一年级第二讲图形的计数

第二讲图形的计数【知识要点】在数图形时，不管是数什么样的图形都要有一定的次序，可以按从左到右、从上到下、从小到大等次序进行；然后数一个的有几个，两个组成的有几个……数立方体，一般要从上向下一层一层地数，再把各层的个数加起来。

用小棒摆各种图形，要注意仔细观察，并动手摆一摆、移一移或画一画。

当然也可以用其他的一些好方法哦！【典型例题】例1：图中共有（）条线段。

分析：数的时候应有顺序地按同一方向去数。

以A为起点，有线段AB、线段AC，共2条线段；以B为起点，有线段BC，共1条线段。

所以图中共有3条线段。

例2：有一把奇怪的尺，上面只有“0”、“1”、“4”三个刻度（单位：厘米），你能用这把尺一次量出几种不同长度的线段？分析：小朋友，你知道从1厘米到4厘米之间有多长吗？在解答这道题的时候，我们要考虑到从1厘米到4厘米之间的长度是3厘米。

所以我们可以这样量：刻度0-1：可以量出1厘米；刻度0-4：可以量出4厘米；刻度1-4：可以量出3厘米；所以，一共可以量出3种不同长度的线段。

例3：数一数，下图中共有（）个长方形。

分析：在数图形的时候，我们可以先数一个个小的长方形，再数一数小长方形拼成的不同的大长方形。

这样数：小长方形有4个，它们是：两个小长方形拼成的大长方形有4个，它们是：还有一个由4个小长方形拼成的最大的长方形。

所以，图中共有9个长方形。

例4：数一数，图中共有（）个正方形。

分析：我们可以这样数：（1）最小的正方形有9个；（2）4个小正方形拼成的大正方形有4个；（3）9个小正方形拼成的大正方形有1个；（4）共有9+4+1=14（个）正方形。

第一部分：基础部分1.填空以A 为起点，有线段AB 、线段（ ）、线段（ ），共（ ）条线段； 以B 为起点，有线段（ ）、线段（ ），共（ ）条线段； 以C 为起点，有线段（ ），共（ ）条线段； 所以图中共有（ ）条线段。

2.小马虎是个顽皮的孩子。

他不小心将尺上的一些刻度刮掉了，只剩下“0”、“2”、“5”、“8”这四个刻度（如图所示）。

第二讲图形的计数一、平面图形1、规则图形方法：开火车①单层总数=基本线段数依次加到1②多层三角形A、边到边B、角到边2、不规则图形方法：分类数①按大小②按方向二、立体图形1、分层数2、空白=实心-空心3、分割法【例1【解析】要数清图中一共有多少个圆点点，小朋友们不妨先想一想我们有哪些观察角度。

方法一：从上到下观察，分层数，那么总数是：1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49（个）方法二：斜着看，有7排7列个圆点点，总数是：7+7+7+7+7+7+7=49（个）【例2】时钟1时敲1下，2时敲2下，3时敲3下，……照这样敲下去，从1时起到时钟共敲28下时，时钟显示是几时？当共敲80下的时候又是几时？【解析】注意：13点的时候指针指向1，敲击一下，敲击的次数与时钟上时针所指数字相同；记住一些常用的加和结果可以方便解题。

（1）1+2+3+4+5+6+7=28（下），所以共敲28次的时候是7时的最后一次敲击。

（2）从1时到12时一共敲了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（下）（这里小朋友要是背过常用加和结果就可以迅速发现从1加到12的结果是78了），过了12时，又会从1开始敲，78+1+1=80（下），所以敲击第80下的时候，时钟显示的是2时，此时正好敲2时的第一下。

【例3】艾迪、薇儿、加加、减减和6个士兵一起分54颗珍珠。

要求每个人都分到珍珠，但分到的珍珠颗数又不能一样多，怎么分？如果不能分，至少应该有多少颗珍珠才能够分？【解析】小朋友们一定要注意，一共有10个人，不要见到数字6就以为只有6个人啦。

