高中数学第一轮复习 第32讲 不等式解法及应用

专题32 解不等式一．学习目标【学习目标】1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．结合“三个二次”之间的联系，驾驭一元二次不等式的解法．3．娴熟驾驭分式不等式、含肯定值不等式、指数不等式和对数不等式的解法．二．学问点总结【学问要点】1．一元一次不等式一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集为：(1)a>0时，b xa >(2)a<0时，bxa <．2．一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集的各种状况如下表一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)求解过程的程序框图如下．三．不等式高考命题题型及陷阱1.含参数的一元二次不等式问题例1. 若关于x 的不等式10ax ->的解集是()1+∞，,则关于x 的不等式()()120ax x -+≥的解集是（ ）A. [)2,+-∞B. []2,1-C. ()(),21,+-∞-⋃∞D. ][(),21,+-∞-⋃∞【答案】D练习1．不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-，则不等式20cx bx a ++<的解集是（ ） A. 11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】C【方法总结】：在解含参数的一元二次不等式时，留意不等式的解的形式、二次项系数的符号以及不等号方向的对应关系.2.不等式中的含参数问题例2．若关于x 的不等式20k x x -->恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（ ）A. 32,53⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 32,53⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,15⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】本题可用解除法，当1k =时，解得1x >有多数个整数解，解除D ，当34x =时，不等式化为()2291620x x -->，得887x <<有5数个整数解，解除C ，当23x =时，不等式化为()224920x x -->，得665x <<，恰有4数个整数解，解除A ，故选B. 【 方法点睛】本题主要考查肯定值不等式的解法、解除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特别结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的推断，这种方法叫做特别法. 若结果为定值，则可采纳此法. 特别法是“小题小做”的重要策略，解除法解答选择题是中学数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高精确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特别值，逐一解除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特别点解除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.练习1.已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A. －4≤a ≤4B. －4<a <4【答案】A【解析】依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A.练习2．已知0,0x y >>，且141x y +=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()8,0-B. ()9,1-C. ()1,5 D. ()8,1-【答案】B故选B ．【方法总结】本题考查基本不等式与函数恒成立问题，，考查学生分析转化与应用基本不等式的实力.其中将问题转化为求x y + 的最小值是解题的关键．282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭{|24}x x -<<{|24}x x <<{|4}x x <{}2x x -【答案】A【解析】题中的不等式即： ()28233x x --->，结合指数函数的单调性可得原不等式等价于： ()282x x -->-,求解二次不等式可得原不等式的解集为： {|24}x x -<<.本题选择A 选项.3. 在关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是 （ ）A. ()3,5-B. ()2,4-C. []3,5-D. []2,4-【答案】D【解析】 因为关于x 的不等式()210x a x a -++<可化为()()10x x a --<， 当1a >时，不等式的解集为1x a <<，当1a <时，不等式的解集为1a x <<，要使得解集中至多包含2个整数，则4a ≤且2a ≥-，所以实数a 的取值范围是[]2,4a ∈-，故选D.【方法总结】本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等学问点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类探讨思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键. 4.若关于x 的不等式21cos2cos 03x a x -+≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A. 13- B. 13 C. 23 D. 1 【答案】B【解析】令[]cos 1,1x t =∈-，则问题转化为不等式24350t at --≤在[]1,1-上恒成立，即435011{ 435033a a a +-≤⇒-≤≤--≤，应选答案B 。

2019高考数学一轮复习攻略：不等式
1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法亲密相关，要擅长把它们有机地联系起来，相互转化。

在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。

通过换元，可将较困难的不等式化归为较简洁的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。

2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、肯定值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。

方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解亲密相关，要擅长把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。

3.在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较困难的不等式化归为较简洁的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。

4.证明不等式的方法敏捷多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。

要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟识各种证法中的推理思维，并驾驭相应的步骤，技巧和语言特点。

