ∆∴=-=最大．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，解题的关键是抓住第一问中的那组全等三角形，后面的问题都是在这个基础上进行证明的． 6．（1） 122°；（2）12BEC α∠=；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ； 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．【详解】 解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122，故答案为：122︒；（2）如图2示，CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线， 112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902BQC A ∠=︒-∠． （4）由（3）可知，119090645822BQCA ， 再根据（1），可得180()BPCPBC PCB 1118022QBC QCB 1180902Q 118090582119；由（2）可得：11582922R Q ;故答案为：119，29．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．7．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由见解析.【解析】【分析】（1）①由条件△ACB 和△DCE 均为等边三角形，易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．②由△ACD ≌△BCE ，可得AD=BE ；（2）首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，可得CM=DM=EM ，所以DE=DM+EM=2CM ，据此判断出AE=BE+2CM ．【详解】（1）①∵∠ACB=∠DCE ，∠DCB=∠DCB ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；②AD=BE.证明：∵△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ．（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，∴AC = BC ， CD = CE ， ∠ACB =∠DCB =∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD = ∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD = BE ，∠BEC = ∠ADC=135°．∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．∴AE = DE+AD=2CM+BE．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．8．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG 为等边三角形，∴AD=DG=CE ，在△DGF 和△ECF 中，∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC∴△DGF ≌△EDF （AAS ），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．9．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）23． 【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒， 90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =，∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．10．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．11．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC =，利用AAS 得到AFH CAD ∆≅∆；（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD =，再EK AD ⊥，交DG 延长线于点K ，同理可得到AD EK =，等量代换得到FK EH =，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS 得到FHG EKG ≅△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】证明：（1） ∵FH AG ⊥，90AEH EAH ∴∠+∠=︒，90FAC ∠=︒，90FAH CAD ∴∠+∠=︒，AFH CAD ∴∠=∠，在AFH ∆和CAD ∆中，90AHF ADC AFH CADAF AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AFH CAD AAS ∴∆≅∆，（2）由（1）得AFH CAD ∆≅∆，FH AD ∴=，作FK AG⊥，交AG延长线于点K，如图；同理得到AEK ABD∆≅∆，EK AD∴=，FH EK∴=，在EKG∆和FHG∆中，90EKG FHGEGK FGHEK FH∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EKG FHG AAS∴∆≅∆，EG FG∴=．即点G是EF的中点．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K字形全等进行证明是解本题的关键．12．（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由见解析；（3）272【解析】【分析】（1）根据偏差三角形的定义，即可得到C的坐标，根据等腰三角形的性质和平角的定义，即可得到结论；（2）在AD上取一点H，使得AH=AB，易证△CAH≌△CAB，进而可得∠D=∠CHD，根据偏差三角形的定义，即可得到结论；（3）延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，由SAS可证∆BDC≅∆EAB，得EA=BD，点B到直线EA的距离是3，根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）∵当AC=AB时，△OAB与△OAC是偏差三角形，A(3，2)，B(4，0)，∴点C的坐标为（2，0），如图1，∵AC=AB，∴∠ACB=∠ABC，∵∠OCA+∠ACB=180°，∴∠OBA+∠OCA=180°，故答案为：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由如下：如图2中，在AD上取一点H，使得AH=AB．∵AC平分∠BAD，∴∠CAH=∠CAB，又∵ AC=AC，∴△CAH≌△CAB（SAS），∴CH=CB，∠B=∠AHC，∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，∴∠D=∠CHD，∴CH=CD，∴CB=CD，∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等，∴△ABC与△ACD是偏差三角形；（3）如图3中，延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，∴∠BDC=∠BAE，又∵AB=CD，∴∆BDC≅∆EAB（SAS），∴EA=BD，∵点C到直线BD的距离是3，∴点B到直线EA的距离是3，∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=12∙（AC+EA）×3 =12∙（AC+BD）×3 =12×9×3=272．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．。

苏教版八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷测试卷（解析版）一、压轴题1．如图，已知四边形ABCO 是矩形，点A ，C 分别在y 轴，x 轴上，4AB =，3BC =．（1）求直线AC 的解析式；（2）作直线AC 关于x 轴的对称直线，交y 轴于点D ，求直线CD 的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；（3）若点P 是直线CD 上的一个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴正半轴于点C ，且OC ＝3．图1 图2（1）求直线BC 的解析式；（2）如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；（3）如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 右侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标；3．如图1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =10，直线DE 经过点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为点D 和E ，AD =8，BE =6．（1）①求证：△ADC ≌△CEB ；②求DE 的长；（2）如图2，点M 以3个单位长度/秒的速度从点C 出发沿着边CA 运动，到终点A ，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B 出发沿着线BC —CA 运动，到终点A ．M ，N 两点同时出发，运动时间为t秒(t＞0)，当点N到达终点时，两点同时停止运动，过点M作PM⊥DE 于点P，过点N作QN⊥DE于点Q；①当点N在线段CA上时，用含有t的代数式表示线段CN的长度；②当t为何值时，点M与点N重合；③当△PCM与△QCN全等时，则t=．4．已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，－4），M（4，－4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（－2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证∠NEF＝2∠AOG．5．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF=EF6．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．7．阅读下列材料，并按要求解答．（模型建立）如图①，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．求证：△BEC ≌△CDA ．（模型应用）应用1：如图②，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，CD ＝8，BC ＝10，AB 2＝200．求线段BD 的长．应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ 为等腰直角三角形，QO ＝QP ，P （4，m ），点Q 始终在直线OP 的上方．（1）折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，当m＝2时，求Q点的坐标和直线l与x轴的交点坐标；（2）若无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式．8．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．9．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PF AF的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ） 10．如图，已知直线l 1：y 1＝2x +1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2＝﹣x ﹣2与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点．(1)求P 点的坐标；(2)求△APB 的面积；(3)x 轴上存在点T ，使得S △ATP ＝S △APB ，求出此时点T 的坐标．11．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．12．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．（1）如图1，已知A （3，2），B （4，0），请在x 轴上找一个C ，使得△OAB 与△OAC 是偏差三角形．你找到的C 点的坐标是______，直接写出∠OBA 和∠OCA 的数量关系______．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠D+∠B=180°，问△ABC 与△ACD 是偏差三角形吗？请说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB=DC ，AC 与BD 交于点P ，BD+AC=9，∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC ＜90°，且点C 到直线BD 的距离是3，求△ABC 与△BCD 的面积之和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）y =34-x +3；（2）y =34x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】【分析】（1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标．【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3，故A (0，3)，C (4，0)，设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：340b k b =⎧⎨+=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以直线AC 的解析式为：y =34-x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)，设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)，点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：-340n m n =⎧⎨+=⎩解得：343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以直线CD 的解析式为：y =34x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．（3）点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值，由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边），此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：34x -3=3， x =8，故P 点坐标为(8，3)，||PA PB-的最大值为x p -x B =8-4=4．【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．2．（1）443y x =-+；（2）612(,)55M ；（3）23(0,)7G 或(0,-1)G 【解析】【分析】（1）求出点B ，C 坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）结合图形，由S △AMB ＝S △AOB 分析出直线OM 平行于直线AB ，再利用两直线相交建立方程组求得交点M 的坐标；（3）分两种情形：①当n ＞2时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，垂足分别为M ，N ．求出Q （n-2，n-1）．②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），代入直线BC 的解析式解方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵直线y=2x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A （-2，0），B （0，4），，又∵OC=3，∴C （3，0），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B 、C 的坐标代入得： 304k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为443y x =-+； （2）连接OM ，∵S △AMB ＝S △AOB ，∴直线OM 平行于直线AB ，故设直线OM 解析式为：2y x =,将直线OM 的解析式与直线BC的解析式联立得方程组2443y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得：65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故点612(,)55M ； （3）∵FA=FB ，A （-2，0），B （0，4），∴F （-1，2），设G （0，n ），①当n ＞2时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，垂足分别为M ，N ．∵四边形FGQP 是正方形，易证△FMG ≌△GNQ ，∴MG=NQ=1，FM=GN=n-2，∴Q （n-2，n-1），∵点Q 在直线443y x =-+上， ∴41(2)43n n -=--+， ∴23=7n , ∴23(0,)7G ． ②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），∵点Q 在直线443y x =-+上， ∴4+1(2)43n n =--+， ∴n=-1，∴(0,-1)G ． 综上所述，满足条件的点G 坐标为23(0,)7G 或(0,-1)G 【点睛】 本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（1）①证明见解析；②DE =14；（2）①8t －10；②t =2；③t =10,211【解析】【分析】（1）①先证明∠DAC ＝∠ECB ，由AAS 即可得出△ADC ≌△CEB ；②由全等三角形的性质得出AD ＝CE ＝8，CD ＝BE ＝6，即可得出DE ＝CD ＋CE ＝14； （2）①当点N 在线段CA 上时，根据CN ＝CN−BC 即可得出答案；②点M 与点N 重合时，CM ＝CN ，即3t ＝8t−10，解得t ＝2即可；③分两种情况：当点N 在线段BC 上时，△PCM ≌△QNC ，则CM ＝CN ，得3t ＝10−8t ，解得t ＝1011；当点N 在线段CA 上时，△PCM ≌△QCN ，则3t ＝8t−10，解得t ＝2；即可得出答案．【详解】（1）①证明：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠DAC ＋∠DCA ＝∠DCA ＋∠BCE ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC ECBAC CB∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：CN＝CN−BC＝8t−10；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得：t＝2，∴当t为2秒时，点M与点N重合；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10−8t，解得：t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，则3t＝8t−10，解得：t＝2；综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于1011s或2s，故答案为：1011s或2s．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．【解析】【分析】（1）作AD⊥ x轴于D,BE⊥x轴于E,由点A,B的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;（2）作CH∥x轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．【详解】解：（1）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,∵A（﹣2,2）、B（4,4）,∴AD＝OD＝2,BE＝OE＝4,DE＝6,∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝12×（2+4）×6﹣12×2×2﹣12×4×4＝8;（2）作CH // x轴,如图2,∵D（0,﹣4）,M（4,﹣4）,∴DM // x轴,∴CH // OG // DM,∴∠AOG＝∠ACH,∠DEC＝∠HCE,∴∠DEC+∠AOG＝∠ACB＝90°,∴∠DEC＝90°﹣55°＝35°,∴∠CEF＝180°﹣∠DEC＝145°;（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC＝∠ACB＝90°,而∠HEC+∠CEF＝180°,∠NEC+∠CEF＝180°,∴∠NEC＝∠HEC,∴∠NEF＝180°﹣∠NEH＝180°﹣2∠HEC,∵∠HEC＝90°﹣∠AOG,∴∠NEF＝180°﹣2（90°﹣∠AOG）＝2∠AOG．【点睛】本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．5．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG为等边三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF 和△ECF 中，∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC∴△DGF ≌△EDF （AAS ），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．6．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）23． 【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =， EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =，∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．7．模型建立：见解析；应用1：652：（1）Q(1，3)，交点坐标为(52，0)；（2）y＝﹣x+4【解析】【分析】根据AAS证明△BEC≌△CDA，即可；应用1：连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，易证△ADC≌△CHB，结合勾股定理，即可求解；应用2：（1）过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP 相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论．【详解】如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△BEC≌△CDA（AAS）；应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝10，∵BC＝10，AB2＝200，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，∵AC＝BC＝10，∴△ADC≌△CHB（AAS），∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，∴DH=6+8=14，∵BH⊥DC，∴BD＝22260BH DH+=＝265；应用2：（1）如图③，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，由题意易：△OKQ≌△QHP（AAS），设H(4，y)，那么KQ＝PH＝y﹣m＝y﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y，又∵OK＝y，∴6﹣y＝y，y＝3，∴Q(1，3)，∵折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，∴点M是OP的中点，∵P(4，2)，∴M(2，1)，设直线Q M的函数表达式为：y＝kx+b，把Q(1，3)，M(2，1)，代入上式得：213k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：25kb=-⎧⎨=⎩∴直线l的函数表达式为：y＝﹣2x+5，∴该直线l与x轴的交点坐标为(52，0)；（2）∵△OKQ≌△QHP，∴QK＝PH，OK＝HQ，设Q(x，y)，∴KQ＝x，OK＝HQ＝y，∴x+y＝KQ+HQ＝4，∴y＝﹣x+4，∴无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y＝﹣x+4，故答案为：y＝﹣x+4．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键．8．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=12 CE，∵BD=CE，∴CF=OF=12 BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．9．（1）∠AFE=60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明BCE CAD≌得到对应角相等，等量代换推导出60AFE∠=︒；（2）由（1）得到60AFE∠=︒，CE AD=则在Rt AHF△中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF上取一点K使得KF=AF，作辅助线证明ABK和ACF全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在BCE和CAD中，60BE CDCBE ACDBC CA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCE CAD≌（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH +DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在ABK和ACF中，AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABK ACF≌(SAS)，BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴29BK CF PK CP===，∴79PF CP CF CP=-=，∵45()99 AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-=∴779559CPPFAF CP== .【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.10．（1）P(﹣1，﹣1)；（2）32；（3）T(1，0)或(﹣2，0)．【解析】【分析】（1）解析式联立构成方程组，该方程组的解就是交点坐标；（2）利用三角形的面积公式解答；（3）求得C的坐标，因为S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝|x+12|，所以|x+12|＝32，解得即可．【详解】解：（1）由212y xy x=+⎧⎨=--⎩，解得11xy=-⎧⎨=-⎩，所以P（﹣1，﹣1）；（2）令x＝0，得y1＝1，y2＝﹣2∴A（0，1），B（0，﹣2），则S△APB＝12×（1+2）×1＝32；（3）在直线l1：y1＝2x+1中，令y＝0，解得x＝﹣12，∴C（﹣12，0），设T（x，0），∴CT＝|x+12 |，∵S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝12•|x+12|•（1+1）＝|x+12|，∴|x+12|＝32，解得x＝1或﹣2，∴T(1，0)或(﹣2，0)．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是准确将条件转化为二元一次方程组，并求出各点的坐标．11．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECB CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．12．（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC 与△ACD 是偏差三角形，理由见解析；（3）272 【解析】【分析】（1）根据偏差三角形的定义，即可得到C 的坐标，根据等腰三角形的性质和平角的定义，即可得到结论；（2）在AD 上取一点H ，使得AH=AB ，易证△CAH ≌△CAB ，进而可得∠D=∠CHD ，根据偏差三角形的定义，即可得到结论；（3）延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，由SAS可证∆BDC≅∆EAB，得EA=BD，点B到直线EA的距离是3，根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）∵当AC=AB时，△OAB与△OAC是偏差三角形，A(3，2)，B(4，0)，∴点C的坐标为（2，0），如图1，∵AC=AB，∴∠ACB=∠ABC，∵∠OCA+∠ACB=180°，∴∠OBA+∠OCA=180°，故答案为：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由如下：如图2中，在AD上取一点H，使得AH=AB．∵AC平分∠BAD，∴∠CAH=∠CAB，又∵ AC=AC，∴△CAH≌△CAB（SAS），∴CH=CB，∠B=∠AHC，∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，∴∠D=∠CHD，∴CH=CD，∴CB=CD，∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等，∴△ABC与△ACD是偏差三角形；（3）如图3中，延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，∴∠BDC=∠BAE，又∵AB=CD，∴∆BDC≅∆EAB（SAS），∴EA=BD，∵点C到直线BD的距离是3，∴点B到直线EA的距离是3，∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=12∙（AC+EA）×3 =12∙（AC+BD）×3 =12×9×3=272．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．。

