北京大学2017年暑期学堂试题

2019年北京大学优秀中学生暑期学堂测试物理试题（一）选择题1．只考虑水滴和雨伞相对静止的情况，伞的边缘有水球甩出时（ ）． A ．在地面参考系中，水球飞出方向沿伞面切向 B ．在地面参考系中，水球飞出方向沿伞面法向 C ．在伞参考系中，水球飞出方向沿切向 D ．在伞参考系中，水球飞出方向不沿法向2．已知氮气分子的有效半径3.7×10-10 m ，则在常温常压时，每秒氮气分子与其他空气分子碰撞次数的数量级是（ ）． A ．1012 B ．109 C ．106 D ．1033．有一半径为R 的球形水滴，带电荷量为Q （将水视为导体），则球心处的电场强度为（ ）．A ．0B ．22kQ R C ．2kQ R D ．22kQR 4．将一玻璃板盖在工件上，利用劈尖状空气隙的薄膜干涉可以检测精密加工工件表面质量．使用单色光垂直照射，可通过显微镜看到干涉条纹，条纹的形状能够反映工件表面的缺陷，那么（ ）．A ．若待测工件表面有凸出的部分，干涉条纹会向下弯曲B ．若待测工件表面有凹陷的部分，干涉条纹会向下弯曲C ．按压玻璃板，条纹将向下移动D ．按压玻璃板，条纹将沿着平行于玻璃板与工件的交线的方向移动 （二）填空题5．一系外行星绕其中心恒星有如图1所示的运动轨道，那么，由点B 向点A 运动的过程中，该行星的势能_______，机械能_______．（填“变大”“变小”或“不变”）6．假设一团理想气体从同一点出发，如图2，经历a ，b ，c 三个过程，在三个过程中吸热量最多的是_______过程，三者的摩尔热容分别写为C a ，C b ，C c ，则其从大到小的排列是_______．7．有一半径为0.4 mm的水滴，我们将其视为球形导体，带电量为1.6 pC．令无穷远处电势为零，则该水滴的电势为_______；若有两个这样的水滴融合为一个新的球形水滴，则其电势为_______．9．有一束光，垂直穿过厚度为d的均匀介质后光强变为原来的12．则垂直穿过厚度为3d的同种介质后，光强变为原来的_______；若垂直穿过这种介质后光强变为原来的16，则此介质的厚度为_______d．（三）计算题9．如图3所示，在一竖直固定的光滑大圆环O上套有A，B两光滑小圆环，绳子如图3穿过小圆环，两质量已知为m的物块挂在绳的两端，另一物块挂在AB之间绳的中点C，质量设为m0，π3AOB∠=时，系统恰好处于平衡状态．（1）请计算出m0的大小；（2）现将A，B两环固定于大圆环上，试论证这个平衡状态是否稳定．10．有如图4所示的电阻网络，从1，2两个节点分别通入电流I1，I2，已知电阻大小R1，R2，R3，请求出节点间的电压U21，U23，U31．11．如图5所示，凸透镜的焦距为f ，物体由距离透镜x ＝3f 处A 移动至x ＝1.5f 处B ．（1）设物体与其像之间的距离为D ，求D 的变化规律； （2）若物体以u 的恒定速度移动，求像的速度v ．12．杜瓦瓶，类似于保温杯，由内外两层构成，两层之间为真空腔．好的杜瓦瓶热损失的主要方式是热辐射．为了改善杜瓦瓶的性能，常在两层瓶壁之间加一层反射膜，其反射系数R 定义为反射能量与入射能量的比值．我们将加有反射膜的杜瓦瓶简化为中间夹有一块无限大反射膜的两块无限大黑体平面．瓶内盛有温度为4.2 K 的液氮，瓶外为300 K 室温，反射率R ＝95%．（1）求平衡状态下，加了反射膜后的净热流密度J ′与不加反射膜时的净热流密度J 之比；（2）求平衡状态下反射膜的温度．（注：热流密度J 定义为物体表面单位面积的辐射功率，对于黑体而言，J ＝σT 4，σ＝5.67×10-2W ·m -2·K -4，为斯忒藩-玻尔兹曼常数．） 答案：1．A 在地面参考系中，水球飞出方向沿伞面切向．在伞参考系中，水球飞出的方向沿伞面法向，飞出瞬间与伞相对静止．2．B 碰撞次数＝单位时间走过的体积×单位体积内的分子数＝分子横截面积×运动速度×单位体积内的分子数29π410kT P r m kT≈≈⨯． 3．A 电荷量均匀分布在球的外表面，因此均匀带电球壳内部的电场强度为零． 4．B 同一条纹上的各点处空气厚度一致．