每个人都分到珍珠，但颗数又不能相同，我们不知道分到珍珠最多的人可以分到多少颗，但是我们可以让分的最少的只分到1个，然后其他人依次比上一个人多拿一个，这样就能算出至少需要多少颗珍珠才够分。

至少需要的珍珠数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（颗），所以54颗珍珠不够分。

第二讲图形的计数一、平面图形1、规则图形方法：开火车①单层总数=基本线段数依次加到1②多层三角形A、边到边B、角到边2、不规则图形方法：分类数①按大小②按方向二、立体图形1、分层数2、空白=实心-空心3、分割法——马悦老师【例1【解析】要数清图中一共有多少个圆点点，小朋友们不妨先想一想我们有哪些观察角度。

方法一：从上到下观察，分层数，那么总数是：1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49（个）方法二：斜着看，有7排7列个圆点点，总数是：7+7+7+7+7+7+7=49（个）【例2】时钟1时敲1下，2时敲2下，3时敲3下，……照这样敲下去，从1时起到时钟共敲28下时，时钟显示是几时？当共敲80下的时候又是几时？【解析】注意：13点的时候指针指向1，敲击一下，敲击的次数与时钟上时针所指数字相同；记住一些常用的加和结果可以方便解题。

（1）1+2+3+4+5+6+7=28（下），所以共敲28次的时候是7时的最后一次敲击。

（2）从1时到12时一共敲了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（下）（这里小朋友要是背过常用加和结果就可以迅速发现从1加到12的结果是78了），过了12时，又会从1开始敲，78+1+1=80（下），所以敲击第80下的时候，时钟显示的是2时，此时正好敲2时的第一下。

【例3】艾迪、薇儿、加加、减减和6个士兵一起分54颗珍珠。

要求每个人都分到珍珠，但分到的珍珠颗数又不能一样多，怎么分？如果不能分，至少应该有多少颗珍珠才能够分？【解析】小朋友们一定要注意，一共有10个人，不要见到数字6就以为只有6个人啦。

每个人都分到珍珠，但颗数又不能相同，我们不知道分到珍珠最多的人可以分到多少颗，但是我们可以让分的最少的只分到1个，然后其他人依次比上一个人多拿一个，这样就能算出至少需要多少颗珍珠才够分。

至少需要的珍珠数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（颗），所以54颗珍珠不够分。

第二讲有趣的图形计数我们之前已经认识了各种图形，并会数简单的图形，在此基础上，我们要进一步深入的学习图形计数的方法。

二年级秋季已经学过数线段、角、三角形、长方形等。

今天就要学习一些更复杂图形和立体图形的计数，通过数图形的练习，让同学来总结方法，找到计数技巧，培养同学有序思考问题和空间想象的能力。

一、规则图形【知识复习】（这里的“规则”是指不用一个一个数，可以直接用总结的方法的，可让孩子记下下面几种图形）（）条线段（）个角（）个三角形（）个长方形通用的方法：第一步，先数有几个基本图形（孩子可以理解为图形中的小线段、小角等）第二步，计算，假设有n个基本图形，则图形的总数是n+（n-1）+（n-2）+......+2+1例1：基本线段有4条，共有4+3+2+1=10例2：基本角有4个，共有4+3+2+1=10例3：基本长方形有4个，共有4+3+2+1=10 二、不规则图形方法：按照一定的顺序例1 ：按方向数（从左到右）例2：分类数例3 ：分层数三、数字有规律的图形计数左边：规则图形，3+2+1=6右边：同左边一样，3+2+1=6左右组合在一起：3一共：6+6+3=15含1个基本三角形的：6个含2个基本三角形的：3个含3个基本三角形的：6个含6个基本三角形的：1个一共有：6+3+6+1=16第一层3+2+1=6第二层3+2+1=6两层放到一起3+2+1=6一共有6+6+6=18方法：此类题，找出数字的规律，更能方便的计算图形的个数例：图1 图2图一中，第一行白方块的个数是4，第二行也是4，大三行也是，一共有8行，所以白方块的个数一共是4×8=32，黑方块也如此，也是32块。

