第8章 梁的强度与刚度

8-49现用某种黄铜材料制成的标准圆柱形试件做拉伸试验。

已知临近破坏时，颈缩中心部位的主应力比值为113321::::=σσσ；并已知这种材料当最大拉应力达到770MPa 时发生脆性断裂，最大切应力达到313MPa 时发生塑性破坏。

若对塑性破坏采用第三强度理论，试问现在试件将发生何种形式的破坏？并给出破坏时各主应力之值。

解： 令主应力分别为：σσ31=，σσσ==32脆性断裂时，由第一强度理论=1r σσσ31==770MPa所以，塑性破坏时，由第三强度理论 所以故，试件将发生脆性断裂。

破坏时MPa 7701=σ，MPa 25732==σσ8-50 钢制圆柱形薄壁压力容器（参见图8-13），其平均直径mm d 800=，壁厚mm 4=δ，材料的M P a ][120=σ，试根据强度理论确定容器的许可内压p 。

解：在压力容器壁上取一单元体，其应力状态为二向应力状态。

p pd 504'==δσ ，p pd1002"==δσ 其三个主应力为p 100"1==σσ， p 50'2==σσ，03=σ据第三强度理论所以 ，MPa p 2.13≤，许可内压MPa p 2.13= 据第四强度理论所以，MPa p 39.14≤，许可内压MPa p 39.14=8-51 空心薄壁钢球，其平均内径mm d 200=，承受内压MPa p 15=，钢的MPa ][160=σ。

试根据第三强度理论确定钢球的壁厚δ。

解：钢球上任一点应力状态如图示 其三个主应力为：σσσ==21，03=σ而 MPa MPa d p R R p δδδδππσ4342.0152222=⨯=⋅=⋅⋅=据第三强度理论 所以 mm m 69.41069.41601433=⨯=⨯≥-δ 8-52 图8-77所示两端封闭的铸铁圆筒，其直径mm d 100=，壁厚mm 10=δ，承受内压MPa p 5=，且在两端受压力kN F 100=和外扭矩m kN T ⋅=3作用，材料的许用拉应力MPa ][40=+σ，许用压应力MPa ][160=-σ，泊松比250.=ν，试用莫尔强度理论校核其强度。

《工程力学》试题库第一章静力学基本观点4.试计算图中力 F 对于 O点之矩。

解： M O(F)=07.试计算图中力 F 对于 O点之矩。

解：M O(F)= -Fa8.试计算图中力 F 对于 O点之矩。

解：M O(F)= F(l＋r)19.画出杆 AB的受力争。

24.画出销钉 A 的受力争。

物系受力争26.画出图示物系统中杆 AB、轮 C、整体的受力争。

29.画出图示物系统中支架AD、 BC、物体 E、整体的受力争。

30.画出图示物系统中横梁AB、立柱 AE、整体的受力争。

32.画出图示物系统中梁AC、CB、整体的受力争。

第二章平面力系3.图示三角支架由杆 AB，AC铰接而成，在 A 处作用有重力 G，求出图中 AB，AC所受的力（不计杆自重）。

解:（1）取销钉 A 画受力争如下图。

AB、 AC杆均为二力杆。

（2）建直角坐标系，列均衡方程：∑F x＝0，-F AB+F AC cos60°＝ 0∑F y＝0，F AC sin60 ° -G＝0（3）求解未知量。

F AB＝（拉）F AC＝（压）4.图示三角支架由杆 AB，AC铰接而成，在 A 处作用有重力 G，求出图中 AB， AC所受的力（不计杆自重）。

解（1）取销钉 A 画受力争如下图。

AB、 AC杆均为二力杆。

（2）建直角坐标系，列均衡方程：∑F x＝0，F AB-F AC cos60°＝ 0∑F y＝0，F AC sin60 ° -G＝ 0（3）求解未知量。

F AB＝（压）F AC＝（拉）6.图示三角支架由杆 AB，AC铰接而成，在 A 处作用有重力 G，求出图中 AB，AC所受的力（不计杆自重）。

解（1）取销钉 A 画受力争如下图。

AB、 AC杆均为二力杆。

（2）建直角坐标系，列均衡方程：∑F＝0，-FAB sin30 ° +F sin30 °＝ 0x AC∑F y＝0， F AB cos30° +F AC cos30° -G＝ 0（3）求解未知量。

第八章梁的强度与刚度第二十四讲梁的正应力截面的二次矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）第二十六讲弯曲正应力强度计算（二）第二十七讲弯曲切应力简介第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学难点：平行移轴定理及其应用。

教学内容：第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲概念：１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。

２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。

二、纯弯曲时梁的正应力：１、中性层和中性轴的概念：中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。

其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：（１）、任一点正应力的计算公式：（２）、最大正应力的计算公式：其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。

说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。

§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：１、矩形截面：２、圆形截面和圆环形截面：圆形截面圆环形截面其中：３、型钢：型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。