5．变小；不变 两天体构成万有引力系统，机械能守恒．6．b ；C c ；C b ；C a 考虑内能变化、做功、吸热以及热容的计算． 7．36 V ，57 V 电势一个水滴36V Kqr=，两水滴合成后，带电量为2q ，半径为32r ，则电势为257V 32Kq r=．8．18，2.58 每经过d 的厚度光强减半，121log 2.586=．9．（1）绳上每一点的张力相等，同时，对于小圆环、m 物块、m 0物块可分别列出受力平衡方程．小圆环切向受力平衡，圆环两侧绳与法向的夹角相等，皆为π6，即2π3ACB ∠=． m 的受力平衡：绳上张力T ＝mg ．m 0的受力平衡0π2cos 3m g T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可以得到m ＝m 0．（2）如图1所示，我们取BC 段绳为研究对象，设其长度为x ，BD 垂直CD 于D ，设CD 长度为y ，BD 长度为l ，则有220d lim d x y y x x x x yx l ∆→∆===∆−若中间物块下降∆y 的距离，BC 段绳将对应地伸长∆x ，由于绳长固定，两侧的m 物块将上升∆x 的距离，∆y 与∆x 的在∆x →0时的关系如上式所示．我们给系统一个∆x ＞0的扰动，两侧物块上升，中间物块下降，由几何关系可知在扰动后2x y <，因此2yx∆<∆，系统的势能变化量为 ∆E P ＝2m ∆x -m 0∆y ＝-m (∆y -2∆x )＞0给系统一个∆x ＜0的扰动，两侧物块下降，中间物块上升，由几何关系可知在扰动后2x y >，因此2y x∆>∆，系统的势能变化量为 ∆E P ＝2m ∆x -m 0∆y ＝m (|∆y |-2|∆x |)＞0可见该平衡位置为稳定平衡．10．将流经R 3的电流设为I 3，正方向为从1到2，则流经R 2至3的电流为I 1-I 3，流经R 1至3的电流为I 2+I 3，由基尔霍夫回路定律可知I 3R 3+(I 2+I 3)R 1+(I 3-I 1)R 2＝0解得12213123I R I R I R R R −=++由欧姆定律可得211232133123()I R I R R U I R R R R −=−=++122112323121123))((I R I R R U I I R I R R R R −=+=+++122123113212123))((I R I R R U I I R I R R R R −=−−=−++11．（1）物距x 由3f 处移至1.5f 处过程中，始终成实像，设像距为y ，根据凸透镜成像公式得111x y f+= 得 xfy x f =−得 2x D x y x f=+=−解D (x )一阶驻点2d ()(2)0d ()D x x x f x x f −==− 得x (1)＝2f ，根据x ∈[1.5f ，3f ]，舍去x (1)＝0 当x ＜x (1)时，d ()0d D x x <；当x ＞x (1)时，d ()0d D x x>得x (1)＝2f 是D (x )的最小值点． 因此，物体由距离x ＝3f 处移动至x ＝1.5f 处的过程中，D 先减小后增大． （2）由xfy x f=−，可知22d /d d d /d d ()v y t y xf f u x t x x fx f '⎛⎫====⎪−−⎝⎭22()uf v x f =− 12．（1）室温T 0＝300 K ，液氮温度T N ＝4.2 K ，在加反射膜之前，净热流密度为440N )(J T T σ=−在加了反射膜之后，设反射膜单侧的辐射热流密度为P ，则杜瓦瓶整体的净热流密度为440N (1)(1)J R T P P R T σσ'=−−=−−解得440N 1)()(2R T T P σ−+=440N (1)()2R T T J σ−−'=(1) 2.5%2J R J '−== （2）设反射膜的温度为T ，由斯忒藩-玻尔兹曼定律可知：P ＝σT 4，已经解出440N 1)()(2R T T P σ−+=于是有T ＝119.3 K ．。

