2013年中考数学试题分类汇编：圆的垂径定理

初中九年级圆垂径定理
初中九年级圆垂径定理是初中数学中的一条重要定理，它指出：
如果一条直线垂直于圆的一条弦，那么这条直线就称为这条弦的垂径。

下面我们来总结一下这个定理的具体内容和证明方法。

一、圆垂径定理的具体内容：
对于任意一个圆，如果有一条直线垂直于圆上的一条弦，那么这
条直线就称为这条弦的垂径。

垂径与弦的关系是：垂径通过弦的中点，并且垂径两端与圆相交的点与该弦两端与圆相交的点构成的四个点构
成一个矩形。

二、圆垂径定理的证明方法：
1. 首先，连接圆心和垂足，将圆垂径问题转化成一个三角形和
一个圆交点的问题。

2. 然后，通过割圆等分弧的方法，证明垂线与弦长度相等。

3. 最后，根据直角三角形的性质，证明垂足在弦的中点上。

三、圆垂径定理的应用：
圆垂径定理在数学中有广泛的应用，例如：
1. 计算圆弧长度和面积，特别是在环形的测量问题中应用。

2. 解决不同形式的分割问题，例如分割圆弧使其长度达到所需
大小的问题。

3. 通过圆垂径定理，证明圆心角定理，从而推出其他的几何定理。

综上所述，初中九年级圆垂径定理是数学中的重要定理之一。

通
过学习和掌握这个定理，我们可以更好地理解和应用各种形式的几何
问题。

圆（第三课时）---垂径定理一、复习提问1．将一等腰三角形沿着底边上的高对折，回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？二、知识讲解 1．在第一个环节的基础上，归纳得出结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．强调： （1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；（2）圆的对称轴有无数条． 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）三、课本探究1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ； 2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念） ①EA=EB ；② AC=BC ，AD=BD ．理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt ∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA 与EB 重合，∴点A 与点B 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合．∴ EA=EB ， AC=BC，AD=BD ． 思考：能利用等腰三角形的性质，说明OA 平分CD 吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ） ∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD． 四、应用新知，体验成功 例1 已知AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)作法：⒈连结AB.⒉作AB 的垂直平分线 CD ， 交弧AB 于点E.点E 就是所求弧AB 的中点．变式一： 求弧AB 的四等分点．思路：先将弧AB 平分，再用同样方法将弧AE 、弧BE 平分．（图略）变式二：你能确定弧AB 的圆心吗？方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心． A B C D OE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A B C DO E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC ．例3 已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．五、目标训练1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．2．如图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ） A ．∠COE=∠DOE B ．CE=DE C ．OE=BE D ．BD=BCO A B C⌒ ⌒3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ）A ．3B ．6cmC ． cmD ．9cm注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．4．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3<OM<5D ．4<OM<55． 已知⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB=12，CD=16，则AB 和CD 的距离为 ．6．如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，求MN 的长．六、总结１．主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．七、巩固新知[基础训练]1．圆是轴对称图形，它的对称轴有A ．一条B 两条C ．四条D ．无数条2. 如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M, AM = 2，BM = 8.则CD 的长为（ ）A . 4B , 5C . 8D . 163. 已知⊙O 的半径为R , 弦AB 的长也是R ，则∠AOB 的度数是 .4. 已知⊙O 中，O C ⊥弦AB 于点C, AB=8, OC=3，则⊙O 的半径长等于 .5. 在半径为5cm 的⊙O 中，有长5cm 的弦AB ，计算(l)点O 到AB 的距离；(2)∠AOB 的度数．[综合提高]1. 在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于（ ）A.3cmB.23cmC. 43cmD. 83cm2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦．若AB = 10cm, CD = 8cm, 那么A , B 两点到直线CD 的距离之和为 ( )A. 12cmB. 10cmC.8cmD.6cm3．已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm ，拱高CD=4cm ，那么拱形的半径是 cm.4. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若AP:PB=1:4, CD=8，则AB=_______________.5.已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN//EF ，且MN =12cm, EP=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为 .6. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，且AB=10cm ，BD=25cm ．求CD和CE 的长. FO BEAD C[拓展延伸]1.如图，直线AD 交⊙O 于点B 、D, ⊙O 的半径为10cm, AO=16cm ，∠A=300，OC ⊥AD 于点C ，求 BC, AB, AD 的长，第3题 第4题B ACD O M一、学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？圆是对称图形，其对称轴是任意一条过的直线。