图二中，第一行有白方块5个，第二行4个，第三行5个，第四行4个，奇数行都是5个，偶数行都是4个，所以白方块的个数是5×5+4×4=41，黑方块的个数是5×4+4×5=40块。

例：小房子（课本上例题2，由于图形太大，不能上传，请各位参照课本进行复习）以红线为分界线，下面是一个长方形，一共有砖10×11=110上面的从左向右数，1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5=25一共有110+25=135个四、立体图形的计数方法：分层数（从上向下）下一层的=上一层+多出来的例：解答：第一个图形，第一层4个，第二层4+1=5个，一共有4+5=9第二个图形，第一层1个，第二层1+2=3个，第三层3+3=6个，一共有1+3+6=10 第三个图形，第一层4个，第二层4+1=5，一共有4+5=9第四个图形，第一层1，第二层1+4=5，第三层5+1=6，一共有1+5+6=12补充：由一样大的小正方体组成的大的正方体，最少的需要2×2×2=8个，再大一点3×3×3=27个，以此类推第二讲基础班答案1．【答案】（15）个三角形（17）个正方形（44）个三角形2．【答案】⑴有9个小正方体，至少增加7个小正方体就可以拼成一个长方体．⑵有10个小正方体，至少增加2个小正方体就可以拼成一个长方体．⑶有12个小正方体，至少增加6个小正方体就可以拼成一个长方体．3．【答案】一共需要7块正六边形的砖才能把它补好．4．【答案】3352339⨯⨯+⨯=（块）或31339⨯=（块）⨯⨯-⨯=(块)或33362395．【答案】当中央最高一摞是10块时，这堆砖的总数是：++++++++++++++++++12345678910987654321=⨯1010=(块)．1001．【答案】（15）个三角形（17）个正方形（44）个三角形2．【答案】⑴有9个小正方体，至少增加7个小正方体就可以拼成一个长方体．⑵有10个小正方体，至少增加2个小正方体就可以拼成一个长方体．⑶有12个小正方体，至少增加6个小正方体就可以拼成一个长方体．3．【答案】一共需要7块正六边形的砖才能把它补好．4．【答案】3352339⨯=（块）⨯⨯+⨯=（块）或31339⨯⨯-⨯=(块)或33362395．【答案】当中央最高一摞是10块时，这堆砖的总数是：++++++++++++++++++12345678910987654321=⨯1010100=(块)．6．【答案】这两个图形可以拼成一个长方体．1．【答案】（15）个三角形（17）个正方形（44）个三角形2．【答案】⑴有9个小正方体，至少增加7个小正方体就可以拼成一个长方体．⑵有10个小正方体，至少增加2个小正方体就可以拼成一个长方体．⑶有12个小正方体，至少增加6个小正方体就可以拼成一个长方体．3．【答案】3352339⨯⨯-⨯=(块)或3336239⨯=（块）⨯⨯+⨯=（块）或313394．【答案】当中央最高一摞是10块时，这堆砖的总数是：++++++++++++++++++123456789109876543211010=⨯=(块)．1005．【答案】这两个图形可以拼成一个长方体．6．【答案】看着图，想象涂色情况．当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色．每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数．每个小立方体涂色面数都写在了它的上面．3面涂色的小立方体共有1个；4面涂色的小立方体共有4个；5面涂色的小立方体共有3个．。

平面图形计数平面图形计数分为规则图形计数、不规则图形计数及特殊图形计数。

一、必备知识点1、规则图形计数规则图形是指同一种图形头靠头、脚靠脚站成一排的图形。

常见的规则图形有以下4种：规则图形计数方法通常有三种：打枪法、恰含法和公式法（又名开火车）（1）打枪法（以数线段为例）首先，给线段的端点编号1、2、3、4、5，如下图：给1号一把枪，打到谁，谁就出来跟它一起组成一条线段，那么1可以打2、3、4、5，共打了4次2可以打3、4、5，共打了3次（2不能回头打1，因为1打2的线段和2打1的线段是同一条）3可以打4、5，共打了2次4可以打5，共打了1次这些点一共打了4+3+2+1=10次，所以可以组成10条线段。