2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题参考答案2．由题意知b−a=c−b= (c−a)/2，所以()2c a====-是等差数列．3．对题中不等式整理得2x2−2(a+b)x+(a2+b2−c)⩾0,此不等式恒成立当且仅当对应判别式Δ=4(a+b)2−8(a2+b2−c)=4[2c−(a−b)2]⩽0,等价于2c⩽(a−b)2，命题得证．222112z z z z z z++=因为12(1)z z a i=-，所以12(1)z z a i=+，代入上面的式子得22-2z z a=．于是有其中λ=1时为双曲线，λ=0时为渐近线．设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则有22112222222211x ya bx ya b⎛-=-=⎝两式相减得1212121222()()()()x x x x y y y ya b-+-+-=同样有3434343422()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-= 因为A,B,C,D 四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时，由双曲线的对称性得AC=BD ；当此直线的斜率k 存在且不为零时，有2341221234y y y y b x x x x a k++==++ 即AB 的中点与CD 的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有AC=BD ． 事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到．6．显然当α+β=π/2时，等式成立；由已知条件知sin 2α+sin 2β=sin αcos β+cos αsin β ,整理得sin α(sin α−cos β)=sin β(cos α−sin β).若α+β≠π/2，则有sin α−cos β与cos α−sin β同号．若它们同为正，则有sin α>cos β=sin(π/2−β),cos α=sin(π/2−α)>sin β,从而有α>π/2−β, π/2−α>β,无解；若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾．综上，α+β=π/2．S △ADE =xyS △ABC =xy, S △BCE =(1−y)S △ABC =1−y,所以有S △BDE =1−xy −(1−y)=y(1−x).从而有318(1)()327BDF BDE z y x S zS zy x ∆∆++-==-≤= 当y=z=1−x 时，即x=1/3,y=z=2/3时等号成立，此时△BDF 的面积有最大值8/27。

小暑假课堂清华暑期学堂（综合营）是什么？北大清华夏令营最初指的是北京大学的全国优秀中学生体验营（优秀中学生暑期学堂）和清华暑期学校，后续又出现了北大、清华各个具体专业单独的夏令营。

