数学分析1测试题答案

《数学分析选论》习题解答第 一 章 实 数 理 论１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ∉=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使；（２）存在严格递减数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使．证明如下：（１） 据假设，ξ>∈∀a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'∃>ε∀a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1Λ==εn n n 相应地S a n ∈∃,使得Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ．因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞→n n a lim .（２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取Λ,3,2,,1min 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+ξ=ε-n a n n n ，就能保证Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □２．证明§1.3例６的（ⅱ）．证 设B A ,为非空有界数集，B A S ⋃=，试证：{}B A S inf ,inf m in inf =．现证明如下．由假设，B A S ⋃=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有{}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥⇒≥．另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有S A S x inf inf inf ≥⇒≥；同理又有S B inf inf ≥．由此推得{}B A S inf ,inf m in inf ≤．综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □３．设B A ,为有界数集，且∅≠⋂B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤⋂； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥⋂． 并举出等号不成立的例子．证 这里只证（２），类似地可证（１）．设B A inf ,inf =β=α．则应满足：β≥α≥∈∈∀y x B y A x ,,,有．于是，B A z ⋂∈∀，必有{}βα≥⇒⎭⎬⎫β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ⋂的一个下界．由于B A ⋂亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥⋂成立．上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=⋂⋃==B A B A 则，这时3)(inf ,0inf ,2inf =⋂==B A B A 而，故得{}{}B A B A inf ,inf m ax inf >⋂． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集{}B b A a b a c B A ∈∈+==+,，证明：（１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．证 这里只证（２），类似地可证（１）．由假设，B A inf ,inf =β=α都存在，现欲证β+α=+)(inf B A ．依据下确界定义，分两步证明如下：１）因为,,,,β≥α≥∈∈∀y x B y A x 有所以B A z +∈∀，必有β+α≥+=y x z ．这说明B A +β+α是的一个下界．２）B y A x ∈∈∃>ε∀00,,0，使得2,200ε+β>ε+α>y x ．从而ε+β+α>+∈+=∃)(,0000z B A y x z 使得，故B A +β+α是的最大下界．于是结论 B A B A inf inf )(inf +=+ 得证． □５．设B A ,为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集{}B b A a ab c AB ∈∈==,，证明：（１）B A AB sup sup )sup(⋅=； （２）B A AB inf inf )(inf ⋅=． 证 这里只证（１），类似地可证（２）．⎪⎩⎪⎨⎧⋅≤≤≤=≥≥∈∈∃∈∀,sup sup ,sup ,sup ,,)0,0(,,)(B A c B b A a ab c b a B b A a AB c 且使由于因此B A sup sup ⋅是AB 的一个上界．另一方面，B b A a ∈∈∃>ε∀00,,0，满足ε->ε->B b A a sup ,sup 00，故)(000AB b a c ∈=∃，使得εε-+-⋅>])sup sup ([sup sup 0B A B A c ．由条件，不妨设0sup sup >+B A ，故当ε足够小时，εε-+=ε'])sup sup ([B A 仍为一任意小正数．这就证得B A sup sup ⋅是AB 的最小上界，即 B A AB inf inf )(inf ⋅= 得证． □*６．证明：一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．证 用反证法．倘若有某个完备有序域F 不具有阿基米德性，则必存在两个正元素F ∈βα,，使序列}{αn 中没有一项大于β．于是，}{αn 有上界（β就是一个），从而由完备性假设，存在上确界λ=α}sup{n ．由上确界定义，对一切正整数n ，有α≥λn ；同时存在某个正整数0n ，使α-λ>α0n ．由此得出α+<λ≤α+)1()2(00n n ，这导致与0>α相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性． □７．试用确界原理证明区间套定理． 证 设{}],[n n b a 为一区间套，即满足：0)(lim ,1221=-≤≤≤≤≤≤≤≤∞→n n n n n a b b b b a a a ΛΛΛ．由于{}n a 有上界k b ，{}n b 有下界k a （+∈N k ），因此根据确界原理，存在{}{}β≤α=β=α且,inf ,sup n n b a ．倘若β<α，则有Λ,2,1,0=>λ=α-β≥-n a b n n ，而这与0)(lim =-∞→n n n a b 相矛盾，故ξ=β=α．又因Λ,2,1,=≤β=α≤n b a n n ，所以ξ是一切],[n n b a 的公共点．对于其他任一公共点Λ,2,1,],[=∈ηn b a n n ，由于∞→→-≤η-ξn a b n n ,0 ，因此只能是η=ξ，这就证得区间套{}],[n n b a 存在惟一公共点． □８．试用区间套定理证明确界原理．证 设S 为一非空有上界的数集，欲证S 存在上确界．为此构造区间套如下：令 ],[],[011M x b a =，其中M S S x ,)(0∅≠∈Θ为S 的上界．记2111b a c +=，若1c 是S 的上界，则令],[],[1122c a b a =；否则，若1c 不是S 的上界，则令],[],[1122b c b a =．一般地，若记2nn n b a c +=，则令 Λ,2,1,,,],[,,],[],[11=⎩⎨⎧=++n S c b c S c c a b a n n n n nn n n 的上界不是的上界当是．如此得到的{}],[n n b a 显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点ξ即为S 的上确界．由于上述区间套的特征是：对任何+∈Νn ，n b 恒为Ｓ的上界，而n a 则不为S 的上界，故S x ∈∀，有n b x ≤，再由ξ=∞→n n b lim ，便得ξ≤x ，这说明ξ是S 的一个上界；又因ξ=∞→n n a lim ，故ε-ξ>∃>ε∀n a ,0，由于n a 不是S 的上界，因此ε-ξ更加不是S 的上界．根据上确界的定义，证得S sup =ξ．同理可证，若S 为非空有下界的数集，则S 必有下确界． □ ９．试用区间套定理证明单调有界定理．证 设{}n x 为递增且有上界M 的数列，欲证{}n x 收敛．为此构造区间套如下：令],[],[111M x b a =；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套{}],[n n b a ，使n a 不是{}n x 的上界，n b 恒为{}n x 的上界．由区间套定理，],[n n b a ∈ξ∃，且使ξ==∞→∞→n n n n b a lim lim ．下面进一步证明 ξ=∞→n n x lim ．