双曲线画法

几何画板画双曲线的两种方法双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线，也是高中数学中必须要研究的一类圆锥曲线。

几何画板作为数学教学辅助工具，可以用其来绘制圆锥曲线，省去在黑板上画图的时间。

本几何画板教程就来给大家介绍介绍几何画板画双曲线的两种方法。

方法一：具体的操作步骤如下：步骤一打开几何画板，单击左边侧边栏工具箱下的“自定义工具”，在弹出的自定义工具包选择“圆锥曲线A”——双曲线。

在自定义工具下选择双曲线示例步骤二在画布空白处单击一下鼠标确定双曲线的中点坐标，拖动鼠标此时会出现双曲线的形状，如下图所示。

确定双曲线的中点坐标示例步骤三拖动鼠标在适当位置单击一下，确定好双曲线的大小、位置和方向后单击鼠标即可。

这样就制作出双曲线图像了，如下图所示。

在画板上绘制双曲线图像示例步骤四拖动双曲线上的红点，改变其位置，就可以改变双曲线的位置和形状，演示如下图。

拖动点调整双曲线示例方法二：具体操作如下：1.利用已知点和线段构造圆。

在“绘图”菜单中选择“定义坐标系”。

用线段工具绘制线段AB。

选择“点工具”，在x轴上绘制一点C。

选中线段AB、点C，选择“构造”—“以圆心和半径绘圆”命令，画出圆C。

利用点工具线段工具和构造菜单构造点、线段和圆2.构造焦点。

双击y轴，选中C点，在“变换”菜单中选择“反射”，在y轴另一侧出现点C’。

在“变换”菜单中选择“反射”构造焦点C’3.构造线段和直线。

选择“点工具”，在圆C上任取一点P。

选择“线段工具”画出线段PC’。

选中点C、点P，选择“构造”—“直线”命令，作出直线CP。

利用线段工具和构造菜单构造线段C’P和直线CP4.构造线段C’P的中点。

选中线段C’P，选择“构造”—“中点”命令，绘制出线段C’P的中点M。

在“构造”菜单中选择“中点”构造线段C’P的中点5.构造中垂线与直线的交点。

选中点M、线段C’P，选择“构造”—“垂线”命令，绘制出线段C’P的垂直平分线，点击线段C’P的垂直平分线与直线CP的相交处，作出交点H。

CAD中描绘双曲线的技巧双曲线是数学中的一种经典曲线，它具有许多独特的性质和应用。

在CAD软件中，描绘双曲线可以帮助我们更好地设计和建模。

本文将介绍一些CAD软件中描绘双曲线的技巧。

首先，我们需要了解双曲线的方程。

双曲线的标准方程可以表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。

其中，a和b分别是椭圆的，确定了双曲线的形状和尺寸。

在CAD软件中，可以使用不同的工具和命令来描绘双曲线。

下面是几种常用的方法：1. 使用多段线工具：某些CAD软件提供了绘制多段线的工具，可以使用此工具绘制形状为双曲线的曲线。

首先，选择多段线工具，然后从一个点开始，依次点击屏幕上的点，通过调整点的位置和曲线的弯曲角度，逐渐绘制出双曲线的形状。

2. 使用曲线工具：大多数CAD软件都提供了曲线工具，可以通过指定点和曲率来描绘双曲线。

选中曲线工具，点击两个点，然后通过修改曲率参数，调整双曲线的形状。

3. 使用参数方程：双曲线还可以使用参数方程来描述。

参数方程为：x = a * cosh(t)，y = b * sinh(t)。

在CAD软件中，可以使用参数曲线或坐标数学功能函数来描绘双曲线。

4. 使用CAD插件或扩展功能：某些CAD软件提供了各种插件或扩展功能，通过安装和使用这些插件，可以轻松绘制出各种形状的曲线，包括双曲线。

通过搜索相应的插件或扩展功能，并按照说明进行安装和使用，即可描绘出双曲线。

无论使用哪种方法，我们都需要调整参数来改变双曲线的形状和尺寸。

在CAD软件中，通常可以通过调整参数来修改双曲线的椭圆参数a和b，从而获得所需的形状。

在绘制过程中，可以使用网格和辅助线来辅助位置和控制双曲线的形状。

此外，还可以使用一些额外的工具和功能来进一步完善双曲线的设计。

例如，可以在双曲线上添加文本或注释，以便更好地描述其属性和用途。

还可以使用渐变、填充或阴影效果来增强双曲线的视觉效果。

综上所述，CAD软件提供了多种方法来描绘双曲线。

在几何画板中，怎么画出反比例函数图象的一部分？画反比例图象可以事先设置函数的定义域，然后再绘制出函数的图象；但在制卷和编制课件的实际操作中往往是先绘制出软件所默认函数的图象，然后才根据页面的空间情况进行取舍，下面根据我在实际操作中所得介绍两种情况供各位参考，但愿能起到抛砖引玉的作用：问题1：怎样画反比例函数的函数图象一个分支的的一部分？方法一：绘制反比例函数图象（如：2y x=）→ 选定反比例函数图象（任意点选一个分支即可） → 右键 → 属性 → 绘图 → 范围输入数值（如下图输入的是..0606x 30≤≤） →确定即可.特别说明：在图象有箭头的情况下，鼠标置于图象的箭头端，此时会呈现一个“×”状，鼠标左键按住后还可以根据需要随意将图象拉长和缩短，最后在属性里把“显示箭头和端点”前面的“√”去掉，“隐去”箭头和端点.方法二：绘制反比例函数图象（如：2yx=）→ 用点工具在反比例函数图象标出两个点（如下面左图的B C 、点） → 分别选定点 → 右键 → 横坐标（如图的..B C x 064x 339==，） →按照方法一操作 … 范围输入数值（如下图输入的是..064x 339≤≤）→ 确定把点和标签隐藏（见下面右图）.也可以根据需要仿照方法一的特别说明进行拉伸.