这两个夏令营人数最多，且不分专业，因此又被称为综合营，是北大清华官方举办的优秀中学生夏令营。

招生范围：高二升高三的学生。

入围方式：高校向中学分配名额（邀请码），名额根据中学在近年的高考、自主招生和竞赛中的成绩确定。

选拔资格：学生在高中的年级排名。

优惠资格：北京大学博雅计划初审『通过』评级；清华大学领军计划初审『通过』『良好』评级。

竞争方式：本省竞争、文理分开竞争。

申请流程上，所有学生都是由清北官方分配给中学的名额，虽然还是要自己上网申请，但会有学校的校荐码。

一般各中学名额都为个位数，并不会太多。

综合营一般持续时间5-7天。

在营期间，高校会安排讲座、活动、交流会、考试等活动。

讲座一般是由教授介绍院系情况或者本学科的前沿知识，例如每年都给暑期学校学生开讲座的施一公教授。

当然，听听讲座、做做游戏、喂喂猫肯定不是高校大老远地把学生圈过来的目的，关键还是争取优惠资格。

切记，能否取得优惠只与考试成绩有关，“紫荆学员”不等于“优秀营员”。

在北大体验营考试中取得好成绩的，能够获得博雅计划初审通过的评级，之后报名博雅计划便能获得笔试和面试的考试资格。

清华的暑期学校取得好成绩的，清华暑期学校给定的评级分为通过和良好两档，『通过』意味着获得领军计划的笔试资格，『良好』意味着笔试和面试的资格。

在考试科目上具体如下：数学：数学难度向自招看齐（高于高考低于竞赛），是区分度较大的三个科目之一。

文理区别不大，理科生不熟悉的特征根、不动点、高阶三角函数化简，文科生根本没学过的排列组合，都需要学生进行额外的学习。

语文：北大考察语文的方式、题型、内容上与高考均有区别（例如大段文言加标点和翻译、古汉语知识），最好的准备方法就是刷往年自招的原题。

清华考察语文以长难阅读为主。

北大优秀中学生暑期学堂试题化学一、单选题（每题3分共60分）1．下列化学用语正确的是()A．镁离子：Mg B．氯原子：Cl2C．S原子的结构示意图：D．CO2的电子式为2．下列物质肯定不含离子键的是()A．氧化物B．酸C．盐D．碱3．下列分子中含有的电子数目与HF相同，且只有两个极性共价键的是（）A．CO2 B．N2O C．H2O D．CH44．下列物质中，既含有极性共价键又含有非极性共价键的是A．NH4Cl B．Na2O2C．H2O2 D．CH45．下列各原子的电子式不正确的是（）A．钠原子B．氢原子C．氮原子D．氯原子6．下列物质中，有离子键的是()A．N2 B．CH4 C．NaCl D．HCl7．《本草纲目》中的“石碱”条目下写道：“采蒿蓼之属，晒干烧灰，以水淋汁，久则凝淀如石，浣衣发面，亦去垢发面。

”下列说法错误的是（）A．“石碱”中含有离子键B．“石碱”中含有非极性共价键C．“石碱”是离子化合物D．“石碱”中含有极性共价键8．关于化学反应的实质的说法不正确的是A．化学反应都有新物质生成B．化学反应都有能量变化C．化学反应是旧键断裂新键生成的过程D．化学反应的发生都需要在一定条件下9．下列叙述正确的是（）A．离子化合物一定不含共价键B．共价化合物中一定不含有离子键C．气态单质的分子中一定存在共价键D．非金属元素的化合物中一定不含离子键10．下列说法正确的是()A．同主族元素简单气态氢化物从上到下，其沸点逐渐升高B．非金属单质中一定存在共价键，离子化合物中可能存在共价键C．共价键不可能存在于离子化合物中，由非金属元素组成的化合物中一定不存在离子键D．含有阴离子的物质一定含有阳离子11．下列有关化学用语的表示错误的是A．次氯酸的电子式为B．R2＋有a个电子、b个中子，R的原子符号为C．用电子式表示CaCl2的形成过程为D．Na＋的结构示意图为12．下列分子的电子式书写正确的是（）A．氨气B．氮气C．四氯化碳D．二氧化碳13．下列观点正确的是（）A．含有离子键的物质一定是离子化合物B．同素异形体之间的转化是物理变化C．含有共价键的物质一定是共价化合物D．常温常压下为气态的物质，其微粒间一定存在共价键14．下列物质中，含有离子键的是()A．H2O B．NH3 C．N2 D．NH4Cl15．氧元素是地壳中含量最多的元素。

