2013年中考数学100份试卷分类汇编：圆的综合题

圆与圆的位置关系1、(2013年某某)如图，圆O 1、圆O 2的圆心O 1、O 2在直线l 上，圆O 1的半径为2 cm ，圆O 2的半径为3 cm ，O 1O 2=8 cm 。

圆O 1以1 cm/s 的速度沿直线l 向右运动，7s 后停止运动，在此过程中，圆O 1与圆O 2没有出现的位置关系是(A) 外切 (B) 相交 (C) 内切 (D) 内含答案：D解析：7s 后两圆刚好内切，所以，外切、相交、内切都有，没有内含，选D 。

（2013凉山州）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，圆心距O 1O 2为5cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O 1与⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，且圆心距O 1O 2为5cm ，根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙与⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，且圆心距O 1O 2为5cm ，又∵2+3=5，∴两圆的位置关系是外切．故选B ．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系．2、（2013•某某）两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（ ）A ． 内含B ． 内切C ． 相交D ． 外切考点：圆与圆的位置关系． 分由两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离是d=5，根据两圆位置关系与圆心距析：d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离是d=5，又∵2+3=5，∴这两个圆的位置关系是外切．故选D．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．3、（2013•某某）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法分析：由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2﹣4x+3=0的两实根，解方程即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的值，又由⊙O1与⊙O2的圆心距等于4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵x2﹣4x+3=0，∴（x﹣3）（x﹣1）=0，解得：x=3或x=1，∵⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2﹣6x+8=0的两实根，∴r1+r2=3+1=4，∵⊙O1与⊙O2的圆心距d=4，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是外切．故选B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．4、（12-3圆与圆的位置关系·2013东营中考）已知1O ⊙的半径1r =2，2O ⊙的半径2r 是方程321x x =-的根，1O ⊙与2O ⊙的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（ ） A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切7.D.解析：解方程321x x =-得，x=3,经检验x=3是原方程的根，所以23r =，因为211r r -=，所以两圆外切.5、（2013•某某）如图，已知⊙O 1的半径为1cm ，⊙O 2的半径为2cm ，将⊙O 1，⊙O 2放置在直线l 上，如果⊙O 1在直线l 上任意滚动，那么圆心距O 1O 2的长不可能是（ ）A ． 6cmB ． 3cmC ． 2cmD ．考点：圆与圆的位置关系． 分析：根据在滚动的过程中两圆的位置关系可以确定圆心距的关系． 解答： 解：∵⊙O 1的半径为1cm ，⊙O 2的半径为2cm ， ∴当两圆内切时，圆心距为1，∵⊙O 1在直线l 上任意滚动，∴两圆不可能内含，∴圆心距不能小于1，故选D ．点评：本题考查了两圆的位置关系，本题中两圆不可能内含．6、（2013某某）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（）A．8 B．4 C．4π+4D．4π﹣4考点：扇形面积的计算；圆与圆的位置关系．分析：首先根据已知得出正方形内空白面积，进而得出扇形COB中两空白面积相等，进而得出阴影部分面积．解答：解：如图所示：可得正方形EFMN，边长为2，正方形中两部分阴影面积为：4﹣π，∴正方形内空白面积为：4﹣2（4﹣π）=2π﹣4，∵⊙O的半径为2，∴O1，O2，O3，O4的半径为1，∴小圆的面积为：π×12=π，扇形COB的面积为：=π，∴扇形COB中两空白面积相等，∴阴影部分的面积为：π×22﹣2（2π﹣4）=8．故选：A．点评：此题主要考查了扇形的面积公式以及正方形面积公式，根据已知得出空白面积是解题关键．7、（2013•某某）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A 、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．B．C．D．考点：扇形面积的计算；相切两圆的性质．3718684分析：根据题意可判断⊙A 与⊙B 是等圆，再由直角三角形的两锐角互余，即可得到∠A+∠B=90°，根据扇形的面积公式即可求解．解答：解：∵⊙A与⊙B恰好外切，∴⊙A与⊙B是等圆，∵AC=2，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2，∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和=+==πR2=．故选B．点评：本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质，解答本题的关键是得出两扇形面积之和的表达式，难度一般．8、（2013•某某）如图，⊙O1，⊙O2、相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为（）A．B．C．D．考点：相交两圆的性质．分析：根据相交两圆的性质得出AC=AB，进而利用勾股定理得出AC的长．解答：解：连接AO1，AO2，∵⊙O1，⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，∴O1O2⊥AB，∴AC=AB，设O1C=x，则O2C=10﹣x，∴62﹣x2=82﹣（10﹣x）2，解得：x=3.6，∴AC2=62﹣x22=23.04，∴AC=，∴弦AB的长为：．故选：B．点评：此题考查了相交圆的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．9、（2013•湘西州）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和5cm，若圆心距O1O2=8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．相交B．相离C．内切D．外切考点：圆与圆的位置关系．3718684分析：由两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为8cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为8cm，又∵5+3=8，∴两圆的位置关系是：外切．故选D．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系是解此题的关键．10、（2013•某某）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2cm和3cm，若O1O2=5cm．则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是2cm和3cm，若O1O2=5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出⊙O1和⊙O2的位置关系．解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2cm和3cm，若O1O2=5cm，又∵2+3=5，∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切．故选D．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．11、（2013某某某某4分、4）⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是（）A．相交 B．内切 C．外切 D．内含考点：圆与圆的位置关系．分析：两圆的位置关系有5种：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．若d＞R+r，则两圆相离；若d=R+r，则两圆外切；若d=R﹣r，则两圆内切；若R﹣r＜d＜R+r，则两圆相交．本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况．解答：解：∵R﹣r=4﹣1=3，O1O2=3cm．∴两圆内切．故选B．点评：本题主要考查两圆的位置关系与数量之间的联系．12、（2013凉山州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为．考点：扇形面积的计算；勾股定理；相切两圆的性质．专题：计算题．分析：根据题意，可得阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积．解答：解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴扇形的半径为5，∴阴影部分的面积==π．点评：解决本题的关键是把两个阴影部分的面积整理为一个规则扇形的面积．13、（2013•某某）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为外切．考点：圆与圆的位置关系；旋转的性质．专题：计算题．分析：根据旋转的性质得到△OAB为等边三角形，则AB=OA=2，而⊙A、⊙B的半径都为1，根据圆与圆的位置关系即可判断两圆的位置关系．解答：解：∵⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的⊙B，∴△OAB为等边三角形，∴AB=OA=2，∵⊙A、⊙B的半径都为1，∴AB等于两圆半径之和，∴⊙A与⊙B外切．故答案为外切．点评：本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的半径分别为R、r，两圆的圆心距为d，若d=R+r，则两圆外切．也考查了旋转的性质．14、（2013•某某）若两圆的半径分别是2和3，圆心距是5，则这两圆的位置关系是外切．考点：圆与圆的位置关系．分析：两圆的位置关系有5种：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．若d＞R+r则两圆相离，若d=R+r则两圆外切，若d=R﹣r则两圆内切，若R﹣r＜d＜R+r则两圆相交．本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况．解答：解：∵两圆半径分别为2和3，圆心距为5，则2+3=5，∴两圆外切．故答案为：外切．点评：本题主要考查了两圆的位置关系．两圆的位置关系有：外离（d＞R+r）、内含（d＜R ﹣r）、相切（外切：d=R+r或内切：d=R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r ）．15、（2013•某某）如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4cm，P 为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的X围是d ＞5cm或2cm≤d＜3cm．考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆内切和外切时，求出两圆圆心距，进而得出d的取值X围．解答：解：连接OP，∵⊙O的半径为4cm，1cm为半径的⊙P，⊙P与⊙O没有公共点，∴d＞5cm时，两圆外离，当两圆内切时，过点O作OD⊥AB于点D，O′P=4﹣1=3cm，OD==2（cm），∴以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，2cm≤d＜3cm，故答案为：d＞5cm或2cm≤d＜3cm．点评： 此题主要考查了圆与圆的位置关系，根据图形进行分类讨论得出是解题关键．16、(2013年某某)如右图，在边长为3的正方形ABCD 中，圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 分别与DA 、DC 边相切，圆2O 分别与BA 、BC 边相切，则圆心距12O O 为. 答案：632解析：过O 1，O 2分别作O 1M ⊥CD, O 2N ⊥BC ，垂足为M,N设圆O 1半径为R,圆O 2半径为r, 则DO 1=2R ，BO 2=2r,又BD=32，所以2R ＋2r+r+R=32 解得R ＋r=6-32，即12O O =6-3217、（2013•某某州）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为 6+π ．考相切两圆的性质；含30度角的直角三角形；切线的性质；弧长的计算．CDO 2O 1B分析：首先求出扇形半径，进而利用扇形弧长公式求出扇形弧长，进而得出扇形周长．解答：解：如图所示：设⊙O与扇形相切于点A，B，则∠CAO=90°，∠AOB=30°，∵一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，∴AO=1，∴CO=2AO=2，∴BC=2=1=3，∴扇形的弧长为：=π，∴则扇形的周长为：3+3+π=6+π．故答案为：6+π．点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及扇形弧长公式等知识，根据已知得出扇形半径是解题关键．18、（2013•六盘水）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为10或6 cm．考点：圆与圆的位置关系．专题：分类讨论．分本题应分内切和外切两种情况讨论．解答：解：∵⊙A和⊙B相切，∴①当外切时圆心距AB=8+2=10cm，②当内切时圆心距AB=8﹣2=6cm．故答案为：10或6．点评：本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法．外切时P=R+r；内切时P=R﹣r；注意分情况讨论．19、（2013•某某）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= 2或0 ．考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．分析：先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解．解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3．①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2；②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3﹣1=2，解得t=0．∴t为2或0．故答案为：2或0．点评：考查解一元二次方程﹣因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．20、（2013•某某地区）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是a，b，且a、b满足，圆心距O1O2=5，则两圆的位置关系是外切．考点：圆与圆的位置关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．分析：首先根据求得a、b的值，然后根据半径与圆心距的关系求解即可．解答：解：∵，∴a﹣2=0，3﹣b=0解得：a=2，b=3∵圆心距O1O2=5，∴2+3=5∴两圆外切，故答案为：外切．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．21、（2013•某某）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是．考相切两圆的性质；扇形面积的计算．3718684点：根据三角形内角和定理以及扇形面积公式直接求出即可．分析：解解：∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，答：∴阴影部分的面积是：=．故答案为：．点此题主要考查了扇形面积求法，根据已知得出扇形圆心角的和是解题关键．评：22、（2013•某某）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为﹣π．考点：三角形的内切圆与内心．3718684分析：连接OB，以及⊙O与BC的切点，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形易求得⊙O的半径，然后作⊙O与小圆的公切线EF，易知△BEF也是等边三角形，那么小圆的圆心也是等边△BEF的重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积，从而由等边三角形的面积减去四个圆的面积和所得的差即为阴影部分的面积．解答：解：如图，连接OB、OD；设小圆的圆心为P，⊙P与⊙O的切点为G；过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F，则∠BEF=∠BFE=90°﹣30°=60°，所以△BEF是等边三角形．在Rt△OBD中，∠OBD=30°，则OD=BD•tan30°=1×=，OB=2OD=，BG=OB﹣OG=；由于⊙P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，故PG=BG=；∴S⊙O=π×（）2=π，S⊙P=π×（）2=π；∴S阴影=S△ABC﹣S⊙O﹣3S⊙P=﹣π﹣π=﹣π．故答案为﹣π．点评：此题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法，难度适中．23、（2013•某某）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r 1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的位置关系．考点：圆与圆的位置关系；解二元一次方程组．分析：首先由r1、r2是方程组的解，解此方程组即可求得答案；又由⊙O1和⊙O2的圆心距为4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．解答：解：∵，①×3﹣②得：11r2=11，解得：r2=1，吧r2=1代入①得：r 1=4；∴，∵⊙O1和⊙O2的圆心距为4，∴两圆的位置关系为相交．点评：此题考查了圆与圆的位置关系与方程组的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．24、（2013某某压轴题）在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图10）．已知13AD =，5AB =，设AP x BQ y ==，． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值X 围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果4EF EC ==，求x 的值．DC备用图QM DP图10。