问题2：怎样“同时”画反比例函数图象各自的两个分支的部分图象，并且要使两个部分要关于原点成中心对称？按照问题1的方法先画好一个分支的部分（本例仍按问题1的方法来操作函数2yx=在第一象限的分支的部分） → 再画出一个同样的的反比例函数图象（如图在同一坐标系内再画一个同样的函数图象2yx=） → 右击刚画好的图象 → 在属性里改动自变量的取值范围（根据反比例函数图象两个分支的中心对称性可知B C 、的关于原点O 为中心对称的点为''B C 、，即..BC x 064x 339==，的关于原点的对称点坐标应为''..B C x 064x 339=-=-，，所以其相应的自变量的取值范围由..064x 339≤≤改写为..064x 339-≤≤- → 确定即可 →根据试卷和课件需要设置好线条的粗细、颜色等（见下面的右图）.郑宗平 2015/5/25• • • • • • • • • • • • ••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。

3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。

谢谢
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率； 定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的 准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与 圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程 F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
双曲线ppt
演讲人
一般的，双曲线（希腊语“Υπερβολία” ，字面意思是“超过”或“超出”）是定 义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固 定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距 离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一 般位于原点处。
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我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于 |F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做 双曲线。
即：||PF1|-|PF2||=2a
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点 的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。 对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近 线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支 反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下，渐近线是两个坐标轴。

第五单元《圆锥曲线》教案
一、创设情境
椭圆形状在生产生活中运用广泛，双曲线也是如此。

比如下图花瓶的外轮廓为双曲线形；在工业上，冷却塔的外形也是按照双曲线的形状进行设计，不仅占地面积小，而且便于通风，节约能源.
二、概念形成
1. 双曲线的图像绘制
类比椭圆图像的绘画过程，画出双曲线的图像. 具体操作流程如下：
(1)把一条两边长度不等的拉链的两端分别固定在F1，F2两个定点上(拉链两边的长度差要小于两定点之间的距离)
(2)取铅笔将笔尖固定在拉头处，拉开拉链，使得笔尖慢慢移动，画出一部分图形.
(3)再交换，将拉链两端位置分别固定在F2，F1两个定点处，重复上述画法可以画出另一部分图形.
2. 双曲线的概念
观察Geogebra的动态动画，描述动点和两个顶点之间的关系，得到双曲线的概念.
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这两方法吗？两个定点叫做
A.椭圆
B.两条射线
C.双曲线
D.线段
2. 设双曲线 (m>0)的焦距为12，则m=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.
已知双曲线的标准方程为 ，求焦点坐标和焦距. 五、课堂小结
x 2
2m −y 2
7m
=1 y 2144−x 2
25=1。

初三数学双曲线图像绘制与解析详解双曲线是数学中常见的一种曲线，它在初三数学中也是一个重要的内容。

本文将详细介绍初三数学中关于双曲线图像绘制与解析的知识。

让我们一起来了解吧！双曲线是由平面上一动点P到两个定点F1，F2的距离之差等于常数d所确定的轨迹。

在数学上，我们用双曲线方程来描述双曲线，其一般形式为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，a和b分别代表双曲线在x轴和y轴上的拟合程度，d代表定点之间的距离差。