比较法的一般步骤是：作差
(商)变形推断符号(值)。

总结：以上就是2019高考数学一轮复习攻略：不等式的全部内容，请大家仔细阅读，巩固学过的学问，小编祝福同学们在努力的复习后取得优秀的成果!。

河北省廊坊市高考数学一轮复习：32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·武邑月考) 已知，、满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（）A .B .C .D .2. （2分）设x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为（）A . 5B . 3C . 7D . -83. （2分）若整数x,y满足，则2x+y的最小值为（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 在"家电下乡"活动中，某厂要将台洗衣机运往邻近的乡镇，现有辆甲型货车和辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用元，可装洗衣机台；每辆乙型货车运输费用元，可装洗衣机台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A . 元B . 元C . 元D . 元5. （2分）已知实数满足，则的取值范围为（）A . （-∞，-3]∪[1，+∞）B . [-3,1]C . （-∞，-4]∪[0，+∞）D . [-4，0]6. （2分）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）设x，y满足不等式若M＝3x＋y，N＝－，则M－N的最小值为（）A .B . －C . 1D . －18. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知实数满足，则的最大值是A .B .C . 3D . 59. （2分）已知点P（3，3），Q（3，﹣3），O为坐标原点，动点M（x，y）满足，则点M所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三上·西安开学考) 已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A . （﹣1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）C . （1，+∞）D . （﹣∞，1）11. （2分） (2018高二上·六安月考) 若变量 (x,y)为区域 ,则的最大值是（）A .B .C .D .12. （2分）若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是（）A . 0B . 4C .D .二、填空题 (共6题；共8分)13. （2分）(2018·全国Ⅰ卷理) 若，满足约束条件则的最大值为________.14. （1分）(2018·宣城模拟) 若实数满足，则的取值范围是________15. （2分） (2017高三上·嘉兴期末) 若满足，则的最大值为________．16. （1分）(2016·新课标Ⅱ卷理) 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．17. （1分）(2017·山西模拟) 甲、乙两位打字员在两台电脑上各自输入A，B两种类型的文件的部分文字才能使这两类文件成为成品．已知A文件需要甲输入0.5小时，乙输入0.2小时；B文件需要甲输入0.3小时，乙输入0.6小时．在一个工作日中，甲至多只能输入6小时，乙至多只能输入8小时，A文件每份的利润为60元，B文件每份的利润为80元，则甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是________元．18. （1分）(2016·嘉兴模拟) 设，满足约束条件：的可行域为，若存在正实数，使函数的图象经过区域中的点，则这时的取值范围是________．三、解答题 (共4题；共30分)19. （5分）（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件+=1．20. （10分）某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦时)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦时，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？21. （5分）设约束条件所确定的平面区域为D．（1）记平面区域D的面积为S=f（t），试求f（t）的表达式．（2）设向量 =（1，﹣1）， =（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上， =m ，（m，n∈R），当面积S取到最大值时，用x，y表示m+3n，并求m+3n的最大值．22. （10分） (2019高二上·诸暨期末) 电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共30分)20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