一方面，由∞→≤k b x k n 取,的极限，得到Λ,2,1,lim =ξ=≤∞→n b x k k n ．另一方面，ε-ξ>∈∃>ε∀+K a K 使,,0Ν；由于K a 不是{}n x 的上界，故K N a x >∃；又因{}n x 递增，故当N n >时，满足N n x x ≥．于是有N n x x a n N K >ξ≤<<<ε-ξ,，这就证得ξ=∞→n n x lim ．同理可证{}n x 为递减而有下界的情形． □ 10*．试用区间套定理证明聚点定理．证 设S 为实轴上的一个有界无限点集，欲证S 必定存在聚点．因S 有界，故0>∃M ，使得M x ≤，S x ∈∀．现设],[],[11M M b a -=，则],[11b a S ⊂．然后用逐次二等分法构造一区间套{}],[n n b a ，使得每次所选择的],[n n b a 都包含了S 中的无限多个点．由区间套定理，],[n n b a ∈ξ∃，n ∀．最后应用区间套定理的推论，,0>ε∀当n 充分大时，使得],[n n b a );εξ⊂(U ；由于],[n n b a 中包含了S 的无限多个点，因此);(εξU 中也包含了S 的无限多个点，根据聚点定义，上述ξ即为点集S 的一个聚点． □ 11*．试用有限覆盖定理证明区间套定理．证 设{}],[n n b a 为一区间套，欲证存在惟一的点Λ,2,1,],[=∈ξn b a n n ． 下面用反证法来构造],[11b a 的一个无限覆盖．倘若{}],[n n b a 不存在公共点ξ，则],[11b a 中任一点都不是区间套的公共点．于是，∈∀x ],[11b a ，使,],[n n b a ∃],[n n b a x ∉．即);(x x U δ∃与某个],[n n b a 不相交（ 注：这里用到了],[n n b a 为一闭区间 ）．当x 取遍],[11b a 时，这无限多个邻域构成],[11b a 的一个无限开覆盖：{}],[);(11b a x x U H x ∈δ=．依据有限覆盖定理，存在],[11b a 的一个有限覆盖：{}H N i x U U H i x i i ⊂=δ==,,2,1);(~Λ，其中每个邻域N i b a U ii n n i ,,2,1,],[Λ=∅=⋂．若令{}N n n n K ,,,max 21Λ=，则N i b a b a i i n n K K ,,2,1,],[],[Λ=⊂，从而N i U b a i K K ,,2,1,],[Λ=∅=⋂． （Ж） 但是Y Ni iU 1=覆盖了],[11b a ，也就覆盖了],[K K b a ，这与关系式（Ж）相矛盾．所以必定存在Λ,2,1,],[=∈ξn b a n n ．（有关ξ惟一性的证明，与一般方法相同．） □１２．设S 为非空有界数集．证明：S S y x Sy x inf sup ||sup ,-=-∈．证 设η<ξ=η=ξ且,sup ,inf S S （ 若η=ξ，则S 为单元素集，结论显然成立 ）．记{}Sy x y x E ∈-=,||，欲证ξ-η=E sup ．首先，S y x ∈∀,，有ξ-η≤-⇒η≤ξ≥||,y x y x ，这说明ξ-η是E 的一个上界．又因2,0ε-η>ε∀ ⎪⎭⎫ ⎝⎛ε+ξ2不再是S 的上()下界，故S y x ∈∃00,，使ε-ξ-η≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫ε+ξ<ε-η>)(||220000y x y x , 所以ξ-η是E 的最小上界，于是所证结论成立． □１３．证明：若数集S 存在聚点ξ，则必能找出一个各项互异的数列{}S x n ⊂，使ξ=∞→n n x lim ．证 依据聚点定义，对S U x ⋂εξ∈∃=ε);(,1111ο．一般地，对于⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ξ=ε-1,1m in n n x n ，Λο,3,2,);(=⋂εξ∈∃n S U x n n ．如此得到的数列{}S x n ⊂必定满足：Λ,3,2,||||11=≠⇒ξ-<ξ---n x x x x n n n n ；ξ=⇒∞→→<ξ-∞→n n n x n n x lim )(01||． □ 41*．设S 为实轴上的一个无限点集．试证：若S 的任一无限子集必有属于S 的聚点，则（１）S 为有界集；（２）S 的所有聚点都属于S ．证 （１）倘若S 无上界，则对1111,,1M x S x M >∈∃=使；一般地，对于{}Λ,3,2,,,,max 1=>∈∃=-n M x S x x n M n n n n n 使．这就得到一个各项互异的点列{}∞=⊂∞→n n n x S x lim ,使．S 的这个无限子集没有聚点，与题设条件相矛盾，所以S 必有上界．同理可证S 必有下界，故S 为有界集．（２）因S 为有界无限点集，故必有聚点．倘若S 的某一聚点S ∉ξ0，则由聚点的性质，必定存在各项互异的数列{}0lim ,ξ=⊂∞→n n n x S x 使．据题设条件，{}n x 的惟一聚点0ξ应属于S ，故又导致矛盾．所以S 的所有聚点都属于S ． □51*．证明：{}{}n n a a ∉ξ=sup ，则必有ξ=∞→n n a lim ．举例说明，当上述ξ属于{}n a 时，结论不一定成立．证 利用§1.3 例4，{}{}n n a a k ⊂∃，使ξ=∞→k n n a lim ，这说明ξ是{}n a 的一个聚点．又因ξ又是{}n a 的上界，故{}n a 不可能再有比ξ更大的聚点．所以ξ是{}n a 的上极限．当{}n a ∈ξ时，结论不一定成立．例如，1,111sup ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 显然不是⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的上极限． □61*．指出下列数列的上、下极限：（１）{}n)1(1-+； （２）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12)1(n n n； （３）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧πnn 3cos； （４）⎭⎬⎫⎩⎨⎧π+4sin 12n n n ；（５）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧π+n n n sin 12． 解（１）0lim ,2lim ,0,2122==≡≡∞→∞→-n n n n k k a a a a 故．（２）)(211412,21142122∞→-→---=→+=-k k k a k ka k k ，故21lim ,21lim -==∞→∞→n n n n a a ． （３）)(13cos211∞→≤π≤←n n nn， 故 1lim lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n a a a ．（４）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=+⋅--=+-=+=+++=+⋅=π+=.38,18,12222,8,12,4,0,28,12,38,18,12224sin 12k k n n nk n n n k n k n n n k k n n n n n n a n故2lim ,2lim -==∞→∞→n n n n a a ． （５）)(sin )1(sin 1222∞→π→ππ⋅+π=π+=n nn nn nn n a n ，故π===∞→∞→∞→n n n n n n a a a lim lim lim ． □71*．设{}n a 为有界数列，证明：（１）1lim )(lim =-=-∞→∞→n n n n a a ； （２）n n n n a a ∞→∞→-=-lim )(lim ．证 由)(sup )(inf ,)(inf )(sup k nk k nk k nk k nk a a a a ≥≥≥≥-=--=-，令∞→n 取极限，即得结论（１）与（２）． □81*．设0lim >∞→n n a ，证明：（１）nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim； （２）nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim；（３）若11limlim =⋅∞→∞→n n n n a a ，或11lim lim =⋅∞→∞→nn n n a a ，则{}n a 必定收敛．证 由)(sup 11inf ,)(inf 11sup k nk k n k kn k k n k a a a a ≥≥≥≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，令∞→n 取极限，即得结论（１）与（２）．若11limlim =⋅∞→∞→n n n n a a ，则由（１）立即得到 n n n n a a ∞→∞→=lim lim ，因此极限n n a ∞→lim 存在，即得结论（３）．类似地，若11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a ，则由（２）同样可证得（３）． □。