2013中考全国100份试卷分类汇编圆的综合题1、（2013•温州）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2=，则S3﹣S4的值是（）．．．，，ππ3、（2013•温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm），从点N沿折线NF﹣FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则CN，AM的长分别是18cm、31cm．+r==+r=4、（2013四川宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）．考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠F AD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG =CG ﹣CF =2； 故②正确； ③∵AF =3，FG =2， ∴AG ==，∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG ==，∴tan ∠E =；故③错误；④∵DF =DG +FG =6，AD ==，∴S △ADF =DF •AG =×6×=3，∵△ADF ∽△AED ， ∴=（）2，∴=，∴S △AED =7，∴S △DEF =S △AED ﹣S △ADF=4；故④正确． 故答案为：①②④．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5、(2013年武汉)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=；（2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．第22题图①第22题图②解析：（1）证明：∵弧BC ＝弧BC ，∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°．又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形∴∠ACB ＝60°，∵点P 是弧AB 的中点，∴∠ACP ＝30°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°，∴AC ＝3AP ．（2）解：连接AO 并延长交PC 于F ，过点E 作EG ⊥AC 于G ，连接OC ． ∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，BF ＝CF ．∵点P 是弧AB 中点，∴∠ACP ＝∠PCB ，∴EG ＝EF ． ∵∠BPC ＝∠FOC ，∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC=2524．设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ， ∴OF ＝7a ，AF ＝32a ．在Rt △AFC 中，AC 2＝AF 2+FC 2，∴AC ＝40a ．在Rt △AGE 和Rt △AFC 中，sin ∠FAC ＝ACFCAE EG =， ∴aa EG a EG 402432=-，∴EG ＝12a ． ∴tan ∠PAB ＝tan ∠PCB=212412==a a CF EF ．6、（2013•常州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0），点B （0，6），动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC ，过O 点作OD ⊥OC ，OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB ．（1）当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为 45°或135° ； （2）连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC 的面积最大？并求出△ABC 的面积的最大值．（3）连接AD ，当OC ∥AD 时，①求出点C 的坐标；②直线BC 是否为⊙O 的切线？请作出判断，并说明理由．第22（2）题图AB=，根据三角形面积公式得到当，则=，即=，再利用勾股定理计算出，所以∠AB=，AB=，AB=3，CE=OC+CE=3+3CE×3+36=99=，即=，解得，OF=，，7、（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O 与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是30°；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=×n=，±OA=EOA==EOB=，=，±OA=±OA====8、（2013•包头）如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC 的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．，ADB==，AC=2==，AB=ADB=ADB=ACE=．9、（2013•荆门）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．，即可得出答案．EOF=化简得：，时，10、（2013•莱芜）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．×．CO1+×π．11、（2013•遂宁）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）求证：△ACM ∽△DCN ；（3）若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，求BN 的长．CE====，=，=，CN==﹣．12、（2013济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC=BO•OA．考点：反比例函数综合题．分析：（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；（2）将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；（3）对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与△AOB的面积相等．解答：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，∴AB是⊙P的直径．（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），∵点P是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，∴mn=12．如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，∴S△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．（3）证明：若点Q为反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，参照（2），同理可得：S△COD=DO•CO=24，则有：S△COD=S△AOB=24，即BO•OA=DO•CO，∴DO•OC=BO•OA．点评：本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义．对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q所形成的⊙Q，此结论依然成立．13、（2013•攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A 作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．EF=x BD==，即EFF==，EF=xBEBD=AB=2BD=（x，×ACB===14、(2013年南京)如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦。

2013中考全国100份试卷分类汇编圆周角1、（德阳市2013年）如图，在圆O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：圆O半径为52，tan∠ABC＝34，则CQ的最大值是A、5B、154C、253D、203答案：D解析：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°，∵∠CPQ=∠CAB，∴△ABC∽△PQC；因为点P在⊙O上运动过程中，始终有△ABC∽△PQC，∴BCCQ＝ACPC，AC、BC为定值，所以PC最大时，CQ取到最大值．∵AB=5，tan∠ABC＝34，即BC：CA=4：3，所以，∴BC=4，AC=3．PC的最大值为直线5，所以，435CQ，所以，CQ的最大值为2032、（2013济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B． C．6 D．考点：切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC 为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB﹣AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．解答：解：连接OD，∵DF为圆O的切线，∴OD⊥DF，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵OD=OC，∴△OCD为等边三角形，∴OD∥AB，又O为BC的中点，∴D为AC的中点，即OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，∴DF⊥AB，在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，∴AD=4，即AC=8，∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6，在Rt△BFG中，∠BFG=30°，∴BG=3，则根据勾股定理得：FG=3．故选B点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．3、(2013年临沂)如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是(A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°.答案：B解析：连结OC，则∠OCB=45°，∠OCA=15°，所以，∠ACB=30°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，知∠AOB=60°4、（2013•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（）5、（2013成都市）如图，点A,B,C 在O 上，A 50∠=，则BOC ∠的度数为（ ） A.40B.50C.80D.100答案：D解析：因为同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，所以，∠BOC ＝2∠BAC ＝100°，选D 。

14．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C ＝ 30，则∠ABD ＝ （） （A ） 30 （B ） 40 （C ） 50 （D ） 6014图 16图 18图15．弧长为6π的弧所对的圆心角为 60，则弧所在的圆的半径为 （） （A ）6 （B ）62 （C ）12 （D ）1816．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝ 90，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为 （）（A ）1 （B ）2 （C ）1+4π （D ）2－4π 17．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 （） （A ）18π （B ）9π （C ）6π （D ）3π18．如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有 （）（A ）2条 （B ）3条 （C ）4条 （D ）5条19．（南京市）如图，正六边形ABCDEF 的边长的上a ，分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 （）（A ）261a π （B ）231a π （C ）232a π （D ）234a π 20．（杭州市）过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6厘米，最短的弦长为4厘米，则OM 的长为 （）（A ）3厘米 （B ）5厘米 （C ）2厘米 （D ）5厘米21．（安徽省）已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是（） （A ）12π （B ）15π （C ）30π （D ）24π22．（安微省）已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交P ．PC ＝5，则⊙O 的半径为（） （A ）335 （B ）635 （C ）10 （D ）5 22 2323．（福州市）如图：PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的一条割线，有PA ＝32，PB ＝BC ，那么BC 的长是（）（A ）3 （B ）32 （C ）3 （D ）3224．（河南省）如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（） （A ）π （B ）1.5π （C ）2π （D ）2.5π 25．（四川省）正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为（）（A ）6厘米 （B ）12厘米 （C ）24厘米 （D ）122厘米26．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数可以是（） （A ） 60 （B ） 90 （C ） 120 （D ） 15027．（成都市）在Rt △ABC 中，已知AB ＝6，AC ＝8，∠A ＝ 90．如果把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，那么S 1∶S 2等于（）（A ）2∶3 （B ）3∶4 （C ）4∶9 （D ）5∶12 29图28．（苏州市）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝ 160，则∠BCD ＝（） （A ） 160 （B ） 100 （C ） 80 （D ） 2029．（镇江市）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点F ．若⊙O 的半径为2，则BF 的长为（）（A ）23 （B ）22（C ）556 （D ）554 1 如图，⊙O 是Rt△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ，(1)判断△DCE 的形状；(2)设⊙O 的半径为1，且OF =213-，求证△DCE ≌△OCB ． 如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点，过C 点的弦CD 使∠ACD ＝45°，AD 的长为22π，求弦AD 、AC 的长． 4 如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD，． （1）求证：直线AB 是O 的切线；第1题图 A BD EO FC（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长． 5 ⊙O 的半径OD 经过弦AB (不是直径)的中点C ，过AB 的延长线上一点P 作⊙O 的切线PE ，E 为切点，PE ∥OD ；延长直径AG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ，交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形；（2）求证：HK ＝HG ；（3）若EF ＝2，FO ＝1，求KE 的长．6 如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，，，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ．（1）求B C ，两点的坐标；（2）求直线CD 的函数解析式；（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：AEF △的最大面积？7 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >， 以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的 横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式；（3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 如图，在ABC △中90ACB ∠，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M ，且46ME =， :2:5MD CO =．（）求证：GEF A ∠=∠． （）求O 的直径CD 的长．（3）若cos 0.6B ∠=，以C 为坐标原点，CA CB ，所在的直线分别为X 轴和Y 轴，建立平面直角坐标系，求直线AB 的函数表达式．9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线F A ⊥x 轴于点A ，点D 在F A 上，且DO 平行⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C .（1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）设点D 的坐标为（，4），试求MC 的长及直线DC 的解析式. 10 如图，ABC △内接于O ，60BAC ∠=，点D 是BC 的中点．BC AB ，边上的高AE CF，相交于点H ．试证明： （1）FAH CAO ∠=∠； (第5题)PEDKHGCA BFO（第6题） y x图（18） NB AC OD Ml 'O F A HE D GBFCO M 第25题图（2）四边形AHDO 是菱形．1 解：(1)∵∠ABC =30°，∴∠BAC =60°．又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD =90°，∴∠DCE =180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED =90°-∠BAC =30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB =2，AC =AO =1，∴BC =2212-=3．OF =213-,∴AF =AO +OF =213+． 又∵∠AEF =30°,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ．而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°-60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB .3.⑴略；⑵85； 4 解：（1）证明：如图3，连接OC ．OA OB =，CA CB =，OC AB ∴⊥．AB ∴是O 的切线．（2）2BC BD BE =．ED 是直径，90ECD ∴∠=．90E EDC ∴∠+∠=．又90BCD OCD ∠+∠=，OCD ODC ∠=∠，BCD E ∴∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠，BCD BEC ∴△∽△．BC BDBE BC∴=．2BC BD BE ∴=． （3）1tan 2CED ∠=，12CD EC ∴=．BCD BEC △∽△，12BD CD BC EC ∴==．设BD x =，则2BC x =．又2BC BD BE =，2(2)(6)x x x ∴=+． 解之，得10x =，22x =．0BD x =>，2BD ∴=．325OA OB BD OD ∴==+=+=．5 解：(1)∵AC ＝BC ，AB 不是直径，∴OD ⊥AB ，∠PCO ＝90°(1分)∵PE ∥OD ,∴∠P ＝90°，∵PE 是切线，∴∠PEO ＝90°，(2分)∴四边形OCPE 是矩形.(3分)(2)∵OG ＝OD ,∴∠OGD ＝∠ODG .∵PE ∥OD ,∴∠K ＝∠ODG .(4分) ∵∠OGD ＝∠HGK ,∴∠K ＝∠HGK ,∴HK ＝HG .(5分)(3)∵EF ＝2，OF ＝1,∴EO ＝DO ＝3.(6分)∵PE ∥OD ，∴∠KEO ＝∠DOE ，∠K ＝∠ODG . ∴△OFD ∽△EFK ，(7分)∴EF ∶OF ＝KE ∶OD ＝2∶1,∴KE ＝6.(8分) 6 （1）(20)A ，，2OA ∴=．作BG OA ⊥于G ，OAB △为正三角形，1OG ∴=，3BG =．(13)B ∴，．连AC ，90AOC ∠=，60ACO ABO ∠=∠=，23tan 303OC OA ∴==．2303C ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，． （2）90AOC ∠=，AC ∴是圆的直径，又CD 是圆的切线，CD AC ∴⊥．30OCD ∴∠=，2tan 303OD OC ==．203D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．AB C(第22题)（第6题）（第6题）设直线CD 的函数解析式为(0)y kx b k =+≠，则203b k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得k b ⎧⎪⎨⎪⎩∴直线CD的函数解析式为y = （3）2AB OA ==，23OD =，423CD OD ==，3BC OC ==，∴四边形ABCD 的周长6+． 设AE t=，AEF△的面积为S，则3AF t =+，13sin 603243S AF AE t ⎛⎫==+- ⎪⎪⎝⎭．237343S t t t ⎛⎫⎛==-++ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴当96t =时，max 3128S =+． 点E F ，分别在线段AB AD ，上，0220323t t ⎧⎪∴⎨+⎪⎩≤≤≤≤，解得123t +≤≤． 96t +=满足123t +≤≤，AEF ∴△的最大面积为3128+． 7 解：（1）以AB 为直径的圆过点C ，90ACB ∴∠=，而点C 的坐标为(02)，，由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△，2CO AO BO ∴=， 即：4(5)AO AO =-，解之得：4AO =或1AO =．OA OB >，4AO ∴=，即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：21A B A Bx x m x x n +=+⎧⎨=-⎩，解之5m =-，3n =-．（2）如图（3），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ， 易知DE AC ⊥，且45ECD EDC ∠=∠=，在ABC △中，易得AC BC ==图（3）'AD AE DE BC DB EC ∴=∥，，AD AEDE EC BD DE=∴=，， 又AED ACB △∽△，有AE AC ED BC =，2AD ACDB BC ∴==，553AB DB ==，，则23OD =，即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，易求得直线l 对应的一次函数解析式为：32y x =+．解法二：过D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ，由ACD BCD ABC S S S +=△△△，求得DE = 又1122BCD S BD CO BC DF ==△求得5233BD DO ==，．即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，易求直线l 解析式为：32y x =+．（3）过点D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ．CD 为ACB ∠的平分线，DE DF ∴=．由MDE MNC △∽△，有DE MDCN MN=由DNF MNC △∽△， 有DF DN CM MN =1DE DF MD DNCN CM MN MN∴+=+=，即111CM CN DE +==． 8 （1）连接DF CD 是圆直径，90CFD ∴∠=，即DF BC ⊥90ACB ∠=，DF AC ∴∥．BDF A ∴∠=∠．在O 中BDF GEF ∠=∠，GEF A ∴∠=∠． ·····························2分 （2）D 是Rt ABC △斜边AB 的中点，DC DA ∴=，DCA A ∴∠=∠， 又由（1）知GEF A ∠=∠，DCA GEF ∴∠=∠．又OME EMC ∠=∠，OME ∴△与EMC △相似OM MEME MC ∴=2ME OM MC∴=⨯4分又ME =，296OM MC ∴⨯==:2:5MD CO =，:3:2OM MD ∴=，:3:8OM MC ∴=设3OM x =，8MC x =，3896x x ∴⨯=，2x ∴= ∴直径1020CD x ==．（3）Rt ABC △斜边上中线20CD =，40AB ∴=在Rt ABC △中cos 0.6BCB AB∠==，24BC ∴=，32AC ∴=设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，根据题意得(320)A ，，(024)B ，024320k b k b ⨯+=⎧∴⎨⨯+=⎩ 解得3424k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的函数解析式为3244y x =-+（其他方法参照评分） ········· 9分第25题图10 （1）答：直线DC 与⊙O 相切于点M .证明如下：连OM ， ∵DO ∥MB ，∴∠1=∠2，∠3=∠4 .∵OB =OM ，∴∠1=∠3 . ∴∠2=∠4 . 在△DAO 与△DMO 中，⎪⎩⎪⎨⎧DO=DO =∠∠AO=OM 42∴△DAO ≌△DMO . ∴∠OMD =∠OAD . 由于F A ⊥x 轴于点A ，∴∠OAD =90°.∴∠OMD =90°. 即OM ⊥DC . ∴DC 切⊙O 于M . （2）解：由D （－2，4）知OA =2（即⊙O 的半径），AD =4 .由（1）知DM =AD =4，由△OMC ∽△DAC ，知MC AC = OM AD = 24 = 12 . ∴AC =2MC .在Rt △ACD 中，CD =MC ＋4. 由勾股定理，有(2MC )2＋42=(MC ＋4)2，解得MC = 83 或MC =0（不合，舍去）.∴MC 的长为83 . ∴点C （103，0）.设直线DC 的解析式为y = kx ＋b . 则有⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=.b k b k 243100 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.b k 2543 ∴直线DC 的解析式为 y =－34 x ＋52.10。