现在，我们来详细了解绘制和解析双曲线的方法。

一、绘制双曲线图像要绘制双曲线图像，我们可以通过以下步骤进行：1. 确定焦点和顶点：根据双曲线方程，我们可以得到焦点F1和F2的坐标（a, 0）和（-a, 0），以及顶点的坐标（0, 0）。

2. 确定坐标轴和比例尺：根据双曲线的特点，我们可以选择合适的坐标轴和比例尺来绘制双曲线。

通常情况下，我们可以选择以焦点为中心的坐标轴，并根据实际需求确定比例尺。

3. 绘制双曲线曲线：根据给定的双曲线方程，我们可以将不同的点代入方程计算出它们的坐标，并在坐标轴上标出这些点。

将这些点连成一条曲线，就是所求的双曲线图像。

二、解析双曲线性质在初三数学中，我们不仅需要会绘制双曲线图像，还需要了解一些双曲线的性质。

下面我们来介绍几个常见的双曲线性质。

1. 双曲线的两支对称：根据双曲线方程，我们可以得知双曲线关于y轴对称，即曲线在y轴上是对称的，使得在绘制曲线时我们只需要画出其中一支即可。

2. 双曲线的渐近线：根据双曲线的方程，我们可以得到两条斜率分别为正负的渐近线，即曲线趋近于这两条直线。

对于双曲线方程为(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1的情况，其中的两条渐近线分别为直线y = b/a * x 和直线y = -b/a * x。

3. 双曲线的离心率：双曲线的离心率是一个重要的参数，用e表示。

它是双曲线焦点与顶点之间的距离与焦点到曲线的点之间的距离之比。

则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] 由双曲线的方程得 a＝1，c＝ 2，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2. 在△PF1F2 中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2| ＝22＋|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝4. [答案] B
5，＋∞ D. 3
[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝2a，由双曲 3
线上的点到焦点的最短距离为 c－a，可得2a≥c－a，解得c≤5， 即 e≤5，又双曲线的离心
3
a3
3
1，5 率 e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为 3 ，故选 B.
[答案] B
[解题技法]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
高中数学学科
(1)求 a，b，c 的值，由ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化成关 于 e 的方程(或不等式)求解． 2．求离心率的口诀归纳 离心率，不用愁，寻找等式消 b 求； 几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
＝0，则轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的 标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的 标准方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)．

题型二 双曲线的标准方程
【例2】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
（1）若双曲线经过P（ 6 ,2）,求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是2 13 ，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.
思维启迪 用定义法或待定系数法求方程.
解
方法一
由双曲线的渐近线方程y=±
2 3
解得ba
23或ba
3 9. 2
故所求双曲线方程为 x2 y2 1或 y2 4x2 1.
94
9 81
探究提高 待定系数法是求曲线方程最常用的方
法之一.
（1）与双曲线
x2 a2
y2 b2
1有共同渐近线的双曲
线方程可表示为
x2 a2
y2 b2
t(t 0).
（2）若双曲线的渐近线方程是y=±
2
，2）,∴
(3 2)2 a2
4 b2
1.
又∵a2+b2=（2 5）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为 x2 y2 1. 12 8
题型三 双曲线的性质 【例3】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一
双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2 13 ， 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率 之比为3∶7. （1）求这两曲线方程； （2）若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2 的值.
5.若m＞0,点
P
m,
5 2
在双曲线
x2 y2 1 上，则 45 13
点P到该双曲线左焦点的距离为 2 .
解析
P
m,
5 2
在双曲线 x2 y2 1上,且m＞0, 45
代入双曲线方程解得m=3,双曲线左焦点F1(-3,0),

5 y x 7
例2 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部 分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m, 上口半径为13m,下口半径为25m,高55m,选择适当 的坐标系,求出双曲线方程. y 13 建立如图直角坐标系,使小圆直径AA' C C 解: 12
/
在x 轴上,圆心与原点重合,这时上、下 口的直径CC'，BB'平行于x轴。
(c a ) x a y a (c a ) 2 2 x y 2 2 2 令c a b 得 2 2 1(a 0, b 0) a b
2 2 2 2 2 2 2 2
| MF | c P {M | } d a 2 2 ( x c) y c 2 a a | x | c
双曲线第二定义
定义：
准线方程：
离心率
8 2
6 18
|x|≥3
4 4
4
| x | 4 2
10 14
|y|≥5
4
2 ,0

|y|≥2
(±3,0) (0,±2) (0,±5)
10 ,0
6,0 3
3 2 e 4
0,2 2 0,
e 2
e
74
74 5

e 10
y=±3x
2 y x 4
y x
c e (e 1) a
y a, y a
B1 (0, a ), B2 (0, a )
c e (e 1) a
对称性 关于x轴，y轴，原点对称 关于x轴，y轴，原点对称
顶点 离心率
例３ 点M ( x, y)与定点F (c,0)的距离和它到定直线
a2 c l : x 的距离的比是常数 (c a 0), 求点M的轨迹方程. c a 如图，设d是点Ｍ到直线l的距离， 解： 依题意得点Ｍ的集合为