大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。

答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。

答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。

答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。

答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。

答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。

令f'(x)=0，解得x=2。

在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。

因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。

2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。

答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。

数学分析1智慧树知到课后章节答案2023年下德州学院德州学院第一章测试1.设非空数集有上确界，则（）A:错 B:对答案:错2.无最小值的非空数集，必无下确界. （）A:错 B:对答案:错3.函数无界的充要条件是其值域无上界，也无下界. （）A:对 B:错答案:错4.集合，则集合的上、下确界是（）.A:;B:．C:;D:;答案:．5.下列论断中, 正确的是（）.A:有上确界的集合必有最大值;B:有上界的集合必有上确界;C:有最大值的集合必有上确界;D:有界的集合必有上确界.答案:有上界的集合必有上确界;;有最大值的集合必有上确界;;有界的集合必有上确界.第二章测试1.若对任意的>0, 内有的无穷多项，则数列收敛于. （）A:错 B:对答案:错2.数列收敛. （）A:对 B:错答案:错3.数列和数列都发散，则数列发散. （）A:错 B:对答案:错4.若，则数列收敛于. （）A:对 B:错答案:对5.下列结果不正确的是( ).A:；B:.C:；D:；答案:；第三章测试1.函数在点的左、右极限都存在, 则在点的极限也存在. （）A:错 B:对答案:错2.当时, 函数与是等价无穷小. （）A:对 B:错答案:错3.若在开区间上单调增加，且有上界, 则在点有左极限. （）A:错 B:对答案:对4.函数极限存在. （）A:错 B:对答案:对5.曲线的渐近线共有几条（）A:；B:；C:.D:；答案:；第四章测试1.若在点连续，则也在点连续. （）A:对 B:错答案:对2.设是的第二类间断点. （）A:对 B:错答案:错3.设,是的第一类间断点.（）A:错 B:对答案:对4.函数在内一致连续. （）A:错 B:对答案:错5.设，则是的（）A:连续点.B:跳跃间断点；C:第二类间断点；D:可去间断点；答案:连续点.第五章测试1.若在点连续，则点可导. （）A:错 B:对答案:错2.设，，则. （）A:对 B:错答案:错3.函数在点可导和可微是等价的. （）A:对 B:错答案:对4.可导的偶函数,其导函数为奇函数.（）A:错 B:对答案:对5.若函数在=0处可导，则常数的值为 ( ).A:.B:；C:；D:；答案:；第六章测试1.若在点取得极小值，则. （）A:对 B:错答案:错2.设在区间上可导且，则在上严格递增. （）A:错 B:对答案:错3.若极限不存在，则也不存在. （）A:错 B:对答案:错4.若则在点取得极值. （）A:对 B:错答案:对5.若函数在定义域内则有 ( ).A:单调减少且曲线是凸的；B:单调增加且曲线是凹的；C:单调增加且曲线是凸的；D:单调减少且曲线是凹的.答案:单调减少且曲线是凹的.。

数学分析-1样题(一)一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x ag x b →=;(2) 0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈ (3) lim ()u bf u A →=用εδ-定义证明, lim [()]x af g x A →=.三. (10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+L 收敛. 四. (12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b使lim )0x ax b →+∞-=.八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42-的最大值与最小值.九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ''≥--.数学分析-1样题(二)一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=.三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.数学分析-2样题(一)一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰2. xe dx -⎰3.ln 0⎰4.20sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数(1)nn x x∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设22220(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板? 八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑. 数学分析-2样题(二)一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dx x x++⎰3.10arcsin x dx ⎰4.1000π⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. 221limnn k nn k→∞=+∑2. 20lim1xt xx x e dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列 证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数(1)nn n x∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1nn a∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.数学分析-3样题(一)一 (10分) 证明方程11(, )0F x zy y zx --++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂二 (10分) 设n 个正数12, , , n x x x L 之和是a ，求函数u =.三 (14分) 设无穷积分() af x dx +∞⎰收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明四 (10分) 求函数1220() ln() F y x y dx =+⎰的导数(0).y >五 (14分) 计算六 (10分) 求半径为a 的球面的面积S . 七 (10分) 求六个平面所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >= 八 (12分) 求22C xdy ydx x y -+⎰Ñ，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九 (10分) 求dS z ∑⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部. 数学分析-3样题(二)一 (10分) 求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二 (10分) 求在两个曲面2221x xy y z -+-=与221x y +=交线上到原点最近的点. 三 (14分) 设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞⎰与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四 (12分) 证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a--+∞-=<<⎰五 (12分) 设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有六 (10分) 求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤-≠的面积A .七 (10分) 设222()() VF t f xy z dx dy dz =++⎰⎰⎰，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数. 九 (12分) 计算 Sxyz dx dy ⎰⎰，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。

工科数学分析(1)期中考试试题 答案2007年11月25日一、填空题 (每小题4分,共20分) 。

得分[ ]1、 ；=--+∞→)17(lim n n n n 4解： ；=--+∞→)17(lim n n n n =-++∞→178lim n n nn 411718lim=-++∞→nn n 2、设数列，（），则有 ；!)!2(n n n x n n ⋅= ,3,2,1=n =+→∞nn n x x 1lim e 4解 ；n nn nn n n n n n n n x x )1()1)(1()22)(12(lim lim 1+++++=∞→+∞→e nn n n n nn 4)11(1)11)(11()22)(12(lim =+++++=∞→3、 ；=-→22sin 0)31(lim xx x x32-e解 ；=-→22sin 0)31(lim xx x x3222sin )3231031(lim ---→=-exx x x x 4、设，， 则有x x f arccos )(=1||<x ='')(x f 32232)1()1(x x x x --=--- ；解，；2122)1(11)(---=--='x xx f 32232)1()1()(x xx x x f --=--=''-5、；=-+∞→)1(lim 1xx x x ∞+解 =-+∞→)1(lim 1xx x x =-+∞→x x xx 11lim1xe x xx 11lim ln 1-+∞→ 。