九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。

本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。

一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。

二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。

1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。

我们需要证明AO = BO。

首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。

根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。

又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。

由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。

代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。

通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。

进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。

所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。

因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。

2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。

设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。

直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。

根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。

将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。

简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。

圆的垂径定理 1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）.A.24B.28C.52D.54答案：D ．考点:垂径定理与勾股定理.点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.2、(2013年某某)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为A. 95B. 245C.185D.52答案：C解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝45，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝CE AC ，即453CE =，所以，CE ＝125，AE ＝95，所以，AD ＝1853、(2013某某省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】（A ）AG BG = （B ）AB ∥EF（C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。

由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。

因为ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧AC ，根据同C AD B弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。

【答案】C4、（2013•某某）已知⊙O的直径CD=10cm，AB 是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB=8cm，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm考点：垂径定理；勾股定理．专题：分类讨论．分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．解答：解：连接AC，AO ，∵⊙O 的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，C D⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5、（2013•某某）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O 的半径为（）A．cm B．5cm C．4cm D．cm考点：垂径定理；勾股定理．3718684分析：连接AO，根据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，根据勾股定理即可求得x的值．解答：解：连接AO，∵半径OD 与弦AB互相垂直，∴AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，即x2=42+（x﹣3）2，解得：x=，故半径为cm ．故选A．点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般．6、（2013•某某）某某市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A．4m B．5m C．6m D．8m考点：垂径定理的应用；勾股定理．3718684分析：连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA=5m，根据CD=8m，求出OD=3m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．解答：解：连接OA，∵桥拱半径OC为5m，∴OA=5m，∵CD=8m，∴OD=8﹣5=3m，∴A D===4m，∴AB=2AD=2×4=8（m ）；故选；D．点评：此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．7、（2013•某某）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A．B ．C．D．考点：垂径定理；勾股定理分析：根据垂径定理可得AC=BC=AB，在Rt△OBC中可求出OB．解答：解：∵OC⊥弦AB于点C，∴AC=BC=AB ，在Rt△OBC中，OB==．故选B．点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．8、（2013•某某）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO 并延长交⊙O于点E，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2B．8C．2D．2考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．专题：探究型．分析：先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．解答：解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE===6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE===2．故选D．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．B．C．D．32考点：圆锥的计算．分析：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠A OB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．解解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，答：由折叠的性质可知，OD=OC=OA，由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°∴弧AB的长为=2π设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr=2π∴r=1cm∴圆锥的高为=2故选A．点评：本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．10、（2013•某某）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O 的半径为（）A．10 B．8C．5D．3考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．解答：解：连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC=CD=×8=4，在Rt△OCP中，∵PC=4，OP=3，∴OC===5．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11、(2013某某某某)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C. 6D. 812、（2013•某某）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．A F=BF C．O F=CF D．∠DBC=90°考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．解答：解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般．13、（2013•某某地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）A．5B．10 C．8D．6考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB 的长度．解答：解：连接OB，∵OC⊥AB，AB=8，∴BC=AB=×8=4，在Rt△OBC中，OB===．故选A．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14、（2013•某某）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（）A．4B．5C．4D．3考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．3718684专题：探究型．分析：先根据∠BAC=∠BOD可得出=，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．解答：解：∵∠BAC=∠BOD，∴=，∴AB⊥CD，∵A E=CD=8，∴DE=CD=4，设OD=r，则OE=AE﹣r=8﹣r，在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r，∵OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8﹣r）2，解得r=5．故选B．点评：本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．15、（2013年某某）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.5D.7分析：过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长．解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，∴BD=AB=×4=2，在Rt△BOD中，OD===．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键16、（2013某某某某4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4cm，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为24 ．考点：一次函数综合题．分析：根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．解答：解：∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；故答案为：24．点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．18、（13年某某省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确．．．的是（）A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。