高2017级数学理科暑假试卷二一、单选题1．已知20191z i =-，则2z i +=（ ） AB ．C ．2 D2．在极坐标系中,点(2,)π6A 与(2,)6πB -之间的距离为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．双曲线2219y x -=的渐近线的斜率是( )A ．19± B ．13± C ．3±D ．9±4．圆sin )ρθθ=+的圆心坐标是（ ）A ．1,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．4π⎫⎪⎭D ．,24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．设随机变量ξ服从正态分布()1,4N ，且()20.3P ξ>=，则()01P ξ<<=（ ） A ．0.15 B ．0.2 C ．0.4 D ．0.7 6．若曲线3()ln f x x a x =-在点)(1,(1)f 处的切线与直线30x y +-=平行，则实数a =（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．47．已知离散型随机变量X 服从二项分布()~6,X B p ，且()1E X =，则()D X = （ ）A ．13B ．12C ．23D ．568．从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的概率为( ) A ．1724B ．715C ．49120D ．7309．用数学归纳法证明 “ (n ∈N *，n ＞1)”时由n ＝k(k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时左边应增加的项数是( )A ．k ＋1B ．kC ．2kD ．2k ＋110．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若3FP FQ +=0，则OPQ ∆的面积为( )A．3B C ．3D ．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为A ．9(0,]5B ．C ．D ．1(312．已知()f x 的定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ） A ．()0,1 B ．()2,+∞ C ．()1,2 D ．()1,+∞ 二、填空题13．52(1)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是_________(用数字作答)14．将三位老师分配到4所学校实施精准帮扶，若每位老师只去一所学校，每所学校最多去2人，则不同的分配方法有_____________ 种（用数字作答）.15．已知圆锥曲线的一个焦点坐标为，则该圆锥曲线的离心率为 .16．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线1,x t y a t =+⎧⎨=-⎩(t为参数)被曲线4cos ρθ=-截得的弦长为a 的值为___三、解答题17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： （1）抛物线的焦点是椭圆的上顶点；（2）椭圆的焦距是8，离心率等于．18．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为34．现有10件产品，其中7件是一等品，3件是二等品.（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率； （2）随机选取3件产品，（i ）记一等品的件数为X ，求X 的分布列； （ii ）求这三件产品都不能通过检测的概率．19．小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择（1）能否据此判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？（2）用以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校所有女生（该校女生超过1200人）中随机选5名女生，记5名女生选做几何题的人数为X，求X的数学期望()E X和方差()D X.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.20．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>），一个焦点在直线4y=-上，直线l与椭圆交于P Q，两点，其中直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k。

2017北大博雅试题及答案（2017北大博雅）01、空间直角坐标系中，六个完全相同、均匀带电的正方形绝缘平板构成一个正方体，其中心O 位于坐标原点，各棱方向与坐标轴平等，记与z 轴平行的棱的中点为A ，正方体与x 轴的交点为B ，则A 、B 、C 三点的电场强度 DA 、全部为0B 、全部不为0C 、有两个满足至少在两个方向上的分量不为0D 、有一个满足恰好在两个方向上的分量不为0解：答案：D根据对称性，O 点的电场为零。

A 点的电场Z 分量为零，但X 、Y 分量不等于零。

B 点的电场只有X 分量。

（2017北大博雅）02、如图，用轻绳悬挂一带电小球A ，绳长为L ，小球质量为m ，现将一无穷远处的相同小球B 移到图示位置，原小球偏转角度为θ，求移动小球过程中外力做的功解：答案：)cos 1(3θ-=mg W如图位置处于平衡222sin2(2sin )2kq F mg l θθ==电势能的增量 221E 4sin 2(1cos )22sin2P kq mg mgl l θθθ∆===-重力势能的增量 2E (1cos )P mgl θ∆=-则，外力做功12W E E 3(1cos )P P mgl θ=∆+∆=-（2017北大博雅）03、如图，有一等腰三棱镜，底角为θ，从侧面沿平行于底边的方向射入一光束，其折射后在底面发生全反射并从另一个侧面射出。

已知三棱镜的材料的折射率为2，求θ满足的条件。

解：第一次折射。

入射角0190i θ=-折射定律 11sin sin i n r =解得1cos arcsin2r θ=光线在底面发生全反射的临界角C 与折射率n 的关系 1sin C n =解得 045C = 发生全反射的条件是21i r θ=+大于临界角C ，则有0452cos arcsin>+θθ（2017北大博雅）04、长度分别为L 1和L 2的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为m 1和m 2的两个小球，处于静止状态，如图所示，中间小球突然受到一水平方向的冲击力，瞬间获得水平向右的速度v ，求此时两绳中的拉力。

清华大学暑期学校测试真题1. 已知()()()221ax f x =+b,g x =f x x c-+，其中a ，b ，c 为已知参数，且a≠0，c>0。

则以下判断中正确的有______。

①f(x)关于点(0，b )成中心对称； ①f(x)可能在(0，+∞)上单调递增； ①f(x)有界；①g(x)=0的解可能为{±1，±2}【解答】① 函数f(x)的定义域为R ，且()()2f x +f -x b =， 于是函数f(x)关于(0，b)中心对称，命题正确。