=--=+∞→22ln 11ln 1limxx xe x xx +∞=-+∞→)1(ln lim 1x x xx二、选择题(每小题4分,共20分)将代表答案的字母填入右边括号内。

得分[ ]1、设数列，与不是基列不等价的一个命题是 【 D 】}{n x }{n x （A ），对任意大的正整数，总存在正整数，使得0>∃εN Nn m N N>, ；02||ε≥-NNn m x x （B ），无论正整数多么大，总存在正整数和正整数，使得00>∃εN N n N>N p ；03||ε≥-+N N N n p n x x （C ），存在两个子列和，满足，；0>∃ε}{kn x}{k m x 0||ε≥-k k m n x x ,2,1=k （D ），，对于所有满足的，都有00>∃ε*N ∈∀N N n m >,*N ,∈n m 0||ε≥-n m x x 。

《数学分析（一）》题库及答案一．单项选择1、函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为_______。

A ．]1,2[-B ．]2,1[-C ．[0,3]D ．[1,3]2、函数)(x f 在0x x →时极限存在，是)(x f 在0x 点处连续的_______。

A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=1,11,21,1)(x xx x x x f ，则=→)(lim 1x f x _______。

4、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0,10,sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ________。

A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在5、已知)1ln()(a x x f += )0(>x ，则=')1(f ________。

A ．aB ．2aC ．21 D ． 1 6、若在区间),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(<'x f ，二阶导数0)(>''x f ，则)(x f 在),(b a 内是________。

A ．单调减少，曲线上凸B ．单调增加，曲线上凸C ．单调减少，曲线下凸D ．单调增加，曲线下凸二、填空题1、函数)43cos(π+=xy 的周期为________。

2、=+∞→x x x)21(lim ________。

3、设x y 2sin =，则='''y ________。

4、设,2xe y =则y '''=_______。

5、设,)(lim 0A x x f x =→则=→xbx f x )(lim 0_______。

6、曲线xy 1=的渐近线是_______、_______。

三、判断对错1. 设函数在)(x f （a 、b ）上连续，则在)(x f [ a 、b ] 上有界。

数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。

（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。

（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。

（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。

4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。

5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。

一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。

, , 当时, , 则。

2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。

五、1.证明:, , 当时, ；得证。

2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。

综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。

, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。

数学分析1考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B4. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数是________。

答案：3x^2 - 32. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。

答案：e^x + C3. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分是________。

答案：8/34. 函数f(x) = sin(x)的原函数是________。

答案：-cos(x) + C5. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。

答案：(0, +∞)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 2x)。

答案：02. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[1, 3]上的定积分。

答案：-43. 求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的极值点。

答案：x = 3/4四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的。

答案：略2. 证明函数f(x) = x^3在x=0处连续。

《数学分析选讲》试题一一、单项选择题1．设243)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（ ）.A ．)(x f 与x 是等价无穷小B ．)(x f 与x 同阶但非是等价无穷小C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 答案：B 2. 设函数111()1xx e f x e -=+，则0x =是()f x 的（ ）A ．可去间断点B ．第二类间断点C ．跳跃间断点D ．连续点 答案：C3. 22lim (1)n nn→∞+等于( ).A ． 221ln xdx ⎰B ．212ln xdx ⎰C ．212ln(1)x dx +⎰ D ．221ln (1)x dx +⎰答案：B4. (,)z f x y =在点(,)x y 处偏导数连续是(,)f x y 在该点连续的（ ）条件.A ．充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 答案：A5. 如果级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑均发散，则以下说法正确的是（ ）.A. 1()n n n u v ∞=±∑一定都收敛B. 1()n n n u v ∞=±∑一定都发散C. 1()n n n u v ∞=-∑可能收敛，但1()n n n u v ∞=+∑一定发散D. 1()n n n u v ∞=±∑都可能收敛答案：D6. 设232)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（ ）A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小 C. )(x f 是比x 高阶的无穷小 D. )(x f 是比x 低阶的无穷小答案;B 7. 设arctan (),xf x x=则0x =是()f x 的（ ） A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 答案：B8. 下列极限计算中，正确的是（ ）A ．01lim(1)x x e x +→+= B. 01lim(1)1x x x +→+= C. 1lim(1)x x e x →∞-=- D. 1lim(1)x x e x -→∞+=答案：B9. 设函数)(x f 在0x 处可导，且2)(0'=x f ，则=--→hx f h x f h )()(lim000（ ）A. 21B. 2C. 21- D. -2答案：D10. 下列反常积分中收敛的是 （ ） A. 211x dx x +∞+⎰B. 1+∞⎰12011sin dx x x ⎰ D. 10ln xdx ⎰ 答案：D11. 函数()y f x =，若0000()(2)3,|limx x h f x f x h dy h=→--==则（ ）A. 32dx B.32dx - C.3dx D.3dx -答案：A12. 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且224(,)(0,0)(,)lim1()x y f x y xyx y →-=+，则下述四个选项中正确的是 ( ).A ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 B. 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点 C. 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点D. 根据所给条件无法判断点(0,0)是否是(,)f x y 的极值点 答案：A13. lim ln→∞n n等于( ) A. 1ln ⎰xdx B. 0ln +∞⎰xdx C. 1⎰xdx D. 0+∞⎰xdx .答案：A14.设)(x f 在],[b a 上连续，则[()]xd f t dt dx -⎰等于( ) A. ()f x - B. ()f x - C. ()f x -- D. ()f x 答案：A二、判断题：以下各题若正确请在（ ）内填“√”, 若错误填“×”. 1. 若{}n x 不是无穷大量，则{}n x 必存在收敛子列. （ ） 答案：√2.)(x f 在],[b a 上连续是⎰ba dx x f )(存在的充要条件 . （ ）答案：×3. 若()f x 是初等函数，其定义域为(,)a b ，0(,)x a b ∈，则00lim ()()x x f x f x →= .（ ）答案：√4. 若(1,2)n n u v n ≤=，级数1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑不一定收敛.（ ）答案：√5. 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且224(,)(0,0)(,)lim1()x y f x y xyx y →-=+，则点(0,0)是(,)f x y 的极小值点. （ ） 答案：×6.若{}n x 不是无穷大量，则{}n x 任一子列均不是无穷大量. （ ） 答案：×7. 若函数()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上也可积. （ ）答案：×8. 当0x x →时，()f x 不以A 为极限，则存在00{},(1,2),()n n n x x x n x x n ≠=→→∞，使{()}n f x 不以A 为极限.（ ） 答案：√9. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑收敛但和不一定是0 . （ ）答案：×10. 对),(y x f z =, 偏导数连续,则全微分存在. （ ） 答案：√ 三、填空题1、若20(23)0kx x dx -=⎰，则k 的值为 .答案：0或12、设21(2021)n n x ∞=-∑收敛，则lim n n x →∞= .答案：20213、级数1nn ∞=的收敛区间是 .答案：（2，4）或[2,4）4.设21(10)n n x ∞=-∑收敛，则lim n n x →∞= .答案：105.(,)limx y →= .答案：46.级数2nn ∞=_____________.答案：（1，3）7.广义积分2110k dx x π+∞=+⎰，则1k= . 答案：58.1lim 1+xx x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭. 答案：e9.设21,0()0,0x x f x x x e ⎧--⎪≠=⎨⎪=⎩，则(0)f '= . 答案：1 四、计算题1. 2+3200lim (sin )x x x t dtt t t dt→-⎰⎰.解 原式=++320026lim lim 12(sin )1cos x x x x x x x x x→→⋅==--2.求sin cos cos 2x x y x e π+=+ 的导数.解：cos sin ()'=-x x xe e esin sin ln sin sin ()cos n ()l ()'='=+xx x x xex x x x xcos 02'π⎛⎫= ⎪⎝⎭sin sin cos ln '()sin 所以+=-x x x xe xy x x x e . 五、综合题.1.241lim cos 1n n n n →∞-+！. （请说明理由）答： 原式＝０（有界量乘以无穷小量） 2. 叙述一元函数可导，可微，连续的关系.答：一元函数可导与可微是等价的，可导推出连续，连续不一定可导。

