不等式的基本性质-习题精选2

6.5不等式的性质常考题一、选择题（共26小题）1、（2009•柳州）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A、a﹣1＜b﹣1B、＞C、﹣a＜﹣bD、ac＜bc2、（2009•临沂）若x＞y，则下列式子错误的是（）A、x﹣3＞y﹣3B、3﹣x＞3﹣yC、x+3＞y+2D、3、（2008•恩施州）如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（）A、ab＞0B、a+b＜0C、＜1D、a﹣b＜04、（2007•临沂）若a＜b＜0，则下列式子：①a+1＜b+2；②＞1；③a+b＜ab；④＜中，正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个5、（2006•镇江）如果a＜0，b＞0，a+b＜0，那么下列关系式中正确的是（）A、a＞b＞﹣b＞﹣aB、a＞﹣a＞b＞﹣bC、b＞a＞﹣b＞﹣aD、﹣a＞b＞﹣b＞a6、（2006•肇庆）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A、a+3＞b+3B、2a＞2bC、﹣a＜﹣bD、a﹣b＜07、（2006•芜湖）已知a＞b＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A、ab＞b2B、a+c＞b+cC、＜D、ac＞bc8、（2004•陕西）如图所示，若数轴上的两点A，B表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（）A、b﹣a＞0B、a﹣b＞0C、2a+b＞0D、a+b＞09、（2002•海淀区）若a﹣b＜0，则下列各式中一定正确的是（）A、a＞bB、ab＞0C、D、﹣a＞﹣b10、（2000•天津）若a＞b，且c为实数，则下列各式中正确的是（）A、ac＞bcB、ac＜bcC、ac2＞bc2D、ac2≥bc211、（2000•黑龙江）下列说法正确的是（）A、如果a＞1，那么B、如果a＜1，那么C、如果a2＞0，那么a＞0D、如果﹣1＜a＜0，那么a2＞112、（1999•广州）已知a＞b，则下列不等式中正确的是（）A、﹣3a＞﹣3bB、﹣＞﹣C、3﹣a＞3﹣bD、a﹣3＞b﹣313、已知a＜b，则下列式子正确的是（）A、a+5＞b+5B、3a＞3bC、﹣5a＞﹣5bD、＞14、如果a＞b，那么下列结论中，错误的是（）A、a﹣3＞b﹣3B、3a＞3bC、＞D、﹣a＞﹣b15、若m＞n，则下列不等式中成立的是（）A、m+a＜n+bB、ma＜nbC、ma2＞na2D、a﹣m＜a﹣n16、已知x＞y，则下列不等式不一定成立的是（）A、x﹣2＞y﹣2B、2x＞2yC、﹣x＜﹣yD、x+y＞017、如果a＞b，那么下列各式中正确的是（）A、a﹣2＜b﹣2B、C、﹣2a＜﹣2bD、﹣a＞﹣b18、如果a＞b，那么下列不等式不成立的是（）A、a﹣5＞b﹣5B、﹣5a＞﹣5bC、＞D、﹣5a＜﹣5b19、如果a＞b，下列各式中不正确的是（）A、a﹣3＞b﹣3B、＜C、﹣2a＜﹣2bD、﹣2+a＜﹣2+b20、如果a＞b，则下列各式中不成立的是（）A、a+4＞b+4B、2+3a＞2+3bC、a﹣6＞b﹣6D、﹣3a＞﹣3b21、下列变形不正确的是（）A、若a＞b，则b＜aB、若﹣a＞﹣b，则b＞aC、由﹣2x＞a，得x＞D、由x＞﹣y，得x＞﹣2y22、如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A、B、ab＜1C、D、23、如果m＜n＜0，那么下列结论中错误的是（）A、m﹣9＜n﹣9B、﹣m＞﹣nC、＞D、＞124、若a＜b，则下列不等式中正确的是（）A、﹣3+a＞﹣3+bB、a﹣b＞0C、a＞ bD、﹣2a＞﹣2b25、a﹣b＜0，则下列各式中错误的是（）A、a＜bB、﹣a＞﹣bC、a+c＜b+cD、＜26、若a＞b，则下列不等式中，不成立的是（）A、a﹣3＞b﹣3B、﹣3a＞﹣3bC、＞D、﹣a＜﹣b二、填空题（共4小题）27、（2001•北京）比较大小：当实数a＜0时，1+a_________1﹣a（填“＞”或“＜”）．28、当a满足条件_________时，由ax＞8可得．29、如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|=_________．30、若a＜b，那么﹣2a+9_________﹣2b+9（填“＞”“＜”或“=”）．答案与评分标准一、选择题（共26小题）1、（2009•柳州）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A、a﹣1＜b﹣1B、＞C、﹣a＜﹣bD、ac＜bc考点：不等式的性质。

