自适应变步长LMS滤波算法及分析
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引 言1
最小均方(Least Mean Square, LMS)误差算法由 Widrow 和 Hoff 于 1960 年提出后，因其结构简单、运算量小、易于 实时处理等优点而被广泛应用于自适应波束形成、自适应噪 声消除、自适应谱线增强等方面。为了克服传统 LMS 算法 中收敛速度、收敛精度及对时变系统的跟踪速度等对步长大 小选取相互矛盾的缺点，人们提出了许多变步长 LMS 算法， 即在算法收敛过程中动态调整步长大小，这些算法的根本思 想是算法开始阶段采用较大的步长，使算法具有较快的收敛 速度和跟踪速度；然后随着收敛的加深逐渐减小步长使算法 有较小的稳态误差[1]。其中一类算法是步长随着误差信号的 变化而变化。
更小的稳态误调噪声。当系统发生跃变时， J(n) 变大，如 果 α、β 同时迅速增大，则对应较大的 µ(n)，提高算法跟踪 系统的时变能力。为了降低输入端噪声引起的 J(n) 变化， 采用当前误差与上一步误差的自相关估计来控制 J(n) ，这 样算法排除了稳态时输入端噪声引起的 J(n) 变化。基于此， 得到如下自适应变步长更新公式：
基金项目：国家自然科学基金 (60572148，60532060); 西安电子科技大
学研究生创新基金 (创 05014)
作者简介：孙恩昌(1977-), 男, 山东人, 博士生, 研究方向为通信信号处
理，包括 OTDM,OFDM,MIMO 等；李于衡(1963-), 男, 黑龙江人, 博士
生, 高工, 研究方向为在轨卫星工程测控；张冬英(1982-), 女, 河北人,
wN−1 (n)]T
是滤波
器在时刻 n 的权值向量，N 为滤波器的阶数；µ(n)是滤波器
在时刻 n 的调整步长，ψj(n)，j=1,2 控制步长函数的变化形 状；e(n)、d(n)分别为误差信号和期望信号；J(n)是误差信号
的函数(如，ψ1(n)中 J(n)取 e(n)X(n)[13]，e(n)的平方[6]，e(n)[7]； ψ2(n)中 J(n)取 e(n)[5]或 e(n)的正整数次方[8]等)；α、β 是大于 零的常数。LMS 算法的收敛条件为 0 <µ(n) <1/λmax，λmax 为 输入信号自相关矩阵的最大特征值。
µ (n) = β (n)ψ1(n)
⎫ ⎪
ψ 1(n) = 1 − exp(−α J (n) ) ⎪
β (n)
= γβ (n −1) + (1 − γ )
J (n)
⎪ ⎬
(2)
α (n) = e(n) e(n −1) k , k > 0
⎪ ⎪
J (n) = e(n)e(n −1)
⎪⎭
式中： 0 < γ < 1 ，是接近于 1 的常数，控制参数 β 的变化；
第 19 卷第 14 期 2007 年 7 月
系 统 仿 真 学 报© Journal of System Simulation
Vol. 19 No. 14 July, 2007
自适应变步长 LMS 滤波算法及分析
孙恩昌，李于衡，张冬英，易克初
（西安电子科技大学综合业务网理论及关键技术国家重点实验室, 陕西 西安 710071）
变系统的变化。
2 新的自适应变步长 LMS 算法及分析
为了得到较快的收敛速度、较高的收敛精度和快速的跟 踪系统时变的性能，如果令 α、β 均随着 J(n) 的增大而增大， 随着 J(n) 的减小而减小。这样算法在初始收敛阶段 J(n) 较 大，对应的 α、β 较大，有较大的调整步长 µ(n)及较快的收 敛速度；当算法进入稳态的过程中， J(n) 逐渐较小，对应 的 α、β 较小，从而有较小的调整步长 µ(n)，因此算法具有
硕士生, 研究方向为通信信号处理和宽带无线标准；易克初(1943-), 男,
湖南人, 博士, 博导, ISN 国家重点实验室副主任, 研究方向为卫星通
信、扩频通信、通信抗干扰、通信信号处理和语音信号处理等。
的参数误调噪声。文献[3]提出一种旨在解决初始收敛速度、 跟踪速度和收敛精度的变步长 LMS 算法，其调整步长与误 差信号 e(n)和参考输入信号 X(n)的互相关函数的估值成正 比，具有比归一化固定步长自适应滤波 NLMS (normalized least mean square, NLMS)更快的收敛速度和跟踪速度，然而 其计算复杂性也同时大大增加了，不利于实现。文献[4]是基 于输入和误差之间的互相关值。文献[5]提出基于 Sigmoid 函数变步长 LMS 算法(SVSLMS)，也有较快的收敛速度和对 时变系统的跟踪速度，但是在 e(n)接近 0 处变化太大，不具 有缓慢变化的特性，使得 SVSLMS 算法在自适应稳态阶段 仍有较大的步长变化。对该算法的改进[6-8]有：文献[6]通过 建立误差信号与步长因子之间的类似于 Sigmoid 函数的较简 单形式，在误差接近于 0 处具有缓慢变化的特性，克服了 Sigmoid 函数在自适应稳态阶段步长调整不足的缺陷，但该 算法的参数 α、β 是固定的，如果参数选取不当(如为了获得 较快的收敛速度，β 选择较大，则由于噪声的影响，在稳态 阶段，算法的误差仍较大)，则引起较大的误差；针对该问 题，文献[7]提出动态改变 β 参数，从而在一定程度上减小了 稳态时的误差(由于 β 随着误差的变小而变小)，但仍存在对 噪声敏感的问题且跟踪跃变系统变化的能力不是很强。文献 [8]根据误差的不同幂次方，来调整步长，并通过仿真验证得 到合适的幂值，但该算法仍然存在固定的参数 α、β 问题， 且对于不同的应用场景该文给定的合适幂值也需要商讨。文 献[9-10]提出步长 µ(n)与均方瞬时误差建立关系，此类算法
此类算法都具有初始收敛阶段调整步长较大，从而有较
快的收敛速度；算法收敛后调整步长较小，从而有很小的稳
态失调噪声。为了克服 µ(n)对于 J(n)在零点附近的敏感性，
