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绝对值不等式

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绝对值不等式
题目第六章不等式绝对值不等式
高考要求理解不等式
│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
2．掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；
知识点归纳
1．解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方 2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题
||a|─|b|||a+b||a|+|b|;||a|─|b|| |a─b||a|+|b|;并指出等号条．(1) |f(x)|g(x)─g(x)f(x)g(x);
(2)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)─g(x) （无论g(x)是否为正）
（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式）
左边在时取得等号，右边在时取得等号
题型讲解
例1 解不等式分析：不等式（其中）可以推广为任意都成立，且为代数式也成立解：原不等式又化为
¬¬¬¬¬ ∴原不等式的解集为点评：可利用去掉绝对值符号例2 求证：不等式
综上（1），（2）得
例3
所以，原命题得证
例4
例5
证明：
例6
证明：令
例7 a, b  R 证明|a + b|－|a－b| 2|b|
例8 解不等式||x+3|─|x─3||3
解法一：分区间去绝对值（零点分段法）：
∵||x+3|─|x─3||3
∴(1) x─3;
(2) 3/2x3或─3x─3/2 ;
(3) x3
∴ 原不等式的解为x─3/2或x3/2
解法二：用平方法脱去绝对值：
两边平方：(|x+3|─|x─3|)29,即2x2+92|x2─9|;
两边再平方分解因式得：x29/4x─3/2或
x3/2
例9 解不等式|x2─3|x|─3|1
解：∵|x2─3|x|─3|1
∴─1x2─3|x|─31
∴ 
∴ 原不等式的解是： x4或
─4x
点评：本题由于运用了x∈R时，x2=|x|2从而避免
了一场大规模的讨论
例10 求使不等式|x─4|+|x─3|a有解的a的取值范围
解：设f(x)= |x─4|+|x─3|,
要使f(x)a有解，则a应该大于f(x)的最小值，
由三角不等式得：
f(x)=|x─4|+|x─3||(x─4)─(x─3)|所
以f(x)的最小值为1，
∴ a1
点评：本题对条件进行转化，变为最值问题，从而
简化了讨论
例11已知二次函数f(x)满足
|f(1)|1,|f(0)|1,|f(─1)|1, 求证：|x|1时，有|f(x)|5/4
证明：设f(x)=ax2+bx+c,
由题意，得
∴ a= [f(1)+f(─1)─2f(0)],b= [f(1)─f(1)];
c=f(0)
代入f(x)的表达式变形得：
f(x)=f(1)(x2+x)/2+f(─1)(x2─x)/2+(1─x2)f(0) ∵
|f(1)|1,|f(0)|1,f(─1)|∴ 当|x|1时，
|f(x)||(x2+x)/2||f(1)|+|(x2─x)/2||f(─1) |+(1─x2)|f(0)|
|x|(1+x)/2+|x|(1─x)/2+(1─x2)
=─x2+|x|+1=─(|x|─1/2)2+5/45/4
例12 已知a,b,c都是实数，且|a|1,|b|1,|c|1,求证：ab+bc+ca─1
证明：设f(x)=x(b+c)+bc─(─1),
∵ |a|1,|b|1,|c|1,
∴f(1)＝(b+c)+bc+1＝(1+b) (1+c)0,
f(─1) ＝－(b+c)+bc+1＝(1－b) (1－c)0,
∴ 当a∈(─1,1)时，f(x)0恒成立
∴ f(a) ＝a(b+c)+bc─(─1)0,
∴ab+bc+ca─1
例证明：
小结：
1．理解绝对值不等式的定义，掌握绝对值不等式的定理和推论，会用绝对值不等式的定理和推论解决绝对
值不等式的有关证明问题
2．解绝对值不等式的基本途径是去掉绝对值符号，常用的方法是：（1）分类讨论；（2）平方；（3）利用绝对值不等式的性质，如
等
3．证明绝对值不等式的基本思想和基本方法分别是转化思想和比较法，分析法，换元法，综合法，放缩法，反证法等等
学生练习
1．不等式的解集为（）
A． B． C． D．
答案：D
2．不等式|x－4|＋|x－3|a有解的充要条件是（）
A a7
B a1
C a1
D a≥1
答案: B 提示: 代数式|x－4|＋|x－3|表示数轴上
的点到(4, 0)与(3, 0)两点的距离和，最小值为1，∴当a1时，不等式有解
3．若A={x| |x－1|2}, B={x| 0，则A∩B=（）
A {x|－1x3}
B {x|x0或x2}
C {x|－1x0或2x3}
D {x|－1x0}
答案: C 提示: A={x| －1x3}, B={x| x2或
x0},∴A∩B={x|－1x0或2x3}
4．不等式1≤ ≤2的解集是
答案: 1≤x≤ 或≤x≤．如果y=log x在(0,+∞)内是减函数，则a的取值范围是（）
A |a|1
B |a|
C 1|a|
D a 或a－
答案: C 提示: 0a2－1,∴1|a|
6．解不等式|log x|＋|log (3－x)|≥1 答案：{x| 0x≤ 或≤x3}
提示：分0x1, 1x2, 2x3三种情况讨论,当0x1时,解得0x≤ ；当1x2时,无解；当2x3时,解得≤x3
课前后备注。