用三维建模方法画二维双曲线和抛物线大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线――也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。

当平面与圆锥的旋转轴垂直时，其交线为圆（见图1）；当平面与圆锥旋转轴间的夹角大于圆锥的半顶角（母线与旋转轴的夹角）且小于90º时，其交线为椭圆（见图2）；当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角（平面与圆锥顶点不共面）时，交线为抛物线（见图3）；当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且大于等于0º时，交线为双曲线（图4）。

Autocad 没有提供直接画出双曲线和抛物线的命令，但提供了足够的三维建模方法。

我们完全可以通过在三维空间建立一个理想的圆锥模型，使其与我们画图所用的二维平面（俯视图XY 平面）相交，来得到二维圆锥曲线。

一、双曲线的画法假设空间有一圆锥(见图5)，其顶点在),,(n m l ，半顶角为 ，旋转轴为通过顶点的Y 方 图1 图2 图3图4向(l x =且)，则其解析式为：2222)())()((*m y n z l x ctg -=-+-α与XY 平面)0(=z 相交，得到双曲线：2222)())((*m y n l x ctg -=+-α展开得：0**2**2*222222222=-+++--m n ctg l ctg my y x l ctg x ctg αααα该式可以表达为：022=++-+D Cy y Bx Ax （式中0>A ；0>D ）其中：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+==-==2222222**2*2m n ctg l ctg D m C l ctg B ctg A αααα 解之得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+==-==2224422A B A C A D n C m A Bl A ctg α …………①上式告诉我们：如果需要画一个解析式为022=++-+D Cy y Bx Ax （式中0>A ；0>D ）的双曲线，只要根据①式做（算）出αctg 和n m l 、、长度，在Autocad 三维空间图5建立一个顶点在),,(n m l 、半顶角为α，旋转轴为通过顶点的Y 方向(l x =且n z =)的圆锥实体，以经过原点的俯视图XY 平面剖切，得到实体的曲线边，就是我们要画的双曲线！例题一：求画双曲线05222=+-y x解：将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====5002D C B A 代入①可得： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====25002n m l ctg α 画图过程：1、 用line 命令画直线：从原点出发向45º方向长度为1；继续向135º方向长度为1；闭合。

§2.3.2 双曲线的简单几何性质 一
2.椭圆的图像与性质:
标 准 x2 y2 方 程 a2 b2 1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
顶点
关于X,Y轴, 原点对称
±a,0 , 0,±b
焦点
±c,0
A1 F1
长轴、
短轴 A1A2 ; B1B2
离心率
e c a
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
课堂新授
一、研究双曲线
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设
x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1 - a,0 ,A2 a,0
离心率 渐近线
e c (e 1) a
y b x a
A1 0,-a ,A2 0,a
e c (e 1) a
顶A 点 1 ( a ,0 )、 是 A 2 (a ,0 )
（2）线段 A 1 A 2 叫双曲线的实轴，长为2a，a为实半轴长；
线段B 1 B 2叫双曲线的虚轴，长为2b，b为虚半轴长 y
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线，即a=b

距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
F1
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
|MN接近于0 ，|MQ|也接近于0
就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于 射线ON.在其他象限内，也可类似证明。
我们把两条直线
y 叫做b双曲x线的渐近线。 a
特殊地，
在方程 x2 a2
y2 b2
1中，如果a=b,那么双曲线的方程为
x2 y2 a2 它的实轴和虚轴都是2a,
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1 o F2
(2)常数要小于|F1F2|大于0
0<2a<2c
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方，标程线？ 系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
罗兰导航系统原理
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