【注意点】不能回头打（2）恰含法（以数长方形为例）首先，给一眼能看到的单个的长方形（这样的图形我们叫它基本图形）编号1、2、3、4，如下图所示：然后先数单个的长方形：有1、2、3、4，共4个再数两两拼起来的：有12、23、34，共3个接着数3个3个拼起来的：有123、234，共2个最后数4个4个拼起来的，有：1234，共1个所以这里的长方形一共有4+3+2+1=10（个）【基本思想】拼（3）公式法（以数长方形为例）首先，数一数基本长方形的个数（即一眼看到的），共4个，于是就把4当做火车头，开火车（及从4往下加，一直加到1）——4+3+2+1=10（个）即一共有10个长方形。

【注意点】找到火车头之后还要开火车，开火车之后加起来的数才是最后的图形个数。

2、不规则图形计数方法：恰含法、分类法（1）恰含法与规则图形的恰含法计数方法相同，这里不再赘述。

（2）分类法①按大小分②按正斜分（以数正方形为例）观察发现，这里的正方形有正着的，有斜着的，因此，先将正方形按正、斜来分类，先数正着的正着的数的时候再按大小分先数最小的（小号），有9个再数4个小的拼起来的（中号），有4个再数9个小的拼起来的（大号），有1个共9+4+1=14（个）正着的正方形斜着的正方形：小号有4个，大号有3个，共4+3=7（个）所以，一共有14+7=21（个）正方形。

图 形 计 数
达成目标：
本讲内容重点突出对长方形和中方形图形计数的研究，通过学习和训练，使学生掌握有序计数组合图形中所包含的基本图形（长方形或正方形）个数的方法。

培养学生的观察能力，引导学生运用分类思想、转化思想和排列组合的思想解题。

练习一：下图中有多少个长方形？
例题二：下图中有多少个长方形？
练习二：下图中有多少个长方形？
例题三：数出下图中有多少个正方形？（每个小方格为边长1cm 的正方形。

）
练习三：数出下图中有多少个正方形？（每个小方格为边长1cm 的正方形。

）。

第二讲图形计数【知识精讲】数线段规律：一条直线上如果有n个点，那么线段总数为1+2+3+⋯+（n−1）.数角规律：角的个数等于从1开始的连续自然数之和，这个连续自然数中最大的数是射线的条数减1，同时也是基本角的个数。

数三角形规律：数三角形时，可以简化成数有共同顶点的角的个数，或是数公共底边上线段的条数。

数长方形规律：一个规则的长方形图形（由m行、n列构成），它的长方形总数为（1+2+3+⋯+m）×（1+2+3+⋯+n）.数正方形规律：对于n行n列（n×n）的大正方形来说，正方形的总数为1×1+2×2+3×3+⋯+n×n.例题1：数一数，图中共有多少条线段？练习1：数一数，图中共有多少条线段？例题2：数一数，下图中有多少个角？练习2：数一数，图中共有几个角？例题3：数一数，下图中有几个三角形。

练习3：数一数，下图中有几个三角形。

例题4：数一数，图中共有（）个三角形。

练习4：数一数，图中共有（）个三角形。

例题5：数一数，下图中有多少个长方形？练习5：数一数，图中共有多少个长方形？例题6：含有☆的正方形有（）个。

练习6：含有☆的正方形有（）个。

例题7：在一块画有2×3方格网的木板上钉了12颗钉子，以钉子为顶点，用橡皮筋能围成（）个正方形。

练习7：下面有20个点，每相邻的两个点之间距离都相等，将四个点用直线连起来可以得到一个正方形。

用这样的方法，你可以得到（）个正方形。

巩固练习1、下图中一共有（）条线段.2、下图中有_____个三角形.3、数一数，一共有( )个长方形.4、在下图中,所有正方形的个数是______.5、下面有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，将四个点用直线连起来可以得到一个正方形。