苏教版数学八年级上册压轴题期末复习试卷中考真题汇编[解析版]一、压轴题1．如图，已知A(3，0)，B(0，-1)，连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA=BC，连接AC（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA=CQ；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，直接写出此时∠APB的度数及P点坐标2．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．AB=，3．如图，已知四边形ABCO是矩形，点A，C分别在y轴，x轴上，4BC=．3（1）求直线AC 的解析式；（2）作直线AC 关于x 轴的对称直线，交y 轴于点D ，求直线CD 的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；（3）若点P 是直线CD 上的一个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标．4．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若1,(2),(2)b a b b a -≥⎧=<⎩'⎨当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．（1）①点3,1)-的限变点的坐标是________；②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围．5．已知三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，点D （0，－4），M （4，－4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（－2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证∠NEF＝2∠AOG．6．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（深入探究）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作简要说明．7．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M，点N，点P，如果将线段PM绕点P顺时针旋转90°能得到线段PN，就称点N是点M关于点P的“正矩点”．（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1),(1,3),(1,3)S P Q ---，(2,4)M -．①在点P ，点Q 中，___________是点S 关于原点O 的“正矩点”；②在S ，P ，Q ，M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可； （2）在平面直角坐标系xOy 中，直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 关于点B 的“正矩点”记为点C ，坐标为(,)C C C x y ．①当点A 在x 轴的正半轴上且OA 小于3时，求点C 的横坐标C x 的值；②若点C 的纵坐标C y 满足12C y -<≤，直接写出相应的k 的取值范围．8．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）9．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D 作DF ∥AC 交AB 于F ，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD 与DE 的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)，其他条件不变，试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．10．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．11．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)．（1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP 全等？（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？12．如图，直线l 1的表达式为：y=-3x+3，且直线l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线l 2的解析表达式；（3）求△ADC 的面积；（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，求点P 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）(1，-4)；（2）证明见解析；（3）()135,1,0APB P ︒∠= 【解析】【分析】（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．【详解】解：(1)作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH+∠CBH=90°，因为AB BC ⊥，所以.∠ABO+∠CBH=90°，所以∠ABO=∠BCH ，在△ABO 和△BCH 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABO BCH ∴∆≅∆:BH=OA=3，CH=OB=1，:OH=OB+BH=4，所以C 点的坐标为（1，-4）；(2)因为∠PBQ=∠ABC=90°，,PBQ ABQ ABC ABQ PBA QBC ∴∠-=∠-∠∴∠=∠在△PBA 和△QBC 中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PBA QBC ∴∆≅∆:.PA=CQ ；(3) ()135,1,0APB P ︒∠= BPQ ∆是等腰直角三角形，:所以∠BQP=45°，当C 、P ，Q 三点共线时，∠BQC=135°，由（2)可知，PBA QBC ∴∆≅∆；所以∠BPA=∠BQC=135°，所以∠OPB=45°，所以.OP=OB=1，所以P 点坐标为（1，0) ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．【解析】【分析】（1）①先证明△ACE ≌△CBD 得到∠ACE=∠CBD ，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF ；②先证明△ACE ≌△CBD 得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA ；（2）证明△AEC ≌△CDB 得到∠E=∠D ，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD ，∴△ACE ≌△CBD ，∴∠ACE=∠CBD ，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.3．（1）y=34x+3；（2）y=34x-3，y=-kx-b；（3）存在，4，(8，3)【解析】【分析】 （1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标．【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3，故A (0，3)，C (4，0)，设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：340b k b =⎧⎨+=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以直线AC 的解析式为：y =34-x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)，设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)，点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：-340n m n =⎧⎨+=⎩解得：343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以直线CD 的解析式为：y =34x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．（3）点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值，由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边），此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：34x -3=3， x =8，故P 点坐标为(8，3)，||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4．【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．4．（1）①)；②B ；（2）3s =；（3）59k ≤≤． 【解析】【分析】（1）利用限变点的定义直接解答即可；（2）先利用逆推原理求出限变点(2,1)A -、(2,1)B 对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到2y =，满足解析式的就是答案；（3）先OC OD ，的关系式，再求出点P 的限变点Q 满足的关系式，然后根据图象求出m n ，的值，从而求出s 即可；（4）先求出线段EF 的关系式，再求出点P 的限变点Q 所满足的关系式，根据图像求解即可．【详解】解：（1）①∵2a =， ∴11b b ==-='，∴坐标为：)，故答案为：)； ②∵对于限变点来说，横坐标保持不变，∴限变点(2,1)A -对应的原来点的坐标为：()2,1-或()21--，， 限变点(2,1)B 对应的原来点的坐标为：()2,2，∵()2,2满足2y =，∴这个点是B ，故答案为：B ；（2）∵点C 的坐标为(2,2)--，∴OC的关系式为：()0y x x =≤，∵点D 的坐标为(2,2)-，∴OD 的关系式为：()0y x x =-≥，∴点P 满足的关系式为：()()00x x y x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩， ∴点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式为：当2x ≥时：1b x '=--，当02x <<时：b x x '=-=，当0x ≤时，b x x '==-，图像如下：通过图象可以得出：当2x ≥时，3b '≤-，∴3n =-，当2x <时，0b '≥，∴0m =，∴()033s m n =-=--=；（3）设线段EF 的关系式为：()022y ax c a x k k =+≠-≤≤>-，，， 把(2,5)E --，(,3)F k k -代入得：253a c ka c k -+=-⎧⎨+=-⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩， ∴线段EF 的关系式为()322y x x k k =--≤≤>-，，∴线段EF 上的点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式4(2)|3|3(22)x x b x x x -⎧'=⎨-=--<⎩， 图象如下：当x ＝2时，b ′取最小值，b '＝2﹣4＝﹣2，当b '＝5时，x ﹣4＝5或﹣x +3＝5，解得：x ＝9或x ＝﹣2，当b ′＝1时，x ﹣4＝1，解得：x ＝5，∵ 25b '-≤≤，∴由图象可知，k 的取值范围时：59k ≤≤．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握一次函数的图象与性质以及最值的求解，此题有一定的难度．5．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．【解析】【分析】（1）作AD ⊥ x 轴于D,BE ⊥x 轴于E,由点A,B 的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;（2）作CH ∥x 轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．【详解】解：（1）作AD ⊥x 轴于D,BE ⊥x 轴于E,如图1,∵A （﹣2,2）、B （4,4）,∴AD ＝OD ＝2,BE ＝OE ＝4,DE ＝6,∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝12×（2+4）×6﹣12×2×2﹣12×4×4＝8;（2）作CH // x轴,如图2,∵D（0,﹣4）,M（4,﹣4）,∴DM // x轴,∴CH // OG // DM,∴∠AOG＝∠ACH,∠DEC＝∠HCE,∴∠DEC+∠AOG＝∠ACB＝90°,∴∠DEC＝90°﹣55°＝35°,∴∠CEF＝180°﹣∠DEC＝145°;（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC＝∠ACB＝90°,而∠HEC+∠CEF＝180°,∠NEC+∠CEF＝180°,∴∠NEC＝∠HEC,∴∠NEF＝180°﹣∠NEH＝180°﹣2∠HEC,∵∠HEC＝90°﹣∠AOG,∴∠NEF＝180°﹣2（90°﹣∠AOG）＝2∠AOG．【点睛】本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．6．（1）HL；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL ．（2）证明：如图①，分别过点C 、F 作对边AB 、DE 上的高CG 、FH ，其中G 、H 为垂足． ∵∠ABC 、∠DEF 都是钝角∴G 、H 分别在AB 、DE 的延长线上．∵CG ⊥AG ，FH ⊥DH ，∴∠CGA ＝∠FHD ＝90°．∵∠CBG ＝180°－∠ABC ，∠FEH ＝∠180°－∠DEF ，∠ABC ＝∠DEF ，∴∠CBG ＝∠FEH ．在△BCG 和△EFH 中，∵∠CGB ＝∠FHE ，∠CBG ＝∠FEH ，BC ＝EF ，∴△BCG ≌△EFH ．∴CG ＝FH ．又∵AC ＝DF ．∴Rt △ACG ≌△DFH ．∴∠A ＝∠D ．在△ABC 和△DEF 中，∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF ．（3）如图②，△DEF 就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC 不全等．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．7．（1）①点P ；②见解析；（2）①点C 的横坐标C x 的值为-3；②334k -≤<-【分析】（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ；②利用新定义得点S 是点P 关于点M 的“正矩点”（答案不唯一）；（2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明△BCF ≌△AOB ，则FC=OB 求得点C 的横坐标；②用含k 的代数式表示点C 纵坐标，代入不等式求解即可．【详解】解：（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ，故答案为点P ；②因为MP 绕M 点顺时针旋转90︒得MS ，所以点S 是点P 关于点M 的“正矩点”，同理还可以得点Q 是点P 关于点S 的“正矩点”．（任写一种情况就可以）（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ，可得 ∠BFC=∠AOB=90°．∵直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为3(0,3),(,0)B A k-在x 轴的正半轴上， ∵点A 关于点B 的“正矩点”为点(,)C C C x y ，∴∠ABC=90°，BC=BA ，∴∠1＋∠2=90°，∵∠AOB=90°，∴∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠3．∴△BFC ≌△AOB ，∴3FC OB ==，可得OE ＝3．∵点A 在x 轴的正半轴上且3OA <，0C x ∴<，∴点C 的横坐标C x 的值为－3．②因为△BFC ≌△AOB ，3(,0)A k-，A 在x 轴正半轴上， 所以BF ＝OA ，所以OF ＝OB-OF ＝33k +点3(3,3)C k-+，如图2， -1＜C y ≤2，即：-1＜33k+≤2，则334k-≤<-．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式，新定义等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序，逐次求解．8．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3AD+BD【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH 3，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD ＝2AD +BD ；（3）作AH ⊥CD 于H ．∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ， ∴DH ＝22AD AH -＝3AD ， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD ＝3AD +BD ，故答案为：CD ＝3AD +BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.9．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC∆是等边三角形∴AB＝BC，60B BAC BCA∠∠∠︒＝＝＝∵DF∥AC∴BFD BAC∠∠＝，∠BDF＝∠BCA∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴DF＝BD∵点D是BC的中点∴BD＝CD∴DF＝CD∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵ABC∆是等边三角形，点D是BC的中点∴AD⊥BC∴90ADC∠︒＝∵60BDF ADE∠∠︒＝＝∴30ADF EDC∠∠︒＝＝在ADF∆与EDC∆中AFD ECDDF CDADF EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()ADF EDC ASA∆∆≌∴AD＝DE；（2）结论：AD＝DE.证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F ∵ABC∆是等边三角形∴AB＝BC，60B BAC BCA∠∠∠︒＝＝＝∵DF∥AC∴BFD BAC BDF BCA∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵∠ADC是ABD∆的外角∴60ADC B FAD FAD∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD＝∠CDE在AFD∆与DCE∆中AFD DCEAF CDFAD EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()AFD DCE ASA∆∆≌∴AD＝DE；（3）如下图，ADE∆是等边三角形.证明：∵BC CD=∴AC CD=∵CE平分ACD∠∴CE垂直平分AD∴AE=DE∵60ADE∠=︒∴ADE∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键. 10．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l+≤<．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA和∠EDB=∠DFA，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD，根据AD的取值范围即可得出l的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．11．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇【解析】【分析】（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．【详解】（1）由题意知，BP=2t ，则PC=BC-BP=6-2t ，故答案为：6-2t ；（2）全等，理由如下：∵p Q V V =，t=1，∴BP=2=CQ ，∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，∴BD=4（cm ），又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ），在BPD △和CQP 中BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BPD △≌CQP （SAS ）故答案为：全等．（3）∵p Q V V ≠，∴BP CQ ≠，又∵BPD △≌CPQ ，∠B=∠C ，∴BP=PC=3cm ，CQ=BD=4cm ，∴点,P Q 运动时间322BP t ==（s ）， ∴48332Q CQ V t===（cm/s ）， 故答案为：83； （4）设经过t 秒时，P 、Q 第一次相遇，∵2/p V cm s =，8/3Q V cm s =，∴2t+8+8=83 t，解得：t=24此时点Q走了824643⨯=（cm），∵ABC的周长为：8+8+6=22（cm），∴6422220÷=，∴20-8-8=4（cm），经过24s后，点P与点Q第一次在ABC的BC边上相遇，故答案为：24s，在 BC边上相遇．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．12．（1）（1，0）；（2）362y x-＝；（3）92；（4）（6，3）．【解析】【分析】（1）由题意已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可；（2）根据题意设l2的解析式为y=kx+b，并由题意联立方程组求出k，b的值；（3）由题意联立方程组，求出交点C的坐标，继而即可求出S△ADC；（4）由题意根据△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C 到AD的距离进行分析计算．【详解】解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，∴x=1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0；x=3，y＝32-，代入表达式y=kx+b，∴40332k bk b+⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝，∴326 kb⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝，∴直线l2的解析表达式为362y x-＝；（3）由33362y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），∵AD=3， ∴331922ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，则P 到AD 距离=3，∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，∵y=1.5x-6，y=3，∴1.5x-6=3，解得x=6，所以P （6，3）．【点睛】本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键.。

苏教版数学八年级上册 压轴题 期末复习试卷测试卷（含答案解析）一、压轴题1．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．2．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度； （2）当2t =时，请说明//PQ BC ； （3）设BCQ ∆的面积为()2S cm，求S 与t 之间的关系式．3．在平面直角坐标系xOy 中，若P ，Q 为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．图1为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．已知点A 的坐标为（1，2）． （1）如图2，点B 的坐标为（b ，0）．①若b ＝﹣2，则点A ，B 的“相关矩形”的面积是 ； ②若点A ，B 的“相关矩形”的面积是8，则b 的值为 ．（2）如图3，点C 在直线y ＝﹣1上，若点A ，C 的“相关矩形”是正方形，求直线AC 的表达式；（3）如图4，等边△DEF 的边DE 在x 轴上，顶点F 在y 轴的正半轴上，点D 的坐标为（1，0）．点M 的坐标为（m ，2），若在△DEF 的边上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，请直接写出m 的取值范围．4．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ． （1）求CAM ∠的度数；（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =-+分别交,x y 轴于A B ，两点，C 为线段AB 的中点，(,0)D t 是线段OA 上一动点（不与A 点重合），射线//BF x 轴，延长DC交BF 于点E ． （1）求证：AD BE =；（2）连接BD ，记BDE 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（3）是否存在t 的值，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．6．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠． （初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．7．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．8．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝3+a c ，y ＝3+b d，那么称点T 是点A 和B 的融合点．例如：M （﹣1，8），N （4，﹣2），则点T （1，2）是点M 和N 的融合点．如图，已知点D （3，0），点E 是直线y ＝x +2上任意一点，点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点．（1）若点E 的纵坐标是6，则点T 的坐标为 ； （2）求点T （x ，y ）的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式：（3）若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．9．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ； （3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PF AF的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）10．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.11．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接 EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．（1）求证：FHA ADC≌△△；（2）求证：点G是EF的中点．12．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如图①．（1）求证：∠ACN=∠AMC；（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：12S ACS AB；（3）延长线段AB到点P，使BP=BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？（写出探究过程）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则341bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR为y＝﹣12x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.2．（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）见解析；（3）S=16-2t．【解析】【分析】（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；（2）通过证明PCQ BQC≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】解：（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6∴CP=BQ∵CD∥AB∴∠PCQ=∠BQC又∵CQ=QC∴PCQ BQC≅∴∠PQC=∠BCQ∴PQ∥BC（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M∵AC=BC，CM⊥AB∴AM=118422AB=⨯=（cm）∵AC=BC，∠ACB=90︒∴∠A=∠B=45︒∵CM⊥AB∴∠AMC=90︒∴∠ACM=45︒∴∠A=∠ACM∴CM=AM=4（cm）∴118t4162 22BCQS BQ CM t ==⨯-⨯=-因此，S与t之间的关系式为S=16-2t．