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含绝对值的不等式

含绝对值的不等式

含绝对值的不等式在数学的世界里，不等式是一个非常重要的概念，而含绝对值的不等式更是让很多同学感到头疼。

但别担心，让我们一起来揭开它神秘的面纱，看看它到底是怎么回事。

首先，咱们得搞清楚绝对值的含义。

简单来说，绝对值就是一个数到 0 点的距离。

比如说，｜3|就是 3 到 0 的距离，是 3；｜－3|呢，也是 3，因为-3 到 0 的距离同样是 3。

那含绝对值的不等式又是什么呢？比如说，｜x| ＜ 5，这就表示 x 到 0 的距离小于 5，那 x 就在-5 和 5 之间，也就是－5 ＜ x ＜ 5。

再比如，｜x| ＞ 3，这意味着 x 到 0 的距离大于 3，所以 x 要么小于－3，要么大于 3，即 x ＜－3 或 x ＞ 3。

接下来，咱们看看更复杂一点的情况。

如果是｜2x 1| ＜ 3，这该怎么解呢？我们可以把它分成两种情况来看。

第一种情况，当 2x 1 是非负数，也就是2x 1 ≥ 0 时，不等式就变成了 2x 1 ＜ 3。

解这个不等式，先移项得到 2x ＜ 4，再除以 2 得到 x ＜ 2。

同时别忘了，因为前提是2x 1 ≥ 0，所以还得解这个不等式，得到x ≥ 1/2。

综合起来，就是1/2 ≤ x ＜ 2。

第二种情况，当 2x 1 是负数，也就是 2x 1 ＜ 0 时，不等式变成了（2x 1) ＜ 3。

去括号得到－2x ＋ 1 ＜ 3，移项得到－2x ＜ 2，除以－2 时要注意，不等号方向要改变，得到 x ＞－1。

又因为前提是 2x 1 ＜ 0，解这个不等式得到 x ＜ 1/2。

综合起来，就是－1 ＜ x ＜ 1/2。

把这两种情况综合起来，不等式｜2x 1| ＜ 3 的解集就是－1 ＜ x＜ 2。

再来看一个例子，｜3x ＋ 2| ≥ 4。

同样分成两种情况。

第一种情况，当 3x ＋2 ≥ 0 时，不等式变成 3x ＋2 ≥ 4。

解这个不等式，移项得到3x ≥ 2，除以 3 得到x ≥ 2/3。

第二种情况，当 3x ＋ 2 ＜ 0 时，不等式变成（3x ＋2) ≥ 4。

绝对值不等式性质及公式

绝对值不等式性质及公式

综合③，④我们得到有关绝对值（absolutevalue)的重要不等式
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|
2.|a|＜|b|可逆a²＜b²
另外
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab小于等于0时左边等
号成立，ab≥0时右边等号成立。
|a|-|b|小于等于|a-b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成
立，ab小于等于0时右边等号成立。
几何意义
1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹙b的距离等于它
们到原点的距离之和。2.当a，b异号时它们பைடு நூலகம்别位于原点的两边，此时a
与﹙b的距离小于它们到原点的距离之和。
(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)
绝对值重要不等式
我们知道
|a|={a，(a＞0)，a，（a=0)，﹙a，（a＜0)，}
因此，有
﹙|a|小于等于a小于等于|a|
﹙|b|小于等于b小于等于|b|
同样地
①，②相加得
﹙﹙|a|+|b|)小于等于a+b小于等于|a|+|b|
即|a+b|小于等于|a|+|b|
显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。
由③可得
|a|=|(a+b)-b|小于等于|a+b|+|-b|，
即|a|-|b|小于等于|a+b|
绝对值不等式性质及公式
绝对值不等式
简介
在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对
绝对值基本不等式

绝对值基本不等式

绝对值基本不等式在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。

它们都是通过非负数来度量的。

公式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|几何意义：1、当a，b同号时它们坐落于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等同于它们至原点的距离之和。