二、组合截面的二次矩平行移轴定理１、平行移轴定理：截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。

I Z1=I Z+a2A２、例题：例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。

解：1、求T形截面的形心座标yc2、求截面对形心轴z轴的惯性矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度计算。

材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计梁的位移分析与刚度设计是材料力学中的重要内容，本章将详细讨论这一主题。

首先，我们将学习如何计算梁在受力作用下的位移，然后将介绍梁的刚度设计。

梁的位移分析是研究在给定外力作用下梁的变形情况。

梁的位移是描述梁形变的一个重要参数，它可以反映梁的刚度特性。

在计算梁的位移时，我们需要应用位移-力关系。

梁的位移可以通过积分方法求解。

首先，我们可以根据梁的几何形状和外力作用情况建立梁的运动方程。

然后，可以利用平衡方程进行求解。

在求解过程中，我们需要考虑梁的边界条件和材料的力学特性，如杨氏模量和截面积。

一般情况下，我们可以将梁的位移分为两个部分：切向位移和法向位移。

切向位移是梁沿梁轴方向的位移，用u表示。

法向位移是梁在横截面上的位移，用v表示。

通过计算这两个位移，可以得到梁的整体位移。

梁的位移分析对于工程设计非常重要。

它可以帮助我们了解梁的形变情况，从而设计更合理的结构。

此外，梁的位移还可以用于计算应力和应变，进一步分析梁的受力情况。

梁的刚度设计是根据梁的位移要求设计梁的刚度。

刚度是指梁对力的抵抗能力，可以表示梁的刚度特性。

在刚度设计中，我们需要根据梁的应力要求确定梁的截面形状和尺寸。

刚度设计的目标是使梁在承受一定荷载下的变形满足设计要求。

在设计过程中，我们需要考虑梁的强度和刚度，以确保梁的安全性和稳定性。

此外，我们还需要考虑经济性，尽可能减少材料的使用量。

在刚度设计中，我们可以使用材料的力学性质和梁的几何尺寸来计算梁的刚度。

常用的方法有弹性理论法和极限平衡法。

在弹性理论法中，我们可以根据梁的几何形状和外力作用，利用弹性力学公式计算梁的刚度。

在极限平衡法中，我们可以根据荷载条件和材料的破坏特性，计算梁的刚度限制。

总结起来，梁的位移分析与刚度设计是材料力学中的重要内容。

通过位移分析，我们可以了解梁的形变情况，并计算应力和应变。

刚度设计则可以帮助我们设计梁的刚度，确保结构的安全性和稳定性。

平面弯曲内力 136第8章8.8提高梁的强度和刚度的措施从梁的弯曲正应力公式max max z M W σ=可知，梁的最大弯曲正应力与梁上的最大弯矩W max 成正比，与弯曲截面系数W z 成反比；从梁的挠度和转角的表达式可以看出梁的变形与跨度l 的高次方成正比，与梁的抗弯刚度EI z 成反比。

依据这些关系，可以采用以下措施来提高梁的强度和刚度，在满足梁的抗弯能力前提下，尽量减少材料的消耗。

1．合理安排梁的支承在梁的尺寸和截面形状已经设定的条件下，合理安排梁的支承，可以起到降低梁上最大弯矩的作用，同时也缩小了梁的跨度，从而提高了梁的强度和刚度。

以图8-25（a ）所示均布载荷作用下的简支梁为例，若将两端支座各向里侧移动0.2l ，如图8-25（b ）所示，梁上的最大弯矩只及原来的1/5，同时梁上的最大挠度和最大转角也变小了。

图8-25均布载荷作用下简支梁支撑的合理安排工程上常见的锅炉筒体和龙门吊车大梁的支承不在两端，而向中间移动一定的距离，就是这个道理，如图8-26（a ）、（b ）所示。

图8-26 工程中常见的支撑安排2．合理布置载荷载荷布置得合理也可以收到降低最大弯矩的效果。

例如将轴上的齿轮安置得紧靠轴承，就8.8本章小结137 会使齿轮传到轴上的力F 紧靠支座。

如图8-27所示的情况，轴的最大弯矩仅为max 536M Fl =；但如把集中力F 作用于轴的中点，则M max = Fl /4。

相比之下，前者的最大弯矩就减少很多。

此外，在情况允许的条件下，应尽可能把较大的集中力分散成较小的力，或者改变成分布载荷。

例如把作用于跨度中点的集中力F 分散成图8-28所示的两个集中力，则最大弯矩将由max 4Fl M =降为max 8Fl M =。

图8-27 齿轮上载荷的合理布置—载荷紧靠支座 图8-28 齿轮上载荷的合理布置—载荷分散 3．选择梁的合理截面梁的合理截面应该是用较小的截面面积获得较大的弯曲截面系数（或较大的截面二次矩）。