【点睛】此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．3．（1）①6；②5或﹣3；（2）直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）m的取值范围为﹣3≤m≤﹣323m≤3．【解析】【分析】（1）①由矩形的性质即可得出结果；②由矩形的性质即可得出结果；（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3求出正方形AGCH的边长为3，分两种情况求出直线AC的表达式即可；（3）由题意得出点M在直线y＝2上，由等边三角形的性质和题意得出OD＝OE＝12DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，得出OF3OD3①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣32）；得出m的取值范围为﹣3≤m≤﹣3或2﹣3≤m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（22）；得出m的取值范围为2≤m≤3或2﹣≤m≤1；即可得出结论．【详解】解：（1）①∵b＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），如图2﹣1所示：∵点A的坐标为（1，2），∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，故答案为：6；②如图2﹣2所示：由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，∴|b﹣1|＝4，∴b＝5或b＝﹣3，故答案为：5或﹣3；（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的边长为3，当点C在直线x＝1右侧时，如图3﹣1所示：CG＝3，则C（4，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝kx+a，则214k ak a=+⎧⎨-=+⎩，解得；13ka=-⎧⎨=⎩，∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3；当点C在直线x＝1左侧时，如图3﹣2所示：CG＝3，则C（﹣2，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝k′x+b，则212k bk b=+⎧⎨-=-+''⎩，解得：k1 b1=⎧⎨='⎩，∴直线AC的表达式为：y＝x+1，综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）∵点M的坐标为（m，2），∴点M在直线y＝2上，∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），∴OD＝OE＝12DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，∴OF＝3OD＝3，分两种情况：如图4所示：①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣2+3，2）或（2﹣3，2）；∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2﹣3，2）或（﹣2+3，2）；∴m的取值范围为2﹣3≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+3；综上所述，m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤3．【点睛】此题主要考查图形与坐标综合，解题的关键是熟知正方形的性质、一次函数的图像与性质及新定义的应用．4．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D 在线段MA 的延长线上时，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，CBE CAD ∴∠=∠，同理可得：30CAM ∠=︒150CBE CAD ∴∠=∠=︒30CBO ∴∠=︒， ∵30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.5．（1）详见解析；（2）36(04)2BDE t t S -+≤<=；（3）存在，当78t =或43时，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．【解析】【分析】（1）先判断出EBC DAC ∠=∠，CEB CDA ∠=∠，再判断出BC AC =，进而判断出△BCE ≌△ACD ，即可得出结论；（2）先确定出点A ，B 坐标，再表示出AD ，即可得出结论；（3）分两种情况：当BD BE =时，利用勾股定理建立方程2223(4)t t +=-，即可得出结论；当BD DE =时，先判断出Rt △OBD ≌Rt △MED ，得出DM OD t ==，再用OM BE =建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）证明：射线//BF x 轴， EBC DAC ∴∠=∠，CEB CDA ∠=∠， 又C 为线段AB 的中点，BC AC ∴=，在△BCE 和△ACD 中，CEB CDAEBC DACBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△ACD（AAS），BE AD∴=；（2）解：在直线334y x=-+中，令0x=，则3y=，令0y=，则4x=，A∴点坐标为(4,0)，B点坐标为(0,3)，D点坐标为(,0)t，4AD t BE∴=-=，113(4)36(04)222BDE ABD BS S AD y t t t∴==⋅=-⨯=-+<；（3）当BD BE=时，在Rt OBD∆中，90BOD∠=︒，由勾股定理得：222OB OD DB+=，即2223(4)t t+=-解得：78t=；当BD DE=时，过点E作EM x⊥轴于M，90BOD EMD∴∠=∠=︒，//BF OA，OB ME∴=在Rt△OBD和Rt△MED中，==BD DEOB ME⎧⎨⎩，∴Rt△OBD≌Rt△MED（HL），OD DM t∴==，由OM BE=得：24t t=-解得：43t=，综上所述，当78t=或43时，使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．6．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7【解析】【分析】（1）由DE∥BC，得到DB ECAB AC=，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴DB ECAB AC=，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中AD AEDAB EACAB AC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵∠BOD=∠AOC ，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，△ADE与△ADC面积的和达到最大，∴△ADC面积最大，∵在旋转的过程中，AC始终保持不变，∴要△ADC面积最大，∴点D到AC的距离最大，∴DA⊥AC，∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7，故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．7．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH2EF，CH＝2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH2EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH2CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH2AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，2AF）2+2EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.8．（1）（73，2）；（2）y ＝x ﹣13；（3）E 的坐标为（32，72）或（6，8） 【解析】【分析】（1）把点E 的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E 的坐标，根据融合点的定义求求解即可；（2）设点E 的坐标为（a ，a+2），根据融合点的定义用a 表示出x 、y ，整理得到答案；（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．【详解】解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6，∴x +2＝6，解得，x ＝4，∴点E 的坐标是（4，6），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，∴x ＝343+＝73，y ＝063+＝2， ∴点T 的坐标为（73，2）， 故答案为：（73，2）； （2）设点E 的坐标为（a ，a +2），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，∴x ＝33a +，y ＝023a ++， 解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2，∴3x ﹣3＝3y ﹣2，整理得，y ＝x ﹣13； （3）设点E 的坐标为（a ，a +2），则点T 的坐标为（33a +，23a +）， 当∠THD ＝90°时，点E 与点T 的横坐标相同， ∴33a +＝a ， 解得，a ＝32， 此时点E 的坐标为（32，72），当∠TDH ＝90°时，点T 与点D 的横坐标相同，∴33a +＝3， 解得，a ＝6， 此时点E 的坐标为（6，8），当∠DTH ＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH 为直角三角形时，点E 的坐标为（32，72）或（6，8） 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义，解题关键是灵活运用分情况讨论思想．9．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE=60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD =AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在ABK和ACF中，AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABK ACF≌(SAS)，BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴29BK CF PK CP===，∴79PF CP CF CP=-=，∵45()99 AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-=∴779559CP PF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.10．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥CD ED ∴=在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩()BCD BED HL ∴∆≅∆BC BE ∴=EBC ∴∆是等边三角形；（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF3,090A ACB ∠=︒∠=︒，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=︒=60,18060MDF ADE MDB ADE BDE ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF ∴∆是等边三角形,60MF DM F DMF ∴=∠=∠=︒60BMG ∠=︒DMF DM B M G G D M G ∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB ∠=∠在FMG∆和DMB∆中，60F MDBMF MDFMG DMB∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FMG DMB ASA∴∆≅∆GF BD∴=，即DF DG BD+=AD DF DG MD DG∴=+=+即AD DG MD=+；（3）结论：AD DG ND=-，证明过程如下：如图，延长BD使得DH ND=，连接NH由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN∴∆是等边三角形,60NH ND H HND∴=∠=∠=︒60BNG∠=︒HND BND BNDBNG∠+∠=+∠∴∠，即NHNB D G∠=∠在HNB∆和DNG∆中，60H NDGNH NDHNB DNG∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HNB DNG ASA∴∆≅∆HB DG∴=，即DH BD DG+=ND AD DG∴+=即AD DG ND=-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．11．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC=，利用AAS得到AFH CAD∆≅∆；（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD=，再EK AD⊥，交DG延长线于点K，同理可得到AD EK=，等量代换得到FK EH=，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS得到FHG EKG≅△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】证明：（1）∵FH AG⊥，90AEH EAH∴∠+∠=︒，90FAC∠=︒，90FAH CAD∴∠+∠=︒，AFH CAD∴∠=∠，在AFH∆和CAD∆中，90AHF ADCAFH CADAF AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFH CAD AAS∴∆≅∆，（2）由（1）得AFH CAD∆≅∆，FH AD∴=，作FK AG⊥，交AG延长线于点K，如图；同理得到AEK ABD∆≅∆，EK AD∴=，FH EK∴=，在EKG∆和FHG∆中，90EKG FHGEGK FGHEK FH∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EKG FHG AAS∴∆≅∆，EG FG∴=．即点G是EF的中点．此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K 字形全等进行证明是解本题的关键．12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC =2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN =CP 始终成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“AAS ”可证△NEC ≌△CDM ，可得NE=CD ，由三角形面积公式可求解；（3）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“SAS ”可证△NEA ≌△CDP ，可得AN=CP ．【详解】（1）∵∠BAC=45°，∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM ．∵∠NCM=135°，∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，∴△NEC ≌△CDM （AAS ），∴NE=CD ，CE=DM ；∵S 112=AC•NE ，S 212=AB•CD ， ∴12S AC S AB=； （3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，由（2）可得NE=CD ，CE=DM ．∵AC=2BD，BP=BM，CE=DM，∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM，∴AE=BD+BP=DP．∵NE=CD，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP，∴△NEA≌△CDP（SAS），∴AN=PC．【点睛】本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

苏教版数学八年级上册 压轴题 期末复习试卷中考真题汇编[解析版]一、压轴题1．如图，直线l 1：y 1=﹣x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P （m ，3）为直线l 1上一点，另一直线l 2：y 2=12x +b 过点P ． （1）求点P 坐标和b 的值；（2）若点C 是直线l 2与x 轴的交点，动点Q 从点C 开始以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t 秒．①请写出当点Q 在运动过程中，△APQ 的面积S 与t 的函数关系式； ②求出t 为多少时，△APQ 的面积小于3；③是否存在t 的值，使△APQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．2．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度； （2）当2t =时，请说明//PQ BC ； （3）设BCQ ∆的面积为()2S cm，求S 与t 之间的关系式．3．如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t （s ）．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t ＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．4．(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．①请直接写出∠AEB 的度数为_____；②试猜想线段AD 与线段BE 有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2， △ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同－直线上， CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．5．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌． ②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________． （2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明） 6．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0Bb 满足|21|280a b a b --++-=．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．7．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． （初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． （深入探究）第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．（1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．（2）如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．求证：△ABC ≌△DEF ．第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（3）在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等，并作简要说明．8．ABC 是等边三角形，作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，直线BD 交直线AP 于点E ，连接CE ．（1）如图①，求证：CE AE BE +=；（提示：在BE 上截取BF DE =，连接AF ．）（2）如图②、图③，请直接写出线段CE ，AE ，BE 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若26BD AE ==，则CE =__________．9．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D 作DF ∥AC 交AB 于F ，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD 与DE 的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)，其他条件不变，试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．10．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．11．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；，求线段AB （3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：22，CD＝36的长．12．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．（1）如图1，已知A（3，2），B（4，0），请在x轴上找一个C，使得△OAB与△OAC是偏差三角形．你找到的C点的坐标是______，直接写出∠OBA和∠OCA的数量关系______．（2）如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠D+∠B=180°，问△ABC与△ACD是偏差三角形吗？请说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=DC，AC与BD交于点P，BD+AC=9，∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC＜90°，且点C到直线BD的距离是3，求△ABC与△BCD 的面积之和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）b=72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32t ﹣272；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+或9﹣或6时，△APQ 为等腰三角形． 【解析】分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据12P S AQ y =⋅即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22t -<即可求得7<t <9或9<t <11.时，APQ 的面积小于3；③分三种情况：当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--， 即可求得．详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点， ∴3=−m +2，解得m =−1， ∴点P 的坐标为(−1,3)， 把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1312b =⨯-+， 解得72b =； (2)∵72b =； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72， ∴C 点的坐标为(−7,0)，①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)， ∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7−t =9−t ，∴11273(9)32222S AQ yP t t =⋅=⨯-⨯=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t −9，∴11327(9)32222S AQ yP t t ；=⋅=⨯-⨯=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327.22S t =- ②∵S <3，∴273322t -<或327 3.22t -< 解得7<t <9或9<t <11.③存在； 设Q (t −7,0)，当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-∴22(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)，当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++- ∴2(9)18,t -=解得932t =+或932t =-； 当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，∴22(6)9(9)t t -+=-，解得t =6. 故当t 的值为3或932+或932-或6时，△APQ 为等腰三角形．点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键. 2．（1）CP=3t ，BQ=8-t ；（2）见解析；（3）S=16-2t ． 【解析】 【分析】（1）直接根据距离=速度⨯时间即可； （2）通过证明PCQ BQC ≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；（3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M ，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】解：（1）CP=3t ，BQ=8-t ； （2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6 ∴CP=BQ ∵CD ∥AB ∴∠PCQ=∠BQC 又∵CQ=QC ∴PCQ BQC ≅∴∠PQC=∠BCQ ∴PQ∥BC（3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M∵AC=BC，CM⊥AB∴AM=118422AB=⨯=（cm）∵AC=BC，∠ACB=90︒∴∠A=∠B=45︒∵CM⊥AB∴∠AMC=90︒∴∠ACM=45︒∴∠A=∠ACM∴CM=AM=4（cm）∴118t4162 22BCQS BQ CM t ==⨯-⨯=-因此，S与t之间的关系式为S=16-2t．【点睛】此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．3．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP和△BPQ全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP和△BPQ中，{AP BQ A B AC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ(SAS). ∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*. ∴∠CPQ= 90°，即线段PC 与线段PQ 垂直； (2)①若△ACP ≌△BPQ ， 则AC= BP ，AP= BQ ，34tt xt =-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩; ②若△ACP ≌△BQP ， 则AC= BQ ，AP= BP ，34xtt t =⎧⎨=-⎩解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等.【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.4．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由见解析. 【解析】 【分析】（1）①由条件△ACB 和△DCE 均为等边三角形，易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．②由△ACD ≌△BCE ，可得AD=BE ；（2）首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，可得CM=DM=EM ，所以DE=DM+EM=2CM ，据此判断出AE=BE+2CM ． 【详解】（1）①∵∠ACB=∠DCE ，∠DCB=∠DCB ， ∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；②AD=BE.证明：∵△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ．（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，∴AC = BC ， CD = CE ， ∠ACB =∠DCB =∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD = ∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD = BE ，∠BEC = ∠ADC=135°．