2013中考全国100份试卷分类汇编与圆有关的计算1、(2013年武汉)如图，⊙A 与⊙B 外切于点D ，PC ，PD ，PE切点，若∠CED ＝x °，∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则⋂DEA ．()9090R x -πB ．()9090R y -πC ．()180180R x -πD ．()180180R y -π 答案：B 解析：由切线长定理，知：PE ＝PD ＝PC ，设∠PEC ＝z °所以，∠PED ＝∠PDE ＝（x ＋z ）°，∠PCE ＝∠PEC ＝z °，∠PDC ＝∠PCD ＝（y ＋z ）°，∠DPE ＝（180－2x －2z ）°，∠DPC ＝（180－2y －2z ）°，在△PEC 中，2z °＋（180－2x －2z ）°＋（180－2y －2z ）°＝180°，化简，得：z ＝（90－x －y ）°，在四边形PEBD 中，∠EBD ＝（180°－∠DPE ）＝180°－（180－2x －2z ）°＝（2x ＋2z ）°＝（2x ＋180－2x －2y ）＝（180－2y ）°，所以，弧DE 的长为：(1802)180y R π-＝()9090R y -π 选B 。

2、(2013年黄石)已知直角三角形ABC 的一条直角边12AB cm =，另一条直角边5BC cm =，则以AB 为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是A.290cm πB. 2209cm πC. 2155cm πD. 265cm π 答案：A解析：得到的是底面半径为5cm ，母线长为13cm 的圆锥，底面积为：25π，侧面积为：12513652ππ⨯⨯⨯=，所以，表面积为290cm π3、（2013•资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）A ．π B ． π C ． π D ． π考点： 扇形面积的计算；钟面角．分析： 从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，利用扇形的面积公式即可求解．P第10题图解答：解：从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，则分针在钟面上扫过的面积是：=π．故选：A．点评：本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．4、（2013达州）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，米，则这段弯路的长度为（）且O E⊥CD，垂足为F，OF=A．200π米B．100π米C．400π米D．300π米答案：A，所以，∠COF＝30°，∠COD＝60°，解析：CF＝300，OF＝OC＝600，因此，弧CD的长为：60600π⨯＝200π米1605、（2013•攀枝花）一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（）A．60° B．90° C．120°D． 180°考点：圆锥的计算．分析：要求其圆心角，就要根据弧长公式计算，首先明确侧面展开图是个扇形，即圆的周长就是弧长．解答：解：设底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，底面周长=2πr，侧面展开图是个扇形，弧长=2πr=，所以n=180°．故选D．点评：主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．6、（2013•眉山）用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是（）A．1cm B．2cm C．3cm D． 4cm考点：圆锥的计算．分析：利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．解答：解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr=，（第8题图） 解得r=2cm ．故选B ．点评： 本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．7、（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）A ．90° B ． 120° C ． 150° D ． 180°考点： 圆锥的计算．分析： 设正圆锥的底面半径是r ，则母线长是2r ，底面周长是2πr ，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n °，利用弧长的计算公式即可求解．解答： 解：设正圆锥的底面半径是r ，则母线长是2r ，底面周长是2πr ， 设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n °，则=2πr ， 解得：n=180．故选D ．点评： 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8、（12-4圆的弧长与扇形面积·2013东营中考）如图，正方形ABCD 中，分别以B 、D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）A. a πB. 2a πC. 12aπ D. 3a 8.A.解析：由题意得，树叶形图案的周长为两条相等的弧长，所以其周长为290180a l a ππ==.9、（2013•嘉兴）如图，某厂生产横截面直径为7cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°，则“蘑菇罐头”字样的长度为（ ）A ．cm B ． cm C ．cm D ． 7πcm考点： 弧长的计算．分析： 根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可．解答： 解：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°， ∴此弧所对的圆心角为90°，由题意可得，R=cm ，则“蘑菇罐头”字样的长==π．故选B ．点评： 本题考查了弧长的计算，解答本题关键是根据题意得出圆心角，及半径，要求熟练记忆弧长的计算公式．10、（2013山西，1，2分）如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ B ）A ．23π－B ．23π－ C ．π－ D ．π－【答案】B【解析】扇形BEF 的面积为：S 1=604360π⨯=23π，菱形ABCD 的面积为S ABCD=1222⨯⨯=， 如右图，连结BD ，易证：△BDP ≌△BCQ ，所以，△BCQ 与△BAP 的面积之和为△BAD 的面积，因为四边形BPDQ，阴影部分的面积为：2311、（2013•遂宁）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．2πcm B．1.5cm C．πcm D． 1cm考点：圆锥的计算．分析：把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．解答：解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，解得：r=1cm．故选D．点评：主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12、2013泰安）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（）A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4考点：扇形面积的计算；圆与圆的位置关系．分析：首先根据已知得出正方形内空白面积，进而得出扇形COB中两空白面积相等，进而得出阴影部分面积．解答：解：如图所示：可得正方形EFMN，边长为2，正方形中两部分阴影面积为：4﹣π，∴正方形内空白面积为：4﹣2（4﹣π）=2π﹣4，∵⊙O的半径为2，∴O1，O2，O3，O4的半径为1，∴小圆的面积为：π×12=π，扇形COB的面积为：=π，∴扇形COB中两空白面积相等，∴阴影部分的面积为：π×22﹣2（2π﹣4）=8．故选：A．点评：此题主要考查了扇形的面积公式以及正方形面积公式，根据已知得出空白面积是解题关键．13、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．B．C．D．32考点：圆锥的计算．分析：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．解答：解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知，OD=OC=OA，由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°∴弧AB的长为=2π设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr=2π∴r=1cm∴圆锥的高为=2故选A．点评：本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．14、（2013•德州）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．12D．AB=，），15、（2013•宁夏）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B 恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．B．C．D．考点：扇形面积的计算；相切两圆的性质．分析：根据题意可判断⊙A与⊙B是等圆，再由直角三角形的两锐角互余，即可得到∠A+∠B=90°，根据扇形的面积公式即可求解．解答：解：∵⊙A与⊙B恰好外切，∴⊙A与⊙B是等圆，∵AC=2，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2，∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和=+==πR2=．故选B．点评：本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质，解答本题的关键是得出两扇形面积之和的表达式，难度一般．16、（2013•包头）用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．B．C．D．考点：圆锥的计算．分析：设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr=，然后解方程即可．解答：解：设圆锥底面的半径为r，根据题意得2πr=，解得：r=．故选D．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17、（2013•淮安）若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（）A．3πB．4πC．5πD．6π考点：弧长的计算．分析：根据弧长的公式l=进行计算即可．解答：解：∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴此扇形的弧长==4π．故选B．点评：本题考查了弧长的计算．此题属于基础题，只需熟记弧长公式即可．18、（2013•湖州）在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是（）A．4πB．3πC．2πD． 2π考点：圆锥的计算．=•2πr•l=πrl，代入分析：首先根据勾股定理计算出母线的长，再根据圆锥的侧面积为：S侧数进行计算即可．解答：解：∵底面半径为1，高为2，∴母线长==3．底面圆的周长为：2π×1=2π．=•2πr•l=πrl=×2π×3=3π．∴圆锥的侧面积为：S侧故选B．=•2πr•l=πrl．点评：此题主要考查了圆锥的计算，关键是掌握圆锥的侧面积公式：S侧19、（2013•荆门）若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是（）A．l=2r B．l=3r C．l=r D．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长有2π•r=π•l，即可得到r与l的比值．解答：解：∵圆锥的侧面展开图是半圆，∴2π•r=π•l，∴r：l=1：2．则l=2r．故选A．．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长．20、2013•白银）如图，⊙O 的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S 关于⊙O 的半径r （r ＞0）变化的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．专题： 计算题． 分析： 连接OB 、OC 、OA ，求出∠BOC 的度数，求出AB 、AC 的长，求出四边形OBAC 和扇形OBC 的面积，即可求出答案．解答： 解：连接OB 、OC 、OA ， ∵圆O 切AM 于B ，切AN 于C ，∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r ，AB=AC∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣α=（180﹣α）°，∵AO 平分∠MAN ，∴∠BAO=∠CAO=α， AB=AC=，∴阴影部分的面积是：S 四边形BACO ﹣S 扇形OBC =2×××r ﹣=（﹣）r 2，∵r ＞0，∴S 与r 之间是二次函数关系．故选C ．点评：本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．21、（2013•恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（）A．B．C．π+1 D．考点：扇形面积的计算；正方形的性质；旋转的性质．分析：画出示意图，结合图形及扇形的面积公式即可计算出点A运动的路径线与x轴围成的面积．解答：解：如图所示：点A运动的路径线与x轴围成的面积=S 1+S2+S3+2a=+++2×（×1×1）=π+1．故选C．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题如果不能直观想象出图形，可以画出图形再求解，注意熟练掌握扇形的面积计算公式．22、（2013•牡丹江）一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面积是（）A．81πB．27πC．54π D．18π考点：圆锥的计算．分析： 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 解答： 解：圆锥的侧面积=2π×6×9÷2=54π．故选C ．点评： 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．23、（2013年河北）如图7，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C = 30°，CD.则S 阴影= A ．πB ．2πC ．23 3D ．23π答案：D解析：∠AOD ＝2∠C ＝60°，可证：△EAC ≌△EOD ，因此阴影部分的面积就是扇形AOD 的面积，半径OD ＝2，S 扇形AOD ＝2602360π⨯＝23π24、(2013•遵义）如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）A ． cmB ． （2+π）cmC ． cmD ．3cm考点： 弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质．分析： 通过观察图形，可得从开始到结束经过两次翻动，求出点B 两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度．解答： 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∴∠AC （A ）=120°，点B 两次翻动划过的弧长相等，则点B 经过的路径长=2×=π． 故选C ．点评： 本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，得到点B 运动的路径，注意熟练掌握弧长的计算公式．25、（2013•南宁）如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm ，母线长为20cm ，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（ ）A ．150πcm 2 B ． 300πcm 2 C ． 600πcm 2 D ． 150πcm 2考点： 圆锥的计算．专题： 计算题．分析： 根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可．解答： 解：烟囱帽所需要的铁皮面积=×20×2π×15=300π（cm 2）．故选B ．点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．26、（德阳市2013年）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是＿＿＿答案：43解析：扇形的周长为：1204821803R πππ⨯==，所以R ＝4327、（2013•广安）如图，如果从半径为5cm 的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是 3 cm ．考点： 圆锥的计算．分析： 因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长==8π，所以圆锥的底面半径r==4cm ，利用勾股定理求圆锥的高即可；解答： 解：∵从半径为5cm 的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长==8π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r==4cm，∴圆锥的高为=3cm故答案为：3．点评：此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．28、（2013•巴中）底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于2π．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．解答：解：圆锥的侧面积=2×2π÷2=2π．故答案为：2π．点评：本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式．熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．29、（2013•衢州）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为+2．考点：扇形面积的计算．专题：数形结合．分析：在Rt△OBC中求出OB、BC，然后求出扇形OAB及△OBC的面积即可得出答案．解答：解：∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°，∴∠OBC=30°，∴OB=4cm，BC=2cm，==，S△OBC=OC×BC=2，则S故S 重叠=S 扇形OAB +S △OBC =+2． 故答案为：+2． 点评： 本题考查了扇形的面积计算，解答本题关键是求出扇形的半径，注意熟练掌握扇形的面积公式，难度一般．30、（2013四川南充，13，3分）点A,B ，C 是半径为15cm 的圆上三点，∠BAC=36°，则弧BC 的长为__________cm.答案：6π解析：设圆心为O ，则∠BOC ＝72°，所以，弧BC 的长为7215180π⨯＝6π31、（2013济宁）如图，△ABC 和△A ′B ′C 是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm ．三角板A ′B ′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A ′落在AB 边上时，CA ′旋转所构成的扇形的弧长为 cm ．考点：旋转的性质；弧长的计算．分析：根据Rt △ABC 中的30°角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质推知△AA ′C 是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求CA ′旋转所构成的扇形的弧长．解答：解：∵在Rt △ABC 中，∠B=30°，AB=10cm ，∴AC=AB=5cm ．根据旋转的性质知，A ′C=AC ，∴A ′C=AB=5cm ，∴点A ′是斜边AB 的中点，∴AA ′=AB=5cm ，∴AA ′=A ′C=AC ，∴∠A ′CA=60°，∴CA ′旋转所构成的扇形的弧长为：=（cm ）． 故答案是：．点评：本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解题的难点是推知点A′是斜边AB的中点，同时，这也是解题的关键．32、（2013聊城）已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为cm．考点：圆锥的计算．分析：首先利用扇形的弧长公式求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．解答：解：扇形的弧长是：=50πcm，设底面半径是rcm，则2πr=50π，解得：r=25．故答案是：25．点评：考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．33、（2013•呼和浩特）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．解答：解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，设圆心角为n，有=πR，∴n=180°．故答案为：180．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．34、（2013•泸州）如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为3cm．考点：圆锥的计算．分析： 首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，则底面半径即可求得，然后利用勾股定理即可求得圆锥的高．解答： 解：圆心角是：360×（1﹣）=240°， 则弧长是：=12π（cm ），设圆锥的底面半径是r ，则2πr=12π，解得：r=6， 则圆锥的高是：=3（cm ）．故答案是：3． 点评： 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．35、(2013河南省)已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 ㎝ 【解析】有扇形的弧长公式180n r l π=可得：弧长120481801803n r l πππ⨯⨯=== 【答案】83π36、（2013•徐州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm ，则扇形的半径为 15 cm ．考点： 弧长的计算．分析： 运用弧长计算公式，将其变形即可求出扇形的半径． 解答： 解：扇形的弧长公式是 L==，解得：r=15．故答案为：15．点评： 此题主要考查了扇形的弧长公式的变形，难度不大，计算应认真．37、（2013•常州）已知扇形的半径为6cm ，圆心角为150°，则此扇形的弧长是 5π cm ，扇形的面积是 15π cm 2（结果保留π）．考点： 扇形面积的计算；弧长的计算．分析： 根据扇形的弧长公式l=和扇形的面积=，分别进行计算即可．解答： 解：∵扇形的半径为6cm ，圆心角为150°，∴此扇形的弧长是：l==5π（cm），根据扇形的面积公式，得==15π（cm2）．S扇故答案为：5π，15π．点评：此题主要考查了扇形弧长公式以及扇形面积公式的应用，熟练记忆运算公式进行计算是解题关键．38、（2013四川宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是4π．考点：弧长的计算；等边三角形的性质．分析：弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．解答：解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．故答案是：4π．点评：本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．39、（2013•衡阳）如图，要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是48πcm2．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：圆锥形小漏斗的侧面积=×12π×8=48πcm2．故答案为48πcm2．点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积=×底面周长×母线长40、（2013•苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为π．（结果保留π）考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；弧长的计算．专题：计算题．分析：连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOB为直角三角形，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且∠AOB为60度，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC为60度，又OB=OC，得到三角形BOC为等边三角形，确定出∠BOC为60度，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．解答：解：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为=π．故答案为：π点评：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．41、用半径为10cm ，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 8 cm ．考点： 圆锥的计算．专题： 计算题． 分析： 根据圆的周长公式和扇形的弧长公式解答． 解答： 解：如图：圆的周长即为扇形的弧长， 列出关系式解答：=2πx ， 又∵n=216，r=10，∴（216×π×10）÷180=2πx ，解得x=6， h==8．故答案为：8cm ．点评： 考查了圆锥的计算，先画出图形，建立起圆锥底边周长和扇形弧长的关系式，即可解答．42、（2013•遂宁）如图，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A ′BC ′的位置，且点A ′、C ′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是 7.2 ．（π≈3.14，结果精确到0.1）考点： 扇形面积的计算；旋转的性质．分析： 扇形BAB'的面积减去△BB'C'的面积即可得出阴影部分的面积．解答： 解：由题意可得，AB=BB'==，∠ABB'=90°，S扇形BAB '==，S △BB'C '=BC'×B'C'=3，则S阴影=S 扇形BAB '﹣S △BB'C '=﹣3≈7.2．故答案为：7.2．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是求出扇形的半径，及阴影部分面积的表达式．43、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为10π．考点：扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：综合题．分析：根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC 于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG 于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．解答：解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，∴∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，则BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°，在四边形OFCG中，∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，∴△CNG为等腰三角形，∴CG=NG=2，过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2，在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，∴OG=ON+NG=6，在Rt△OGD中，OD===2，即圆O的半径为2，故S 阴影=S 扇形OBD ==10π．故答案为：10π．点评： 本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．44、（2013•昆明）如图，从直径为4cm 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB ，且点O 、A 、B 在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 cm ．考点： 圆锥的计算．专题： 计算题．分析： 设圆锥的底面圆的半径为r ，由于∠AOB=90°得到AB 为⊙O 的直径，则OB=AB=2cm ，根据弧长公式计算出扇形OAB 的弧AB 的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算．解答： 解：设圆锥的底面圆的半径为r ，连结AB ，如图，∵扇形OAB 的圆心角为90°，∴∠AOB=90°，∴AB 为⊙O 的直径，∴AB=4cm ，∴OB=AB=2cm ，∴扇形OAB 的弧AB 的长==π，∴2πr=π， ∴r=（cm ）．故答案为．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式．45、（2013•十堰）如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当≤r＜2时，S的取值范围是﹣1≤S＜﹣．考点：扇形面积的计算；等边三角形的性质．分析：首先求出S关于r的函数表达式，分析其增减性；然后根据r的取值，求出S的最大值与最小值，从而得到S的取值范围．解答：解：如右图所示，过点D作DG⊥BC于点G，易知G为BC的中点，CG=1．在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG==．设∠DCG=θ，则由题意可得：S=2（S﹣S△CDG）=2（﹣×1×）=﹣，扇形CDE∴S=﹣．当r增大时，∠DCG=θ随之增大，故S随r的增大而增大．当r=时，DG==1，∵CG=1，故θ=45°，。