用这样的方法，你可以得到（）个正方形。

图形的计数知识点：本讲学习的主要内容有：（一）线段、角、三角形的计数；（二）长方形、正方形的计数。

图形计数是指对满足一定条件的某图形进行观察并逐一数出来。

在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数：做不重复也不遗漏。

最常用的方法是：分类计数，利用基本图形计数。

教学目标：通过本讲的学习，学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成；掌握图形的基本方法做到不重不漏；能正确，有序，合理，迅速地数出图形。

重难点：1.学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成。

2.掌握数图形的基本方法做到不重复不遗漏。

3.能够正确能正确，有序，合理，迅速地数出图形。

教学过程：一.数线段1、如下图中有多少条线段？（出示图）（1）学生先独立数一数，并交流结论。

（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法2.仿练：如图，数一数图中各有多少条线段？二、数角3.数出下面图形中共有多少个角？（1）学生先独立数一数，并交流结论。

（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法如下图中共有几个角？小结：以上两例用到的方法是分类计算，通过分类可以将大问题分解为小问题，从而化简为易、化繁为简。

三、数三角形4、如图，图中各有多少个三角形？（1）学生先独立数一数，并交流结论。

（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法总结：在外面大三角形的底边上有几条线段，就有几个三角形。

（三角形与线段数有关。

）5.仿练：如图，图中各有多少个三角形？ 四、数长方形6、例4分析：通过前面所学，我们通过数基本图形可以正确数出来。

但我们可以参考长和宽的可能性，这样可以用分步计数原理（乘法原理）来解决。

也即，长方形的个数为长的线段数×宽上的线段数注明：但知道长上线段数并不能求得长方形个数，还需知道宽上线段数，而这需分步进行，因而采用分步计数原理， 五、数正方形7、例5下图中有几个正方形？8、仿练六、小结。

图形计数是指对满足一定条件的某图形进行观察并逐一数出来。

在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数：做不重复也不遗漏。

图形计数知识要点：1、图形计数：主要是指对满足一定条件的某种几何图形进行观察，把该图形中所包含的某一种（或几种）几何图形的个数逐一地数出来，或用某一带规律的方法直接计算出来的数学问题。

2、图形计数的方法：（1）进一步掌握各种平面图形的特征，学会有条理、有次序地数图形的方法。

（2）根据图形能较熟练地对该图形中所包含的某一种（或几种）图形进行计数。

（3）培养做事有条理、有秩序的号习惯。

一、课前一练1、数一数下列图形各有几条线段2、数一数下图共有几个角3、数一数下图共有几个三角形二、思维拓展例题1.数出下面图中有多少条线段？分析：以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。

所以，图中共有线段3+2+1=6（条）[小窍门]我们可以采用以线段左端点分类数的方法一次数出来。

练一练下图共有几条线段？例题2.数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1 个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。

练一练：数一数右图中总共有多少个角？例题3数一数共有多少个三角形？分析：以AB、AC、AD、分别为三角形的一边可数出共有三角形3+2+1=6（个）解：以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE 3个；以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE 2个；以AD为边的三角形有：△ADE 1个。