∴∠AEB =∠BEC －∠CED =135°－ 45°= 90°．在等腰直角△DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM =DM= ME ，∴DE = 2CM ．∴AE = DE+AD=2CM+BE ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．5．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．6．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；（2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明．【详解】解：（1）210a b --=，又∵|21|0a b --≥0， |21|0a b ∴--=0=，即210280a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23a b =⎧⎨=⎩， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），根据题意得，11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦， 化简，得3||42t =， 解得，83t =±， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的， ∴点D 的坐标是141,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；EF CD，交y轴于点F，如图所示，（3）证明：过点E作//∠=∠，则ECD CEF∠=∠，2BCE ECD∴∠=∠=∠，BCD ECD CEF33OG AB，交PE于点G，如图所示，过点O作//∠=∠，则OGP BPE∠，PE平分OPB∴∠=∠，OPE BPE∴∠=∠，OGP OPECD AB，由平移得//∴，//OG FE∴∠=∠，FEP OGP∴∠=∠，FEP OPE∠=∠+∠，CEP CEF FEP∴∠=∠+∠，CEP CEF OPE∴∠=∠-∠，CEF CEP OPE∴∠=∠-∠．BCD CEP OPE3()【点睛】本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．7．（1）HL；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．【详解】（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL．（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH，其中G、H为垂足．∵∠ABC、∠DEF都是钝角∴G、H分别在AB、DE的延长线上．∵CG⊥AG，FH⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH．在△BCG和△EFH中，∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△BCG≌△EFH．∴CG＝FH．又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．（3）如图②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．8．（1）见解析；（2）图②中，CE+BE=AE，图③中，AE+BE=CE；（3）1.5或4.5【解析】【分析】（1）在BE上截取BF DE=，连接AF，只要证明△AED≌△AFB，进而证出△AFE为等边三角形，得出CE+AE= BF+FE，即可解决问题；（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF，只要证明△ACE≌△AFB，进而证出△AFE为等边三角形，得出CE+BE= BF+BE，即可解决问题；图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，只要证明△AEB≌△AFC，进而证出△AFE为等边三角形，得出AE+BE =CF+EF，即可解决问题；（3）根据线段CE，AE，BE，BD之间的数量关系分别列式计算即可解决问题．【详解】（1）证明：在BE上截取BF DE=，连接AF，在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，设∠EAC=∠DAE=x．∵AD=AC=AB，∴∠D=∠ABD=12（180°-∠BAC-2x）=60°-x，∴∠AEB=60-x+x=60°．∵AC=AB，AC=AD，∴AB=AD，∴∠ABF=∠ADE，，∵BF DE∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE，BF=DE，∴△AFE为等边三角形，∴EF=AE，∵AP是CD的垂直平分线，∴CE=DE，∴CE=DE=BF，∴CE+AE= BF+FE =BE；（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，∵AE =AE∴△ACE≌△ADE，∴∠ACE=∠ADE∵AB =AD，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABF=∠ADE=∠ACE∵AB=AC，BF=CE，∴△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠BAF=∠CAE∵∠BAC=∠BAE+∠CAE =60°∴∠EAF=∠BAE+∠BAF =60°∴△AFE为等边三角形，∴EF=AE，∴AE=BE+BF= BE+CE，即CE+BE=AE；图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，在等边△ABC 中，AC=AB ，∠BAC=60°由对称可知：AP 是CD 的垂直平分线，AC=AD ，∠EAC=∠EAD ，∴AB =AD ，CE=DE ，∵AE =AE∴△ACE ≌△ADE ，∴∠ACE=∠ADE∵AB =AD ，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=∠ADE=∠ACE∵AB=AC ，BE=CF ，∴△ACF ≌△ABE ，∴AE=AF ，∠BAE=∠CAF∵∠BAC=∠BAF+∠CAF =60°∴∠EAF=∠BAF+∠BAE =60°∴△AFE 为等边三角形，∴EF=AE ，∴CE =EF+CF= AE + BE ，即AE+BE=CE ；（3）在（1）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，∵CE+AE=BE ，∴BE-CE=3，∵BD=BE+ED=BE+CE=6，∴CE=1.5；在（2）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，因为图②中，CE+BE=AE ，而BD=BE-DE=BE-CE ，所以BD 不可能等于2AE ；图③中，若26BD AE ==，则AE=3，∵AE+BE=CE ，∴CE-BE=3，∵BD=BE+ED=BE+CE=6，∴CE=4.5．即CE=1.5或4.5．【点睛】本题考查几何变换，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝ ∵DF ∥AC∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA ∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝ ∴DF ＝BD∵点D 是BC 的中点∴BD ＝CD∴DF ＝CD∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线 ∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点 ∴AD ⊥BC∴90ADC ∠︒＝∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝在ADF ∆与EDC ∆中AFD ECD DF CDADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（2）结论：AD ＝DE .证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB于F∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF∥AC∴BFD BAC BDF BCA∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵∠ADC是ABD∆的外角∴60ADC B FAD FAD∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD＝∠CDE在AFD∆与DCE∆中AFD DCEAF CDFAD EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()AFD DCE ASA∆∆≌∴AD＝DE；（3）如下图，ADE∆是等边三角形.证明：∵BC CD=∴AC CD=∵CE平分ACD∠∴CE垂直平分AD∴AE=DE∵60ADE∠=︒∴ADE∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键. 10．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECB CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．11．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝+4．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴AE ＝BD ．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.12．（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC 与△ACD 是偏差三角形，理由见解析；（3）272 【解析】【分析】（1）根据偏差三角形的定义，即可得到C 的坐标，根据等腰三角形的性质和平角的定义，即可得到结论；（2）在AD 上取一点H ，使得AH=AB ，易证△CAH ≌△CAB ，进而可得∠D=∠CHD ，根据偏差三角形的定义，即可得到结论；（3）延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，由SAS可证∆BDC≅∆EAB，得EA=BD，点B到直线EA的距离是3，根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）∵当AC=AB时，△OAB与△OAC是偏差三角形，A(3，2)，B(4，0)，∴点C的坐标为（2，0），如图1，∵AC=AB，∴∠ACB=∠ABC，∵∠OCA+∠ACB=180°，∴∠OBA+∠OCA=180°，故答案为：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由如下：如图2中，在AD上取一点H，使得AH=AB．∵AC平分∠BAD，∴∠CAH=∠CAB，又∵ AC=AC，∴△CAH≌△CAB（SAS），∴CH=CB，∠B=∠AHC，∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，∴∠D=∠CHD，∴CH=CD，∴CB=CD，∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等，∴△ABC与△ACD是偏差三角形；（3）如图3中，延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，∴∠BDC=∠BAE，又∵AB=CD，∴∆BDC≅∆EAB（SAS），∴EA=BD，∵点C到直线BD的距离是3，∴点B到直线EA的距离是3，∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=12∙（AC+EA）×3 =12∙（AC+BD）×3 =12×9×3=272．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．。

苏教版数学八年级上册 压轴题 期末复习试卷（Word 版 含解析）一、压轴题1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足3a c x +=，3b d y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足1413x -+==，()8223y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点． （1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．①试确定y 与x 的关系式；②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．2．如图，直线l 1：y 1=﹣x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P （m ，3）为直线l 1上一点，另一直线l 2：y 2=12x +b 过点P ． （1）求点P 坐标和b 的值；（2）若点C 是直线l 2与x 轴的交点，动点Q 从点C 开始以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t 秒．①请写出当点Q 在运动过程中，△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②求出t 为多少时，△APQ 的面积小于3；③是否存在t 的值，使△APQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣34x+m 分别与x 轴、y 轴交于点B 、A ．其中B点坐标为（12，0），直线y ＝38x 与直线AB 相交于点C ．（1）求点A 的坐标．（2）求△BOC 的面积．（3）点D 为直线AB 上的一个动点，过点D 作y 轴的平行线DE ，DE 与直线OC 交于点E （点D 与点E 不重合）．设点D 的横坐标为t ，线段DE 长度为d ．①求d 与t 的函数解析式（写出自变量的取值范围）．②当动点D 在线段AC 上运动时，以DE 为边在DE 的左侧作正方形DEPQ ，若以点H （12，t ）、G （1，t ）为端点的线段与正方形DEPQ 的边只有一个交点时，请直接写出t 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴正半轴于点C ，且OC ＝3．图1 图2（1）求直线BC 的解析式；（2）如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；（3）如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 右侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标；5．如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3 cm/s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm/s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s)．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．6．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOA ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．7．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（深入探究）第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．（1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．（2）如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．求证：△ABC ≌△DEF ．第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（3）在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等，并作简要说明．8．ABC 是等边三角形，作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，直线BD 交直线AP 于点E ，连接CE ．（1）如图①，求证：CE AE BE +=；（提示：在BE 上截取BF DE =，连接AF ．） （2）如图②、图③，请直接写出线段CE ，AE ，BE 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若26BD AE ==，则CE =__________．9．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．10．如图，已知直线l 1：y 1＝2x +1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2＝﹣x ﹣2与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点．(1)求P 点的坐标；(2)求△APB 的面积；(3)x 轴上存在点T ，使得S △ATP ＝S △APB ，求出此时点T 的坐标．11．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．12．如图，直线l 1的表达式为：y=-3x+3，且直线l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线l 2的解析表达式；（3）求△ADC 的面积；（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，求点P 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）点C 是点A 、B 的融合点；（2）①2-1y x =；②见详解；③点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）【解析】【分析】（1）根据融合点的定义3a c x +=，3b d y +=，即可求解； （2）①由题意得：分别得到x 与t 、y 与t 的关系，即可求解；②利用①的函数关系式解答；③分∠DTH ＝90°、∠TDH ＝90°、∠HTD ＝90°三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）x ＝-17233a c ++==，y ＝54333b d ++==， 故点C 是点A 、B 的融合点； （2）①由题意得：x ＝433a c t ++=，y ＝2533b d t ++=，则3-4t x =， 则()23-452-13x y x +==； ②令x ＝0，y ＝-1；令y ＝0，x ＝12，图象如下：③当∠THD＝90°时，∵点E（t，2t＋5），点T（t，2t−1），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴t＝13（t＋4），∴t＝2，∴点E（2，9）；当∠TDH＝90°时，∵点E（t，2t＋5），点T（4，7），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴4＝13（4＋t）∴t＝8，∴点E（8，21）；当∠HTD＝90°时，由于EH 与x 轴不平行，故∠HTD 不可能为90°；故点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）．【点睛】本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．2．（1）b=72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32t ﹣272；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+或9﹣或6时，△APQ 为等腰三角形．【解析】分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据12P S AQ y =⋅即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22t -<即可求得7<t <9或9<t <11.时，APQ 的面积小于3；③分三种情况：当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，即可求得．详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点，∴3=−m +2，解得m =−1，∴点P 的坐标为(−1,3)，把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1312b =⨯-+， 解得72b =； (2)∵72b =； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72，∴C 点的坐标为(−7,0)，①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)，∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7−t =9−t ， ∴11273(9)32222S AQ yP t t =⋅=⨯-⨯=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t −9，∴11327(9)32222S AQ yP t t ；=⋅=⨯-⨯=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327.22S t =- ②∵S <3， ∴273322t -<或327 3.22t -< 解得7<t <9或9<t <11. ③存在；设Q (t −7,0)，当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-∴22(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)， 当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-∴2(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，∴22(6)9(9)t t -+=-， 解得t =6.故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.3．（1）点A 坐标为（0，9）；（2）△BOC 的面积＝18；（3）①当t ＜8时，d ＝﹣98t+9，当t ＞8时，d ＝98t ﹣9；②12≤t≤1或7617≤t≤8017． 【解析】【分析】（1）将点B 坐标代入解析式可求直线AB 解析式，即可求点A 坐标；（2）联立方程组可求点C 坐标，即可求解；（3）由题意列出不等式组，可求解．【详解】解：（1）∵直线y ＝﹣34x+m 与y 轴交于点B （12，0）， ∴0＝﹣34×12+m ， ∴m ＝9， ∴直线AB 的解析式为：y ＝﹣34x+9， 当x ＝0时，y ＝9，∴点A 坐标为（0，9）；（2）由题意可得：38394y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：83 xy=⎧⎨=⎩，∴点C（8，3），∴△BOC的面积＝12×12×3＝18；（3）①如图，∵点D的横坐标为t，∴点D（t，﹣34t+9），点E（t，38t），当t＜8时，d＝﹣34t+9﹣38t＝﹣98t+9，当t＞8时，d＝38t+34t﹣9＝98t﹣9；②∵以点H（12，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点，∴12≤t≤1或919829918t tt t⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩，∴12≤t≤1或7617≤t≤8017．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，不等式组的应用，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．4．（1）443y x=-+；（2）612(,)55M；（3）23(0,)7G或(0,-1)G【解析】【分析】（1）求出点B，C坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）结合图形，由S△AMB＝S△AOB 分析出直线OM平行于直线AB，再利用两直线相交建立方程组求得交点M的坐标；（3）分两种情形：①当n＞2时，如图2-1中，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x 轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M，N．求出Q（n-2，n-1）．②当n＜2时，如图2-2中，同法可得Q（2-n，n+1），代入直线BC的解析式解方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（-2，0），B（0，4），，又∵OC=3，∴C（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C的坐标代入得：304k bb+=⎧⎨=⎩，解得：434kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式为443y x=-+；（2）连接OM，∵S△AMB＝S△AOB，∴直线OM平行于直线AB，故设直线OM解析式为：2y x=,将直线OM的解析式与直线BC的解析式联立得方程组2443y xy x=⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：65125xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点612(,)55M；（3）∵FA=FB，A（-2，0），B（0，4），∴F（-1，2），设G（0，n），①当n＞2时，如图2-1中，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M，N．∵四边形FGQP是正方形，易证△FMG≌△GNQ，∴MG=NQ=1，FM=GN=n-2，∴Q（n-2，n-1），∵点Q在直线443y x=-+上，∴41(2)43n n-=--+，∴23=7n,∴23(0,)7G．②当n＜2时，如图2-2中，同法可得Q（2-n，n+1），∵点Q 在直线443y x =-+上， ∴4+1(2)43n n =--+， ∴n=-1，∴(0,-1)G ． 综上所述，满足条件的点G 坐标为23(0,)7G 或(0,-1)G 【点睛】 本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．（1）203；（2）①t ＝83；②a ＝185；（3）t ＝6.4或t ＝103 【解析】【分析】（1）根据时间＝路程÷速度即可求得答案；（2）①由题意得：BM ＝CN ＝3t ，则只可以是△CMN ≌△BAM ，AB ＝CM ，由此列出方程求解即可；②由题意得：CN ≠BM ，则只可以是△CMN ≌△BMA ，AB ＝CN ＝12，CM ＝BM ，进而可得3t ＝10，求解即可；（3）分情况讨论，当△CMN ≌△BPM 时，BP ＝CM ，若此时P 由A 向B 运动，则12－2t ＝20－3t ，但t ＝8不符合实际，舍去，若此时P 由B 向A 运动，则2t －12＝20－3t ，求得t ＝6.4；当△CMN ≌△BMP 时，则BP ＝CN ，CM ＝BM ，可得3t ＝10，t ＝103，再将t ＝103代入分别求得AP ，BP 的长及a 的值验证即可．【详解】解：（1）20÷3＝203， 故答案为：203； （2）∵CD ∥AB ，∴∠B ＝∠DCB ，∵△CNM 与△ABM 全等，∴△CMN ≌△BAM 或△CMN ≌△BMA ，①由题意得：BM ＝CN ＝3t ，∴△CMN ≌△BAM∴AB ＝CM ，∴12＝20－3t ，解得：t＝83；②由题意得：CN≠BM，∴△CMN≌△BMA，∴AB＝CN＝12，CM＝BM，∴CM＝BM＝12 BC，∴3t＝10，解得：t＝10 3∵CN＝at，∴103a＝12解得：a＝185；（3）存在∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCB，∵△CNM与△PBM全等，∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP，当△CMN≌△BPM时，则BP＝CM，若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴12－2t＝20－3t，解得：t＝8 (舍去)若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴2t－12＝20－3t，解得：t＝6.4，当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，∴CM＝BM＝12 BC∴3t＝10，解得：t＝10 3当t＝103时，点P的路程为AP＝2t＝203，此时BP＝AB－AP＝12－203＝163，则CN＝BP＝16 3即at＝163，∵t＝103，∴a＝1.6符合题意综上所述，满足条件的t的值有：t＝6.4或t＝10 3【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，解决本题的关键就是用方程思想及分类讨论思想解决问题，把实际问题转化为方程是常用的手段．6．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.【详解】（180b-=，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；故答案为：（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），∴OA=6，OB=8，由运动知，OQ=t，PC=2t，∴OP=8-2t，∵D（4，3），∴114222ODQ DS OQ x t t=⨯=⨯=△，11823123 22ODP DS OP y t t=⨯=-⨯=-△（），∵△ODP与△ODQ的面积相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°.