2013中考全国10０份试卷分类汇编圆的综合题1、（2013•温州）在△ABC中,∠C为锐角,分别以AＢ，AC为直径作半圆,过点Ｂ,A,C作，如图所示．若AＢ=4,AC=2,S1﹣Ｓ２＝,则S3﹣S4的值是(）A． B. C．D．考点: 圆的认识分析：首先根据ＡB、AC的长求得S1+Ｓ3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．解答：解:∵AB=4，AＣ=２,∴S1+S3＝２π，S2＋S4=,∵S1﹣S2=，∴（Ｓ1+S3)﹣(S２+S４)＝（S１﹣S2）＋（S3﹣S4)=π∴Ｓ3﹣S4=π，故选D.点评:本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和S２+Ｓ4的值．2、(2013•孝感)下列说法正确的是( )A. 平分弦的直径垂直于弦B. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D. 若两个圆有公共点，则这两个圆相交考点: 圆与圆的位置关系；垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.分析：利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可解答:解:A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故本选项错误;B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确;C、同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故本选项错误；D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误，故选B.点评：本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定理是解决本题的关键.３、（2013•温州)一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面,要求木板大小不变,且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法,他测量了PQ与圆洞的切点Ｋ到点B的距离及相关数据（单位：ｃm),从点N沿折线NF﹣ＦM(NF∥BＣ，FＭ∥AＢ）切割，如图1所示．图2中的矩形EＦGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图(不重叠,无缝隙,不记损耗)，则CN，AＭ的长分别是1８cm、3１cｍ．考点: 圆的综合题分析:如图,延长OK交线段ＡB于点M′，延长PＱ交ＢC于点G，交ＦＮ于点N′，设圆孔半径为r．在Rt△KＢG中,根据勾股定理，得r=16（cm）．根据题意知,圆心O在矩形ＥFGＨ的对角线上，则KN′=AB=42cｍ,ＯＭ′＝ＫM′+r=ＣB=６5ｃm.则根据图中相关线段间的和差关系求得CN=QG﹣QN′＝４4﹣26=18(cm),AM=ＢC﹣PD﹣KＭ′＝１3０﹣5０﹣４9=3１(cm）．解答:解：如图，延长OK交线段AB于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′．设圆孔半径为r.在Ｒt△ＫＢG中,根据勾股定理，得BG2+ＫG2=BＫ2,即(１３0﹣５0）2+(4４+ｒ)２＝10０2，解得，ｒ＝1６（cm）．根据题意知,圆心O在矩形EFＧH的对角线上，则KN′=AB=４2cm,ＯM′＝ＫM′+r=CＢ＝65cm．∴QN′＝KN′﹣KQ＝42﹣１6=26（cm),KM′=49（cm),∴CN=QＧ﹣QＮ′=44﹣26=１8（cm)，∴AM=ＢC﹣PD﹣KＭ′＝130﹣50﹣4９=31(cｍ），综上所述，CＮ,AM的长分别是18cｍ、3１cm．故填：１8cm、31cｍ．点评:本题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形及圆等相关知识,积累了将实际问题转化为数学问题经验,渗透了图形变换思想,体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．4、（２01３四川宜宾）如图，AＢ是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点，且满足＝,连接AF并延长交⊙Ｏ于点E,连接AD、DE,若CＦ=2,AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2;③tan∠E=;④S△DEF=４.其中正确的是①②④ (写出所有正确结论的序号）.考点:相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．分析：①由AB是⊙Ｏ的直径,弦CD⊥AＢ,根据垂径定理可得:=，ＤG＝CG,继而证得△ADF∽△AＥＤ;②由=，ＣF=2,可求得DF的长，继而求得CG=DＧ=4,则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长,即可求得tan∠ADＦ的值,继而求得tａn∠E=；④首先求得△ADF的面积,由相似三角形面积的比等于相似比,即可求得△AＤE的面积，继而求得Ｓ△DEF=4.解答:解:①∵ＡB是⊙O的直径,弦ＣD⊥AB,∴=,DG=CG,∴∠ADF=∠AEＤ,∵∠FＡD＝∠DAE（公共角），∴△ＡＤＦ∽△AED;故①正确;②∵=,CF=2,∴FD=6,∴ＣD＝DF+ＣＦ＝8,∴CG =D Ｇ＝4, ∴ＦG =CG ﹣ＣF =２; 故②正确；③∵AF ＝３，FG ＝2， ∴ＡＧ==，∴在Rt △ＡG Ｄ中，tan ∠ADG ==,∴ｔa ｎ∠Ｅ=；故③错误；④∵DF ＝D Ｇ＋ＦG ＝６，AD ==，∴Ｓ△ADF =DF •AG =×６×=3,∵△A ＤF ∽△AE Ｄ, ∴=（）２,∴=,∴S △A ＥＤ＝7，∴S △DEF =S △AED ﹣S △AD Ｆ=4;故④正确. 故答案为:①②④.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5、(2013年武汉)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙Ｏ的内接三角形，A Ｂ=AC ，点Ｐ是⋂AB 的中点,连接ＰA ，PB ,ＰC .（1）如图①,若∠ＢP Ｃ＝60°，求证:AP AC 3=;(2)如图②,若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值.OPCBAOPCBA解析：(１)证明:∵弧BC ＝弧ＢＣ,∴∠ＢAC=∠BPC ＝６0°．又∵AB=A Ｃ，∴△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，∵点Ｐ是弧ＡB 的中点,∴∠ACP ＝3０°,又∠APC=∠ABC ＝60°,∴AC=3ＡP.(2)解:连接ＡＯ并延长交PC于Ｆ,过点E 作EG ⊥AC 于G ，连接OC ． ∵AB ＝ＡC ，∴A Ｆ⊥BC,ＢF=CF.∵点P 是弧AB 中点,∴∠ACP=∠PCB ，∴EG=EF ． ∵∠BP Ｃ=∠F ＯC,∴sin ∠ＦＯC ＝ｓin ∠ＢＰC=2524．设FC=2４a ，则OC=OA=2５a ，∴ＯF ＝7ａ,AF ＝32ａ．在Rt △AFC 中，AC 2＝AF 2+ＦC 2，∴AC=40a ．在Ｒt △AGE 和Ｒｔ△A ＦC 中,si ｎ∠FA Ｃ＝ACFCAE EG =， ∴a a EG a EG 402432=-，∴EG=12a . ∴ｔan ∠ＰAB ＝ｔan ∠P ＣB=212412==a a CF EF .６、（2０13•常州）在平面直角坐标系xOy 中,已知点A （6，0）,点B （0,６),动点C 在以半径为3的⊙Ｏ上，连接O Ｃ，过O 点作O Ｄ⊥ＯC ，O Ｄ与⊙O 相交于点D(其中点C 、Ｏ、D 按逆时针方向排列），连接AB ．(1）当OC ∥A Ｂ时，∠ＢＯC 的度数为 45°或1３5° ；(2)连接AC,BC,当点C 在⊙O 上运动到什么位置时,△AB Ｃ的面积最大？并求出△ABC 的面积的最大值.(3）连接ＡD,当OC ∥AD 时,①求出点C 的坐标；②直线BC 是否为⊙O 的切线？请作出判断，并说明理由.GE F A P O第22（2）题图考点: 圆的综合题．专题: 综合题．分析：（1）根据点A和点Ｂ坐标易得△OAＢ为等腰直角三角形,则∠ＯＢA=45°,由于OC∥AB,所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°﹣∠OBＡ=1３5°；（2）由△OAB为等腰直角三角形得ＡB=OA=6,根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ＡBC的面积最大，过Ｏ点作OE⊥ＡB于E，OE的反向延长线交⊙O于C,此时C点到ＡB的距离的最大值为CＥ的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出ＯE,然后计算△ＡBC的面积;(３）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rｔ△AＯD,则＝,即=,解得CＦ=,再利用勾股定理计算出OF=,则可得到C点坐标；②由于ＯC=3，OF=,所以∠COF＝30°，则可得到∴ＢOC=60°，∠ＡOD=60°,然后根据“ＳAS”判断△ＢOC≌△AOD,所以∠BＣO=∠ADＣ=90°,再根据切线的判定定理可确定直线BＣ为⊙O的切线.解答:解：(1)∵点A（6,0）,点B（０，6),∴OA=OB＝6,∴△OＡＢ为等腰直角三角形,∴∠ＯＢA=４5°,∵ＯＣ∥AB,∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA＝45°;当Ｃ点在y轴右侧时,∠BOC=１８0°﹣∠OＢA=１35°；（2)∵△ＯAB为等腰直角三角形,∴AＢ＝OA＝６，∴当点C到AB的距离最大时,△ＡＢC的面积最大,过Ｏ点作OE⊥ＡＢ于E，OＥ的反向延长线交⊙O于C，如图,此时Ｃ点到AＢ的距离的最大值为CE的长，∵△ＯAB为等腰直角三角形,∴AB=OA=6,∴OＥ=AB=３，∴ＣE=OC+CＥ＝3+3，△ＡBC的面积＝CＥ•ＡB=×(3＋３）×６=9+18．∴当点C在⊙Ｏ上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大,最大值为9+18.(3）①如图，过C点作CF⊥ｘ轴于F,∵OC∥ＡＤ，∴∠AＤＯ=∠COＤ=90°,∴∠ＤOA+∠DAO＝90°而∠DＯA+∠COF=９0°,∴∠COF＝∠ＤAO，∴Rｔ△OCF∽Rt△AOD,∴=,即＝，解得CF=,在Rt△ＯCF中,OF==，∴C点坐标为(﹣,)；②直线BＣ是⊙O的切线．理由如下:在Rt△ＯＣＦ中，OC=3，ＯF=,∴∠COF=30°，∴∠OＡD＝30°,∴∠BＯC=6０°,∠AＯD＝60°,∵在△BOC和△AOD中,∴△BOC≌△ＡOＤ（SAＳ)，∴∠BＣO=∠AＤC=90°，∴OC⊥BＣ,∴直线BＣ为⊙O的切线.点评:本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质;熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算.７、(20１３•宜昌)半径为2cm的与⊙O边长为2ｃm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，ＤC在l上.(1)过点B作的一条切线BE,Ｅ为切点.①填空:如图1，当点A在⊙O上时，∠EＢA的度数是30°；②如图2,当E,A，D三点在同一直线上时,求线段OA的长；（2)以正方形AＢＣＤ的边AD与ＯF重合的位置为初始位置,向左移动正方形(图３)，至边BC与OＦ重合时结束移动，M，N分别是边BＣ,ＡD与⊙Ｏ的公共点，求扇形ＭON的面积的范围．考点: 圆的综合题．分析：(１)①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=，进而求出OA即可;(2)设∠MON＝n°,得出S扇形MＯN=×22=n进而利用函数增减性分析①当N，Ｍ,Ａ分别与D，Ｂ，Ｏ重合时,MN最大,②当ＭＮ＝DＣ=２时,MN最小，分别求出即可．解答:解:（１）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABＣD在水平直线l的同侧,当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE,E为切点，∴OB＝4,ＥO＝2,∠OEB=90°,∴∠ＥBA的度数是：30°;②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFＤ=90°，∵正方形AＤＣB中,∠ＡDC=９0°,∴OF∥AD,∵OＦ=ＡＤ=2,∴四边形OFDＡ为平行四边形,∵∠OFD=9０°,∴平行四边形ＯFDＡ为矩形,∴DＡ⊥AO，∵正方形ABCＤ中，DＡ⊥AB,∴O，A，B三点在同一条直线上;∴EA⊥OB，∵∠ＯEＢ=∠ＡOE，∴△ＥOA∽△BOE,∴=,∴OE２＝OA•OB,∴OA(2＋OA)＝4,解得:OＡ＝﹣1±，∵OＡ＞0,∴ＯA=﹣1；方法二:在Rt△OAE中，coｓ∠EOA==,在Rt△EOB中,cos∠EOB==，∴=，解得:OA=﹣1±，∵ＯA>０,∴OA=﹣1；方法三：∵OＥ⊥ＥB,ＥA⊥OB，∴由射影定理，得OE2=OA•OＢ,∴OA（２+OA)=4,解得:ＯA=﹣1±，∵OA＞0,∴OA=﹣１;（２）如图3，设∠MON=n°,S扇形MＯN=×22=n(cｍ2)，S随n的增大而增大,∠MON取最大值时,S扇形MOＮ最大，当∠MＯN取最小值时,Ｓ扇形MON最小，过O点作ＯK⊥ＭＮ于K，∴∠ＭON=２∠NOK,ＭN=２NK,在Rt△ONK中，sｉn∠NOK==，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MＮ的增大而增大,∴当ＭN最大时∠MON最大,当MＮ最小时∠ＭOＮ最小，①当N，M,A分别与D,Ｂ，O重合时，MN最大,MN＝BD,∠MＯN=∠BOD=90°，Ｓ扇形MON最大=π（cｍ2)，②当MＮ=ＤC=2时，MＮ最小,∴ＯＮ=ＭＮ＝OＭ，∴∠NOM=6０°,Ｓ扇形MON最小＝π(ｃｍ2)，∴π≤Ｓ扇形MON≤π．