第一章 实数集与函数习题§1实数1、 设a 为有理数，x 为无理数。

证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、 设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、 设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗7、 设x>0，b>0，a ≠b 。

证明x b x a ++介于1与ba 之间。

8、 设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、 设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。

§2数集、确界原理1、 用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6； （3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。

2、 设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。

综合测试试卷一一、 计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1、xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→； 2、()x x x 2cot lim 0→ ；3、设a 为非零常数，则xx a x a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→lim ；4、⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→n n n n n 3lim ； 5、xx x ex e111lim +-+→；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→x x x x 2sin 3553lim 2； 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ；8、()x x x sin 2031lim +→；9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 11ln sin 31ln sin lim ； 10、()()x x x x x x +++→1ln cos 11cossin 3lim20 ； 11、20211limx x x x --++→； 12、⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20； 13、()3021ln arctan limx xx x +-→ ；14、若0>a ，0>b 为常数，则xxx x ba 302lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→；15、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n πππcos 12cos 1cos 11lim。

. 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16、xx x x sin sinlim10→的值为（ ） A. 1； B. ∞; C.不存在; D. 0.17、=+--+→232231x x x x x lim （ ）A. 3；B. 4-;C. 1;D. 1-.18、 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim （ ）A.e 2;B. 2-e; C. 2e ； D.e2. 19、若22222=--++→x x bax x x lim ，则必有( ) A. 82==b a ,; B. 52==b a ,;C. 80-==b a ,； D. 82-==b a ,. 20、当+→0x 时，以下四式中为无穷小量的是（ ）A. x x 1sin ;B. x e 1; C. x ln ; D. x xsin 1.21、当+→0x 时，以下四式中为无穷大量的是（ ） A. 12--x; B.xx sec sin +1; C. xe -; D. x e 1. 22、=→xx x x cos sinlim10（ ） A.不存在; B. 0; C. 1; D. ∞.23、()=-→xx x cos tan lim 02π（ ）A.0;B. 1;C. ∞;D. 不存在. 24、=⎪⎭⎫⎝⎛--→1110x x e x lim （ ）A.0;B. 21;C. ∞;D.21-. 25、()=+→xx x ex 10lim （ ）A.e ;B. 1;C. 2e ; D. 2.三、计算题（本大题共3小题，每小题17分，共51分）26、623lim 2232--++-→x x xx x x ; 27、()11lim 22--+∞→x x x . 28、38231lim x x x +---→. 29、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x . 30、n n n n n !2lim ∞→. 31、()()()503020152332lim++-∞→x x x x . 32、设)(a f '存在，且0>)(a f ，求xx a f x a f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→)(lim 1.33、xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim . 34、11lim 31--→x x x . 35、xx x cos lim 00+→. 36、xx x x 10arcsin lim ⎪⎭⎫⎝⎛→. 37、()x x x x cos 1sin 1ln lim 0-+→. 38、201sin lim x x →. 39、21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→. 40、121lim +∞→+++p p p p n n n ，0>p .41、()1ln lim0-+→xx e x.42、dx xx an nn ⎰+∞→1sin lim.（提示：先用积分中值定理：()()a b f dx x f ba-=⎰ξ)(，[]b a ,∈ξ）综合测试试卷一参考答案一、计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1、1； 2、21； 3、a e 2；4、2；5、1-；6、56；7、21；8、6e ；9、2；10、23；11、41-；12、31； 13、61-； 14、()23ab ； 15、22π。

∑⎰ ⎰ ⎰ 2014 ---2015 学年度第二学期《数学分析 2》A 试卷一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 f (x )在[a ,b ]连续，则 f (x )在[a ,b ]上的不定积分⎰ f (x )dx 可表为x f(t )dt + C （ ）.a2.若 f (x ), g (x )为连续函数，则⎰ f (x )g (x )dx = [⎰f (x )dx ]⋅ [⎰g (x )dx （）.+∞+∞3.若 f (x )dx 绝对收敛， ⎰ g (x )dx 条件收敛，则aa+∞[ f(x )- g (x )]dx 必然条件收敛（）.a+∞ 4. 若f (x )dx 收敛，则必有级数∑ f (n )收敛（ ）1n =15. 若{f n }与{g n }均在区间 I 上内闭一致收敛，则{f n + g n }也在区间 I上内闭一致收敛（ ）.∞6. 若数项级数 a n 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散n =1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 若 f(x )在[a ,b ]上可积，则下限函数af (x )dx 在[a ,b ]上（）xA. 不连续B. 连续C.可微D.不能确定⎰ ⎰∞⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ∑ 2. 若 g (x )在[a ,b ]上可积，而 f (x )在[a ,b ]上仅有有限个点处与 g (x )不相等，则（ ）A. f (x )在[a ,b ]上一定不可积；B. f (x )在[a , b ]上一定可积,但是bf (x )dx ≠ bg (x )dx ；aaC. f (x )在[a , b ]上一定可积，并且 b f (x )dx = bg (x )dx ；aaD. f (x )在[a ,b ]上的可积性不能确定.∞3. 级数 n =11 + (- 1)n -1 n n2 A. 发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4. 设∑u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）A. 若lim u n →∞= 0 ，则级数∑u n一定收敛；B. 若lim un +1 = < 1，则级数∑u 一定收敛；n →∞ u nC. 若∃ N ,千D. 若∃ N ,千 n > N 千千n > N 千千千u n +1 n< 1，则级数∑u n 一定收敛； u n> 1，则级数∑u n 一定发散；5. 关于幂级数∑ a n x n 的说法正确的是（）A. ∑ a n x n 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. ∑ a n x n 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑ a n x n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；千 u n +1u n nx ⎰⎰ D. ∑ a n x n 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分） 1. lim 1n (n + 1)(n + 2) (n + n ) n →∞ n2. ln (sin x )dx cos 2 x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1. dx 01 + + x 2∞∑2. ∑ n ! n =1 n n∞ 3. n =1(- 1)nn 2n1 + 2n五. 判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1. f n(x )= sin nx n, n =1,2 , D = (- ∞,+∞)∑2. n D xn= (- ∞, - 2]⋃[2, + ∞)六．已知一圆柱体的的半径为 R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