又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD.∵x轴平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD.∴∠GOA=∠OAC.∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE.∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.7．（1）HL；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．【详解】（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL．（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH，其中G、H为垂足．∵∠ABC、∠DEF都是钝角∴G、H分别在AB、DE的延长线上．∵CG⊥AG，FH⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH．在△BCG和△EFH中，∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△BCG≌△EFH．∴CG＝FH．又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．（3）如图②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．8．（1）见解析；（2）图②中，CE+BE=AE，图③中，AE+BE=CE；（3）1.5或4.5【解析】【分析】（1）在BE上截取BF DE=，连接AF，只要证明△AED≌△AFB，进而证出△AFE为等边三角形，得出CE+AE= BF+FE，即可解决问题；（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF，只要证明△ACE≌△AFB，进而证出△AFE为等边三角形，得出CE+BE= BF+BE，即可解决问题；图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，只要证明△AEB≌△AFC，进而证出△AFE为等边三角形，得出AE+BE =CF+EF，即可解决问题；（3）根据线段CE，AE，BE，BD之间的数量关系分别列式计算即可解决问题．【详解】（1）证明：在BE上截取BF DE=，连接AF，在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，设∠EAC=∠DAE=x．∵AD=AC=AB，∴∠D=∠ABD=12（180°-∠BAC-2x）=60°-x，∴∠AEB=60-x+x=60°．∵AC=AB，AC=AD，∴AB=AD，∴∠ABF=∠ADE，，∵BF DE∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE，BF=DE，∴△AFE为等边三角形，∴EF=AE，∵AP是CD的垂直平分线，∴CE=DE，∴CE=DE=BF，∴CE+AE= BF+FE =BE；（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，∵AE =AE∴△ACE≌△ADE，∴∠ACE=∠ADE∵AB =AD，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABF=∠ADE=∠ACE∵AB=AC，BF=CE，∴△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠BAF=∠CAE∵∠BAC=∠BAE+∠CAE =60°∴∠EAF=∠BAE+∠BAF =60°∴△AFE为等边三角形，∴EF=AE，∴AE=BE+BF= BE+CE，即CE+BE=AE；图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，在等边△ABC 中，AC=AB ，∠BAC=60°由对称可知：AP 是CD 的垂直平分线，AC=AD ，∠EAC=∠EAD ，∴AB =AD ，CE=DE ，∵AE =AE∴△ACE ≌△ADE ，∴∠ACE=∠ADE∵AB =AD ，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=∠ADE=∠ACE∵AB=AC ，BE=CF ，∴△ACF ≌△ABE ，∴AE=AF ，∠BAE=∠CAF∵∠BAC=∠BAF+∠CAF =60°∴∠EAF=∠BAF+∠BAE =60°∴△AFE 为等边三角形，∴EF=AE ，∴CE =EF+CF= AE + BE ，即AE+BE=CE ；（3）在（1）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，∵CE+AE=BE ，∴BE-CE=3，∵BD=BE+ED=BE+CE=6，∴CE=1.5；在（2）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，因为图②中，CE+BE=AE ，而BD=BE-DE=BE-CE ，所以BD 不可能等于2AE ；图③中，若26BD AE ==，则AE=3，∵AE+BE=CE ，∴CE-BE=3，∵BD=BE+ED=BE+CE=6，∴CE=4.5．即CE=1.5或4.5．【点睛】本题考查几何变换，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A +∠C =180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=12 CE，∵BD=CE，∴CF=OF=12 BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．10．（1）P (﹣1，﹣1)；（2）32；（3）T (1，0)或(﹣2，0)． 【解析】【分析】 （1）解析式联立构成方程组，该方程组的解就是交点坐标；（2）利用三角形的面积公式解答；（3）求得C 的坐标，因为S △ATP ＝S △APB ，S △ATP ＝S △ATC +S △PTC ＝|x +12|，所以|x +12|＝32，解得即可．【详解】 解：（1）由212y x y x =+⎧⎨=--⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩， 所以P （﹣1，﹣1）；（2）令x ＝0，得y 1＝1，y 2＝﹣2∴A （0，1），B （0，﹣2），则 S △APB ＝12×（1+2）×1＝32； （3）在直线l 1：y 1＝2x +1中，令y ＝0，解得x ＝﹣12， ∴C （﹣12，0）， 设T （x ，0）， ∴CT ＝|x +12|， ∵S △ATP ＝S △APB ，S △ATP ＝S △ATC +S △PTC ＝12•|x +12|•（1+1）＝|x +12|， ∴|x +12|＝32， 解得x ＝1或﹣2，∴T (1，0)或(﹣2，0)．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是准确将条件转化为二元一次方程组，并求出各点的坐标．11．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，24l +≤<．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．12．（1）（1，0）；（2）362y x -＝；（3）92；（4）（6，3）． 【解析】【分析】 （1）由题意已知l 1的解析式，令y=0求出x 的值即可；（2）根据题意设l 2的解析式为y=kx+b ，并由题意联立方程组求出k ，b 的值；（3）由题意联立方程组，求出交点C 的坐标，继而即可求出S △ADC ；（4）由题意根据△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到AD 的距离进行分析计算．【详解】解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，∴x=1，∴D （1，0）；（2）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b ，由图象知：x=4，y=0；x=3，y ＝32-，代入表达式y=kx+b ， ∴40332k b k b +⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝， ∴326k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线l 2的解析表达式为362y x -＝； （3）由33362y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），∵AD=3， ∴331922ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，则P 到AD 距离=3，∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，∵y=1.5x-6，y=3，∴1.5x-6=3，解得x=6，所以P （6，3）．【点睛】本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键.。

苏教版数学八年级上册 压轴题期末复习试卷测试卷（解析版）一、压轴题1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足3a c x +=，3b d y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足1413x -+==，()8223y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点． （1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．①试确定y 与x 的关系式；②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．2．阅读并填空：如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE OD ，那么CD BE =，为什么？解：过点E 作EF AC 交BC 于F所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF ∠=∠（________）在OCD 与OFE △中()________COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE △≌△，（________）所以CD FE =（________）因为AB AC =（已知）所以ACB B =∠∠（________）所以EFB B ∠=∠（等量代换）所以BE FE =（________）所以CD BE =3．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．4．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．5．如图，直线112y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与直线26y kx =-交于点()C 4,2．（1）b = ；k = ；点B 坐标为 ；（2）在线段AB 上有一动点E ，过点E 作y 轴的平行线交直线y 2于点F ，设点E 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形；（3）若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，B 四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．6．如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3 cm/s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm/s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s)．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．7．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M ，点N ，点P ，如果将线段PM 绕点P 顺时针旋转90°能得到线段PN ，就称点N 是点M 关于点P 的“正矩点”．（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1),(1,3),(1,3)S P Q ---，(2,4)M -．①在点P ，点Q 中，___________是点S 关于原点O 的“正矩点”；②在S ，P ，Q ，M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可； （2）在平面直角坐标系xOy 中，直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 关于点B 的“正矩点”记为点C ，坐标为(,)C C C x y ．①当点A 在x 轴的正半轴上且OA 小于3时，求点C 的横坐标C x 的值；②若点C 的纵坐标C y 满足12C y -<≤，直接写出相应的k 的取值范围．8．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC 的度数；（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．9．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.10．如图，四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，且AB ＝AD +BC ，E 是DC 的中点，连结BE 并延长交AD 的延长线于G ．（1）求证：DG＝BC；（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B 的直线交x轴于点C，且AB＝BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，设点Q横坐标为m，求点P的坐标（用含m的式子表示，不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ 的解析式．12．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝53x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．（1）求B点的坐标和k，b的值；（2）点Q为直线y＝kx+b上一动点，当点Q运动到何位置时△OBQ的面积等于272？请求出点Q的坐标；（3）在y 轴上是否存在点P 使△PAB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）点C 是点A 、B 的融合点；（2）①2-1y x =；②见详解；③点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）【解析】【分析】（1）根据融合点的定义3a c x +=，3b d y +=，即可求解； （2）①由题意得：分别得到x 与t 、y 与t 的关系，即可求解；②利用①的函数关系式解答；③分∠DTH ＝90°、∠TDH ＝90°、∠HTD ＝90°三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）x ＝-17233a c ++==，y ＝54333b d ++==， 故点C 是点A 、B 的融合点；（2）①由题意得：x ＝433a c t ++=，y ＝2533b d t ++=，则3-4t x =， 则()23-452-13x y x +==； ②令x ＝0，y ＝-1；令y ＝0，x ＝12，图象如下：③当∠THD ＝90°时，∵点E（t，2t＋5），点T（t，2t−1），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴t＝13（t＋4），∴t＝2，∴点E（2，9）；当∠TDH＝90°时，∵点E（t，2t＋5），点T（4，7），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴4＝13（4＋t）∴t＝8，∴点E（8，21）；当∠HTD＝90°时，由于EH与x轴不平行，故∠HTD不可能为90°；故点E的坐标为：（2，9）或（8，21）．【点睛】本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．2．见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE△≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E作//EF AC交BC于F，∴ACB EFB∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF∠=∠（两直线平行，内错角相等），在OCD与OFE△中()()()COD FOEOD OED OEF⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证，∴OCD OFE△≌△，（ASA）∴CD FE=（全等三角形对应边相等）∵AB AC=（已知）∴ACB B=∠∠（等边对等角）∴EFB B∠=∠（等量代换）∴BE FE=（等角对等边）∴CD BE=；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.3．（1）5y x=+；（2）223）PB的长为定值52【解析】【分析】（1）先求出A、B两点坐标，求出OA与OB，由OA= OB，求出m即可；（2）用勾股定理求AB，再证AMO OBN∆≅∆，BN=OM，由勾股定理求OM即可；（3）先确定答案定值，如图引辅助线EG⊥y轴于G，先证AOB EBG∆≅∆，求BG再证BFP GEP∆≅∆，可确定BP的定值即可．【详解】（1）对于直线:5L y mx m=+．当0y=时，5x=-．当0x=时，5y m=．()5,0A∴-，()0,5B m．OA OB=．55m∴=． 解得1m =．∴直线L 的解析式为5y x =+．（2）5OA =，17AM =．∴由勾股定理，2222OM OA AM =-=． 180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒． 90AOB ∠=︒．90AOM BON ∴∠+∠=︒．90AOM OAM ∠+∠=︒．BON OAM ∴∠=∠．在AMO ∆与OBN ∆中，90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩．()AMO OBN AAS ∴∆≅∆．22BN OM ∴==．．（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．AEB ∆为等腰直角三角形，AB EB ∴=90ABO EBG ∠+∠=︒．EG BG ⊥，90GEB EBG ∴∠+∠=︒．ABO GEB ∴∠=∠．AOB EBG ∴∆≅∆．5BG AO ∴==，OB EG =OBF ∆为等腰直角三角形，OB BF ∴=BF EG ∴=．BFP GEP ∴∆≅∆．1522BP GP BG ∴===． 【点睛】本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，构造 AOB EBG ∆≅∆，求BG ，再证BFP GEP ∆≅∆．4．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC ，再判断出∠CAD=∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG ，OF=MG ，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q （1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR 的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥l∴∠ACB ＝∠ADC∵∠ACE ＝∠ADC+∠CAD ，∠ACE ＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝BC∴△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，（2）解：如图2，过点M 作MF ⊥y 轴，垂足为F ，过点N 作NG ⊥MF ，交FM 的延长线于G ，由已知得OM ＝ON ，且∠OMN ＝90°∴由（1）得MF ＝NG ，OF ＝MG ，∵M （1，3）∴MF ＝1，OF ＝3∴MG ＝3，NG ＝1∴FG ＝MF+MG ＝1+3＝4，∴OF ﹣NG ＝3﹣1＝2，∴点N 的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则341bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR为y＝﹣12x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.5．（1）4；2；(0，4)；（2）125m=或285m=；（3）存在．Q点坐标为()45,4-，()45,4，()0,4-或()5,4．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点C(4，2)代入解析式可求解；（2）设点E(m，142m+)，F(m，2m-6)，得()154261022EF m m m=-+--=-，由平行四边形的性质可得BO=EF=4，列出方程即可求解；（3）分两种情况讨论，由菱形的性质按照点平移的坐标规律，先确定P点坐标，再确定O 点坐标即可求解．【详解】解：（1）（1）∵直线y 2=kx -6交于点C (4，2)，∴2=4k -6，∴k =2， ∵直线212y x b =-+过点C (4，2)， ∴2=-2+b ，∴b =4， ∴直线解析式为：212y x b =-+，直线解析式为y 2=2x -6， ∵直线212y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点， ∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =8，∴点B (0，4)，点A (8，0)，故答案为：4；2；(0，4)（2）∵点E 在线段AB 上，点E 的横坐标为m ， ∴1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),26F m m -， ∴()154261022EF m m m =-+--=-． ∵四边形OBEF 是平行四边形，∴EF BO =， ∴51042m -=， 解得：125m =或285m =时， ∴当125m =或285m =时，四边形OBEF 是平行四边形．（3）存在．此时Q 点坐标为()-，()4，()0,4-或()5,4．理由如下：假设存在．以P ，Q ，A ，B 为顶点的菱形分两种情况：①以AB 为边，如图1所示．因为点()8,0A ，()0,4B ，所以45AB =．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，所以AP AB =或BP BA =．当AP AB =时，点()845,0P -或()845,0+；当BP BA =时，点()8,0P -． 当()845,0P -时，()8458,04Q --+，即()45,4-； 当()845,0P +时，()8458,04Q +-+，即()45,4； 当()8,0P -时，()880,004Q -+-+-，即()0,4-．②以AB 为对角线，对角线的交点为M ，如图2所示．可得5AP =，点P 坐标为()3,0．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，所以点Q 坐标为()5,4．综上可知：若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，B 四个点能构成一个菱形，此时Q 点坐标为()45,4-，()45,4，()0,4-或()5,4．【点睛】本题是一次函数综合题，利用待定系数法求解析式，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．6．（1）203；（2）①t＝83；②a＝185；（3）t＝6.4或t＝103【解析】【分析】（1）根据时间＝路程÷速度即可求得答案；（2）①由题意得：BM＝CN＝3t，则只可以是△CMN≌△BAM，AB＝CM，由此列出方程求解即可；②由题意得：CN≠BM，则只可以是△CMN≌△BMA，AB＝CN＝12，CM＝BM，进而可得3t＝10，求解即可；（3）分情况讨论，当△CMN≌△BPM时，BP＝CM，若此时P由A向B运动，则12－2t＝20－3t，但t＝8不符合实际，舍去，若此时P由B向A运动，则2t－12＝20－3t，求得t＝6.4；当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，可得3t＝10，t＝103，再将t＝103代入分别求得AP，BP的长及a的值验证即可．【详解】解：（1）20÷3＝203，故答案为：203；（2）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCB，∵△CNM与△ABM全等，∴△CMN≌△BAM或△CMN≌△BMA，①由题意得：BM＝CN＝3t，∴△CMN≌△BAM∴AB＝CM，∴12＝20－3t，解得：t＝83；②由题意得：CN≠BM，∴△CMN≌△BMA，∴AB＝CN＝12，CM＝BM，∴CM＝BM＝12 BC，∴3t＝10，解得：t＝10 3∵CN＝at，∴103a＝12解得：a＝185；（3）存在∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCB，∵△CNM与△PBM全等，∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP，当△CMN≌△BPM时，则BP＝CM，若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴12－2t＝20－3t，解得：t＝8 (舍去)若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴2t－12＝20－3t，解得：t＝6.4，当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，∴CM＝BM＝12 BC∴3t＝10，解得：t＝10 3当t＝103时，点P的路程为AP＝2t＝203，此时BP＝AB－AP＝12－203＝163，则CN ＝BP ＝163 即at ＝163， ∵t ＝103， ∴a ＝1.6符合题意综上所述，满足条件的t 的值有：t ＝6.4或t ＝103【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，解决本题的关键就是用方程思想及分类讨论思想解决问题，把实际问题转化为方程是常用的手段．7．（1）①点P ；②见解析；（2）①点C 的横坐标C x 的值为-3；②334k -≤<-【解析】【分析】（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ；②利用新定义得点S 是点P 关于点M 的“正矩点”（答案不唯一）；（2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明△BCF ≌△AOB ，则FC=OB 求得点C 的横坐标；②用含k 的代数式表示点C 纵坐标，代入不等式求解即可．【详解】解：（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ，故答案为点P ；②因为MP 绕M 点顺时针旋转90︒得MS ，所以点S 是点P 关于点M 的“正矩点”，同理还可以得点Q 是点P 关于点S 的“正矩点”．（任写一种情况就可以）（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ，可得 ∠BFC=∠AOB=90°．∵直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为3(0,3),(,0)B A k-在x 轴的正半轴上， ∵点A 关于点B 的“正矩点”为点(,)C C C x y ，∴∠ABC=90°，BC=BA ，∴∠1＋∠2=90°，∵∠AOB=90°，∴∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠3．∴△BFC ≌△AOB ，∴3FC OB ==，可得OE ＝3．∵点A 在x 轴的正半轴上且3OA <，0C x ∴<，∴点C 的横坐标C x 的值为－3．②因为△BFC ≌△AOB ，3(,0)A k-，A 在x 轴正半轴上， 所以BF ＝OA ，所以OF ＝OB-OF ＝33k +点3(3,3)C k -+，如图2， -1＜C y ≤2，即：-1＜33k+ ≤2， 则334k -≤<-． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式，新定义等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序，逐次求解．8．（1）60°；（2）EF=AF+FC ，证明见解析；（3）AF=EF+2DF ，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC 的度数；（2）在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，证明△AEG ≌△ACF ，然后再证明△AFG 为等边三角形，从而可得出EF ＝EG ＋GF ＝AF ＋FC ；（3）在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，证明方法类似（2），先证明△ABG ≌△EBF ，再证明△BFG 为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG为等边三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．9．