故答案为:3０°．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识,得出扇形MOＮ的面积的最大值与最小值是解题关键.8、（20１3•包头）如图，已知在△ABP中,C是ＢP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙Ｏ是△ABC 的外接圆，AD是⊙O的直径,且交BP于点E．（1）求证:PA是⊙Ｏ的切线;（２)过点C作ＣF⊥AD，垂足为点F,延长CF交ＡＢ于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2)的条件下，若ＡF：FＤ=1：２,GＦ=1,求⊙O的半径及ｓin∠ＡCＥ的值.考点：圆的综合题.分析:(1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠ＰＢA得出∠CAD＋∠PAＣ=９0°进而得出答案；(2）首先得出△CＡG∽△ＢAC，进而得出AC２＝AG•AＢ,求出AC即可；(3)先求出AF的长,根据勾股定理得:AG=，即可得出sｉn∠ADB=，利用∠ACＥ=∠ＡCＢ=∠AＤＢ，求出即可．解答:（１）证明：连接CD，∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠ＡDＣ=90°，又∵∠PAＣ=∠ＰＢA，∠ADＣ=∠PＢＡ，∴∠PAＣ=∠ＡDＣ，∴∠CAD+∠PAC=90°,∴PA⊥OＡ，而AＤ是⊙O的直径,∴PＡ是⊙O的切线;(2）解:由（1）知,PA⊥AD,又∵CＦ⊥AD，∴CF∥ＰA, ∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PＢA,∴∠GCＡ=∠PBA,而∠CAG＝∠ＢAC,∴△CAＧ∽△BAC,∴＝，即ＡC2=AＧ•AB，∵AG•AB＝12，∴AC２＝1２,∴AC=２；(3）解:设AF=x,∵AＦ:FD=１:2，∴ＦD=2x，∴AD=AF+FD＝3x,在Ｒt△ACＤ中,∵CF⊥AD,∴AC2=AF•AＤ，即３ｘ2=12，解得;x=2，∴AＦ=２,AD=6,∴⊙O半径为3，在Rt△AＦG中,∵AF＝2，GＦ=1,根据勾股定理得：AG===,由（2）知，AＧ•AＢ=12，∴ＡＢ==,连接BＤ,∵ＡD是⊙Ｏ的直径,∴∠ABD=9０°，在Rt△AＢD中，∵sin∠ＡDB=，AD=６,∴siｎ∠ADB=，∵∠AＣE=∠AＣＢ=∠AＤB，∴siｎ∠ＡCE=.点评:此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出AG的长以及AＢ的长是解题关键.９、（201３•荆门）如图1,正方形ABCD的边长为２，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合),以ＡB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线,交AD于点F,切点为Ｅ.(1）求证:OF∥ＢＥ;（2)设ＢP=x,ＡF=y,求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;(3)延长DC、ＦP交于点G，连接OE并延长交直线DＣ与H(图２），问是否存在点Ｐ，使△ＥFO∽△ＥHG（E、F、Ｏ与Ｅ、H、G为对应点)?如果存在,试求(２）中x和y的值；如果不存在,请说明理由．考点: 圆的综合题.分析:(1）首先证明Ｒｔ△FAO≌Rt△ＦＥO进而得出∠ＡOF=∠ＡBE,即可得出答案；(2)过F作ＦQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y与x之间的函数关系，根据M是BC中点以及BＣ=2，即可得出BP的取值范围;(3）首先得出当∠EFＯ=∠EHG＝2∠EＯＦ时，即∠ＥＯF＝3０°时，Rt△ＥFO∽Rｔ△ＥHG,求出y=AF＝OA•tan30°=,即可得出答案.解答:（1）证明：连接OEFE、FA是⊙Ｏ的两条切线∴∠FAO=∠FＥO=90°在Rt△OＡＦ和Rt△ＯEF中,∴Rt△FＡＯ≌Rt△FEO(HL),∴∠AOＦ＝∠EOF=∠AOE,∴∠ＡOF＝∠ABE，∴OＦ∥BＥ,(2)解：过F作FQ⊥BC于Q∴PＱ=BＰ﹣BQ=x﹣ｙPF=EF+EＰ=FA＋BP=ｘ+ｙ∵在Rt△PFＱ中∴ＦQ２+QＰ2＝PF２∴２２+(ｘ﹣y）2=（x+y)2化简得:,（1＜x<2）；(3)存在这样的Ｐ点，理由：∵∠EOF=∠AOF,∴∠ＥＨＧ=∠EOＡ=2∠EOF,当∠EFO=∠EHG=2∠EOＦ时,即∠EOF=3０°时,Rｔ△EＦＯ∽Rt△ＥＨG，此时Rt△ＡFＯ中，ｙ=AF=ＯＡ•tan30°＝,∴∴当时，△EFO∽△EHG.点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识,得出FQ2+QＰ2=PF２是解题关键.１0、（2013•莱芜）如图,⊙Ｏ的半径为1,直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点,直径ＡB⊥ＣＤ，点M是直线CD上异于点C、O、Ｄ的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N,点P是直线CD上另一点，且PＭ=ＰN．（1)当点M在⊙O内部,如图一，试判断PＮ与⊙O的关系,并写出证明过程；(2)当点Ｍ在⊙O外部，如图二，其它条件不变时,(1）的结论是否还成立?请说明理由;(3)当点M在⊙O外部,如图三，∠ＡMO=１5°,求图中阴影部分的面积．考点: 圆的综合题．分析：（1）根据切线的判定得出∠PNO=∠ＰNＭ+∠OＮA＝∠AMO+∠ONA进而求出即可;(２）根据已知得出∠PＮＭ+∠ＯNA=90°，进而得出∠PNＯ=180°﹣90°=90°即可得出答案；(3)首先根据外角的性质得出∠AON＝3０°进而利用扇形面积公式得出即可．解答:(１)PN与⊙O相切．证明:连接OＮ,则∠OＮA=∠OAN，∵ＰM=PＮ，∴∠ＰNＭ=∠PMN．∵∠AMＯ=∠PＭN，∴∠PＮM=∠ＡMO．∴∠PNO=∠PNM+∠ONA＝∠AＭO+∠ＯNA＝90°.即PN与⊙O相切．（2）成立．证明：连接ON，则∠ONA＝∠OAＮ,∵ＰＭ=PN，∴∠PＮM=∠PMN.在Rt△AＯＭ中，∴∠ＯMA+∠OＡM＝90°，∴∠ＰNM+∠ＯNA=９0°．∴∠PNO=180°﹣９０°=９0°．即PＮ与⊙O相切．(3)解：连接ON,由(2)可知∠ONP=90°.∵∠ＡMO＝１5°，ＰM=PN，∴∠PNＭ=1５°,∠OＰN=３0°，∵∠ＰON＝60°，∠AON=３0°.作NE⊥OD,垂足为点E，则ＮＥ=OＮ•sｉn60°=1×=.S阴影=S△AOC＋S扇形ＡＯN﹣S△ＣＯN＝OC•OA+ＣO•NＥ=×１×1+π﹣×1×＝+π﹣．点评：此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识,熟练根据切线的判定得出对应角的度数是解题关键.11、(2013•遂宁)如图,在⊙O 中，直径AB ⊥C Ｄ,垂足为E,点M 在OC 上，ＡM 的延长线交⊙Ｏ于点G ,交过C 的直线于F ，∠１=∠2，连结CB 与D Ｇ交于点Ｎ. (1）求证:C Ｆ是⊙Ｏ的切线； （2)求证:△ACM ∽△D ＣN;(３)若点M 是C Ｏ的中点,⊙O 的半径为４,cos ∠BOC ＝41,求BN 的长．考点: 圆的综合题．分析: (1)根据切线的判定定理得出∠１+∠BCO ＝９0°,即可得出答案；(２）利用已知得出∠3＝∠２,∠4=∠Ｄ,再利用相似三角形的判定方法得出即可； (3）根据已知得出ＯE 的长，进而利用勾股定理得出EC ，ＡC ，BC 的长，即可得出CD ，利用(2）中相似三角形的性质得出ＮB 的长即可． 解答：（１）证明：∵△ＢCO 中,ＢＯ＝ＣＯ， ∴∠B=∠BCO,在Rt △BCE 中,∠2＋∠Ｂ=9０°,又∵∠1=∠2，∴∠1＋∠B ＣO ＝90°，即∠ＦＣO=9０°, ∴CF 是⊙O 的切线;（2)证明：∵ＡB 是⊙O 直径，∴∠ACB=∠FCO=90°, ∴∠ACB ﹣∠BC Ｏ=∠F ＣO ﹣∠B ＣO, 即∠3=∠1,∴∠3=∠2,∵∠4＝∠Ｄ，∴△A ＣM ∽△ＤCN ；(3）解：∵⊙O 的半径为4,即ＡＯ=CO=ＢO=4， 在Ｒt △COE 中，ｃos ∠ＢOC=41, ∴OE=C Ｏ•cos ∠BOC=4×41=1， 由此可得：BE ＝３，A Ｅ=5，由勾股定理可得： ＣE ＝==， AC ＝==2， BC ＝＝=2，∵AB 是⊙Ｏ直径，ＡB ⊥C Ｄ, ∴由垂径定理得：CD=2C Ｅ=2，∵△A ＣM ∽△DCN, ∴＝,∵点M 是CO 的中点，CM ＝AO=×4=２， ∴ＣN=＝=， ∴BN=B Ｃ﹣ＣN=２﹣=.点评: 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出△A ＣM ∽△DCN 是解题关键．12、(2０1３济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点,P 是反比例函数y=(x>０)图象上任意一点，以Ｐ为圆心,PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点Ａ、B ． （1)求证：线段ＡB 为⊙P 的直径; (2）求△AOB 的面积;(3)如图２，Q 是反比例函数y ＝(x>0)图象上异于点Ｐ的另一点，以Q 为圆心，Q Ｏ为半径画圆与坐标轴分别交于点C 、D ． 求证:ＤO •OC=BO •OA.考点:反比例函数综合题.分析:（1）∠AOB＝90°,由圆周角定理的推论,可以证明AB是⊙P的直径；（２)将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来,容易计算出结果；（3)对于反比例函数上另外一点Q,⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变,与△AOB的面积相等.解答：（1)证明:∵∠ＡＯB=90°,且∠AOB是⊙Ｐ中弦ＡＢ所对的圆周角,∴ＡB是⊙P的直径．（2)解：设点P坐标为(ｍ，n)(m＞0,ｎ>0），∵点P是反比例函数ｙ=（ｘ＞０）图象上一点，∴mn=１２.如答图，过点P作PM⊥x轴于点Ｍ,PN⊥y轴于点N，则OM=m,ON＝n．由垂径定理可知,点M为OA中点，点N为OＢ中点，∴OＡ=２OＭ=2m,ＯB＝2ON=2n，∴Ｓ△ＡOB=ＢO•OA=×２ｎ×2m=2mn=2×１２=24．(3)证明:若点Q为反比例函数y=（x＞０）图象上异于点Ｐ的另一点,参照(2），同理可得：S△COD=DO•CO=2４，则有:S△COＤ=S△AOB=2４，即BＯ•OA=ＤO•CO,∴DＯ•ＯＣ=BＯ•OA.点评:本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识,难度不大．试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义．对本题而言,若反比例函数系数为ｋ,则可以证明⊙Ｐ在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于４k；对于另外一点Q所形成的⊙Q,此结论依然成立．13、（20１3•攀枝花)如图,ＰＡ为⊙O的切线,Ａ为切点，直线PO交⊙Ｏ与点Ｅ，F过点A 作ＰＯ的垂线ＡB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点Ｃ,连接AC，BＦ．（1)求证:ＰB与⊙O相切;(2)试探究线段ＥF，ＯD,OＰ之间的数量关系,并加以证明;（３)若AC=12,ｔan∠F=,求ｃos∠ＡCB的值.考点: 圆的综合题．分析：(1）连接OA，由ＯP垂直于ＡＢ，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP＝BP,再由OA=ＯＢ,OP＝OP,利用SＳS得出三角形AＯP与三角形BOP全等,由ＰA为圆的切线,得到ＯA垂直于ＡＰ,利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到ＯB垂直于BP，即PB为圆Ｏ的切线；（２)由一对直角相等，一对公共角,得出三角形AＯD与三角形OAP相似,由相似得比例，列出关系式,由OA为EF的一半,等量代换即可得证．(3)连接ＢE,构建直角△ＢＥF．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE＝x,BF=2x，进而可得EF=x；然后由面积法求得ＢD=x,所以根据垂径定理求得ＡＢ的长度，在Rt△ＡBC中，根据勾股定理易求BＣ的长；最后由余弦三角函数的定义求解．解答：(1)证明:连接OＡ，∵ＰA与圆Ｏ相切,∴PA⊥OA,即∠OAP=90°,∵OP⊥AB,∴D为AＢ中点，即OP垂直平分AB，∴ＰA＝PB，∵在△OＡP和△OBP中，，∴△ＯAP≌△OBP(ＳSS),∴∠OAＰ=∠OBP=90°，∴BP⊥OB，则直线PB为圆O的切线;(2）答：EF２=4DO•PO．证明:∵∠ＯAP＝∠ＡDO=９０°，∠AOD=∠ＰOA,∴△OAＤ∽△ＯPＡ,∴=,即OA2＝OD•ＯP，∵ＥF为圆的直径，即EF=2OＡ,∴EＦ２=OD•OＰ，即EＦ2=4ＯＤ•OP;(3）解：连接ＢE，则∠ＦBE=9０°.∵tａn∠F=,∴=,∴可设BE=ｘ，BF=2x,则由勾股定理,得ＥF==ｘ，∵BE•BF＝EＦ•BD，∴BD=x.又∵AB⊥ＥF，∴AB=2ＢD=x，∴Rt△ABC中，BＣ=x,AＣ2+AＢ2=BC2，∴122+（x）2＝（x)2,解得:x=4,∴BＣ=4×=20,∴coｓ∠ACB==＝．点评：此题考查了切线的判定与性质,相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.14、(2０13年南京)如图，AD是圆Ｏ的切线，切点为A，AB是圆O的弦。