2、当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离) 相关公式：绝对值关键不等式推论过程：我们知道|x|={x，(x\ue0);x，(x=0);-x，(x\uc0);因此，存有：-|a|≤a≤|a| ......①-|b|≤b≤|b| ......②-|b|≤-b≤|b|......③由①+②得：-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|即为|a+b|≤|a|+|b| ......④由①+③得：-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|即 |a-b|≤|a|+|b| ......⑤另：|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b||b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|由④知：|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b| =\ue |a|-|b|≤|a+b|.......⑥|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| =\ue |a|-|b|≥-|a+b|.......⑦|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| =\ue |a|-|b|≤|a-b|.......⑧|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| =\ue |a|-|b|≥-|a-b|.......⑨由⑥，⑦得：| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩由⑧，⑨得：要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：|a-b|=|a|+|b|→ab≤0|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0同理可以得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0另“→”指可双向推出数学分析解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。

绝对值不等式

绝对值不等式

绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它与绝对值的性质和运算相关。

通过研究绝对值不等式，我们可以解决许多实际问题，同时也提升了我们的数学思维和解题能力。

一、绝对值的定义绝对值是表示一个数离原点的距离。

对于一个实数x，它的绝对值记作|x|，定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

例如，|5|=5，|-3|=3。

二、绝对值不等式的性质1. 绝对值的非负性质：对于任意实数x，有|x|≥0。

2. 绝对值的等价性：若|x|=0，则x=0。

3. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。

三、一元绝对值不等式的求解方法当我们遇到一元绝对值不等式时，可以采用以下两种方法求解：1. 列举法：根据不等式的性质及绝对值的定义，列举出满足不等式条件的数。

例题1：|x-2|<3根据绝对值的定义，可以得到以下两个不等式：x-2<3 ==> x<5；-(x-2)<3 ==> -x+2<3 ==> 2-x<3 ==> x>-1。

综合以上两个不等式的解，得到-1<x<5。

2. 分类讨论法：将绝对值拆分成正负两种情况，分别求解。

例题2：|2x-3|>4当2x-3>0时，可以得到以下不等式：2x-3>4 ===> 2x>7 ===> x>3.5。

当2x-3<0时，可以得到以下不等式：-(2x-3)>4 ===> -2x+3>4 ===> -2x>1 ===> x<-0.5。

综合以上两个情况的解，得到x>3.5或x<-0.5。

四、二元绝对值不等式的求解方法对于二元绝对值不等式，我们需要分别对两个变量进行分类讨论，并结合不等式的特点进行求解。

例题3：|x-2|+|y+1|<5当x-2>0且y+1>0时，可以得到以下不等式：x-2+y+1<5 ==> x+y<6。