（123【解析】【分析】（1）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，证明△ABM≌△CAN，得到AM=CN，AN=BM，即可得出AB；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于点P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通过△PBM和△QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的长；（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交l3于点P，过A作l3的垂线，交l3于点Q，证明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，从而得到PC，结合BP算出BC的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA，在△ABM和△CAN中，===AMB CNAMAB NCAAB AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22251=+；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，===AMB CNAABM NACAB AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=12BM，NQ=12NC，∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴2221=4a a+，2222=4b b+，解得：3a，23=b，∴222323⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭43∴AB=22AP BP +=()22AM PM BP ++=221；（3）如图，在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交于点P ，过A 作l 3的垂线，交于点Q ，∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC ，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM ，在△BCN 和△CAM 中，BNC CMA NBC MAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCN ≌△CAM （AAS ），∴CN=AM ，BN=CM ，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP ，在△BPN 中，222BP NP BN +=，即22224NP NP +=，解得：23 ∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM ， 在△AQM 中，222AQ QM AM +=， 即22234QM QM +=，解得：3，∴AM=23，∴PC=CN-NP=AM-NP=33， 在△BPC 中，BP2+CP2=BC2，即BC=22224322123BP CP⎛⎫+=+=⎪⎪⎝⎭，∴AB=BC=221.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.10．（1）见解析；（2）当F运动到AF＝AD时，FD∥BG，理由见解析；（3）FH＝HD，理由见解析【解析】【分析】（1）证明△DEG≌△CEB（AAS）即可解决问题．（2）想办法证明∠AFD＝∠ABG＝45°可得结论．（3）结论：FH＝HD．利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，∵E是DC的中点，即DE＝CE，∴△DEG≌△CEB（AAS），∴DG＝BC；（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．理由：由（1）知DG＝BC，∵AB＝AD+BC，AF＝AD，∴BF＝BC＝DG，∴AB＝AG，∵∠BAG＝90°，∴∠AFD＝∠ABG＝45°，∴FD∥BG，故答案为：F运动到AF＝AD时，FD∥BG；（3）解：结论：FH＝HD．理由：由（1）知GE＝BE，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，∵FD∥BG，∴AE⊥FD，∵△AFD为等腰直角三角形，∴FH＝HD，故答案为：FH＝HD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11．（1）y＝﹣2x+6；（2）点P（m﹣6，2m﹣6）；（3）y＝﹣x+3 2【解析】【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由等腰三角形的性质可求点C坐标，由待定系数法可求直线BC的解析式；（2）证明△PGA≌△QHC（AAS），则PG＝HQ＝2m﹣6，故点P的纵坐标为：2m﹣6，而点P在直线AB上，即可求解；（3）由“SSS”可证△APM≌△CQM，△ABM≌△CBM，可得∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，∠BAM＝∠BCM，由“AAS”可证△APE≌△MAO，可得AE＝OM，PE＝AO＝3，可求m的值，进而可得点P，点Q的坐标，即可求直线PQ的解析式．【详解】（1）∵直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B(0，6)，点A(﹣3，0)，∴AO＝3，BO＝6，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴AO＝CO＝3，∴点C(3，0)，设直线BC解析式为：y＝kx+b，则036k bb=+⎧⎨=⎩，解得：26kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6；（2）如图1，过点P作PG⊥AC于点G，过点Q作HQ⊥AC于点H，∵点Q横坐标为m，∴点Q(m，﹣2m+6)，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA＝∠HCQ，又∵∠PGA＝∠QHC＝90°，AP＝CQ，∴△PGA≌△QHC（AAS），∴PG＝HQ＝2m﹣6，∴点P的纵坐标为：2m﹣6，∵直线AB的表达式为：y＝2x+6，∴2m﹣6＝2x+6，解得：x＝m﹣6，∴点P(m﹣6，2m﹣6)；（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC于点E，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴BO是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，∴△APM≌△CQM（SSS）∴∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，∴△ABM≌△CBM（SSS）∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，∴∠BCM＝∠MCQ＝∠PAM＝90°，且∠APM＝45°，∴∠APM＝∠AMP＝45°，∴AP＝AM，∵∠PAO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，∴∠PAO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，∴△APE≌△MAO（AAS）∴AE＝OM，PE＝AO＝3，∴2m﹣6＝3，∴m＝92，∴Q(92，﹣3)，P(﹣32，3)，设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，∴932332a ca c⎧-=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：132ac=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+32．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及一次函数的图象和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．12．（1）点B （3，5），k ＝﹣43，b ＝9；（2）点Q （0，9）或（6，1）；（3）存在，点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，478） 【解析】【分析】（1）53y x =相交于点B ，则点(3,5)B ，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）OBQ ∆的面积1127||9|3|222OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=，即可求解； （3）分AB AP =、AB BP =、AP BP =三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）53y x =相交于点B ，则点(3,5)B ， 将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：43k =-，9b =； （2）设点4(,9)3Q m m -+， 则OBQ ∆的面积1127||9|3|222OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=， 解得：0m =或6，故点Q （0，9）或（6，1）；（3）设点(0,)P m ，而点A 、B 的坐标分别为：(0,9)、(3,5)，则225AB =，22(9)AP m =-，229(5)BP m =+-，当AB AP =时，225(9)m =-，解得：14m或4； 当AB BP =时，同理可得：9m =（舍去）或1-； 当AP BP =时，同理可得：478m =； 综上点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，478）. 【点睛】 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。

苏教版数学八年级上册压轴题期末复习试卷测试卷（解析版）一、压轴题1．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB AC=，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE 交BC于O，如果OE OD，那么CD BE=，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以ACB EFB∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF∠=∠（________）在OCD与OFE△中()________COD FOEOD OED OEF⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE△≌△，（________）所以CD FE=（________）因为AB AC=（已知）所以ACB B=∠∠（________）所以EFB B∠=∠（等量代换）所以BE FE=（________）所以CD BE=2．如图1所示，直线:5L y mx m=+与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA OB=时，求点A坐标及直线L的解析式．（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．3．如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t （s ）．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t ＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，在△ABC 中，AB =AC =18cm ，BC =10cm ，AD =2BD ．（1）如果点P 在线段BC 上以2cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？5．如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（﹣3，0），D为x轴上的一个动点且不与B，O重合，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，使得AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交y轴于点M．（1）如图，当点D在线段OB的延长线上时，①若D点的坐标为（﹣5，0），求点E的坐标．②求证：M为BE的中点．③探究：若在点D运动的过程中，OMBD的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）请直接写出三条线段AO，DO，AM之间的数量关系（不需要说明理由）．6．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式；（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．7．在平面直角坐标系中点A（m−3，3m+3），点 B（m，m+4）和 D（0，−5），且点 B 在第二象限．（1）点B 向平移单位，再向下平移（用含m 的式子表达）单位可以与点A 重合；（2）若点B 向下移动 3 个单位，则移动后的点B 和点A 的纵坐标相等，且有点 C（m−2，0）．①则此时点A、B、C 坐标分别为、、．②将线段AB 沿y 轴负方向平移n 个单位，若平移后的线段AB 与线段CD 有公共点，求n 的取值范围．③当m<−1 式，连接AD，若线段AD 沿直线AB 方向平移得到线段BE，连接DE 与直线y=−2 交于点F，则点F 坐标为．（用含m 的式子表达）8．直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．∆中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以9．如图，在等边ABC∆，连结BE．CD为一边在CD的下方作等边CDE∠的度数；（1）求CAM∆≅∆；（2）若点D在线段AM上时，求证：ADC BEC∠是否（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB为定值？并说明理由．10．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D 是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A(3，32)和B (23，0)，且与y轴交于点D，直线OC与AB交于点C，且点C的横坐标为3．(1)求直线AB的解析式；(2)连接OA，试判断△AOD的形状；(3)动点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t 秒，同时动点Q从点O出发沿y轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．12．如图，已知直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点．(1)求P点的坐标；(2)求△APB的面积；(3)x轴上存在点T，使得S△ATP＝S△APB，求出此时点T的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE△≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E作//EF AC交BC于F，∴ACB EFB∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF∠=∠（两直线平行，内错角相等），在OCD与OFE△中()()()COD FOEOD OED OEF⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证，∴OCD OFE△≌△，（ASA）∴CD FE=（全等三角形对应边相等）∵AB AC=（已知）∴ACB B=∠∠（等边对等角）∴EFB B∠=∠（等量代换）∴BE FE=（等角对等边）∴CD BE=；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.2．（1）5y x=+；（2）223）PB的长为定值52【解析】【分析】（1）先求出A、B两点坐标，求出OA与OB，由OA= OB，求出m即可；（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证BFP GEP ∆≅∆，可确定BP 的定值即可．【详解】（1）对于直线:5L y mx m =+．当0y =时，5x =-．当0x =时，5y m =．()5,0A ∴-，()0,5B m ．OA OB =．55m ∴=．解得1m =．∴直线L 的解析式为5y x =+．（2）5OA =，17AM =．∴由勾股定理，2222OM OA AM =-=．180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒．90AOB ∠=︒．90AOM BON ∴∠+∠=︒．90AOM OAM ∠+∠=︒．BON OAM ∴∠=∠．在AMO ∆与OBN ∆中，90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩．()AMO OBN AAS ∴∆≅∆．22BN OM ∴==．．（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．AEB ∆为等腰直角三角形，AB EB ∴=90ABO EBG ∠+∠=︒．EG BG ⊥，90GEB EBG ∴∠+∠=︒．ABO GEB ∴∠=∠．AOB EBG ∴∆≅∆．5BG AO ∴==，OB EG =OBF ∆为等腰直角三角形，OB BF ∴=BF EG ∴=．BFP GEP ∴∆≅∆．1522BP GP BG ∴===． 【点睛】本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，构造 AOB EBG ∆≅∆，求BG ，再证BFP GEP ∆≅∆．3．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP 和△BPQ 全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP 和△BPQ 中，{AP BQA B AC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，34t t xt =-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩; ②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，34xt t t =⎧⎨=-⎩解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.4．（1）①△BPD 与△CQP 全等，理由见解析；②当点Q 的运动速度为125cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等；（2）经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．【解析】【分析】（1）①由“SAS”可证△BPD ≌△CQP ；②由全等三角形的性质可得BP=PC=12BC=5cm ，BD=CQ=6cm ，可求解； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇，列出方程可求解．【详解】 解：（1）①△BPD 与△CQP 全等，理由如下：∵AB =AC =18cm ，AD =2BD ，∴AD =12cm ，BD =6cm ，∠B =∠C ，∵经过2s 后，BP =4cm ，CQ =4cm ，∴BP =CQ ，CP =6cm =BD ，在△BPD 和△CQP 中，BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵△BPD与△CQP全等，∠B=∠C，∴BP=PC=12BC=5cm，BD=CQ=6cm，∴t=52，∴点Q的运动速度=612552=cm/s，∴当点Q的运动速度为125cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，由题意可得：125x﹣2x=36，解得：x=90，点P沿△ABC跑一圈需要181810232++=（s）∴90﹣23×3=21（s），∴经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定是本题的关键．5．（1）①E（3，﹣2）②见解析；③12OMBD=，理由见解析；（2）OD+OA＝2AM或OA﹣OD＝2AM【解析】【分析】（1）①过点E作EH⊥y轴于H．证明△DOA≌△AHE（AAS）可得结论．②证明△BOM≌△EHM（AAS）可得结论．③是定值，证明△BOM≌△EHM可得结论．（2）根据点D在点B左侧和右侧分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质即可分别求出结论．【详解】解：（1）①过点E作EH⊥y轴于H．∵A（0，3），B（﹣3，0），D（﹣5，0），∴OA＝OB＝3，OD＝5，∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，∴△DOA≌△AHE（AAS），∴AH＝OD＝5，EH＝OA＝3，∴OH＝AH﹣OA＝2，∴E（3，﹣2）．②∵EH⊥y轴，∴∠EHO＝∠BOH＝90°，∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，∴△BOM≌△EHM（AAS），∴BM＝EM．③结论：OMBD＝12．理由：∵△DOA≌△AHE，∴OD＝AH，∵OA＝OB，∴BD＝OH，∵△BOM≌△EHM，∴OM＝MH，∴OM＝12OH＝12BD．（2）结论：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．理由：当点D在点B左侧时，∵△BOM≌△EHM，△DOA≌△AHE∴OM=MH，OD=AH∴OH=2OM，OD－OB=AH－OA∴BD=OH∴BD＝2OM，∴OD ﹣OA ＝2（AM ﹣AO ），∴OD+OA ＝2AM ．当点D 在点B 右侧时，过点E 作EH ⊥y 轴于点H∵∠AOD ＝∠AHE ＝∠DAE ＝90°，∴∠DAO+∠EAH ＝90°，∠EAH+∠AEH ＝90°，∴∠DAO ＝∠AEH ，∵AD=AE∴△DOA ≌△AHE （AAS ），∴EH=AO=3=OB ，OD=AH∴∠EHO ＝∠BOH ＝90°，∵∠BMO ＝∠EMH ，OB ＝EH ＝3，∴△BOM ≌△EHM （AAS ），∴OM ＝MH∴OA ＋OD= OA ＋AH=OH=OM ＋MH=2MH=2（AM ＋AH ）=2（AM ＋OD ）整理可得OA ﹣OD ＝2AM ．综上：OA+OD ＝2AM 或OA ﹣OD ＝2AM ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、旋转的性质和平面直角坐标系，掌握全等三角形的判定及性质、旋转的性质和点的坐标与线段长度的关系是解决此题的关键．6．（1）56°；（2）y=454x +；（3）36°或1807°. 【解析】【分析】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD ；（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果；（3）分①若EP=EC ，②若PC=PE ，③若CP=CE ，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及y=454x +解出x 即可.【详解】解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°，∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°，∵CD ⊥AB ，∴∠BDC=90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=34°，∴∠BPD =90-34=56°；（2）∵∠A =x °，∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902x -）°， 由（1）可得：∠ABP=12∠ABC=（454x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -）°=（454x +）°， 即y 与 x 的关系式为y=454x +； （3）①若EP=EC ，则∠ECP=∠EPC=y ， 而∠ABC=∠ACB=902x -，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454x +， ∴902x -+902x --（454x +）=90°， 解得：x=36°；②若PC=PE ，则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902y -， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+[902x --（902y -）]=90，又y=454x +， 解得：x=1807°； ③若CP=CE ， 则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ，由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+902x --（180-2y ）=90，又y=454x +，解得：x=0，不符合，综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或1807°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.7．（1）左；3；(1-2m )；（2）①（-4，0）；（-1，0）（-3，0）； ②当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，1913n ≤≤；③ F 9(,2)12m--． 【解析】【分析】(1)根据平面直角坐标系中点的平移计算方法即可得解(2)①根据B 点向下平移后，点B 和点A 的纵坐标相等得到等量关系，可求出m 的值，从而求出A 、B 、C 三点坐标；②过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，设出K 点坐标，作 KH ⊥BM 与 H 点，表示出H 点坐标，然后利用面积关系ABM AKM BKM S S S ∆∆∆=+求出距离；当 B '在线段 CD 上时，BB '交 x 轴于 M 点，过 B '做 B 'E ⊥OD ，利用S △COD = S △OB'C + S △OB'D ，求出n 的值，从而求出n 的取值范围；③通过坐标平移法用m 表示出E 点的坐标，利用D 、E 两点坐标表示出直线DE 的函数关系式，令y=﹣2，求出x 的值即可求出F 点坐标．【详解】解：（1）根据平移规律可得：B 向左平移；m －（m －1）=3，所以平移3个单位；m+4－（3m+3）=1－2m ，所以再向下平移(1-2m )个单位；故答案为：左；3；(1-2m )（2）①点 B 向下移动 3 个单位得：B （m ，m+1）∵移动后的点 B 和点 A 的纵坐标相等∴m+1=3m+3∴m=﹣1∴A （-4,0）；B （-1,0）；C （-3,0）；②如图 1，过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，设 K 点坐标为（-3，a ）M 点坐标为（-1,0）作 KH ⊥BM 与 H 点，H 点坐标为（-1，a ）AM=3,BM=3,KC=a,KH=2∵ABM AKM BKM S S S ∆∆∆=+ ∴222AM BM KC AM KH BM ⨯⨯⨯=+∴33323 222a⨯⨯⨯=+解得：1a=，∴当线段 AB 向下平移 1 个单位时，线段 AB 和 CD 开始有交点，∴ n ≥ 1，当 B'在线段 CD 上时，如图 2BB'交 x 轴于 M 点，过 B'做 B'E⊥OD,B'M=n-3,B'E=1,OD=5,OC=3∵ S△COD = S△OB'C + S△OB'D∴'' 222 CO OD CO B M OD B E ⨯⨯⨯=+∴353(3)51 222n⨯⨯-⨯=+解得：193n=，综上所述，当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，1913n≤≤．③∵A（m−3，3m+3）， B（m，m+4） D（0，−5）且AD 沿直线 AB 方向平移得到线段BE，∴E点横坐标为：3E点纵坐标为：﹣5+m+4－（3m+3）=﹣4－2m∴E（3，﹣4－2m），设DE：y=kx+b，把D（0，﹣5），E（3，﹣4－2m）代入y=kx+b∴3k+b=42mb=5⎧⎨⎩﹣－﹣∴1-2mk=3b=-5⎧⎪⎨⎪⎩，∴y=12mx53－－，把y=﹣2代入解析式得：﹣2=12mx53－－，x=912m－，∴F9(,2) 12m--．【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的平移计算及一次函数解析式求法，解题关键在于理解掌握平面直角坐标系中点平移计算方法以及用待定系数法求函数解析式方法的应用．8．（1）证明见解析；（2）①CM =8t -，CN =63t -；②t =3.5或5或6.5．【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）①由折叠的性质可得出答案；②动点N 沿F→C 路径运动，点N 沿C→B 路径运动，点N 沿B→C 路径运动，点N 沿C→F 路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．【详解】（1）∵AD ⊥直线l ，BE ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECB CA CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）①由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ；故答案为：8-t ；6-3t ；②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE ，∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，∴∠NCE=∠CMD ，∴当CM=CN 时，△MDC 与△CEN 全等，当点N 沿F→C 路径运动时，8-t=6-3t ，解得，t=-1（不合题意），当点N 沿C→B 路径运动时，CN=3t-6，则8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，当点N 沿C→F 路径运动时，由题意得，8-t=3t-18，解得，t=6.5，综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC 与△CEN 全等．【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．9．