第一章实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾， 故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax=为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾 故ax 是无理数.1、 试在数轴上表示出下列不等式的解： ⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、 设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =. 证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <; 若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾; 若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾; 从而必有b a =. 3、 设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、 证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x 证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x ,所以121≥-+-x x .⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、 设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边. 当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、 设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与ba之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, b ax b x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb xa b a ; 故x b x a ++总介于1与ba 之间.7、 设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使nmp =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、 设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2.解: ⑴原不等式等价于11<---bx ba 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a bx 220即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2故当b a >时,不等式的解为2ba x +>当b a <时,不等式的解为2ba x +<当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a bx即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x bx 故当b a >时,21bx +>; 当b a ≤时,不等式无解. ⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<-即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-§2数集 确界原理1、 用区间表示下列不等式的解: ⑴01≥--x x ;⑵61≤+xx ; ⑶0))()((>---c x b x a x (a 、b 、c 为常数,且c b a <<)⑷22sin ≥x 解 ⑴原不等式等价于以下不等式组⎩⎨⎧≥--<011x x x 或⎩⎨⎧≥--≥011x x x前一不等式组的解为21≤x ，后一不等式组无解. 所以原不等式的解为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈21,x ⑵不等式61≤+xx 等价于616≤+≤-x x这又等价于不等式组⎩⎨⎧≤+≤->x x x x 61602或⎩⎨⎧-≤+≤<xx x x 61602前一不等式组的解为]223,223[+-∈x ，后一不等式组解为]223,223[+---∈x . 因此原不等式解为 ]223,223[]223,223[+-+---∈x⑶令))()(()(c x b x a x x f ---=,则由c b a <<知:⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈>-∞∈<= ;),(),(,0;),(),(,0)(c b a x c b a x x f因此0)(>x f 当且仅当 ;),(),(∞+∈c b a x因此原不等式的解为 ),(),(∞+∈c b a x .⑷当]43,4[ππ∈x 时22sin ≥x .由正弦函数的周期性知22sin ≥x 的解是]432,42[ππππ++∈k k x ,其中k 是整数2、设S 为非空数集,试给出下列概念的定义:⑴数集S 没有上界; ⑵数集S 无界.解: ⑴设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 没有上界 ⑵设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 无界3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证:{}22R x x y y S ∈-==.对任意的R x ∈,222≤-=x y 所以数集S 有上界2而对任意的0>M ,取m x +=31,则S M M x y ∈--=--===1322211, 但M y -<1,因此数集S 无下界4、 求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴{}22<=x x S⑵{},!为自然数n n x x S ==; ⑶{})1,0(内的无理数为x x S =; ⑷⎩⎨⎧=-==},2,1,211 n x x S n 解: ⑴2sup =S ,2inf -=S ,以下依定义加以验证.由22<x 知22<<-x ,因之对任意的S x ∈,有2<x 且2->x ,即2,2-分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,不妨设22<ε,于是存在220ε-=x ,221ε+-=x使0x 、1x S ∈，但ε->20x ，ε+-<21x ，所以2sup =S ,2inf -=S⑵+∞=S sup ,1inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界.对任意的自然数n ,+∞<!n ,所以+∞=S sup ;对任意的0>ε,存在S x ∈==1!11,使ε+<11x ,所以1inf =S ⑶1sup =S ,0inf =S ,以下依定义加以验证.对任意的S x ∈，有10<<x ，所以1、0分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,取εη<<0，且使η-1为无理数，则η-1S ∈，εη->-11 所以1sup =S ；由η的取法知η是无理数，S ∈η，εεη+=<0，所以0inf =S⑷1sup =S ,21inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，有121≤≤x ，所以1、21分别是S 的上、下界.对任意的0>ε，必存在自然数k ，使S x k k ∈-=211，且ε->-=1211k k x所以1sup =S又S x ∈=-=21211,ε+<=-=2121211x 所以21inf =S5. 设S 为非空有下界数集.证明:S S S min inf =⇔∈=ξξ证:设S S ∈=inf ξ,则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ. 设S min =ξ,则S ∈ξ,下面验证S inf =ξ. Ⅰ 对一切S x ∈,有ξ≥x ,即ξ是S 的下界. Ⅱ 对任何ξβ>,只须取S x ∈=ξ0,则β<0x ,从而ξ不是S 的下界,故S inf =ξ.6.设S 为非空数集,定义}{S x x S ∈-=-,证明:⑴S S sup inf -=-⑵S S inf sup -=-证: ⑴设-=S inf ξ,由下确界的定义知,对任意的-∈S x ,有ξ≥x ,且对任意的0>ε,存在-∈S x 0,使εξ+<0x由}{S x x S ∈-=-知, 对任意的S x ∈-,ξ-≤-x ,且存在S x ∈-0,使εξ-->-0x ,由上确界的定义知ξ-=-S sup ,即S S sup inf -=-. 同理可证⑵式成立.7.设B A 、皆为非空有界数集,定义数集},,{B y A x y x z z B A ∈∈+==+. 证明: ⑴B A B A sup sup )sup(+=+ ⑵B A B A inf inf )inf(+=+ 证: ⑴设1sup η=A ,2sup η=B .对任意的B A z +∈,存在A x ∈,B y ∈,使y x z +=. 于是1η≤x ,2η≤y ,从而21ηη+≤z对任意的0>ε,必存在A x ∈0,B y ∈0且210εη->x ,220εη->y ,则存在B A y x z +∈+=000,使εηη-+>)(210z ,所以B A B A sup sup )sup(21+=+=+ηη ⑵同理可证8.设x a a ,1,0≠>为有理数,证明:{{⎪⎩⎪⎨⎧<>=<<,1}inf ,1}sup a r a a r a a rxr r x r x ，当为有理数，当为有理数证: 只证1>a 的情况, 1<a 的情况可以类似地予以证明.