所以图中共有三角形3+2+1=6（个）。

【小窍门】数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。

图形的计数【知识要点】1.要想准确地数出图形中所包含的某一个几何图形的个数，关键是要掌握有条理、有次序地数图形的方法，常用的方法有按顺序数和分类数两种2.如果一条线段上有n 个分点（包括两个端点）时，那么它上面线段的总条数为()1231n ++++-3.标准图形中长方形的个数是由标准图形相邻两边上线段的条数所确定的，即标准图形中长方形的个数等于相邻两边上线段条数的乘积4.在数较复杂的图形的个数时，可以先按照一定的标准，把要计数的图形分成不同的类别，一类一类地去数（或算），最后把各类的个数合并起来 【典型题解】例1.（数线段）数出下面图形中有多少条线段？练一练1.下图共有（ ）条线段2.下图共有（ ）条线段3.下图共有（ ）条线段4.图中共有（ ）条线段例2.（数角）数出图中锐角的个数练一练1.数出下面各图中，锐角的个数2.下图中共有（ ）个锐角例3.（数三角形 ）下图中有几个三角形？练一练1.数出下图中，共有（ ）个三角形2.数出下面各图中的三角形的个数3.图中共有（ ）个三角形4.数出下图中共有多少个三角形5.图中共有多少个三角形例4.（数长方形）数一数下图中的长方形有多少个？ （2（1）（3）（4例5.下图中有多少个长方形方形包含＊号 ？ 练一练1.图中共有（ ）个长方形2.数出下面各图形中长方形的个数3.数一数，下面图形中共有多少个长方形（包括正方形）4.数出下图中含有﹡号的长方形个数例6.（数正方形）数一数下图中的正方形有多少个？ 练一练1.数出下面各图中正方形的个数2.数一数下图中的正方形有多少个包含＊号 ？3.图中共有（ ）个正方形。

《数图形的学问》讲义在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要数图形个数的问题。

比如，数一数一个几何图形中有多少个三角形、长方形或者圆形等等。

这看似简单的任务，其实蕴含着不少学问。

一、数图形的基本方法1、分类计数法当面对复杂的图形组合时，我们可以先将图形按照一定的标准进行分类。

比如，对于三角形，可以按照大小、形状或者位置等进行分类，然后分别计数，最后将各类的数量相加。

2、顺序计数法按照一定的顺序来数图形，这样可以避免重复或者遗漏。

例如，从上到下、从左到右，或者从大到小等顺序。

3、标记计数法在数图形的过程中，可以对已经数过的图形做一个小标记，这样能够清楚地知道哪些图形已经被数过，防止重复计数。

二、简单图形的计数1、线段的计数假设有 n 个点在同一条直线上，那么线段的总数为 n×（n 1)÷2 。

例如，有 5 个点，线段的数量就是 5×（5 1)÷2 ＝ 10 条。

2、角的计数同样，如果在一个顶点引出 n 条射线，那么角的总数也是 n×（n 1)÷2 。

3、三角形的计数在一个大三角形中，若内部有 n 个点，与三角形的三个顶点相连，那么三角形的总数为 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n 。

三、组合图形的计数1、多层图形比如一个由多个长方形组成的大图形，我们可以先数出一层有多少个长方形，然后再看有多少层，最后相乘得到总数。

2、包含嵌套图形对于包含嵌套的图形，先从最外层开始数，逐步向内部推进，注意不要遗漏被嵌套在内部的小图形。

四、实际应用中的数图形1、建筑设计在建筑设计图纸中，需要准确数出各种形状的构件数量，以确保材料的准备和施工的顺利进行。

2、拼图游戏玩拼图时，通过数图形可以帮助我们更好地了解拼图的组成和结构，从而更快地完成拼图。

3、数学考试在数学考试中，经常会有关于数图形个数的题目，这要求我们熟练掌握数图形的方法，快速准确地得出答案。

五、数图形的易错点1、重复计数由于没有按照一定的顺序或者方法，导致同一个图形被多次计数。

几何图形的计数(基本图形)我们已经学习了一些几何图形的有关知识，这些图形有线段、角、三角形、长方形、正方形、梯形、平行四边形，这一讲数学课外兴趣活动就教大家数数图形的个数。

有的同学说，“我们都四年级了，数图形个数谁不会，还用教吗？”请看这里有几条线段,&127;可能你会不加思索地说“2条”，你看到的是这样两条,&127;可是实际上还有一条你数漏了，所以这一题正确的回答应是“3条”。