2013中考试题汇编圆（20140416）（2013济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC=BO•OA．考点：反比例函数综合题．分析：（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；（2）将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；（3）对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与△AOB 的面积相等．解答：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，∴AB是⊙P的直径．（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），∵点P是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，∴mn=12．如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，∴S△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．（3）证明：若点Q为反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，参照（2），同理可得：S△COD=DO•CO=24，则有：S△COD=S△AOB=24，即BO•OA=DO•CO，∴DO•OC=BO•OA．（2013山东莱芜，14，4分）正十二边形每个内角的度数为 .【答案】150°（2013山东莱芜，23，10分）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P 是直线CD上另一点，且PM=PN.(1)当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；(2)当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；(3)当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积.解：（1）PN与⊙O相切.证明：连结ON,则∠ONA=∠OAN,∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.∵∠AMO=∠PMN,∴∠PNM=∠AMO.∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°.即PN与⊙O相切.（2）成立.证明：连结ON，则∠ONA=∠OAN,∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.在Rt△AOM中，∴∠OMA+∠OAM=90°, ∴∠PNM+∠ONA=90°.∴∠PNO=180°－90°=90°.即PN与⊙O相切.（3）连结ON，由（2）可知∠ONP=90°.∵∠AMO=15°，PM=PN,∴∠PNM=15°, ∠OPN=30°，∵∠PON=60°，∠AON=30°.作NE ⊥OD,垂足为点E,则NE=ON ·sin60°=1. ON AON AOC C S S S S =+- 阴影扇形=12OC ·OA+230113602π⨯⨯-CO ·NE=111111112122212ππ⨯⨯+-⨯=+（2013聊城）已知一个扇形的半径为60cm ，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 cm ．考点：圆锥的计算．分析：首先利用扇形的弧长公式求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．解答：解：扇形的弧长是：=50πcm ，设底面半径是rcm ，则2πr=50π，解得：r=25．故答案是：25．点评：考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．（2013聊城）如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为E ，过点C 作DA 的平行线与AF 相交于点F ，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC 是菱形；（2）FC 是⊙O 的切线．考点：切线的判定与性质；菱形的判定．分析：（1）首先连接OC ，由垂径定理，可求得CE 的长，又由勾股定理，可求得半径OC 的长，然后由勾股定理求得AD 的长，即可得AD=CD ，易证得四边形FADC 是平行四边形，继而证得四边形FADC 是菱形；（2）首先连接OF ，易证得△AFO ≌△CFO ，继而可证得FC 是⊙O 的切线．解答：证明：（1）连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE=DE=CD=×4=2，设OC=x ，∵BE=2，∴OE=x﹣2，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=（x﹣2）2+（2）2，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD==4，∴AD=CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∴▱FADC是菱形；（2）连接OF，∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC，在△AFO和△CFO中，，∴△AFO≌△CFO（SSS），∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．（2013• 日照）如图（a ），有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=6cm ，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切,将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图（b ）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_____________.答案：2)439π3(cm - 解析：半圆的半径为3，所以，AB ＝CD ＝3，'A D ＝AD ＝6，'A C ＝'A B ＝6－AE ＝x ，在直角三角形EB 'A 中，（3－x ）2＋（6－2＝x 2，解得：x ＝12－tan ∠ADE 2=∠ADE ＝15°，∠ADF ＝30°，∠AOF ＝60°， S 半圆AD ＝92π，S 扇形AOF ＝32π，S △DOF ＝ 所以，阴影部分面积为：2)439π3(cm - （2013• 日照）问题背景:如图（a ）,点A 、B 在直线l 的同侧，要在直线l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关于l 的对称点B ′,连接A B ′与直线l 交于点C ，则点C 即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O 的直径CD 为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P 为直径CD 上一动点，则BP+AP 的最小值为__________．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt △ABC 中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 、F 分别是线段AD 和AB 上的动点，求BE+EF 的最小值，并写出解答过程．解析： 22 )1( …………………4分（2）解：如图，在斜边AC 上截取AB ′=AB,连结BB ′.∵AD 平分∠BAC ，∴点B 与点B ′关于直线AD 对称. …………6分过点B ′作B ′F ⊥AB,垂足为F,交AD 于E ，连结BE,则线段B ′F 的长即为所求.(点到直线的距离最短) ………8分在Rt △AFB /中，∵∠BAC=450, AB /=AB= 10，25221045sin 45sin 00=⨯=⋅=⋅'='∴AB B A F B ， ∴BE+EF 的最小值为25. ………………10分（2013泰安）如图，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1，O 2，O 3，O 4分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，若⊙O 的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）A ．8B ．4C ．4π+4D ．4π﹣4考点：扇形面积的计算；圆与圆的位置关系．分析：首先根据已知得出正方形内空白面积，进而得出扇形COB 中两空白面积相等，进而得出阴影部分面积．解答：解：如图所示：可得正方形EFMN ，边长为2，正方形中两部分阴影面积为：4﹣π，∴正方形内空白面积为：4﹣2（4﹣π）=2π﹣4，∵⊙O 的半径为2，∴O 1，O 2，O 3，O 4的半径为1，∴小圆的面积为：π×12=π，扇形COB 的面积为：=π， ∴扇形COB 中两空白面积相等， ∴阴影部分的面积为：π×22﹣2（2π﹣4）=8．故选：A ．（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为10π．，MN=FC=2，NO=OD===22=1098.（2013•三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．的长==．=，x＜=．=，y=。