文[7]给出变参数 β 的算法，使得算法逐渐进入稳态时，对应
的 β 逐渐变小。当稳态过后系统发生跃变时，由于此时 β 较
小，对应的调整步长也较小，使得该算法不能够迅速跟踪跃
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第 19 卷第 14 期 2007 年 7 月
孙恩昌，等：自适应变步长 LMS 滤波算法及分析
Vol. 19 No. 14 July, 2007
对跃变系统有很强的跟踪能力,同时有较快的收敛速度，但 是算法受观测噪声的影响非常大,抗噪声能力较弱；为了解 决抗噪声问题，文献[11]提出了利用当前误差与上一步误差 的自相关估计来控制步长更新，这样做的好处是在更新步长 µ(n)的同时，消除了不相关噪声序列的干扰，但是收敛速度 比较慢、对初始步长敏感，而且对于跃变系统的跟踪能力不 强。文献[12]对现有变步长 LMS 算法进行分析，给出了三 种具有代表性算法的优缺点。
文献[2]提出步长因子 µ(n)正比于误差信号 e(n)的大小， 虽然该算法有较快的收敛速度和跟踪速度，并且稳态误调也 很小。但是该算法对主输入端干扰 v(n)却特别敏感，v(n)越 大，误差越大，调整步长就越大。这将大大加剧 LMS 算法
收稿日期：2006-12-13
修回日期：2007-02-13
1 Sigmoid 函数类变步长 LMS 算法
Sigmoid 函数类变步长 LMS 算法描述为
e(n) = d (n) − X T (n)W (n)
⎫
µ(n) = βψ j (n), j = 1, 2
⎪ ⎪
ψ1(n) = 1− exp(−α J (n) )
⎪ ⎬
(1)
ψ 2 (n) = 1 (1+ exp(−α J (n) )) − 0.5⎪⎪
α(n)控制步长变化的形状和速度(根据误差 e(n)和参数 k)。 当前误差 e(n)大于上次误差 e(n-1)时，α(n)>1，步长
的调整粒度增大；
当前误差 e(n)小于上次误差 e(n-1)时，α(n)<1，步长
的调整粒度减小；
当前误差 e(n)等于上次误差 e(n-1)时，α(n)=1，步长 的调整粒度维持不变。
摘 要：为了提高最小均方(LMS)自适应滤波算法的性能，通过建立步长因子与误差信号之间的非 线性函数关系，提出一种自适应变步长 LMS 算法。该算法具有初始阶段和时变阶段步长自适应增 大和稳态阶段步长很小的特点，消除了不相关噪声的影响，并且进一步克服了 Sigmoid 函数变步 长 LMS 算法在自适应稳态阶段步长取值偏大的缺陷，计算机仿真结果与理论分析相一致，证实该 算法优于传统算法。 关键词：最小均方；自适应滤波；误差信号；自适应变步长 中图分类号：TN911.72 文献标识码：A 文章编号：1004-731X (2007) 14-3172-04
需要说明的是，若上次误差 e(n-1)= 0，虽然 α(n)→∞ ， 但 exp(−∞)→0，使得 µ(n) = γβ (n −1) ，此时不存在系统不稳
Adaptive Variable-step Size LMS Filtering Algorithm and Its Analysis
SUN En-chang, LI Yu-heng, ZHANG Dong-ying, YI Ke-chu
(State Key Laboratory of Integrated Service Networks, Xidian University, Xi’an 710071, China)
W (n +1) = W (n) + 2µ(n)e(n) X (n) ⎪⎭
式中：T 为矩阵转置， i 为向量求模运算；
X (n) = [ x(n), x(n − 1), ..., x(n − N + 1)]T 为自适应滤波器在时
刻
n
的输入信号向..., 1
Abstract: In order to improve the performance of the variable step-size LMS (Least Mean Square) adaptive filtering algorithm, a novel algorithm based on the Sigmoid nonlinear functional relationship between the step-size and the error signal was proposed. The step-size of the algorithm increases adaptively at the beginning of the algorithm or when the channel is varying with time, and it would be smaller during the steady state. And the algorithm avoids the effects of the irrelevant noise. Furthermore, the proposed algorithm overcomes the deficiency of Sigmoid functional relationship in the process of step-size change of adaptive steady state. Computer simulation results verify the theoretical analysis and indicate that the algorithm outperforms the former algorithms. Key words: least mean square; adaptive filtering; error signal; adaptive variable step-size