高一数学复习考点知识讲解课件第2课时等差数列前n项和的性质及应用考点知识1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质．一、等差数列前n项和的实际应用问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等．例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n}，则a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．反思感悟(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．跟踪训练1《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．答案1629解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，S 30＝390，设其公差为d ，则S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．二、等差数列中前n 项和的最值问题问题2根据上节课所学，等差数列前n 项和公式有什么样的函数特点？提示由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，可知S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，S n 是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n ∈N *，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为S n ＝An 2＋Bn .知识梳理等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定； 当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定． (2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．注意点：(1)当a 1>0，d >0时S n 有最小值S 1，当a 1<0，d <0时S n 有最大值S 1；(2)S n 取得最大或最小值时的n 不一定唯一．例2在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解方法一因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ， 解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤1312，n ≥1212.又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n ＝13时，S n 取得最大值．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧82A ＋8B ＝182A ＋18B ，A ＋B ＝25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－1，B ＝26，所以S n ＝－n 2＋26n ，所以S 13＝169，即S n 的最大值为169.反思感悟(1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和； ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 ⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找； ②运用二次函数求最值．跟踪训练2在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值． 解(1)设等差数列的公差为d ，因为在等差数列{a n }中，a 10＝18，S 5＝－15， 所以⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12，n ∈N *. (2)因为a 1＝－9，d ＝3，a n ＝3n －12，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， 所以当n ＝3或4时，前n 项和S n 取得最小值为S 3＝S 4＝－18.三、等差数列中的片段和问题问题3等差数列{}a n 的前n 项和S n ，你能发现S n 与S 2n 的关系吗？ 提示S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n ＝S n ＋(a 1＋nd )＋(a 2＋nd )＋…＋(a n ＋nd )＝2S n ＋n 2d ，同样我们发现S 3n ＝3S n ＋3n 2d ，这里出现了一个有意思的数列S n ，S 2n －S n ＝S n ＋n 2d ，S 3n －S 2n ＝S n ＋2n 2d ，…，是一个公差为n 2d 的等差数列． 知识梳理1．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .2．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 3．在等差数列中，若S n ＝m ，S m ＝n ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． 例3已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解方法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎨⎧10a 1＋10(10－1)2d ＝100，100a 1＋100(100－1)2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1099100，d ＝－1150.∴S 110＝110a 1＋110(110－1)2d ＝110×1099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝－110. 方法二∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.方法三由⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，构造新的等差数列b 1＝S 1010＝10，b 10＝S 100100＝110， 则d ＝19(b 10－b 1)＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫－9910＝－1110， 所以b 11＝S 110110＝b 10＋d ＝110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1110＝－1， 所以S 110＝－110.方法四直接利用性质S n ＝m ，S m ＝n ，S m ＋n ＝－(m ＋n )，可知S 110＝－110. 反思感悟利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练3等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m.解方法一在等差数列中，∵S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二在等差数列中，S mm，S2m2m，S3m3m成等差数列，∴2S2m2m＝S mm＋S3m3m.即S3m＝3(S2m－S m)＝3×(100－30)＝210.1．知识清单：(1)等差数列前n项和的实际应用．(2)等差数列前n项和的最值问题．(3)等差数列中的片段和问题．2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．3．常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．1．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为()A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13答案D解析∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大．2．等差数列{}a n 中，S 3＝3，S 6＝9，则S 12等于()A ．12B ．18C ．24D ．30答案D解析根据题意，得在等差数列{}a n 中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，…也成等差数列，又由S 3＝3，S 6＝9，得S 6－S 3＝6，则S 9－S 6＝9，S 12－S 9＝12，则S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝3＋6＋9＋12＝30.3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为()A.825两B.845两C.865两D.885两答案C解析设10个兄弟由大到小依次分得a n ()n ＝1，2，…，10两银子，由题意可得 设数列{}a n 的公差为d ，其前n 项和为S n ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＝6，S 10＝100，即⎩⎨⎧ a 1＋7d ＝6，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝865，d ＝－85.所以长兄分得865两银子．4．已知S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若a 1＝－2，S 20222022－S 20202020＝2，则S 20212021＝________.答案2018解析∵S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，设其公差为d .∵S 20222022－S 20202020＝2，∴2d ＝2，d ＝1.∵a 1＝－2，∴S 11＝－2.∴S n n ＝－2＋(n －1)×1＝n －3.∴S 20212021＝2018.课时对点练1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于() A ．10B ．100C ．110D ．120答案B解析∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列且首项为S 11＝1. 又S 88－S 66＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差是1， ∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S10＝100.2．若等差数列{a n}的前m项的和S m为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为()A．30B．70C．50D．60答案C解析∵等差数列{a n}中，S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，∴2(S2m－S m)＝S m＋S3m－S2m，∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.3．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和S n()A．有最大值且是整数B．有最小值且是整数C．有最大值且是分数D．无最大值和最小值答案B解析易知数列{2n－19}的通项公式为a n＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增的等差数列．令a n＝0，得n＝192.∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．已知在等差数列{}a n 中，前n 项和为S n ，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，则当S n 取最大值时，n 等于()A ．1010B ．1011C ．2020D ．2021答案A解析在等差数列{}a n 中，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，故公差d <0，所以a 1010>0，a 1011<0，所以当S n 取最大值时，n ＝1010.5．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为()A ．45B ．36C ．28D ．21答案D解析由题意分析可得a 1＝1，a 2＝1＋2＝3，a 3＝1＋2＋3＝6，…，则“三角形数”的通项公式a n ＝n ()n ＋12，a 6＝6×()6＋12＝21. 6．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案ABD解析∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．7．已知等差数列前n项和为S n，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝________.答案－13解析由性质S n＝m，S m＝n，S m＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.8．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案5解析∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S 9－S 6＝5.9．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．10．已知在等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)方法一a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴当n ＝5时，S n 取得最大值． 方法二由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴当n ≤5时，a n >0；当n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．11．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 3S 6＝14，则S 6S 12等于() A.18B.726C.14D.12答案C解析由等差数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，设S 3＝k ，S 6＝4k ()k ≠0，则S 9＝3S 6－3S 3＝9k ，S 12＝3S 9－3S 6＋S 3＝16k ，所以S 6S 12＝14. 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列． 因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d 2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 1>0，S 4＝S 9，当S n 最大时，n 等于()A ．6B ．7C ．6或7D ．13答案C解析因为S 4＝S 9，所以4a 1＋4×32d ＝9a 1＋9×82d ，化简得a 1＋6d ＝0，所以a 1＝－6d ，因为a 1>0，所以d <0，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－6dn ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2－132dn ，它的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为n ＝132，因为n ∈N *，所以当n ＝6或n ＝7时，S n 取得最大值．14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．答案10解析由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层()A ．7B ．8C ．9D ．10答案C解析设电梯所停的楼层是n (2≤n ≤12)，则S ＝1＋2＋…＋(n －2)＋2[1＋2＋…＋(12－n )]＝(n －2)(n －1)2＋2×(12－n )(13－n )2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－533n ＋157＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －5362－53224＋157， 开口向上，对称轴为n ＝536≈9，故S 在n ＝9时取最小值S min ＝3×92－53×9＋3142＝40. 16．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .21 / 21 ∵S 7＝7，S 15＝75， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12. ∴T n ＝14n 2－94n .。