42、（2013•滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．43、（2013•南宁）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC 于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．，在=，==．44、（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．根据可以确定∠，即=∴=即45、（2013•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD 交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．46、（2013哈尔滨）)如图，在△ABC 中，以BC 为直径作半圆0，交AB 于点D ，交AC 于点E ．AD =AE (1)求证：AB =AC ；(2)若BD =4，BO =AD 的长．考点：（1）圆周角定理；全等三角形的性质；相似三角形的判定分析：连接CD 、BE ，利用直径所对圆周角900、证明△ADC ≌△AEB 得AB =AC ，（2）利用△OBD ∽△ABC 得BD BOBC AB得BC =4再求AB =10从而 AD =AB —BD =6此题利用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．解答：(1)证明：连接CD 、BE ∵BC 为半圆O 的直径．∴∠BDC=∠CEB=900∴∠LADC=∠AEB=900又∵AD=AE∠A=∠A ∴△ADC≌△AEB∴AB=AC(2)解：连接0D∵OD=OB．∴∠OBD=∠ODB∵AB=AC∴∠0BD=∠ACB∴∠ODB=∠ACB又∵∠OBD=∠ABC．∴△OBD∽△ABC∴BD BO BC AB=．∵BO=∴BC=4．又∵BD=4=∴AB=10 ∴AD=AB—BD=647、（2013•恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C 作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．=，，即．48、（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．ACr，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠等于对的圆周角减去ACr（=根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，49、（2013•呼和浩特）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长．==5∵====；kk50、（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．=1+=1+51、（2013•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙0的切线．（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．===，=∴=，即==53、（2013•天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．。

2013年圆综合题1．（2013•镇江）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．2．（2013•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：AC2=AD•AB；（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．3．（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．4．（2013•遂宁）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；1，求BN的长．（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=45．（2013•三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P 与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．6．（2013•泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A （-6，0），过点E （-2，0）作EF ∥AB ，交BO 于F ；（1）求EF 的长；（2）过点F 作直线l 分别与直线AO 、直线BC 交于点H 、G ；①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明AE ECBG OH = ；②过点G 作直线GD ∥AB ，交x 轴于点D ，以圆O 为圆心，OH 长为半径在x 轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD 有公共点P ．如图2所示，当直线l 绕点F 旋转时，点P 也随之运动，证明：21=BG OF ，并通过操作、观察，直接写出BG 长度的取值范围（不必说理）；（3）在（2）中，若点M （2，3），探索2PO+PM 的最小值．7．（2013•攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；1，求cos∠ACB的值．（3）若AC=12，tan∠F=23，点P是∠B的边8．（2013•宁德）如图1，点A在∠B的边BG上，AC⊥BH于C，AB=5，sin∠B=5BH上任意一点，连接AP，以AP为直径画⊙O．（1）若BH与⊙O相切，则BP= ；25，求证：AB与⊙O相切；（2）若BP=4（3）若AP平分∠GAC，⊙O交射线BG于E，请在图2中，画出符合条件的⊙O，并确定此时BP的值．9．（2013•茂名）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD 的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；3，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（2）若tan∠F=4（3）求证：GF2-GB2=DF•GF．10．（2013•六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP 的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE 的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2,AC的度数为60°，点B是,AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP BP+AP的最小值为（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．11．（2013•连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．12．（2013•莱芜）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．13．（2013•荆门）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．14．（2013•晋江市）如图，在平面直角坐标系xOy中，一动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线y=x相交于点P，以OP为半径的⊙P与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．设直线l的运动时间为t秒．（1）填空：当t=1时，⊙P的半径为，OA= ，OB= ；（2）若点C是坐标平面内一点，且以点O、P、C、B为顶点的四边形为平行四边形．①请你直接写出所有符合条件的点C的坐标；（用含t的代数式表示）②当点C在直线y=x上方时，过A、B、C三点的⊙Q与y轴的另一个交点为点D，连接DC、DA，试判断△DAC的形状，并说明理由．15．（2013•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．16．（2013•河北）如图，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=80°，以点O为圆心，6为半径的优弧MN分别交OA，OB于点M，N．（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP=BP′；（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；（3）设点Q在优弧MN上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．17．（2013•贵港）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作AC，点E在AB 上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．（1）求证：EF是所在⊙D的切线；3时，求MF的长；（2）当MA=4（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．18．（2013•广州）已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA．（1）当OC=22时（如图），求证：CD是⊙O的切线；（2）当OC＞22时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．①当D为CE中点时，求△ACE的周长；②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．19．（2013•成都）如图，⊙O 的半径r=25，四边形ABCD 内接圆⊙O ，AC ⊥BD 于点H ，P 为CA 延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD ．（1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若tan ∠ADB=43，PA=3334 AH ，求BD 的长； （3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积．20．（2013•常州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0），点B （0，6），动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC ，过O 点作OD ⊥OC ，OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB ．（1）当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为 ；（2）连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC 的面积最大？并求出△ABC 的面积的最大值．（3）连接AD ，当OC ∥AD 时，①求出点C 的坐标；②直线BC 是否为⊙O 的切线？请作出判断，并说明理由．21．（2013•北京）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下的定义：若⊙C 上存在两个点A 、B ，使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D （21，21），E （0，-2），F （32，0）．（1）当⊙O 的半径为1时，①在点D 、E 、F 中，⊙O 的关联点是 ．②过点F 作直线l 交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线l 上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．22．（2013•包头）如图，已知在△ABP 中，C 是BP 边上一点，∠PAC=∠PBA ，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且交BP 于点E ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）过点C 作CF ⊥AD ，垂足为点F ，延长CF 交AB 于点G ，若AG•AB=12，求AC 的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF ：FD=1：2，GF=1，求⊙O 的半径及sin ∠ACE 的值．。