① 当x > 0时，有()a f x b c x x=++，①①，±2而(f 7722.情形二1a ≠ 0，则n a ≠0(n①N*)，根据题意，111(1)n nn n a a +-+=-， 于是1111n n a a -=-， 因此1111n a n a =+-，于是，*11,a k N k≠-∈。

综上所述，1a 的取值范围是*1|,N R x x k x k ⎧⎫≠-∈∈⎨⎬⎩⎭，3. 已知()2221f x =x x a --+，若存在0x ，使得(){}00[,2]|0x x x f x +⊆≤，则a 的取值范围是______。

4. 上，5. 2P于是104c c a ≥-> 解得314c a <≤因此双曲线的离心率的取值范围是31,4⎛⎤ ⎥⎝⎦，6. 曲线C 3=，以下判断中正确的有______。

①曲线C 过点(0，0)；①曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2] ①曲线C 关于x 轴对称；①P 为曲线C 上的动点，A ，B 的坐标为(0，1)和(0，-1)，则①PAB 的面积的最大值为32【解答】记(),f x y =①①是2-①①7. 且设在114334S -ABC V =ABH SC ⋅⋅=⋅=8. 已知一个四棱锥的三视图如下，该四棱锥的四个侧面中，则直角三角形的个数为______。

2020年北京海淀区北京大学自主招生文科数学试卷（暑期学堂）-学
生用卷
一、解答题（本大题共5小题）
1、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生文科（暑期学堂）第1题
已知正整数a，b，n满足a!+b!=5n，求a，b，n．
2、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生文科（暑期学堂）第1题
证明：双曲线的切线与渐近线的交点与双曲线的两个焦点四点共圆．
3、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生文科（暑期学堂）第3题
判断函数f(x)=sin⁡x+sin⁡(√2x)是否为周期函数，如果是，求出最小正周期；如果不是，请说明理由．
4、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生文科（暑期学堂）第4题
2020年北京海淀区北京大学自主招生理科（暑期学堂）第2题
在4×4方格表中，将若干格子染成黑色，求每行每列均恰有2个黑色格子的方法数．
5、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生文科（暑期学堂）第5题
对于任意的正整数k，证明：存在无穷个正整数n为k的倍数，在十进制条件下，n的最左四位为2020．
1 、【答案】a=1，b=4，n=2．
;
2 、【答案】证明见解析．
;
3 、【答案】不是，证明见解析．
;
4 、【答案】90．
;
5 、【答案】证明见解析．;。

2010年北京大学优秀中学生夏令营试题2010年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2011年北京大学优秀中学生夏令营试题2011年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2012年北京大学优秀中学生夏令营试题2012年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2013年北京大学暑期体验营数学试题2013年北京大学暑期体验营数学试题参考解答5、最小的短信条数总数为2n−2。

对每个人而言，至少需要对外发一条短信告知自己的信息，共n条．而这n条短信至多只能让2个人获得所有信息，此时还需要n−2条短信去通知剩余的同学，于是短信总数不少于2n−2。

另一方面，n−1名同学都将信息发送给最后一名同学，然后由这名同学再给n−1名同学回复，就可以用2n−2条短信完成任务。

综上，最小的短信条数总数为2n−2。

2014年北京大学秋令营数学试题2014年11月14日18:30—22:301、已知△ABC 满足AB+AC=2R ，其中R 是外接圆的半径，且∠A 为钝角；A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D ，若△ABD 的内切圆半径为1，求△ADC 的内切圆半径。

2、证明：若a,b 是正整数，则()()()()22222323a b a b ++-+不是完全平方数。

3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数，求证：2221111a b c ++≤ 4、令求所有的正整数n ，使得f(n)是素数5、对正整数n ，称正整数组（12s ，，...λλλ）为n 的一个（无序的）分拆，如果12s ++...+=n λλλ，12s ...0λλλ≥≥≥>并称每个i λ为分拆的项。