如果一条直线上有100个点，线段有多少条呢？&127;用数的办法是非常麻烦的，那么今天我们就要用列表找规律的方法研究数基本图形的方法。

例1：数出下图有多少条线段？分析:线段有两个端点，从第一个端点出发的线段有4条，从第二个端点出发的线段有3条，从第三个端点出发的线段有3条，从第四个端点出发的线段有3条，从第五个端点出发的线段有0条。

线段总数共有4+3+2+1+0=10(条)方法二:如果称相邻的两端点组成的线段为基本线段,那么中有4条基本线段,其中的两条基本线段组成的线段有3条,其中由三条基本线段组成的线段有2条其中由四条基本线段组成的线段有1条线段总数是4+3+2+1=10(条)小结:由例1我们可以看出线段总数的计算是有一定规律的,&127; 我们可以用列表的方法找出计算线段总数的公式:图形端点数基本线段数线段总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=65 4 4+3+2+1=10………规律:基本线段数=端点数-1线段总数=基本线段数+(基本线段数-1)+(基本线段数-2)+…+2+1例2:数出下图一共有多少个角?分析:角是由同一点引出两条射线组成的图形,由例1&127;你能设计出一个表格来找出数角总数的规律吗?图形射线数基本角数角总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=6………这一题同样也有两种数法:方法一:由第一条射线出发的角有4个由第二条射线出发的角有3个由第三条射线出发的角有2个由第四条射线出发的角有1个共有4+3+2+1=10(个)方法二:基本角有4个由两个基本角组成的角有3个由三个基本角组成的角有2个由四个基本角组成的角有1个角总数为4+3+2+1=10(个)规律:基本角数=射线数-1角总数=基本角数+(基本角数-1)+(基本角数-2)+…+2+1例3:数数下图共有多少个三角形?分析:有了例1与例2的知识你能自己找出规律吗?方法一:从A点出发的三角形个数是3个从B点出发的三角形个数是2个从C点出发的三角形个数是1个三角形总数是3+2+1=6(个),恰好与底边有多少条线段的得数相同方法二:从顶角看,角的总数也恰好与三角形个数相同:顶角共有3+2+1=&127;6(个)角, 三角形共有6个角你能写出数三角形的公式吗?三角形总个数=基本三角形个数+(基本三角形个数-1)+(基本三角形个数-2)+…+2+1例4:数数下图共有多少个长方形?(包括正方形)分析:长方形的长和宽都是线段,由线段构成的长方形个数一定与线段数有关,横着看: 每一排的长方形个数共有3+2+1=6(个)&127;恰好与长的线段总数相同:竖着看:有3排2+1=3,恰好与宽的线段总数相同,&127;一共有(3+2+1)×(2+1)=18(个)长方形。