标准图
x
x
解题要旨 1、画图 2、函数与方程思想 3、数形结合思想 4、待定系数法 5、三角换元 6、平移变换
(焦点在 x 轴上) 1、范围 2、对称性 x≤-a，或 x≥a，y∈R x 轴与 y 轴是双曲线的对称轴 坐标原点 O 是对称中心 双曲线与对称轴的交点为顶点 （-a，0）（a，0） ， ，实轴长为 2a （0，-b）（0，b） ， ，虚轴长为 2b 焦点在实轴（x 轴）上
弦长公式
1 y1 y 2 ， k2 1 )[( y1 y 2 ) 2 4 y1 y 2 ] 2 k
AB = (1 k 2 )[( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 ] ， AB = (1
a2 c
a2 c
2
上准线： y
a2 c
基本量
五个基本量 a、b、c、e、p 为坐标变换不变量 关系为： a b c ； e
2 2
b2 c ；p c a
直线方程与椭圆方程联立组 成方程组， 通常消去 y 得到关 于 x 的一元二次方程， 再利用 韦达定理
AB = 1 k 2 x1 x 2 ， AB = 1
(焦点在 y 轴上) y≤-a，或 y≥a，x∈R x 轴与 y 轴是双曲线的对称轴 坐标原点 O 是对称中心 双曲线与对称轴的交点为顶点 （-a，0）（a，0） ， ，实轴长为 2a （0，-b）（0，b） ， ，虚轴长为 2b 焦点在实轴（y 轴）上 焦点三角形 1、面积为 b cot
2

2
3、顶点
6、焦半径
(ex0 a)
右焦半径
ex0 a
右焦半径
(ey0 a)
上焦半径
ey0 a

趣味数学——用折纸法画双曲线前面我们用了两篇文章的篇幅，分别介绍了用折纸法画抛物线，与用折纸法画椭圆，我们自然就会想到，能不能用折纸法画双曲线？这也是有可能的，前面两篇文章的内容是摘自中学生数学文库，今天这篇文章是我依据前面的内容而得。

用折纸法画双曲线的方法1：首先准备一张纸，在纸上画一个圆O，并在圆外取一点F。

2：采用和很类似画椭圆很类似的方法，开始折纸，将圆周折起一角，使得圆周过F点。

技术不行，图片画得有点歪，还请见谅，将就着看啦，哈哈。

我们显然知道，这样的折叠有很多方法，每一次折纸都有一条折痕，将这些折痕标记出来，反复进行不同的折纸，只要每一次让圆周过F点就行。

这样你就可以得到一系列折痕，你会发现，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓，可能会有朋友误认为是抛物线，因为这里得到的只有双曲线的一个分支。

接下来的事情就和前面一样，你只要画一条曲线，只要这条曲线与每一条折痕相切就OK啦！同样的，我们应该来证明，为何得到的曲线就是双曲线？折纸法画双曲线原理的证明下面的图就是我们的证明图，相信读过前面两篇文章的朋友已经很熟悉。

首先我们要知道的是，若以点F和点O为焦点，则可以做双曲线，这个双曲线当然不止一条。

做F点关于折痕对称的点M，根据对称性，M点一定在圆O上，连接MO并延长，交于折痕于P，这个P点就是焦点。

因为PF-PO=PM-PO=OM=r。

也就是说，P点到O点和到F点的距离之差是一个常数！而这正是双曲线的定义，所以P点在一条双曲线C上，另一方面，我们可以证明，折痕上除了P点，不会有其他的点满足这个条件，所以说折痕就是双曲线的切线，众多的切线将双曲线包围起来，就衬托出了双曲线的轮廓。

这正是我们折纸法画双曲线的原理所在。

和我们折纸法画椭圆不同，看我们图就知道，因为视野只是局限于圆内，所以有些折痕没能和我们的双曲线相切，事实上他们是相切与圆外的，所以各位在做实验的时候就可能会出现这种情况。