计0()P n 为项全为奇数的n 分拆的集合，()d P n 为项两两不等的n 的分拆的集合，试在0()P n 与()d P n 之间建立一个双射。

6、设d 是一个大于100的整数，M 是所有在十进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合，a n 是将M 中的数从小到大排列后的第n 个数，求证：存在无穷多个n ，使得n a nd ->【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1（因为AB=AC 时答案是1），然后只需证ABD 和ACD 的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD 和ACD 的内角可以用C 、B 表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A 是钝角可以由AB+AC=2R 推出，所以是多余的条件。

2017北大博雅试题及答案
（2017北大博雅）01、空间直角坐标系中，六个完全相同、均匀带电的正方形绝缘平板构成一个正方体，其中心O位于坐标原点，各棱方向与坐标轴平等，记与z轴平行的棱的中点为A，正方体与x轴的交点为B，则A、B、C三点的电场强度 D
A、全部为0
B、全部不为0
C、有两个满足至少在两个方向上的分量不为0
D、有一个满足恰好在两个方向上的分量不为0
（2017北大博雅）02、如图，用轻绳悬挂一带电小球A，绳长为L，小球质量为m，现将一无穷远处的相同小球B移到图示位置，原小球偏转角度为θ，求移动小球过程中外力做的功
（2017北大博雅）03、如图，有一等腰三棱镜，底角为θ，从侧面沿平行于底边的方向射入一光束，其折射后在底面发生全反射并从另一个侧面射出。

已知三棱镜的材料的折射
率为2，求θ满足的条件。

（2017北大博雅）04、长度分别为L1和L2的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为m1和m2的两个小球，处于静止状态，如图所示，中间小球突然受到一水平方向的冲击力，瞬间获得水平向右的速度v，求此时两绳中的拉力。

（2017北大博雅）05、一平行板电容器，面积为S，板间距为d，与电动势为U的恒定电源串联，现将一厚度为d，面积为S、相对介电常数为ε的电介质插入极板之间，求该过程中外力做的功。

（2017北大博雅）06、如图，真空中有四块完全相同且彼此相近的大金属板A、B、C、D平行放置，表面涂黑（可看成黑体），最外侧两块板的热力学温度各维持T1和T4，且T1>T4。