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒， ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒， 又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒， ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D 在线段MA 的延长线上时，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒， 60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS∴∆≅∆，CBE CAD∴∠=∠，同理可得：30CAM∠=︒150CBE CAD∴∠=∠=︒30CBO∴∠=︒，∵30BAM∠=︒，903060BOA∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D在直线AM上时，AOB∠是定值，60AOB∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.10．（1）AD＝DE，见解析；（2）AD＝DE，见解析；（3）见解析，△ADE是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC∆∆≌即可得解；（2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE∆∆≌即可得解；（3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD＝DE.证明：∵ABC∆是等边三角形∴AB＝BC，60B BAC BCA∠∠∠︒＝＝＝∵DF∥AC∴BFD BAC∠∠＝，∠BDF＝∠BCA∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴DF＝BD∵点D是BC的中点∴BD＝CD∴DF＝CD∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵ABC∆是等边三角形，点D是BC的中点∴AD⊥BC∴90ADC∠︒＝∵60BDF ADE∠∠︒＝＝∴30ADF EDC∠∠︒＝＝在ADF∆与EDC∆中AFD ECDDF CDADF EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()ADF EDC ASA∆∆≌∴AD＝DE；（2）结论：AD＝DE.证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F ∵ABC∆是等边三角形∴AB＝BC，60B BAC BCA∠∠∠︒＝＝＝∵DF∥AC∴BFD BAC BDF BCA∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵∠ADC是ABD∆的外角∴60ADC B FAD FAD∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD＝∠CDE在AFD∆与DCE∆中AFD DCEAF CDFAD EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()AFD DCE ASA∆∆≌∴AD＝DE；（3）如下图，ADE∆是等边三角形.证明：∵BC CD=∴AC CD=∵CE平分ACD∠∴CE垂直平分AD∴AE=DE∵60ADE∠=︒∴ADE∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.11．（1）y3+2；（2）△AOD为直角三角形，理由见解析；（3）t＝2323．【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解；（2）由点A、O、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，即可求解；（3）点C3，1），∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°，故点C3 1），则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝2﹣t．①当OP＝OM时，OQ＝QH+OH，即32（2﹣t）+12（2﹣t）＝t，即可求解；②当MO＝MP时，∠OQP＝90°，故OQ＝12O P，即可求解；③当PO＝PM时，故这种情况不存在．【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：33=22023k bk b⎧+⎪⎨⎪=+⎩，解得：3=32kb⎧⎪⎨⎪=⎩－，故直线AB的表达式为：y＝﹣33x+2；（2）直线AB的表达式为：y＝﹣3x+2，则点D（0，2），由点A、O、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，故△AOD为直角三角形；（3）直线AB的表达式为：y＝﹣3x+2，故点C（3，1），则OC＝2，则直线AB的倾斜角为30°，即∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°故点C（3，1），则OC＝2，则点C是AB的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，①当OP＝OM时，如图1，则∠OMP＝∠MPO＝12（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，过点P作PH⊥y轴于点H，则OH＝12OP＝12（2﹣t），由勾股定理得：PH＝32（2﹣t）＝QH，OQ＝QH+OH＝32（2﹣t）+12（2﹣t）＝t，解得：t＝23；②当MO＝MP时，如图2，则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，故OQ＝12OP，即t＝12（2﹣t），解得：t＝23；③当PO＝PM时，则∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，故这种情况不存在；综上，t＝2323．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点，还利用了方程和分类讨论的思想，综合性较强，难度较大，解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算．12．（1）P(﹣1，﹣1)；（2）32；（3）T(1，0)或(﹣2，0)．【解析】【分析】（1）解析式联立构成方程组，该方程组的解就是交点坐标；（2）利用三角形的面积公式解答；（3）求得C的坐标，因为S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝|x+12|，所以|x+12|＝32，解得即可．【详解】解：（1）由212y xy x=+⎧⎨=--⎩，解得11xy=-⎧⎨=-⎩，所以P（﹣1，﹣1）；（2）令x＝0，得y1＝1，y2＝﹣2∴A（0，1），B（0，﹣2），则S△APB＝12×（1+2）×1＝32；（3）在直线l1：y1＝2x+1中，令y＝0，解得x＝﹣12，∴C（﹣12，0），设T（x，0），∴CT＝|x+12 |，∵S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝12•|x+12|•（1+1）＝|x+12|，∴|x+12|＝32，解得x＝1或﹣2，∴T(1，0)或(﹣2，0)．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是准确将条件转化为二元一次方程组，并求出各点的坐标．。

苏教版八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷测试卷（含答案解析）一、压轴题1．如图，直线2y x m =-+交x 轴于点A ，直线122y x =+交x 轴于点B ，并且这两条直线相交于y 轴上一点C ，CD 平分ACB ∠交x 轴于点D ．（1）求ABC 的面积．（2）判断ABC 的形状，并说明理由．（3）点E 是直线BC 上一点，CDE △是直角三角形，求点E 的坐标．2．如图1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =10，直线DE 经过点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为点D 和E ，AD =8，BE =6． （1）①求证：△ADC ≌△CEB ；②求DE 的长；（2）如图2，点M 以3个单位长度/秒的速度从点C 出发沿着边CA 运动，到终点A ，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B 出发沿着线BC —CA 运动，到终点A ．M ，N 两点同时出发，运动时间为t 秒(t ＞0)，当点N 到达终点时，两点同时停止运动，过点M 作PM ⊥DE 于点P ，过点N 作QN ⊥DE 于点Q ；①当点N 在线段CA 上时，用含有t 的代数式表示线段CN 的长度； ②当t 为何值时，点M 与点N 重合； ③当△PCM 与△QCN 全等时，则t = ．3．阅读下列材料，并按要求解答．（模型建立）如图①，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．求证：△BEC ≌△CDA ． （模型应用）应用1：如图②，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，CD ＝8，BC ＝10，AB 2＝200．求线段BD 的长．应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ 为等腰直角三角形，QO ＝QP ，P （4，m ），点Q 始终在直线OP 的上方．（1）折叠纸片，使得点P 与点O 重合，折痕所在的直线l 过点Q 且与线段OP 交于点M ，当m ＝2时，求Q 点的坐标和直线l 与x 轴的交点坐标；（2）若无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式 ．4．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M ，点N ，点P ，如果将线段PM 绕点P 顺时针旋转90°能得到线段PN ，就称点N 是点M 关于点P 的“正矩点”．（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1),(1,3),(1,3)S P Q ---，(2,4)M -．①在点P ，点Q 中，___________是点S 关于原点O 的“正矩点”； ②在S ，P ，Q ，M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可； （2）在平面直角坐标系xOy 中，直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 关于点B 的“正矩点”记为点C ，坐标为(,)C C C x y ．①当点A 在x 轴的正半轴上且OA 小于3时，求点C 的横坐标C x 的值； ②若点C 的纵坐标C y 满足12C y -<≤，直接写出相应的k 的取值范围．5．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD．（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为：（不写证明过程）6．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM 、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABFACFSS的值．7．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD DE DF==．（1）若30AED∠=︒，则ADB=∠______．（2）求证：BED CDF△≌△．（3）试说明点D在BC边上从点B至点C的运动过程中，BED的周长l是否发生变化？若不变，请求出l的值，若变，请求出l的取值范围．8．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.9．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)． （1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP 全等？（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？10．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.11．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，连结CD ．（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，请猜想BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系．12．如图，直线l 1的表达式为：y=-3x+3，且直线l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线l 2的解析表达式； （3）求△ADC 的面积；（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，求点P 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）5；（2）直角三角形，理由见解析；（3）44,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先求出直线122y x =+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标，把点C 代入直线2y x m =-+，求出m 的值，再求它与x 轴的交点A 的坐标，ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到；（2）用勾股定理求出BC 的平方，AC 的平方，再根据AB 的平方，用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形；（3）先根据角平分线求出D 的坐标，再去分两种情况构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出对应的边长，从而得到点E 的坐标． 【详解】解：（1）令0x =，则10222y =⨯+=，∴()0,2C ， 令0y =，则1202x +=，解得4x =-， ∴()4,0B -，将()0,2C 代入2y x m =-+，得2m =， ∴22y x =-+，令0y =，则220x -+=，解得1x =， ∴1,0A ，∴5AB =，2OC =， ∴152ABC S AB OC =⋅=△； （2）根据勾股定理，222224220BC BO OC =+=+=，22222125AC AO OC =+=+=，且22525AB ==，∴222AB BC AC =+，则ABC 是直角三角形； （3）∵CD 平分ACB ∠， ∴12AD AC BD BC ==， ∴1533AD AB ==， ∴23OD AD OA =-=， ∴2,03D ⎛⎫-⎪⎝⎭①如图，CED ∠是直角，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，过点C 作CM EN ⊥于点M ， 由（2）知，90ACB ∠=︒， ∵CD 平分ACB ∠， ∴45ECD ∠=︒，∴CDE △是等腰直角三角形， ∴CE DE =，∵90NED MEC ∠+∠=︒，90NED NDE ∠+∠=︒， ∴MEC NDE ∠=∠， 在DNE △和EMC △中，NDE MEC DNE EMC DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DNE EMC AAS≅，设DN EM x==，EN CM y==，根据图象列式：DO DN CMEN EM CO+=⎧⎨+=⎩，即232x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得2343xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴43EN CM==，∴44,33E⎛⎫-⎪⎝⎭；②如图，CDE∠是直角，过点E作EG x⊥轴于点G，同理CDE△是等腰直角三角形，且可以证得()CDO DEG AAS≅，∴2DG CO==，23EG DO==，∴28233GO GD DO=+=+=，∴82,33E⎛⎫-⎪⎝⎭，综上：44,33E⎛⎫-⎪⎝⎭，82,33E⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解，与坐标轴交点的求解，图象围成的三角形面积的求解，还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几何知识，需要运用数形结合的思想去求解．2．（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=10,2 11【解析】【分析】（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC ECB AC CB∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：CN＝CN−BC＝8t−10；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得：t＝2，∴当t为2秒时，点M与点N重合；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10−8t，解得：t＝10 11；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，则3t＝8t−10，解得：t＝2；综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于1011s或2s，故答案为：1011s或2s．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．模型建立：见解析；应用1：2：（1）Q(1，3)，交点坐标为(52，0)；（2）y＝﹣x+4【解析】【分析】根据AAS证明△BEC≌△CDA，即可；应用1：连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，易证△ADC≌△CHB，结合勾股定理，即可求解；应用2：（1）过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP 相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论．【详解】如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△BEC≌△CDA（AAS）；应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝10，∵BC＝10，AB2＝200，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，∵AC＝BC＝10，∴△ADC≌△CHB（AAS），∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，∴DH=6+8=14，∵BH⊥DC，∴BD＝应用2：（1）如图③，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，由题意易：△OKQ≌△QHP（AAS），设H(4，y)，那么KQ＝PH＝y﹣m＝y﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y，又∵OK＝y，∴6﹣y＝y，y＝3，∴Q(1，3)，∵折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，∴点M是OP的中点，∵P(4，2)，∴M(2，1)，设直线Q M的函数表达式为：y＝kx+b，把Q(1，3)，M(2，1)，代入上式得：213k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：25kb=-⎧⎨=⎩∴直线l的函数表达式为：y＝﹣2x+5，∴该直线l与x轴的交点坐标为(52，0)；（2）∵△OKQ≌△QHP，∴QK＝PH，OK＝HQ，设Q(x，y)，∴KQ＝x，OK＝HQ＝y，∴x+y＝KQ+HQ＝4，∴y＝﹣x+4，∴无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y＝﹣x+4，故答案为：y＝﹣x+4．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键．4．（1）①点P ；②见解析；（2）①点C 的横坐标C x 的值为-3；②334k -≤<-【解析】【分析】（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ；②利用新定义得点S 是点P 关于点M 的“正矩点”（答案不唯一）；（2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明△BCF ≌△AOB ，则FC=OB 求得点C 的横坐标；②用含k 的代数式表示点C 纵坐标，代入不等式求解即可．【详解】解：（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ，故答案为点P ；②因为MP 绕M 点顺时针旋转90︒得MS ，所以点S 是点P 关于点M 的“正矩点”，同理还可以得点Q 是点P 关于点S 的“正矩点”．（任写一种情况就可以）（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ，可得∠BFC=∠AOB=90°．∵直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为3(0,3),(,0)B A k-在x 轴的正半轴上， ∵点A 关于点B 的“正矩点”为点(,)C C C x y ，∴∠ABC=90°，BC=BA ，∴∠1＋∠2=90°，∵∠AOB=90°，∴∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠3．∴△BFC ≌△AOB ，∴3FC OB ==，可得OE ＝3．∵点A 在x 轴的正半轴上且3OA <，0C x ∴<，∴点C 的横坐标C x 的值为－3．②因为△BFC ≌△AOB ，3(,0)A k-，A 在x 轴正半轴上， 所以BF ＝OA ，所以OF ＝OB-OF ＝33k +点3(3,3)C k -+，如图2， -1＜C y ≤2，即：-1＜33k+ ≤2， 则334k -≤<-． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式，新定义等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序，逐次求解．5．（1）见解析；（2）CD 2AD +BD ，理由见解析；（3）CD 3AD +BD【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ；（2）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ，可得BD ＝CE ，由直角三角形的性质可得DE 2AD ，可得结论；（3）由△DAB ≌△EAC ，可知BD ＝CE ，由勾股定理可求DH 3，由AD ＝AE ，AH ⊥DE ，推出DH ＝HE ，由CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3AD +BD ，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；（2）CD＝2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝12 AD，∴DH22AD AH32AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，故答案为：CD3+BD．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.6．（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE ＝∠2+∠BAF ，∠CFE ＝∠4+∠1，∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ，∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ，∴△ABK ≌CAF ，∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ，∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ，∴AF ＝FK ＝BK ，∴S △ABK ＝S △AFK ，∴ABF AFCS 2S ∆∆=． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．8．（123【解析】【分析】（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交l3于点P，过A作l3的垂线，交l3于点Q，证明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，从而得到PC，结合BP算出BC的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA，在△ABM和△CAN中，===AMB CNAMAB NCAAB AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22251=+；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，===AMB CNAABM NACAB AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=12BM，NQ=12NC，∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴2221=4a a+，2222=4b b+，解得：3=a，23=b，∴CN=AM=222323⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭=43，∴AB=22AP BP+=()22AM PM BP++=221；（3）如图，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交于点P，过A作l3的垂线，交于点Q，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，BNC CMANBC MACBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，222BP NP BN+=，即22224NP NP+=，解得：NP=33，∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM 中，222AQ QM AM +=，即22234QM QM +=，解得：QM=3，∴AM=23=CN ，∴PC=CN-NP=AM-NP=43， 在△BPC 中，BP 2+CP 2=BC 2，即BC=22224322123BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=221.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.9．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇【解析】【分析】（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．【详解】（1）由题意知，BP=2t ，则PC=BC-BP=6-2t ，故答案为：6-2t ；（2）全等，理由如下：∵p Q V V =，t=1，∴BP=2=CQ ，∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，∴BD=4（cm ），又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ），在BPD △和CQP 中BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BPD △≌CQP （SAS ）故答案为：全等．（3）∵p Q V V ≠，∴BP CQ ≠，又∵BPD △≌CPQ ，∠B=∠C ，∴BP=PC=3cm ，CQ=BD=4cm ，∴点,P Q 运动时间322BP t ==（s ）， ∴48332Q CQ V t===（cm/s ）， 故答案为：83；（4）设经过t 秒时，P 、Q 第一次相遇，∵2/p V cm s =，8/3Q V cm s =， ∴2t+8+8=83t ，解得：t=24此时点Q 走了824643⨯=（cm ），∵ABC 的周长为：8+8+6=22（cm ），∴6422220÷=，∴20-8-8=4（cm ），经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇，故答案为：24s ，在 BC 边上相遇．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．10．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥CD ED ∴=在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩()BCD BED HL ∴∆≅∆BC BE ∴=EBC ∴∆是等边三角形；（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF3,090A ACB ∠=︒∠=︒，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=︒=60,18060MDF ADE MDB ADE BDE ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF ∴∆是等边三角形,60MF DM F DMF ∴=∠=∠=︒60BMG ∠=︒DMF DM B M G G D M G ∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB ∠=∠在FMG ∆和DMB ∆中，60F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FMG DMB ASA∴∆≅∆GF BD∴=，即DF DG BD+=AD DF DG MD DG∴=+=+即AD DG MD=+；（3）结论：AD DG ND=-，证明过程如下：如图，延长BD使得DH ND=，连接NH由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN∴∆是等边三角形,60NH ND H HND∴=∠=∠=︒60BNG∠=︒HND BND BNDBNG∠+∠=+∠∴∠，即NHNB D G∠=∠在HNB∆和DNG∆中，60H NDGNH NDHNB DNG∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HNB DNG ASA∴∆≅∆HB DG∴=，即DH BD DG+=ND AD DG∴+=即AD DG ND=-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．