通过折纸法画椭圆和画双曲线，大家是否感觉两者的过程异常类似？两个唯一的不一样就是，椭圆的点F在圆内，而双曲线的点F在圆外，这正是二者不同之处。

授课题目3.2 双曲线选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长4 课时授课类型新授课教学提示本课以“广州塔”为例创设情境，帮助学生形成对双曲线的直观感受，然后通过一个实验展示了双曲线形成的过程，引导学生分析双曲线上的点所满足的几何条件，为建立双曲线的标准方程创造条件.然后，与椭圆标准方程的推导类比进行双曲线标准方程的推导，有理化过程学生课后自行完成，在类比介绍焦点在y 轴上的双曲线标准方程.最后，借助双曲线的图像，分别研究焦点不同坐标轴的双曲线的几何性质.教学目标知道双曲线的概念及形成过程，知道如何化简形成双曲线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据双曲线的方程说出双曲线的几何性质，能根据条件求出双曲线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.教学重点根据条件求双曲线的标准方程，根据标准方程分析双曲线的几何性质．教学难点双曲线标准方程的推导与化简．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑,广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？提出思考帮助问题学生分析形成情境引发双曲导入思考回答线形状的直观感受可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的讲解理解通过两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人实验们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？展示新知我们可以通过一个实验来完成.(1)取一条拉链,把它拉开分成两条，将其中一条剪短.把长的一条的端点固定在点F1 出，短的一条的端点固定在点F2 处；(2)将笔尖放在拉链锁扣M 处，随着拉链的拉开或闭说明思考画双曲线的过程，为建探索合，笔尖就画出一条曲线(图中右边的曲线)；(3)再把拉链短的一条的端点固定在点F1 处，长的一条的端点固定在点F2 处.类似地，笔尖可面出另一条曲线展示图形引发思考结合图形思考问题立双曲线的标准方程创造条(图中左边的曲线). 件拉链是不可伸缩的，笔尖以经过双曲线两焦点F1、F2 的直线为x 轴，以线段F1F2 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设M(x,y)为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，则焦点F1、F2 的坐标分别为(-c,0)、(c,0).又设双曲上的点M 与焦点的距离之差的绝对值为2a (a>0)，即||MF1|-|MF2||=2a，则有|MF1|-|MF2|=±2a.于是，有(x +c)2+y2-(x -c)2+y2=±2a，移项得(x +c)2+y2=(x -c)2+y2± 2a两边平方得(x +c)2+y2= (x -c)2+y2± 4a(x -c)2+y2+ 4a2整理得cx -a2=±a (x -c)2+y2，两边再平方，整理得a4 +c2x2=a2x2+a2c2+a2y2，移项并整理得(c2-a2 )x2-a2y2=a2 (c2-a2 ) .由双曲线的定义可知2c＞2a＞0，即 a ＞c ＞0 ，因此c2-a2> 0 .令c2-a2=b2 (b > 0) ，则上式可化为b2x2-a2y2=a2b2.两边同时除以a2b2，得x2-y2=1 (a＞0,b＞0).a2 b2方程称为双曲的标准方程.此时双曲线的焦点F1 和F2 在x 轴上，焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0).如图所示，以经过双曲线两焦点F1、F2 的直线为y 轴,线段F1F2 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系.类似地，可以求得双曲线的标准方程为y2-x2=1 (a＞0,b＞0).a2 b2此时双曲线的焦点F1 和F2 的坐标分别为(0,-c)、(0, c).图形结合引发讨论思考问题类比介绍焦点在y轴上的双曲线的标准方程例1 根据条件，求双曲线的标准方程.(1)焦点在x 轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6；(2)焦点为F1(0,-6)和F2(0,6)，双曲线上一点M 的坐标为(2,-5).解(1)由于2c=14，2a=6，故c=7，a=3，从而b²=c²- a²=40. 因为双曲线的焦点在x 轴上，故双曲线的标准方程为x2-y2=1；9 40(2)由双曲线的定义知，||MF1|-|MF2||=2a，即2a =(2 - 0)2 +(-5 + 6)2 -(2 - 0)2 +(-5 - 6)2，化简得2a = 4 5 ，即a = 2 5 .又因为c=6，所以b²= c²-a²=36-20=16.由题设可知，双曲线的焦点在y 轴上.因此，双曲线的标准方程为y2-x2=1.20 16例2 已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距.x2-y2=(1) 1；(2) x²-y²=-8.32 4 提问思考例 1 引导分析让学生理讲解解决解求强调交流双曲线的指导主动标准求解方程的关键是求出典型a²和例题b²例 3是求焦点解(1)因为含x 项的系数为正，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且a²=32，b²=4.于是有c²=a²+b²=32+4=36，从而可得c=6 ，2c=12．所以，双曲线分别为(-6,0)、(6,0)，焦距为12．(2)将双曲线的方程化成标准方程，为y2-y2=1 ．8 8因为含y 项的系数为正，所以双曲线的焦点在y 轴上，并且a²=8，b²=8.于是有c²=a²+b²=16，从而可得c=4，2c=8.所以，双曲线的焦点分别为(0,-4)、(0,4)，焦距为8.温馨提示要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程.然后，观察标准方程中含x 项与含y 项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上. 和焦距的问题，引导学生先将双曲线方程化为标准形式练习3.2.11. 根据条件，求双曲线的标准方程.(1)a=2、焦点在x 轴上，且分别为F1(-4,0)、F2 (4,0)；(2)b=3，焦点在y 轴上，且分别为F1(0,-5)、F2 (0,5).2.己知椭圆的焦距为2 13 ，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，求双曲线的标准方程.3.写出下列双曲线的焦点坐标和焦距.y2-x2=(1) 9x²-7y²=63；(2) 1.4 25x2 24.求证：双曲线-y=1 与椭圆9x²+25y²=225 的焦15点相同. 提问思考及时掌握学生巡视动手掌握巩固求解情况练习查漏补缺指导交流3.2.2 双曲线的几何性质前面，我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质. 那么，如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？提出思考提示情境导入问题引发思考分析回答学生与椭圆类比探索x2 y2下面以-=1 (a > 0，b > 0)为例．