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统计（二）一周强化一、一周知识概述本周主要学习了用样本的数字特征估计总体的数字特征以及变量间的相关关系．首先介绍了利用频率分布直方图估计总体众数、总体中位数和总体平均数的方法，其次学习了利用样本标准差来描述样本数据的离散程度．在变量间的相关关系中，要了解本节知识和其他数学知识之间的相关关系，从总体上把握研究变量之间关系的基本方法，体会利用线性回归方程解决实际问题的全过程以及对所得结论的正确理解．二、重难点知识归纳1、用样本的数字特征估计总体的数字特征利用样本数据或频率分布直方图来估计数字特征的利弊：①通过频率分布直方图的估计精确低；②通过频率分布直方图的估计结果与数据分组有关；③在不能得到样本数据，只能得到频率分布直方图的情况下，也可以估计总体特征．2、标准差标准差是考察样本数据的分散程度的大小最常用的统计量．标准差的计算公式：当一组数据较大时，可用新数据法求方差：x1，x2，…，x n是已知的原n个数据，a是接近平均数的一个常数．3、变量间的相关关系（1）相关关系相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．（2）一般地，设x 与y 具有相关关系的两个变量，且相应于n 组观测值的n 个点（x i ，y i ），i=1，2，…，n 大致分布在一条直线的附近，求在整体上与这n 个点最近的一条直线．设所求直线的方程为：=bx ＋a ①，其中a 、b 是待定的参数当方程①叫做回归直线方程，相应的直线叫做回归直线．（3）在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以做出如下判断：①如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系． ③如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．（4）正相关和负相关正相关指的是两个变量有相同的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变大，这在散点图上的反映就是散点的分布在斜率大于0的直线附近；负相关指的是两个变量有相反的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变小，这在散点图上的反映就是散点的分布在斜率小于0的直线附近．三、典型例题剖析例1、某校高一年级共10个班，今有数学科、英语科参加全市知识竞赛的成绩统计，数学科各班上线人数为12，13，14，15，10，16，13，11，15，11，英语科各班上线人数为11，16，17，14，13，19，6，8，10，16．试问数学、英语这两个学科，哪个学科集体备课开展得好？解析：，由，说明它们的平均水平一样；又又得，这说明英语学科各班成绩波动较大．反映了数学组集体备课开展的好一些，应给予表扬．例2、要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩（如下表）：（1）画出散点图；（3）求出回归方程；（4）若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩.解析：（1）入学成绩（x）与高一期末成绩（y）两组变量的散点图如下图.从散点看，这两组变量间具有线性关系.（2）利用计算器容易求得回归方程因此所求的线性回归方程是．（*）（3）若某学生入学数学成绩为80分，代入（*）式可求得，y≈84分，即这个学生高一期末数学成绩的预测值为84分．例3、甲、乙、丙三家电子厂家在广告中都声称他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质检部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：(单位：年)甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15；乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15；丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16．请回答下列问题：(1)分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数．(2)这三个厂家在推销广告中分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？(3)如果你是位顾客，你选购哪家厂家产品？为什么？分析：众数是出现次数最多的数，中位数是指把数据从小到大排列后最中间的一个数(偶数个时，取中间两数的平均数)，连同平均数，它们从不同角度来表示数据的集中趋势．解：(1)甲的平均数是8，众数为5，中位数为6．乙的平均数为9.6，众数为8，中位数为8.5．丙的平均数9.4，众数为4，中位数是8．(2)甲厂利用了平均数，乙厂利用了众数，丙厂利用中位数．(3)可算得；；．因为，所以应选乙厂的产品，因为乙厂的产品较为稳定．点评：这是一道借助统计量进行分析的实际应用问题，解决此类问题的关键是弄清分析的目的，合理的进行分析．例4、以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格.解析：（1）数据对应的散点图如图所示：（2），，，设所求回归直线方程为，则，．故所求回归直线方程为．（3）据（2），当x=150m2时，销售价格的估计值为：（万元）．例5、对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？解析：，．，．∵．∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．。