设}{x r r a E r<=，为有理数.因为1>a ,r a 严格递增,故对任意的有理数x r <,有x r a a <,即x a 是E 的一个上界.对任意的0>ε,不妨设x a <ε,于是必存在有理数x r <0,使得xr x a a a <<-0ε.事实上,由x a log 递增知:xx a a <-<ε0等价于x a a xa x a =<-log )(log ε取有理数0r ,使得x r a xa <<-0)(log ε.所以E a xsup =,即}{sup 为有理数r aa rxr x<=§4具有某些特征的函数1、证明:21)(x xx f +=是R 上的有界函数. 证: 利用不等式212x x +≤有2112211)(22≤+=+=x x xx x f 对一切的),(∞+-∞∈x 都成立 故21)(x xx f +=是R 上的有界函数2、⑴证明陈述无界函数的定义; ⑵证明:21)(x x f =为)1,0(上的无界函数. ⑶举出函数f 的例子,使f 为闭区间]1,0[上的无界函数.解: ⑴设)(x f 在D 上有定义,若对任意的正数M ,都存在D x ∈0,使M x f >)(0,则称函数)(x f 为D 上的无界函数.⑵对任意的正数M ,存在)1,0(110∈+=M x ,使M M x x f >+==11)(2所以21)(xx f =为)1,0(上的无界函数. ⑶设⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f .下证)(x f 为无界函数0>∀M ,]1,0(110∈+=∃M x ,使得M M x f >+=1)(0 所以⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f 是闭区间[0,1]上的无界函数.3、 证明下列函数在指定区间上的单调性: ⑴13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增; ⑵x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增;⑶x y cos =在],0[π上严格递减.证: ⑴任取1x 、),(2∞+-∞∈x ，21x x <， 则0)(3)13()13()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ， 可见)()(21x f x f <，所以13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增. ⑵任取1x 、]2,2[2ππ-∈x ，21x x <，则有22221ππ<+<-x x ,02221<-≤-x x π, 因此02cos21>+x x ,02sin 21<-x x , 从而02sin 2cos 2sin sin )()(21212121<-+=-=-x x x x x x x f x f , 故)()(21x f x f <,所以x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增.⑶任取1x 、],0[2π∈x ，21x x <,则π<+<2021x x ,02221<-≤-x x π, 从而02sin21>+x x ,02sin 21<-x x 02sin 2sin2cos cos )()(21212121>-+-=-=-x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >,所以x y cos =在],0[π上严格递减.4、 判别下列函数的奇偶性:(1)12)(24-+=x x x f ;(2) x x x f sin )(+=;(3)22)(x e x x f -=; (4))1lg()(2x x x f -+=解(1)因)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-, 故12)(24-+=x x x f 是偶函数. (2)因),()sin ()sin()()(x f x x x x x f -=+-=-+-=-故x x x f sin )(+=是奇函数.(3)因)()()(222)(2x f e x e x x f x x ==-=----,故22)(x e x x f -=是偶函数. (4))()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-故)1lg()(2x x x f -+=是奇函数.5、 求下列函数的周期:(1)x x f 2cos )(=;(2)x x f 3tan )(=;(3)3sin 22cos )(xx x f +=. 解 (1) )2cos 1(21cos )(2x x x f +==,而x 2cos 1+的周期是π,所以x x f 2cos )(=的周期是π. (2))3tan(x 的周期是3π,所以x x f 3tan )(=的周期是3π. (3)2cos x 的周期是π4,3sin x 的周期是π6,所以3sin 22cos )(xx x f +=的周期是π12.6、 设)(x f 为定义在],[a a -上的任一函数,证明: (1) ],[),()()(a a x x f x f x F -∈-+=为偶函数; (2) ],[),()()(a a x x f x f x G -∈--=为奇函数; (3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.证 (1)由已知函数)(x F 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀)()()()()()(x F x f x f x f x f x F =-+=+-=-.故)(x F 为],[a a -的偶函数.(2) 由已知函数)(x G 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀有)()]()([)()()(x G x f x f x f x f x G -=---=--=-.故)(x G 为],[a a -的奇函数.(3)由(1)(2)知: ),(2)()(x f x G x F =+从而)(21)(212)()()(x G x F x G x F x f +=+=,而)(x F ,)(x G 分别是偶函数和奇函数.显然)(21x F 也是偶函数, )(21x G 也是奇函数.从而f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.7、 设)(x f ,)(x g 为定义在D 上的有界函数,且对任一)()(,x g x f D x ≤∈,证明:(1))(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤;(2) )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 证 (1)假设)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈>. 令))(sup )(sup (21x g x f D x D x ∈∈-=ε,则0>ε 由上确界定义知,存在D x ∈0,))(sup )(sup (21)(sup )(0x g x f x f x f Dx D x D x ∈∈∈+=->ε,又对任意的D x ∈,<)(x g ))(sup )(sup (21)(sup x g x f x g D x D x D x ∈∈∈+=+ε. 由此知)()(0x g x f >,这与题设)()()(D x x g x f ∈∀≤相矛盾,所以)(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤.(2)同理可证结论成立.8、 设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) )(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-;(2) )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=- 证: (1)令ξ=∈)(inf x f Dx .由下确界的定义知,对任意的D x ∈,ξ≥)(x f ,即ξ-≤-)(x f , 可见ξ-是)(x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在D x ∈0,使εξ+<)(0x f ,即εξ-->-)(0x f ,可见ξ-是)(x f -的上界中最小者.所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-=-ξ(2)同理可证结论成立.9、 证明:函数x x f tan )(=在)2,2(ππ-内为无界函数,但在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.证: (1)对任意的正数M ,取)1arctan(0+=M x , 则220ππ<<-x ,M M M x >+=+=1)1(tan(arctantan 0 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是无界函数. (2)任取[]b a ,)2,2(ππ-∈,由于x tan 在[]b a ,上是严格递增的,从而b x a tan tan tan ≤≤对任意的[]b a x ,∈都成立.令}tan ,tan max{a a M =,则对一切的[]b a x ,∈,有M x ≤tan ,所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.10、 讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x D ,0,1)(的周期性、单调性、有界性。