a2 b21.范围x2 y2 y2 将双曲线的标准方程化为-1 =. 因为≥0 ，a2 b2 b2x2 2 2所以双曲线上点的横坐标满足≥1 ，即x ≥a .于是有a2新知探索新知x≤-a 或x≥a.这说明，双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a 的右侧，如图所示.2.对称性类似于前面关于椭圆对称性的研究，借助于方程x2-y2=(>>)a2 b21 a 0，b 0 可以发现，双曲线关于x 轴、y 轴和坐标原点都是对称的.x 轴与y 轴都称为双曲线的对称轴,坐标原点称为双曲线的对称中心(简称中心).3.顶点令y=0，得到x=±a.因此，双曲线与x 轴有两个交点A1(-a,0) 和A2(a,0)(如图).双曲线与它的对称轴的两个交点A1 、A2 称为双曲线的顶点，线段A1A2 称为双曲线的实轴，它的长等于2a，a 是双曲线的实半轴长.令x=0，得到y²=-b²，这个方程没有实数解. 因此，双曲线与y 轴没有交点. 我们仍将点B1(0,-b)与B2(0,b)画在y轴上，如图所示.线段B1B2 称为双曲线的虚轴，它的长等于2b，b 是双曲线的虚半轴长.显然,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．4.渐近线经过点A1、A2 分别作y 轴的平行线x=-a，x=a,经过点B1、B2分别作x 轴的平行线y=-b，y=b. 这四条直线围成一个矩形，如图所示.矩形的两条对角线所在直线的方程为ybx .=±a观察右图可以看出，双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交，我们把这两条直线讲解说明展示讲解讲解说明展示讲解理解思考领会理解理解思考领会理解椭圆的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神．确定双曲线范围的目的是用描点法画图时可以不取范围x 2 y 2称为双曲线 - = 1 的渐近线.a 2 b2 借助双曲线的标准方程，可以更严格地描述渐进线的性质. 将双曲线的标准方程变为可以看到，当|x |无限增大时，y 的值无限接近于 b x 或 a - bx 的值. 这说明， 当|x |无限增大时， 双曲线与直线 ay = b x 或 y bx 无限接近(但不能相交). = -a a5.离心率 c 双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率， a 记作 e .即 e = c. a因为 c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率 e ＞1. 由b c 2 - a 2 c 2= = - 1 = e 2 - 1 a a a 2 可以看出，e 越 b 的值越大，从而渐近线 y b x大， = ± a a的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大.因此，离心率 e 反映了双曲线的“张口”大小.探究与发现为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？讲解 说明 展示 讲解 展示图片引发思考理解思考领会 理解感受图形特征讨论交流外的点，这为后续介绍画双曲线的大致曲线奠定基础在介绍顶点、实轴、虚轴的同时，要帮助学生理清a 、b 、c 在图形中的呈现体现数学知识的应用典型例题 例 3 求双曲线 4y ²-16x ²=64 实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.x 2 - y 2 = 解 将双曲线的方化为标准方程 1.由此可知，双16 4 曲线的焦点在 y 轴上，a ²=16，b ²=4，c ²=a ²+b ²=20.从而 a =4，b =2，c =2 5 .于是，双曲线的实轴长 2a =8，虚轴长 2b =4，焦点坐标提问引导 讲解强调 思考分析解决交流 强调先将双曲线化为标准方程， 规范为(0,-2 5 ) ， (0, 2 5 )，顶点坐标为(0,-4)、(0,4)，离心率 e = c = 5 ，渐近线方程为 y = ± b= ±2x . a 2 a例 4 求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1) 一个焦点的坐标为(10,0)，一条渐近线的方程为 3x -4y =0；(2) 焦距为 12,离心率为 3 .2解 (1) 由题设可知，双曲线的焦点在 x 轴上，渐近线的方 程为 y = 3x .4于是有⎧a 2 + b 2 = 100, ⎪ ⎨ b3⎪⎩a = 4 .解得⎧a 2 = 8, ⎨b = 6. ⎩ 因此，所求的双曲线的标准方程为x 2 - y 2 =1 ；64 36 (2)由已知条件可知 2c =12，因此 c =6.又e = c = 3， a 2 故 a =4，故 b ²= c ²-a ²=20.于是，当双曲线的焦点在 x 轴上时，所求双曲线的标x 2 - y 2 = 准方程为 1 .当双曲线的焦点在 y 轴上时，所求 16 20y 2 - x 2 = 双曲线的标准方程为 1 .16 20x 2 - y2 =例 5 用“描点法”画出双曲线 1 的图形.16 9分析 双曲线具有对称性,因此只需先画出双曲线在第一象限内的图形,然后对称性地画出全部图形.解 当 y ≥0 时，双曲线的方程可以变形为 y = 3 x 2-16 4(x ≤-4 或 x ≥4).在[4,+∞)上,选取几个整数作为 x 的值，计算出对应的 y 值，列表提问引导讲解强调提问引导 讲解强调思考分析解决交流思考分析解决交流解题步骤再次强调先确定双曲线的焦点位置，再求出a 2和b 2注重强化学生动手作图的能力，特别要介绍双 曲线以表中的x 值为横坐标,对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点得到双曲线在第一象限中的图形. 然后利用对称性，画出全部图形.温馨提示我们可以利用双曲线的顶点和渐近线，画出双曲线的大致图像.具体步骤如下：=16，得a=4，得到双曲线的两个顶点(1)由a²A1(-4,0)、A2(4,0)；=9，得b=3，得到双曲线的虚轴端点B1(0,-(2)由b²3)、B2(0,3) ；(3)作出由直线x=±4、y=±3 所围成的矩形,画出矩形两条对角线所在的直线,即双曲线的两条渐近线；(4)依据双曲线经过实轴端点，且逐渐接近渐近线这一特点，画出大致图像.例6 已知A、B 两个哨所相距1600m，在A 哨所听到炮弹爆炸声比在B 哨所晚3s.求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(声速为340 m/s).分析根据题意，由A、B 两处听到爆炸声的时间差可算出A、B 两处与爆炸点的距离差，它是一个定值. 因此，爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上，又因为爆炸点距离A 处比距离B 处远，所以爆炸点应在该双曲线中靠近B 处的一支上.解如图所示，建立平面直角坐标系，使A、B 两点在x 轴上，且坐标原点为线段AB 的中点.设爆炸点M 的坐标为(x,y)，则|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有=260100.2a=1020，a=510，a²因为|AB|=1600，所以2c=1600，c=800，=379900.-a²=c²b²又|MA|-|MB|=1020>0. 故爆炸点M 在双曲线的右支上，从而x≥510.因此，所求曲线方程为探究与发现能否用一根无弹性细绳、一把直尺、几颗图钉和一支笔画出双曲线？练习3.2.2。