2013年全国数学中考真题分类汇编—圆1．如果圆柱的母线长为5 cm ，底面半径为2 cm ，那么这个圆柱的侧面积是 ( ) A ．10 cm 2B ．10π cm 2C ．20 cm 2D ．20π cm 2解析 根据圆柱的侧面积计算公式可得π×2×2×5＝20π cm 2，故选D. 答案 D2．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A ．πB ．1C ．2D.23π 解析 设扇形的半径为r ，根据扇形面积公式得S ＝12lr ＝12r 2＝2.故选C.答案 C3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为 ( )A.258π B.254π C.2516πD.2532π 解析 ∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝82＋62＝10，∴S 阴影部分＝90π×52360＝254π.答案 B4．将直径为30 cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料，不计接缝处的材料损耗)，那么每个圆锥容器的底面半径为( )A ．5 cmB ．15 cmC ．20 cmD ．150 cm解析 根据将直径为30 cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料，不计接缝处的材料损耗)，∴直径为30 cm 的圆形铁皮，被分成三个圆心角是120°，半径为15的扇形， 假设每个圆锥容器的底面半径为r ，∴120×π×15180＝2πr ，解得：r ＝5，故选A.答案 A5．小刚用一张半径为24 cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10 cm ，那么这张扇形纸板的面积是( )A ．120π cm 2B ．240π cm 2C ．260π cm 2D ．480π cm 2解析 根据圆的周长公式，得圆的底面周长＝2π ×10＝20π，即扇形的弧长是20π，所以扇形的面积＝12lr ＝12×20π×24＝240π，故选B.答案 B6．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是( )A ．3πB ．6πC ．5πD ．4π解析 设AB ′与半圆周交于C ，半圆圆心为O ，连接OC .∵∠B ′AB ＝60°，OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∠AOC ＝60°， ∠BOC ＝120°，S 扇形ABB ′＝60360π×62＝6π，∴S 阴影＝S 半圆AB ′＋S 扇形AB ′B －S 半圆AB ＝S 扇形AB ′B ＝6π. 答案 B7．如图所示，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论正确的是( )①弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长 ②弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 ③⌒AC ＝⌒CB④∠BAC ＝30°A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③解析 ∵在⊙O 中，OC ⊥AB ，∴⌒AC ＝⌒BC，故③正确；∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ，∵OA ＝OB ，OA ＝AB ， ∴OA ＝OB ＝AB ， ∴∠AOB ＝60°，∴弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长，故①正确； ∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ＝30°，∴弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长，故②正确； ∴∠BAC ＝12∠BOC ＝15°，故④错误．∴结论正确的有①②③.故选D. 答案 D8．圆锥的底面半径为14 cm ，母线长为21 cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为________度． 解析 由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28π cm ，扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°.故答案为：240. 答案 2409．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是________．解析 根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数． 答案 810．如图，平面上两个正三角形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于________．解析 正五边形的一个内角为108°，正三角形的每个内角是60°，所以∠α＝360°－108°－60°－60°＝132°. 答案 132°11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，分别以A 、B 、C 为圆心，以12AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是________．解析 ∵∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，∴12AC ＝2，S △ABC ＝12×4×4＝8， ∵三条弧所对的圆心角的和为180°， 三个扇形的面积和S ＝180·π·22360＝2π，∴三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积＝S △ABC －S ＝8－2π. 故答案为8－2π. 答案 8－2π12．如图所示，半圆AB 平移到半圆CD 的位置时所扫过的面积为________．解析 半圆AB 平移到半圆CD 的位置时所扫过的部分是一个矩形，根据矩形的面积公式计算即可． 答案 613．如图，在标有刻度的直线l 上，从点A 开始，以AB ＝1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC ＝2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD ＝4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE ＝8为直径画半圆，记为第4个半圆，…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的________倍，第n 个半圆的面积为________(结果保留π)．解析 ∵以AB ＝1为直径画半圆，记为第1个半圆； 以BC ＝2为直径画半圆，记为第2个半圆； 以CD ＝4为直径画半圆，记为第3个半圆； 以DE ＝8为直径画半圆，记为第4个半圆， ∴第4个半圆的面积为：π×422＝8π，第3个半圆面积为：π×222＝2π，∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的8π2π＝4倍；根据已知可得出第n 个半圆的直径为：2n －1，则第n 个半圆的半径为：2n －12＝2n －2，第n 个半圆的面积为：π×（2n －2）22＝22n －5π.答案 4 22n －5π14．如图所示，AB 为半圆的直径，C 为半圆上一点，且弧AC 为半圆的13，设扇形AOC 、△COB ，弓形BMC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3的大小关系式是________．解析 根据△AOC 的面积＝△BOC 的面积，得S 2＜S 1，再根据题意，知S 1占半圆面积的13，S 3大于半圆面积的13，∴S 3＞S 1.答案 S 2＜S 1＜S 315.圆柱的底面周长为6 cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC ＝23BC .一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是( )A ．(4＋6π) cmB ．5 cmC ．3 5 cmD ．7 cm解析 首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC ＝6 cm ，PC ＝23BC ，求出PC ＝23×6＝4 cm ，在R t △ACP中，根据勾股定理求出AP 的长． 答案 B16．如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE ＝6，EF ＝8，FC ＝10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为________．解析 首先连接AC ，交EF 于M 则可证得△AEM ∽△CFM ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM 与FM 的长，然后由勾股定理求得AM 与CM 的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．答案 80π－160。

2013中考试题汇编 圆（3）（2013•安徽）如图（1），∠ABC =90°，O 为射线BC 上一点，OB = 4，以点O 为圆心，21BO长为半径作⊙O 交BC 于点D 、E ．（1）当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转多少度时与⊙O 相切？请说明理由．（2）若射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转与⊙O 相交于M 、N 两点（如图（2）），MN=求⌒MN 的长．．（1）当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转60度或120度时与⊙O 相切．……2分 理由：当BA 绕点B 按顺时针方向旋转60度到B A ′的位置． 则∠A ′BO =30°，过O 作OG ⊥B A ′垂足为G ，∴OG =12OB =2． …………………………4分∴B A ′是⊙O 的切线．……………………5分同理，当BA 绕点B 按顺时针方向旋转120度到B A ″的位置时， B A ″也是⊙O 的切线．…………………6分（如只有一个答案，且说理正确，给2分）（或：当BA 绕点B 按顺时针方向旋转到B A ′的位置时，BA 与⊙O 相切， 设切点为G ，连结OG ，则OG ⊥AB ，∵OG =12OB ，∴∠A ′BO =30°． ∴BA 绕点B 按顺时针方向旋转了60度．同理可知，当BA 绕点B 按顺时针方向旋转到B A ″的位置时，BA 与⊙O 相切，BA 绕点B 按顺时针方向旋转了120度．） （2）∵MN=OM =ON =2，∴MN 2 = OM 2 +ON 2，…………………8分 ∴∠MON =90°． …………………9分图（2）图（1）（第22题）（第22题图）A ″（第22题图）∴⌒MN 的长为l=2x 90π/180=π．…………12分（2013•上海）在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为___________．（2013•上海）在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图10）．已知13AD =，5AB =，设AP x BQ y ==，． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果4EF EC ==，求x 的值．（2013•毕节地区）如图在⊙O 中，弦AB=8，OC ⊥AB ，垂足为C ，且OC=3，则⊙O 的半径（ ）OB===图10备用图（2013•毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND 的度数分别为（）（2013•柳州）如图，⊙O的直径AB=6，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=2，BC=．（1）求OD、OC的长；（2）求证：△DOC∽△OBC；（3）求证：CD是⊙O切线．，=OC=BE=DC=，==，形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（）B面积． 解答：++（68.（2013•黄石）如右图，在边长为3的正方形ABCD 中，圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 分别与DA 、DC 边相切，圆2O 分别与BA 、BC 边相切，则圆心距12O O 为 .答案：6-解析：过O 1，O 2分别作O 1M ⊥CD, O 2N ⊥BC ，垂足为M,N设圆O 1半径为R,圆O 2半径为r,则DO 1，BO 2又R解得R ＋12O O73.（2013•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB ＇C ＇，点B 经过的路径为弧BB ＇，若角∠BAC =60°，AC =１，则图中阴影部分的面积是A A .2π B .3π C .4π D .π′74.（2013•荆州）如图，A B 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE =EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H . （1）求证：AH=HD ；（2）若cos ∠C =45，DF =9，求⊙O 的半径.FBA75.（2013•潜江）如果一个扇形的弧长是34π，半径是6，那么此扇形的圆心角为A．︒40B．︒45C．︒60D．︒8076.（2013•潜江）如图，以AB为直径的半圆O 交AC于点D，且点D为AC的中点，DE⊥BC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G.（1）求证：DE为半圆O的切线；（2）若1=GE，23=BF，求EF的长.77.（2013•十堰）如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当≤r＜2时，S 的取值范围是﹣1≤S＜﹣．DG==﹣××=﹣r=﹣=DG=，∵﹣﹣．的取值范围是：﹣＜﹣故答案为：﹣＜﹣78.（2013•十堰）如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB 于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．（1）求证：⊙O与CB相切于点E；（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．AH=BH==4=，即=EF=，BH EF=××=，=﹣，BHE=。

正多边形与圆一．选择题1．（2013山东滨州，7，3分）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为A ．6，32B ．32，3C ．6，3D ．62，32【答案】：B ．【解析】∵正方形的边长为6，∴AB=3，又∵∠AOB=45°，∴OB=3，∴233322=+=AO ，故选B .【方法指导】本题考查了正多边形和圆，重点是了解有关概念并熟悉如何构造特殊的直角三角形，比较重要．由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度． 第34章 正多边形与圆2．（2013浙江台州，9，4分）如图，已知边长为2的正三形ABC 顶点A 的坐标为（0,6），BC 的中点D 在y 轴上，且在点A 下方，点E 是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE 的最小值为（ ）A ．3B ．34-C ．4D ．326-【答案】：B ．【解析】在正三形ABC 中，边长为2，易得AD=3；在正六边形绕中心o 旋转一周的过程中，若DE 的值最小，则E 点位于y 轴的正半轴上，在正六边形中易得OE=2，此时DE=AO-AD-OE=6-3-2=4-3。

【方法指导】本题考查等边三角形和正六边形的计算，在动态问题中，抓住旋转过程中DE 最小的特殊时刻解决问题。

3．（2013江西南昌，11，3分）如图，正六边形ABCDEF 中，AB=2，点P 是ED 的中点，连接AP ，则AP 的长为（ ）． x yABC EO 第9题DA．23B．4 C．13D．11【答案】C【解析】连接AE、BE，由正六边形的性质知，△ABE、△APE为直角三角形，AE===所以AP==【方法指导】本题考查了正六边形的有关计算，运用正六边形的性质将正六边形转化为直角三角形或等边三角形是解题的关键。

二．填空题1．（2013贵州毕节，17，5分）正八边形的一个内角的度数是度．考点：多边形内角与外角．分析：首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．解答：解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，每一个内角的度数为：×1080°=135°．故答案为：135．点评：此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．三．解答题。

2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）. A.B.C.D.答案：D ．考点:垂径定理与勾股定理.点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.2、(2013年黄石)如右图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为 A. B. C.D.答案：C解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝，即，所以，CE ＝，AE ＝，所以，AD ＝3、(2013河南省)如图，CD 是的直径，弦于点G ，直线与相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】（A ）（B ）∥（C ）AD ∥BC （D ）【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。

由题可知：，又因为，所以∥，即（B ）一定正确。

因为所对的弧是劣弧，根据同弧所对的圆周角相等可知（D ）一定正确。

【答案】C4、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ） A ． cm B ． cm C ． cm 或cm D ． cm 或cm考点： 垂径定理；勾股定理． 专题： 分类讨论．分析： 先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 解答： 解：连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD=10cm ，AB ⊥CD ，AB=8cm ， ∴AM=AB=×8=4cm ，OD=OC=5cm ， 当C 点位置如图1所示时，∵OA=5cm ，AM=4cm ，CD ⊥AB ， ∴OM===3cm ，∴CM=OC+OM=5+3=8cm ，CADB∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5、（2013•广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）A．cm B．5cm C．4cm D．cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接AO，根据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，根据勾股定理即可求得x的值．解答：解：连接AO，∵半径OD与弦AB互相垂直，∴AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，即x2=42+（x﹣3）2，解得：x=，故半径为cm．故选A．点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般．6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A．4m B．5m C．6m D．8m考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA=5m，根据CD=8m，求出OD=3m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．解答：解：连接OA，∵桥拱半径OC为5m，∴OA=5m，∵CD=8m，∴OD=8﹣5=3m，∴AD===4m，∴AB=2AD=2×4=8（m）；故选；D．点评：此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理分析：根据垂径定理可得AC=BC=AB，在Rt△OBC中可求出OB．解答：解：∵OC⊥弦AB于点C，∴AC=BC=AB，在Rt△OBC中，OB==．故选B．点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2B．8C．2D．2考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．专题：探究型．分析：先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE 的长．解答：解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE===6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE===2．故选D．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．B．C．D．考点：圆锥的计算．分析：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．解答：解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知，OD=OC=OA，由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°∴弧AB的长为=2π设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr=2π∴r=1cm∴圆锥的高为=2故选A．点评：本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．10、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）A．10 B．8C．5D．3考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．解答：解：连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC=CD=×8=4，在Rt△OCP中，∵PC=4，OP=3，∴OC===5．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C. 6D. 812、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．A F=BF C．O F=CF D．∠DBC=90°考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．解答：解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般．13、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）A．5B．10 C．8D．6考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度．解答：解：连接OB，∵OC⊥AB，AB=8，∴BC=AB=×8=4，在Rt△OBC中，OB===．故选A．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O 的半径为（）A．4B．5C．4D．3考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．专题：探究型．分析：先根据∠BAC=∠BOD可得出=，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．解答：解：∵∠BAC=∠BOD，∴=，∴AB⊥CD，∵AE=CD=8，∴DE=CD=4，设OD=r，则OE=AE﹣r=8﹣r，在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r，∵OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8﹣r）2，解得r=5．故选B．点评：本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．15、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.D.分析：过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD 的长．解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，∴BD=AB=×4=2，在Rt△BOD中，OD===．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4cm，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O 交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为24．考点：一次函数综合题．分析：根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．解答：解：∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；故答案为：24．点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC 最短时的位置．18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确．．．的是（）A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。