考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │§06. 不 等 式 知识要点1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈aa R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.3,3a b c a b c R abc +++∈≥(4)若、、则（当仅当a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么222.1122a b a b ab a b++≤≤≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd abcd +≤++. 常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n nn n n n n n n n-==-≥++-- ②11111(1)121n n n n n n n nn n +-==--≥+++-（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或 则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ○1()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为 注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)12423(1)()223279x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x xxx+=+≥与同号，故取等不等式的基本性质习题精选（二）一、选择题1．若a > b ，c>0 ，则下列四个不等式成立的是（）A．ac>bcB．a b c c <C．a c b c-<-D．a c<b+c+2．已知a < －1 ，则下列不等式中错误的是（）A．4a<-4B．4a<-4-C．a21+<D．2a3->3．若a< b ，则下列不等式中成立的个数是（）（1）－3 ＋ a < －3 ＋ b （2）－3a < －3b（3）－3a －1 < －3b － 1 （4）－3a ＋1 > －3b ＋ 1 A．1个B．2个C．3个D．4个4．若x < y ，则ax > ay ，则a满足的条件是（）A．a≥0B．a≤0C．a>0D ． a<05．已知a > b 且a < 0 ．则下列各不等式成立的个数是（ ） （1）2a ab > （2）2ab>b （3）a b 0-< （4）22a b > A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题1．若x < y ，则22a x<a y ，那么一定有a ________ 。