第十章 双曲线的画法和性质一．双曲线的定义：1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．双曲线的标准方程：设M (x , y )是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的差的绝对值等于2a (c >a >0)，则 ||MF 1|－|MF 2||＝2a ,∴a y c x y c x 2)()(2222=+--++, 图10－1整理化简，并且设b 2＝c 2－a 2得双曲线的标准方程12222=-by a x . 3．双曲线的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca 2的距离的比是常数ac(c >a >0)，则点M 的轨迹是双曲线。

点F 是双曲线的一个焦点，直线l 是双曲线中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝ac(e >1)是双曲线的离心率。

图10－24．双曲线的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a , b >0)为半径作两个圆，|OA |＝a , |OB |＝b , 点P 是以a 为半径的圆上的一个点，点C 是OA 与半径为bd 圆的交点，过点C 作CN ⊥Ox ，交直线OP 于N ，过点N 作OX 轴的平行线，过点P 作PR ⊥OP ，交Ox 轴于R ，过点R作直线RM 交过点N 的x 轴的平行线于点M ，当点P 在圆上运动时，M 点的轨迹是双曲线。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OP 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|OR |＝|OP |se c φ＝a se c φ, y ＝|RM |＝|CN |＝|OC |t g φ＝bt g φ,∴ 双曲线的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=btg y a x sec (φ是参数).二．双曲线的画法： 画法1：图10－41．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段AB ，使|AB |＝2a ，(|AB |<|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|AB |；4．在AB 延长线上分别取C '，使|BC '|＝|A 1F 1|；在ABC '的延长线方向上作射线C 'C ，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'C 上作点C ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|BC |、|AC |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|AC |、|BC |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点C 、点P 1 (或点C 、点P 2 , 或点C 、点P 3, 或点C 、点P 3)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出双曲线。