国开（中央电大）本科《数学分析专题研究》网上形考（任务1至3）试题及答案国开(中央电大)本科《数学分析专题研究》网上形考(任务1至3)试题及答案形考任务1 试题及答案题目1: , , 是三个集合, 若, 则有( )成立。

[答案] 题目2: , 则( )。

[答案] 题目3: 与自然数集N等势的集合称之为( )。

[答案]可列集题目4: 设是从到的映射, 则下列说法正确的是( )。

[答案] 题目5: 设, 是两个集合且, 则( )。

[答案]= 题目6: 设是中的关系, 若, 则称为( )。

[答案]反对称的题目7: 设是一集合, 对于, 规定, 则是一( )。

[答案]半序集题目8: 若集合, 则( )。

[答案] 题目9: 对整数加法来说, 整数集中( )。

[答案]零元和负元素都存在题目10: 对于复数集 , 下列说法正确的是( )。

[答案]它不能成为有序域题目11:1.设是中的关系, 若是_______, 对称的, 传递的, 则称是等价关系。

[答案]反身的 2.设是非空的实数集, 若存在实数, 满足1), 有；2)_______, 则称是数集的下确界。

[答案] 3.一个集合若不能与_______建立一个双射, 则称该集合为有限集。

[答案]其任一真子集 4.若集合上的运算满足_______, 则的左零元就是的右零元, 也就是的零元。

[答案]交换律 5.对于半序集合的元素, 若_______, 则称为的极大元。

[答案]任意的都不成立6.既约分数可以化成有限小数当且仅当只含有_______的因数。

[答案]2与5 7._______。

[答案] 8.设是非空有界实数集, 令 , 则_______。

[答案] 9.在自然数集中, 能进行减法运算当且仅当被减数_______减数。

[答案]> 10.若数列单调增加且有________, 则数列收敛。

[答案]上界题目12: 设集合A={1, 2, 3456.7, 8}, 关系D4为整除关系(1)写出集合A中的最大元, 最小元, 极大元, 极小元;(2)写出A的子集B={12, 4}的上界、下界、最小上界和最大下界。

第一章测试1.数列收敛的充要条件是数列有界。

（）A:错B:对答案:A2.数集S存在最大数，那么这个最大数就是这个数集的上确界（）A:对B:错答案:A3.任何函数都存在反函数。

（）A:错B:对答案:A4.狄利克雷函数是周期函数。

（）A:对B:错答案:A5.下列各组函数中，是相同的函数的是（）.A: 和B:C: 和D: 和 1答案:A6.数集下确界为（）A:不存在B:2C:0D:1答案:A第二章测试1.已知数列收敛，发散；则数列的敛散性无法确定。

（）A:对B:错答案:B2.数列的极限不存在。

（）A:错B:对答案:B3.若,则对任一正整数,有。

（）A:对B:错答案:A4.若，且有常数满足,那么有“存在,使得对任意都有”成立。

（）A:错B:对答案:A5.若数列单调递增并且有上界，则。

（）A:对B:错答案:A6.柯西数列都是有界数列。

（）A:对B:错答案:A7.数列的极限为（）.A:1B:0C:2D:不存在答案:B8.下列说法中错误的有（）.A:对于任意正数及任意正数,总存在正整数,使得当时,B:如果任给,均存在正整数,当时有,则收敛于C:存在,且能找到正整数,当时有,则收敛于D:如果任给,均存在实数,当时有,则收敛于答案:C9.下列数列中，极限不等于1的是（）A:B:C:D:答案:A第三章测试1.（）A:1B:C:0D:答案:DA:0B:2C:-1D:1答案:C3.（）A:2B:-1C:1D:0答案:A4.（）A:B:1C:0D:答案:A5.（）A:0B:1C:D:答案:D6.（）A:2B:3C:1D:0答案:B7.设则（）A:3B:0C:1D:2答案:D8.（）A:3B:2C:0D:1答案:DA:0B:C:1D:答案:D10.（）A:B:1C:D:0答案:A第四章测试1.设，,是的连续点，则（）A:B:1C:0D:答案:A2.若在上连续，则=（）A:-2B:C:1D:答案:A3.（）A:B:C:D:答案:C4.（）A:B:C:D:答案:D5.（）A:B:C:答案:A6.（）A:-2B:C:1D:答案:C7.（）A:1B:C:D:-2答案:A8.（）A:B:C:1D:-2答案:A9.（）A:1B:-2C:D:答案:A10.（）A:B:-2C:1D:答案:C第五章测试1.如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A:6B:18C:81D:54答案:B2.已知直线与曲线，则b的值为（）A:-5B:5D:-3答案:C3.设，则（）A:B:C:D:答案:A4.下列各微分式正确的是（）.A:B:C:D:答案:C5.如果处处可导，则（）。

中国科学院数 数学分析试题1求a,b 使下列函数在x=0处可导:21ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由(00),(00)1f b f +=-=得到b=1;又由(0),(0)0f a f +-==得到a=0.即得。

2 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n1已知级数发散求证级数也发散a a证明: 用反证法。

由0n a >知1n ∞=∑n 1级数a ，111n ∞=+∑n a 均为正项级数。

假设级数111n ∞=+∑n a 收敛，则1lim 01n →∞=+na ，于是有11lim lim lim 1111111n n n n n n a a a →∞→∞→∞===-+++n n 1a a ，从而由正项级数的比较判别法知级数1n ∞=∑n 1a 收敛，矛盾，从而得证。

3 1(1).n x dx ≥-⎰m 设m,n 0为整数,求积分x 的值解：111111n100(1),1I(m,n)=(1-x)(1)|(1)(1)(1,1).01111n m m m n n x dx x x x n d x n x dx I m n m m m m +++--=----=+-++++⎰⎰⎰m 设I(m,n)=x 则由分部积分法有从而111(,)(1,1)(2,2)(,0)11212n n n n n I m n I m n I m n I m n m m m m m m n--=+-=+-==+++++++!1!!()!1(1)!!n m n m n m n m n m ==+++++即得解。

4 0().aaa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e证明：由f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数知()()f x f x -=,从而令x t =-有()()()11a a at t t a a af t e f t dx dt dt e e -----=-=++⎰⎰⎰x f(x)1+e 从而1()1()()212aaaat t a a aae f t dx dx dt f x dx e ----=+=+⎰⎰⎰⎰x x f(x)f(x)1+e 1+e 0000011[()()][()()]()22aaaaa f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰得证。