7.1为什么要证明1

例 4：观察下列关于自然数的等式： (1)32－4×12＝5 ① (2)52－4×22＝9 ② (3)72－4×32＝13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：92－4×( )2＝( )；
(2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示)，并验证其正确性．
解：(1)4,17 (2)第 n 个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝ 右边，∴第 n 个等式成立．
练习：下列问题你不能肯定的是( D )
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积的大小关系 B．三角形的内角和 C．八边形的外角和 D．三角形与矩形的面积关系
课程导入2：
代数式n2＋ n＋41的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4， 5试一试，你能否 由此得到结论：对于所有自然数n2＋ n＋41的值都是质数？与同伴进行交流.
2.在学习中，小明发现：当 n＝1,2,3 时，n2－6n 的值都是负数，于是小明猜想：当 n 为 任意正整数时，n2－6n 的值都是负数，小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
解：小明的猜想不正确．理由为：当 n＝6 时，n2－6n＝62－6×6＝0；当 n＞ 6 时，n2－6n＝n(n－6)＞0.
练习：观察下列各式的计算过程： 5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …
请猜测，第 n 个算式(n 为正整数)应表示为 100n(n－1)＋25 .
证明的必要性
1.要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验，观察、归纳是不够的，
解：小明的猜想正确，理由：因为 n 为奇数，所以可设 n＝2k+1（k 为自然数）， 所以 n2﹣1＝（2k+1）2﹣1＝（2k+1+1）（2k+1﹣1）＝（2k+2）×2k＝4k（k+1）， 因为 k 为自然数，所以 k，k+1 是相邻的自然数， 所以 k，k+1 中必有一个是偶数，一个是奇数，所以 k（k+1）必定是 2 的倍数， 所以 4k（k+1）必定是 8 的倍数，故当 n 为任意正奇数时， n2﹣1 的值一定是 8 的倍数．

北师大版八年级数学上册：71为什么要证明优秀教学案例
一、案例背景
北师大版八年级数学上册第71节“为什么要证明”是学生在掌握了丰富的几何图形知识后，首次接触到的证明内容。在此之前，学生对图形的性质、判定等已经有了较为深入的了解，但在实际应用中，往往缺乏对证明过程的逻辑思考和严谨性。本节课旨在让学生理解证明的意义，学会用几何语言表达证明过程，从而培养其逻辑思维能力和空间想象力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以现实生活中的实际问题为背景，创设一个引导性问题，激发学生的求知欲望，让学生感受到证明在实际生活中的应用价值。
2.几何情境：通过展示一个具有代表性的几何问题，引导学生发现证明的必要性，使学生在具体的情境中，自然地引入证明的概念。
3.动手操作情境：让学生亲自动手操作，通过实际操作体验，培养学生空间想象力，提高其对几何图形的认识和理解。
5.教学方法灵活多样：在教学过程中，我采用了启发式教学、情境教学、小组合作等灵活多样的教学方法，使学生在轻松愉快的氛围中学习。关注学生的个体差异，根据学生的实际情况，给予有针对性的指导，使他们在原有基础上得到提高，感受到成功的喜悦。
五、案例亮点
1.情境创设贴近生活：本节课通过现实生活中的实际问题导入新课，使学生在解决问题的过程中自然地引入证明的概念。这种情境创设不仅激发了学生的学习兴趣，还使其感受到证明在实际生活中的应用价值，增强了学习的积极性。
2.问题导向引导思考：在教学过程中，我设计了一系列具有逻辑梯度的问题，引导学生自主探究，激发其思维的火花。通过提问，让学生发现证明过程中的关键步骤和易错点，及时给予引导和点拨。这种问题导向的教学策略，培养了学生独立思考和解决问题的能力。
2.设计具有挑战性的合作任务，让学生在解决实际问题的过程中，运用所学的证明方法。

当堂练习
1.下列结论中你能肯定的是（ ） B A.今天下雨，明天必然还下雨 B.三个连续整数的积一定能被6整除 C.小明在数学竞赛中一定能获奖 D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人 2.下列问题用到推理的是（ ） A A.根据a=10，b=10,得到a=b B.观察得到三角形有三个角 C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘 D.由经验可知过两点有且只有一条直线
D
A．嫌疑犯A B．嫌疑犯B C．嫌疑犯C D．嫌疑犯A和C
5.有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且： （1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”； （2）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”； （3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”； 已知(1),(2),(3)中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？
【方法总结】验证特例是判断一个结论错误的最好方法．
【类型三】 举出反例
例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知 OA⊥OC，OB⊥OD. (1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数； (2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数； (3)由(1)、(2)你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？
3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（ ）
D
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形
D.菱形
4.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三个嫌疑犯被警察局传
讯，警察局已经掌握了以下事实：
①罪犯不在A,B,C三人之外；②C作案时总得有A作从犯；
③B不会开车.在此案中肯定的作案对象是（ ）
方法归纳
有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误 的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行 严格的推理，才能得出最准确的结论．

《7.1为什么要证明》教案一、课题：北师大版八年级数学（上册）第七章《平行线的证明》第一节《为什么要证明》二、教材分析：㈠、教材的地位和作用：本章内容是在前面对几何结论有一定的直观认识的基础上编排的，学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面，但如果学生仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论。

本章第一课时安排《为什么要证明》的教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑，进而确立对某一事物进行合理论证的必要性。

安排这一节课内容旨在让学生体会证明的必要性，推理的严谨性，使学生理解要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验观察、实验是不够的，必须一步一步有理有据地进行推理，本节课内容在本章中起索引之用。

㈡、教材的内容分析：从教材内容编排分析，教材提供了易产生错觉的图片、铁丝围地球赤道问题、代数式规律问题等素材，让学生发现通过观察、猜想、归纳等方法得到的结论不一定正确，需要我们进一步通过计算或推理证明，从而体会证明的必要性。

因此，本课时的教学重点是：经历观察、猜想、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识。

三、学情分析：㈠、知识基础：在此之前，学生已经学习了很多与几何相关的知识，为今天的学习作好了知识储备；同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础．㈡、活动经验基础：八年级学生有一定的表现欲望和学习兴趣，通过一年多的初中数学学习，学生已经具备一定的观察、比较、动手操作、猜想、归纳和概括的能力，具备一定的小组合作交流的能力。

四、设计理念：本着“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”、“以教师为主导，以学生为主体”的教育理念，针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课先采用真实新闻章莹颖案例，调动学生的兴趣引入新课，再以四个学生活动素材（“看一看”、“猜一猜”、“做一做”、“读一读”）让学生经历观察、猜想、验证、归纳等过程，通过合作交流，认识到观察、猜想、归纳、实验得到的结论不一定可靠，需要进一步计算或推理论证，从而体会证明的意义和证明的必要性。