不等式的基本性质 习题精选（一）★不等式的基本性质1．不等式的基本性质1：如果a>b ，那么 a+c____b+c ， a －c____b －c ．不等式的基本性质2：如果a>b ，并且c>0，那么ac_____bc ．不等式的基本性质3：如果a>b ，并且c<0，那么ac_____bc ．2．设a<b ，用“<”或“>”填空．（1）a －1____b －1；（2）a+1_____b+1；（3）2a____2b ；（4）－2a_____－2b ； 5）－a 2_____－b 2；（6）a 2____b2．3．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”填空．（1）若a －1>b －1，则a____b ；（2）若a+3>b+3，则a____b ；（3）若2a>2b ，则a____b ；（4）若－2a>－2b ，则a___b ．4．若a>b ，m<0，n>0，用“>”或“<”填空．（1）a+m____b+m ；（2）a+n___b+n ；（3）m －a___m －b ；（4）an____bn ；（5）a m ____b m ；（6）a n _____bn ；5．下列说法不正确的是（ ）A ．若a>b ，则ac 2>bc 2（c 0）B ．若a>b ，则b<aC ．若a>b ，则－a>－bD ．若a>b ，b>c ，则a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a 或x>a 的形式：（1）x －3>1；（2）－32x>－1；（3）3x<1+2x ；（4）2x>4． ［学科综合］7．已知实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（ ）A．bc>ab B．ac>ab C．bc<ab D．c+b>a+b8．已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x<21-a，则1－a是____数．9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（）A．3b<p<3a B．a+2b<p<2a+b C．2b<p<2（a+b）D．2a<p<2（a+b）［创新思维］（一）新型题10．若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件（）A．a>0 B．a<0 C．a=0 D．a≥0（二）课本例题变式题11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是（）A．由4x－1>2，得4x>1 B．由5x>3，得x>35C．由x2>0，得x>2D．由－2x<4，得x<－2（三）易错题12．若a>b，且m为有理数，则am2____bm2．13．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点对？为什么？（四）难题巧解题14．若方程组2x+y=k+1x+2y=-1⎧⎨⎩的解为x，y，且3<k<6，则x+y的取值范围是______．（五）一题多解题15．根据不等式的基本性质，把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］16．如图13－2－2所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？［数学在生产、经济、科技中的应用］17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．（1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲商店中收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式．（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？［自主探究］18．命题：a，b是有理数，若a>b，则a2>b2．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；（2）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？［潜能开发］19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x>4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x>4x不是一回事吗？当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．［信息处理］20．根据不等式的基本性质，把下列不等变为x>a或x<a的形式：（1）1x2>－3；（2）－2x<6．解：（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以1x2>-322⨯⨯，得x>－6．（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变，所以-2x6>-2-2，得x>－3．上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的？［开放实践］21．比较a+b与a－b的大小．［经典名题，提升自我］［中考链接］22．（2004·山东淄博）如果m<n<0，那么下列结论中错误的是（）A．m－9<n－9 B．－m>－n C．11>n m D．mn>123．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（）A．a>b B．ab>0 C．ab>0 D．－a>－b［奥赛赏析］24．要使不等式…<753246a<a<a<a<a<a<a<…成立，有理数a的取值范围是（）A．0<a<1 B．a<－1 C．－1<a<0 D．a>1［趣味数学］25．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重．（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．答案1．> > > <2．（1）<（2）<（3）<（4）>（5）>（6）<3．（1）>（2）>（3）>（4）<4．（1）>（2）>（3）<（4）>（5）<（6）>5．C 点拨：a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．6．解：（1）x－3>1，x－3+3>1+3，（根据不等式的基本性质1）x>4；（2）－23x>－1，－23x·（－32）<－1·（－32），（根据不等式的基本性质3）x<32；（3）3x<1+2x，3x－2x<1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1）x<1；（4）2x>4，2x4>22，（根据不等式的基本性质2）x>2．7．A 8．负9．D 10．B 11．B 12．错解：am2>bm2错因分析：m2应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况正解：：am2≥bm213．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．错解2：乙对，因为a为负数或零时，原不等式不成立．错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数，有三种情况：a为负数，a为正数，a为0，应全面考察各种．正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a>6a，②当a<0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．14．1<x+y<2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k．3<k<6，即3<3（x+y）<6，∴1<x+y<2．15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5，2x<4x－6，2x－4x<4x－6－4x，－2x<－6，-2x-6>-2-2，x>3．解法2：2x+5<4x－1，2x+5－2x<4x－1－2x，5+1<2x－1+1，6<2x，62x<22，3<x，即x>3．16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式，两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c>b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．17．解：（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1⨯70%⨯10=17（元），到乙商店购买20本，共需1⨯0．85⨯220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．（2）甲商店中，收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x －10），即y=0．7x+3（其中x>10）．（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3，解得x=30（本）．若到乙商店购买，则可买24÷（1 0．85）≈28（本）．30>28，故小明最多哥买30本．a>b18．解：（1）a，b是有理数，若a>b>0，则22（2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．19．解：乙同学的回答不正确，5a不一定大于4a．当a>0时，5a>4a>0；当a=0时，5a=4a=0；当a<0时，5a<4a<0．20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1”相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．21．解：a+b－（a－b）=2b，当b>0时，a+b>a－b；当b=0时，a+b=a－b；当b<0时，a+b<a－b．22．C 23．Da<a<a<0…，则24．B 点拨：a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且246这个负数一定小于－1，故应选B．25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．（2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．。

不等式的基本性质经典练习题9.1.2 不等式的基本性质练题要点感知不等式的性质有：不等式的性质1：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如果 $a>b$，那么 $a\pmc>b\pm c$。

不等式的性质2：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果 $a>b。

c>0$，那么 $ac>bc$（或$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$）。

不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果 $a>b。

c<0$，那么 $ac<bc$（或$\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$）。

预练1-1：若 $a>b$，则 $a-b>0$，其依据是（A）不等式性质1.1-2：若$a”“<”或“=”）。

1-3：设 $a>b$，用“”填空，并说出是根据哪条不等式性质。

1) $3a>3b$，根据不等式性质2.2) $a-8<b-8$，根据不等式性质1.3) $-2a<-2b$，根据不等式性质3.4) $2a-5<2b-5$，根据不等式性质1.5) $-3.5a-1<-3.5b-1$，根据不等式性质2.知识点1：认识不等式的性质1.如果 $b>0$，那么 $a+b$ 与 $a$ 的大小关系是（C）$a+b\geq a$。

2.下列变形不正确的是（D）$-5x>-a$ 得 $x>$。

3.若 $a>b。

am<bm$，则一定有（B）$m<0$。

4.在下列不等式的变形后面填上依据：1) 如果 $a-3>-3$，那么 $a>0$；依据不等式性质1.2) 如果 $3a<6$，那么 $a<2$；依据不等式性质2.3) 如果 $-a>4$，那么 $a<-4$；依据不等式性质3.5.利用不等式的性质填“>”或“<”。