怎样数图形的个数？数长方形例1 如下图，数一数下列各图中长方形的个数？分析：图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为： 4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.解：图（Ⅰ）中长方形个数为 4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.例2 如下图数一数图中长方形的个数.解：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：3+2+1=6.所以共有长方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1） =15×6 =90（个）.数正方形例3 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）分析：图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有：2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.1所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）；边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）.所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）.图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；边长为2个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；边长为3个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为4个长度单位的正方形有：1×1=1（个）；所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3+4×4=30（个）.图Ⅳ中，边长为1个长度单位的正方形有：5×5=25（个）；边长为2个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；边长为3个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；边长为4个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为5个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.所有正方形个数为：1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（个）.小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）.例4 如下图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.①一条基本线段为边的正方形个数共有： 6×5=30（个）.②以二条基本线段为边的正方形个数共有： 5×4=20（个）.③以三条基本线段为边的正方形个数共有： 4×3=12（个）.④以四条基本线段为边的正方形个数共有： 3×2=6（个）.⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：2×1=2（个）.所以，正方形总数为：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1 =30+20+12+6+2=70（个）.小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1 显然例4是结论的特殊情况.例5 如下图，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成4×4的正方形钉阵，现有许多皮筋，问能套出多少个正方形.2分析：这个问题与前面数正方形的个数是不同的，因为正方形的边不是先画好的，而是要我们去确定的，所以如何确定正方形的边长及顶点，这是我们首先要思考的问题.很明显，我们能围成上图Ⅰ那样正向正方形14个，除此之外我们还能围出图Ⅱ那样斜向正方形4个，图Ⅲ那样斜向正方形2个.但我们不可能再围出比它们更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有4+2=6个，总共可以围出正方形有：14+6=20（个）.我们把上述结果列表分析可知，对于n×n个顶点，可作出斜向正方形的个数恰好等于（n-1）×（n-1）个顶点时的所有正方形的总数.数三角形例6数一数图中有多少个三角形.解：参把图中三角形分成尖朝上和尖朝下的两类：Ⅰ.尖朝上的三角形有五种：（1）W①上=8+7+6+5+4=30（2）W②上=7+6+5+4=22（3）W③上=6+5+4=15（4）W④上=5+4=9（5）W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（个）.Ⅱ.尖朝下的三角形有四种：（1）W①下=3+4+5+6+7=25（2）W②下=2+3+4+5=14（3）W③下=1+2+3=6（4）W④下=1尖朝下的三角形共有 25+14+6+1=46（个）.所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有80+46=126（个）3。

第二讲图形计数本讲要让孩子学会数平面图形和数正方体的基本方法，同时要逐渐培养孩子分类思考的思维习惯。

一、 数平面图形1、数基本图形（复习）（1）有规律的平面图形方法一： 打枪法 （适用于数线段）例 数线段分析：打枪法 共6条方法二： 公式法 （适用于数线段、数角、数三角形等）例 数线段分析：有4条基本线段，所以一共有4+3+2+1=10（条）线段 例 数角分析： 有3个基本角，共有3+2+1=6（个）角例 数三角形分析：有4个基本三角形，共有4+3+2+1=10（个）三角形（2）没有规律的图形方法： 标号法（适用于任何基本的平面图形，建议重点掌握） 例 数正方形分析： 如图标号分类：小正方形有4个，四个小正方形拼成的大正方形有3个，共7个正方形。

例 数长方形分析：如图，先标号分类思考：1）一块的有：4个2）2块拼在一起：（1,2）（2,3）（3,4）3个3）3块拼在一起：（2,3,4） 1个共有：4+3+1=8（个）2、数排列图形（即一些小图形排列在一起组成看似复杂的图形）（1）完整的图形例 数一数，下面的图形一共有多少个“”方法一：一行一行的数(基本方法，建议重点掌握) 分析：从上往下一行一行的数 如图即 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49（个）方法二：用乘法（技巧方法）仔细观察上图，其实这些点组成了一个正方形，如图即7+7+7+7+7+7+7=7╳7=49注：此处要给孩子做乘法的铺垫，7个7相加就可以写成7╳7的形式，乘法是几个相同加数求和的简便运算。

提醒孩子要开始背乘法口诀，到暑假班要大量的用到乘法，所以早做准备。

如：6+6+6+6+6=6╳5 8+8+8+8+8+8+8=8╳7（2）不完整图形（中间有漏洞的图形）例 数一数，下图有多少个“”方法一：一行一行的数（基本方法）1+3+5+7+9+6+10+14+17=72（个）方法二：补全法（即补成完整的图形，然后再把补的减去）如上图，补全后共有：1+3+5+7+9+11+13+15+17=81(个)81-（1+3+5）=72（个）方法三：拆分法 （即分成几个形状相同的图形，但切记把重复数的减掉）如上图，拆分成三个相同的三角形，重复数了3个点25+25+25-3=72（个）二、 数正方体推荐方法：从上往下一层一层的数例 数一数下图有多少块立方体？分析：如图，从上往下，一层一层的数即 1+3+6+10=20（块） 注：熟记 1+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55拓展练习1.哥哥和妹妹一起玩小棒游戏。