11．（1）BC BD=，理由见解析；（2）BF BP BD+=，证明见解析；（3）BF BP BD+=．【解析】【分析】（1）利用含30的直角三角形的性质得出12BC AB =，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆，得出CP BF =即可解答；（3）同（2）的方法得出结论．【详解】解：（1）90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，故答案为：BC BD =；（2）BF BP BD +=，理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，DBC ∴∆是等边三角形，60CDB ∴∠=︒，DC DB =，线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，60PDF ∴∠=︒，DP DF =，CDB PDB PDF PDB ∴∠-∠=∠-∠，CDP BDF ∴∠=∠，在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF ∴∆≅∆，CP BF ∴=，CP BP BC +=，BF BP BC ∴+=，BC BD =，BF BP BD ∴+=；（3）如图③，BF BD BP =+，理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，DBC ∴∆是等边三角形，60CDB ∴∠=︒，DC DB =，线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，60PDF ∴∠=︒，DP DF =，CDB PDB PDF PDB ∴∠+∠=∠+∠，CDP BDF ∴∠=∠，在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF ∴∆≅∆，CP BF ∴=，CP BC BP =+，BF BC BP ∴=+，BC BD =，BF BD BP ∴=+．【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF ∆≅∆，是一道中等难度的中考常考题．12．（1）（1，0）；（2）362y x -＝；（3）92；（4）（6，3）． 【解析】【分析】（1）由题意已知l 1的解析式，令y=0求出x 的值即可；（2）根据题意设l 2的解析式为y=kx+b ，并由题意联立方程组求出k ，b 的值；（3）由题意联立方程组，求出交点C 的坐标，继而即可求出S △ADC ；（4）由题意根据△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到AD 的距离进行分析计算．【详解】解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，∴x=1，∴D （1，0）；（2）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b ，由图象知：x=4，y=0；x=3，y ＝32-，代入表达式y=kx+b ， ∴40332k b k b +⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝， ∴326k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线l 2的解析表达式为362y x -＝； （3）由33362y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），∵AD=3， ∴331922ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，则P 到AD 距离=3，∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，∵y=1.5x-6，y=3，∴1.5x-6=3，解得x=6，所以P （6，3）．【点睛】本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键.。

苏教版八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷测试卷（解析版）一、压轴题1．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中A(0，a)、B(b ，0)满足：222110a b a b --++-=．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为C(-3，m)，如图(1)所示．若S ΔABC =16，求点D 的坐标；（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图(2)所示，P 为线段AB 上一动点(不与A 、B 重合)，连接OP ，PE 平分∠OPB ，交x 轴于点M ，且满足∠BCE=2∠ECD ． 求证：∠BCD=3(∠CEP-∠OPE)．2．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．3．在ABC 中，AB AC =，D 是直线BC 上一点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE .（1）如图，当 D 在线段BC 上时，求证：BD CE =.（2）如图，若点D 在线段CB 的延长线上，BCE α∠=，BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.（3）如图，当点D 在线段BC 上，90BAC ∠=︒，4BC =，求DCES 最大值.4．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，求∠HPQ 的度数．5．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B b 满足|21|280a b a b --++-=．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．6．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．7．阅读下面材料，完成(1)-(3)题． 数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．” 小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．” ......老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．8．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．9．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D 是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．10．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．11．如图，直线l1的表达式为：y=-3x+3，且直线l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B 的直线交x轴于点C，且AB＝BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，设点Q横坐标为m，求点P的坐标（用含m的式子表示，不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ 的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）A（0，3），B（4，0）；（2）D（1，－265）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求解；（2）如图1中，设直线CD 交y 轴于E ．首先求出点E 的坐标，再求出直线CD 的解析式以及点C 坐标，利用平移的性质得到点D 坐标；（3）如图2中，延长AB 交CE 的延长线于M ．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求证； 【详解】（1）∵222110a b a b --++-=， ∴220,2110a b a b --=+-=，∴2202110a b a b --=⎧⎨+-=⎩ ，∴34a b =⎧⎨=⎩，∴A （0，3），B （4，0）；（2）如图1中，设直线CD 交y 轴于E ．∵CD//AB ， ∴S △ACB =S △ABE ， ∴12AE×BO=16， ∴12×AE×4=16， ∴AE=8， ∴E （0，-5），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，将点A （0，3），（4，0）代入解析式中得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ， ∴直线AB 的解析式为y=334x -+， ∵AB//CD ，∴直线CD 的解析式为y=34x c -+， 又∵点E （0，－5）在直线CD 上，∴c=5，即直线CD 的解析式为y=354x --， 又∵点C （-3，m ）在直线CD 上，∴m=115， ∴C （-3，115）， ∵点A （0，3）平移后的对应点为C （-3， 115）， ∴直线AB 向下平移了265个单位，向左平移了3个单位， 又∵B （4，0）的对应点为点D ，∴点D 的坐标为（1，－265）； （3）如图2中，延长AB 交CE 的延长线于点M ．∵AM ∥CD ， ∴∠DCM=∠M ， ∵∠BCE=2∠ECD ， ∴∠BCD=3∠DCM=3∠M ，∵∠M=∠PEC-∠MPE ，∠MPE=∠OPE ， ∴∠BCD=3（∠CEP-∠OPE ）． 【点睛】考查了非负数的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质、一次函数的应用等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．2．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0） 【解析】 【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y ＝0得x ＝1， ∴Q （1，0），OQ ＝1， ∵∠QPR ＝45° ∴∠PSQ ＝45°＝∠QPS ∴PQ ＝SQ∴由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP∴OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝3+1＝4，SH ＝OQ ＝1 ∴S （4，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则341b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得1k 2b 3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR 为y ＝﹣12x+3 由y ＝0得，x ＝6 ∴R （6，0）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.3．（1）见解析；（2）αβ=，理由见解析；（3）2 【解析】 【分析】（1）证明()ABD ACE SAS ≅△△，根据全等三角形的性质得到BD CE =； （2）同（1）先证明()ABD ACE SAS ≅△△，得到∠ACE=∠ABD ，结合等腰三角形的性质和外角和定理用不同的方法表示∠ACE ，得到α和β关系式；（3） 同（1）先证明()ABD ACE SAS ≅△△，得到ABC ADCE S S ∆=四边形，那么DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形，当AD BC ⊥时，ADE S ∆最小，即DCE S ∆最大．【详解】解：（1）∵BAC DAE ∠=∠， ∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠， ∴BAD CAE ∠=∠， 在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABD ACE SAS ≅△△， ∴BD CE =；（2）同（1）的方法得()ABD ACE SAS ≅△△，∴∠ACE=∠ABD ，∠BCE=α，∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α，在ABC 中，∵AB= AC ，∠BAC=β，∴∠ACB=∠ABC =12(180°-β)= 90°-12β， ∴∠ABD= 180°-∠ABC= 90°+12β， ∴∠ACE=∠ACB +α= 90°-12β+α， ∵∠ACE=∠ABD = 90°+12β， ∴90°-12β+α= 90°+12β， ∴α = β；（3）如图，过A 做AH BC ⊥于点H ，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45ABC ∠=︒，122BH AH BC ===， 同（1）的方法得，()ABD ACE SAS ≅△△，AEC ABD S S ∆∆∴=,AEC ADC ABD ADC S S S S ∆∆∆∆+=+，即142ABC ADCE S S BC AH ∆==⋅=四边形， ∴DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形，当ADE S ∆最小时，DCE S ∆最大，∴当AD BC ⊥2AD =，时最小，2122ADE S AD ∆==， 422DCE S ∆∴=-=最大．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，解题的关键是抓住第一问中的那组全等三角形，后面的问题都是在这个基础上进行证明的．4．（1）AB ∥CD ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°．【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，所以易证AB ∥CD ；（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，故结合已知条件GH ⊥EG ，易证PF ∥GH ； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得90902KPG PKG HPK ︒︒∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知1452QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ =45°．【详解】（1）AB ∥CD ，理由如下：∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°，又∵∠1=∠AEF ，∠2=∠CFE ，∴∠AEF +∠CFE =180°，∴AB ∥CD ；（2）由（1）知，AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°．又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ， ∴1()902FEP EFP BEF EFD ︒∠+∠=∠+∠= ∴∠EPF =90°，即EG ⊥PF ．∵GH ⊥EG ，∴PF ∥GH ；（3）∵∠PHK =∠HPK ，∴∠PKG =2∠HPK ．又∵GH ⊥EG ，∴∠KPG =90°﹣∠PKG =90°﹣2∠HPK ，∴∠EPK =180°﹣∠KPG =90°+2∠HPK ．∵PQ 平分∠EPK ， ∴1452QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠， ∴∠HPQ =∠QPK ﹣∠HPK =45°．答：∠HPQ 的度数为45°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．5．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可； （2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明．【详解】解：（1）210a b --=，又∵|21|0a b --≥0， |21|0a b ∴--=0=，即210280a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23a b =⎧⎨=⎩， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），根据题意得，11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦， 化简，得3||42t =， 解得，83t =±， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D的坐标是由点B的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，∴点D的坐标是14 1,3⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）证明：过点E作//EF CD，交y轴于点F，如图所示，则ECD CEF∠=∠，2BCE ECD∠=∠，33BCD ECD CEF∴∠=∠=∠，过点O作//OG AB，交PE于点G，如图所示，则OGP BPE∠=∠，PE平分OPB∠，OPE BPE∴∠=∠，OGP OPE∴∠=∠，由平移得//CD AB，//OG FE∴，FEP OGP∴∠=∠，FEP OPE∴∠=∠，CEP CEF FEP∠=∠+∠，CEP CEF OPE∴∠=∠+∠，CEF CEP OPE∴∠=∠-∠，3()BCD CEP OPE∴∠=∠-∠．【点睛】本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．6．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.【解析】【分析】（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠得 ()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解：（1）①如图①中，1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=， 故答案为90︒. ②如图②中，111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=， 故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；②如图④中根据折叠可知，11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=，112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=，()1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=， ()112906090AMC ︒︒︒∴-+∠=， 1130A MC ︒∴∠=；（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，2a γβ∴+=；如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.7．（1）60°；（2）EF=AF+FC ，证明见解析；（3）AF=EF+2DF ，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC 的度数；（2）在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，证明△AEG ≌△ACF ，然后再证明△AFG 为等边三角形，从而可得出EF ＝EG ＋GF ＝AF ＋FC ；（3）在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，证明方法类似（2），先证明△ABG ≌△EBF ，再证明△BFG 为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC ，AD 为BC 边上的中线，∴可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，又△ABE 为等边三角形，∴AE=AB=AC ，∠EAB=60°，∴可设∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG为等边三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．8．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH EF，CH＝CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC ＝45°+α，∴∠AEC ﹣∠AED ＝45°；（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，∵∠AEC ﹣∠AED ＝45°，∴∠FEH ＝45°，∵AH ⊥BE ，∴∠FHE ＝∠FEH ＝45°，∴EF ＝FH ，且∠EFH ＝90°，∴EH 2EF ，∵∠FHE ＝45°，CG ⊥FH ，∴∠GCH ＝∠FHE ＝45°，∴GC ＝GH ，∴CH 2CG ，∵∠BAC ＝∠CGA ＝90°，∴∠BAF +∠CAG ＝90°，∠CAG +∠ACG ＝90°，∴∠BAF ＝∠ACG ，且AB ＝AC ，∠AFB ＝∠AGC ，∴△AFB ≌△CGA （AAS ）∴AF ＝CG ，∴CH 2AF ，∵在Rt △AEF 中，AE 2＝AF 2+EF 2，2AF ）2+2EF ）2＝2AE 2，∴EH 2+CH 2＝2AE 2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.9．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝ ∵DF ∥AC∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA ∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝ ∴DF ＝BD∵点D 是BC 的中点∴BD ＝CD∴DF ＝CD∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线 ∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点 ∴AD ⊥BC∴90ADC ∠︒＝∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝在ADF ∆与EDC ∆中AFD ECD DF CDADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（2）结论：AD ＝DE .证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于F∵ABC ∆是等边三角形∴AB＝BC，60B BAC BCA∠∠∠︒＝＝＝∵DF∥AC∴BFD BAC BDF BCA∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵∠ADC是ABD∆的外角∴60ADC B FAD FAD∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD＝∠CDE在AFD∆与DCE∆中AFD DCEAF CDFAD EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()AFD DCE ASA∆∆≌∴AD＝DE；（3）如下图，ADE∆是等边三角形.证明：∵BC CD=∴AC CD=∵CE平分ACD∠∴CE垂直平分AD∴AE=DE∵60ADE∠=︒∴ADE∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键. 10．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECB CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．11．（1）（1，0）；（2）362y x -＝；（3）92；（4）（6，3）． 【解析】【分析】（1）由题意已知l 1的解析式，令y=0求出x 的值即可；（2）根据题意设l 2的解析式为y=kx+b ，并由题意联立方程组求出k ，b 的值；（3）由题意联立方程组，求出交点C 的坐标，继而即可求出S △ADC ；（4）由题意根据△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到AD 的距离进行分析计算．【详解】解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，∴x=1，∴D （1，0）；（2）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b ，由图象知：x=4，y=0；x=3，y ＝32-，代入表达式y=kx+b ， ∴40332k b k b +⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝， ∴326k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝，∴直线l 2的解析表达式为362y x -＝； （3）由33362y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），∵AD=3， ∴331922ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，则P 到AD 距离=3，∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，∵y=1.5x-6，y=3，∴1.5x-6=3，解得x=6，所以P （6，3）．【点睛】本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键.12．（1）y ＝﹣2x +6；（2）点P （m ﹣6，2m ﹣6）；（3）y ＝﹣x +32 【解析】【分析】（1）先求出点A ，点B 坐标，由等腰三角形的性质可求点C 坐标，由待定系数法可求直线BC 的解析式；（2）证明△PGA ≌△QHC （AAS ），则PG ＝HQ ＝2m ﹣6，故点P 的纵坐标为：2m ﹣6，而点P在直线AB上，即可求解；（3）由“SSS”可证△APM≌△CQM，△ABM≌△CBM，可得∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，∠BAM＝∠BCM，由“AAS”可证△APE≌△MAO，可得AE＝OM，PE＝AO＝3，可求m的值，进而可得点P，点Q的坐标，即可求直线PQ的解析式．【详解】（1）∵直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B(0，6)，点A(﹣3，0)，∴AO＝3，BO＝6，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴AO＝CO＝3，∴点C(3，0)，设直线BC解析式为：y＝kx+b，则036k bb=+⎧⎨=⎩，解得：26kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6；（2）如图1，过点P作PG⊥AC于点G，过点Q作HQ⊥AC于点H，∵点Q横坐标为m，∴点Q(m，﹣2m+6)，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA＝∠HCQ，又∵∠PGA＝∠QHC＝90°，AP＝CQ，∴△PGA≌△QHC（AAS），∴PG＝HQ＝2m﹣6，∴点P的纵坐标为：2m﹣6，∵直线AB的表达式为：y＝2x+6，∴2m﹣6＝2x+6，解得：x＝m﹣6，∴点P(m﹣6，2m﹣6)；（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC于点E，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴BO是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，∴△APM≌△CQM（SSS）∴∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，∴△ABM≌△CBM（SSS）∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，∴∠BCM＝∠MCQ＝∠PAM＝90°，且∠APM＝45°，∴∠APM＝∠AMP＝45°，∴AP＝AM，∵∠PAO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，∴∠PAO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，∴△APE≌△MAO（AAS）∴AE＝OM，PE＝AO＝3，∴2m﹣6＝3，∴m＝92，∴Q(92，﹣3)，P(﹣32，3)，设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，∴932332a ca c⎧-=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：132ac=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+32．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及一次函数的图象和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．。