当达到热稳定时，求B板的温度。

北大暑期学堂英语试题1、--Do you know _______ girl with long curly hair?--Yes. She is Mary. She plays _______ piano very well. [单选题] *A. a; /B. the; /C. the; the(正确答案)D. a; the2、How can I _______ the nearest supermarket? [单选题] *A. get offB. get upC. get to(正确答案)D. get on3、Catherine has two cousins. One is quiet, and _______ is noisy. [单选题] *A. anotherB. the other(正确答案)C. othersD. other4、So many people will _______ to their work after the Spring Festival. [单选题] *A. get inB. get onC. get offD. get back(正确答案)5、“I think you are wonderful,”she said, “You are so patient with your little George.”[单选题] *A. 耐心(正确答案)B. 细心C. 关心D. 偏心6、You can borrow my book, _____ you promise to give it back to me by the end of this month. [单选题] *A.even ifB. as long as(正确答案)C. in caseD. even though7、She found her wallet（）she lost it. [单选题] *A. where(正确答案)B. whenC. in whichD.that8、He has made a lot of films, but ____ good ones. [单选题] *A. anyB. someC. few(正确答案)D. many9、80．Thousands of ________ from other countries visit the village every year. [单选题] * A．robotsB．postcardsC．tourists(正确答案)D．bridges10、_____ the plan carefully,he rejected it. [单选题] *A. To have consideredB.To considerC. Having considered(正确答案)D. Considering11、—When are you going to Hainan Island for a holiday? —______ the morning of 1st May.（）[单选题] *A. InB. AtC. On(正确答案)D. For12、Our school is beautiful. How about _______? [单选题] *A. theirs(正确答案)B. theirC. theyD. them13、--Is that the correct spelling?--I don’t know. You can _______ in a dictionary [单选题] *A. look up itB. look it forC. look it up(正确答案)D. look for it14、Tony can _______ the guitar.Now he _______ the guitar. [单选题] *A. play; plays(正确答案)B. playing; playingC. plays; is playingD. play; is playing15、4．—Let's fly a kite when you are ________ at the weekend.—Good idea. [单选题] * A．warmB．kindC．smallD．free(正确答案)16、A brown bear escaped from the zoo, which was a（）to everyone in the town. [单选题] *A. HarmB. violenceC. hurtD. threat(正确答案)17、There _____ wrong with my radio. [单选题] *A. are somethingB. are anythingC. is anythingD. is something(正确答案)18、72．—? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??—Yes, please. I want a sweater. [单选题] *A．How muchB．Can I help you(正确答案)C．Excuse meD．What will you take19、If you do the same thing for a long time, you'll be tired of it. [单选题] *A. 试图B. 努力C. 厌倦(正确答案)D. 熟练20、—Mum, could you buy a schoolbag ______ me when you go shopping?—No problem.（）[单选题] *A. ofB. toC. inD. for(正确答案)21、My brother often does ______ homework first after school.（）[单选题] *A. heB. his(正确答案)C. sheD. her22、The students _____ outdoors when the visitors arrived. [单选题] *A. were playing(正确答案)B. have playedC. would playD. could play23、I haven’t met him _____ the last committee meeting. [单选题] *A. forB. since(正确答案)C. atD. before24、His handwriting is better than _____. [单选题] *A. mine(正确答案)B. myC. ID. me25、Helen is new here, so we know _______ about her. [单选题] *A. somethingB. anythingC. everythingD. nothing(正确答案)26、—Where did you get the book?—From my friend. I ______ it three days ago. （）[单选题] *A. lentB. borrowed(正确答案)C. keptD. returned27、37．—What will you be ___________?—I'm not sure. Maybe I'll be a doctor like my father. [单选题] *A．right nowB．in the future(正确答案)C．at onceD．at the moment28、John will go home as soon as he _______ his work. [单选题] *A. finishB. will finishC. finishedD. finishes(正确答案)29、You have failed two tests. You’d better start working harder, ____ you won’t pass the course. [单选题] *A. andB. soC. butD. or(正确答案)30、Tom’s mother will let him _______ traveling if he comes back?in five days. [单选题] *A. to goB. goesC. wentD. go(正确答案)。

2017 年北京大学优异中学生暑期讲堂文化测评数学试题2017 年 8 月 22 日，北京大学优异中学生暑期讲堂文化测评在北京大学举行，来自全国各地的优异高三同学经历了上午 3 个小时的语数外测试，下午2个小时的物理化学测试，以及一个小时的学习能力测评。

以下为数学试题及参照解答。

1、在 ABC 中，求证： cosA+cosB+cosC>1
2、务实数 a，使得方程ax2-2x+2a 2 -4=0 的解均为整数。

1
3、数列中，能否存在2017个数，使其为等差数列。

n
4、为整系数方程x2ax b0 的无理根，求证：存在C0>0，使得随意互
质正整数 p, q, 知足
p C0 -
q2 q
5、已知正数 a,b,c 知足 abc 1
，求证：ab 2
1
bc 2ca21 2a3b3 1 c31
参照解答。

北京大学年暑期学校测试真题本文档包含了北京大学年暑期学校测试的真实题目，以供学生练和参考。

以下是一些样例题目：英语选择题1. What is the main idea of the passage?- A. The benefits of exercise- B. The history of professional sports- C. The importance of a healthy diet- D. The relationship between exercise and diet2. Which word is a synonym for "charismatic"?- A. Boring- B. Charming- C. Greedy- D. Shy数学计算题3. If x = 5 and y = 3, what is the value of 2x - y + 4?- A. 3- B. 7- C. 9- D. 134. If a rectangle has a length of 8 meters and a width of 5 meters, what is its area?- A. 13 square meters- B. 25 square meters- C. 40 square meters- D. 48 square meters逻辑推理题5. All cats have fur. Fluffy is a cat. Therefore, Fluffy has fur.- A. True- B. False6. Some trees are tall. All tall things are green. Therefore, some trees are green.- A. True- B. False请注意，以上题目仅为样例，不保证与实际测试题目相同。