山东理工大学概率论试卷A卷

《概率论与数理统计》试卷A（考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。

答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则AB =()A 、AB B 、A BC 、A BD 、A B2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示()A 、A ，B ，C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生C 、A ，B ，C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P AB =，()0.2P A =，()0.4P B =，则()成立A 、()0.32P AB = B 、()0.2P A B =C 、()0.4P B A -=D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则()A 、()()()P AB P A P B -=- B 、()()()P AB P A P B =+C 、()()()P AB P A P B =D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是()A 、A 与B 独立 B 、A 与B 独立C 、()()()P AB P A P B =D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =()A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它 ，则常数c =()A 、15 B 、14C 、4D 、58、设X ～)1,0(N，密度函数22()x x ϕ-=，则()x ϕ的最大值是()A 、0B 、1 C、9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!k p k e k k -==，则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1,93EX DX ==10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()A 、(21)2E X np -=B 、(21)4(1)1D X np p +=-+C 、(21)41E X np +=+D 、(21)4(1)D X np p -=-11、独立随机变量,X Y ，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是()A 、()4E X Y +=B 、()3E XY =C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为：则常数c=()A 、0B 、1C 、14 D 、14- 13、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A 、1B 、0C 、12D 、-1 14、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A 、9B 、6C 、30D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。

第1页共2页 第1页共2页12020-2021大学《概率论》期末课程考试考试卷A适用专业： 考试日期： 考试时间：120分钟试卷总分：100分 试卷类型：闭卷一、（共10小题，每空2分）填空题:1. 比较概率P(A)、P(A+B)、P(AB)与P(A)+P(B)大小2.试用事件A 、B 、C 表示下列事件：(1)A 、B 、C 同时发生 ;(2) A 、B 、C 至少有一个发生 ;(3)仅A 发生 ;(4) A 、B 、C 不可能同时发生 .3.设P(A)=0.5,P(B)=0.4.则(1)当A 、B 互斥时,P(AUB)= ; (2)当A 、B 独立时,P(AB)= ; (3)当A 包含B 时, P(AUB)= . (4)当A 、B 独立时,P(AUB)= ;4.设P(A)=41, P(B)= 51 , P(AUB)=31 , 则P(AB)= . 5．设E ξ=5,则E(3ξ+2)= . 6. 设 D ξ=9 ,则D(2ξ +3)= .7. 设ξ服从正态N(2,9)分布, 则E ξ= ,2ξ+1服从____________.8．设A i 表示某人第i 次摸球中奖 (i=1,2,3),则A 1A 2A 3表示 ,A 1UA 2UA 3表示 . A 1A 23A 表示 . 9.若E ξ=4，D ξ=0.2，则≥≤≤)53(ξP .10. 设随机变量ξ服从()5,2上的均匀分布,则方程42X +4ξX -2=0有实根的概率是____________,且E ()32-ξ=_____________.二、（共4小题，每小题6分）计算下列各题1.一袋中有五个红球，三个白球，二个黑球，求任取三个球中恰好有一红，一白，一黑的概率。

2. 设随机变量ξ的密度函数为)(x ϕ==⎩⎨⎧0sin x k ()()ππ,0,0∉∈x x 求(1)常系数k 及概率P(4π<ξ<2π).院系______________专业班级_____________姓名_____________序号______--------------------------------密------------------------------------封------------------------------------线-----------------------------------第2页共2页 第2页共2页 23.甲、乙二人同时射击,甲击中目标的概率为0.8, 乙击中目标的概率为0.9求:(1)两人同时击中目标的概率, (2)至少有一人击中目标的概率.4.N 个人同乘一辆长途汽车，沿途有n 个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车.设每个人在任一车站下车是等可能的，求停车次数的数学期望.三、（共3小题，每小题10分）解答下列各题1.某批产品废品率为0.03,进行20次重复抽样检查.问抽取20件产品中,(1)恰好有2件为废品的概率是多少？(2) 至少有一件为废品的概率是多少？2. 某测量误差ξ∽N(0,1).求(1)误差绝对值不超过2的概率.(已知0Φ(2)=0.97725).(2)三次测量中至少有一次误差绝对值不超过2的概率.3.设()ηξ,的联合密度函数为ϕ(x ，y)=其它,2,0,0)sin(21π<<⎪⎩⎪⎨⎧+y x y x ,试求 E（ηξ+）.四、（6分）证明题在某一试验中事件A 出现的概率为p,试证明在n 次重复独立试验中事件A 出现奇数次的概率为2)21(1np --.院系______________专业班级_____________姓名_____________序号______----------------------------------密------------------------------------封------------------------------------线-----------------------------------第3页共2页 第3页共2页32020-2021大学《概率论》期末课程考试考试卷A 答案适用专业： 考试日期： 考试时间：120分钟 试卷总分：100分 试卷类型：闭卷一、（共10小题，每空2分）填空题:1.比较概率P(A)、P(A+B)、P(AB)与P(A)+P(B)大小P(A)+P(B)≥ P(A+B)≥P(A)≥ P(AB);2.试用事件A 、B 、C 表示下列事件： (1)A 、B 、C 同时发生 ABC ; (2) A 、B 、C 至少有一个发生 C B A ; (3)仅A 发生 C B A ;(4) A 、B 、C 不可能同时发生 A C C B B A . 3.设P(A)=0.5,P(B)=0.4.则(1)当A 、B 互斥时,P(AUB)= 0.9 ; (2)当A 、B 独立时,P(AB)= 0.2 ; (3)当A 包含B 时, P(AUB)= 0.5 . (4)当A 、B 独立时,P(AUB)= 0.7 ;4.设P(A)=41 , P(B)= 51 , P(AUB)=31, 则P(AB)=607 .5．设E ξ=5,则E(3ξ+2)= 17 . 6. 设 D ξ=9 ,则D(2ξ +3)= 36 .7. 设ξ服从正态N(2,9)分布, 则E ξ= 2 ,2ξ+1服从N(5,36). 8．设A i 表示某人第i 次摸球中奖 (i=1,2,3),则A 1A 2A 3表示三次都未中奖 ,A 1UA 2UA 3表示至少有一次中奖 . A 1A 23A 表示 只有第三次未中奖. 9.若E ξ=4，D ξ=0.2，则≥≤≤)53(ξP 0.8 .10. 设随机变量ξ服从()5,2上的均匀分布,则方程42X +4ξX -2=0有实根的概率是__1__,且E ()32-ξ=__4__. 二、（共4小题，每小题6分）计算下列各题1. 一袋中有五个红球，三个白球，二个黑球，求任取三个球中恰好有一红，一白，一黑的概率。

华东理工高校2022 - 2022学年其次学期《概率论与数理统计》课程考试试卷A 卷200开课学院：理学院，专业：大而积，考试形式：闭卷，所需时间：120分钟考生姓名：学号：班级：任课老师：一、（共12分）设二维随机变量（X ,y ）的概率密度函数为（1）求常数Z （3分）；（2） 求 P{X ＞丫} （3 分）；（3）证明：X 与y 相互独立（6分）。

解：(1) f f ∕(x, y)dxdy = 1, .......................................................................... 2'J-OC J-8£1 ke-χ-2ydxdy=↑t k = 2； .................................................................... Γ(2) P{X>Y} = ^ dx^2e-χ-2y dxdy由于/（再y ） = f x （χ）f γ（y ），所以x 与y 相互独立。

二、（10分）某公司经销某种原料，依据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）听从（300, 500）上的匀称分布。

每售出1吨该原料，公 司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。

问公司应当组织多 少货源，可使平均收益最大？解：设公司组织货源。

吨，此时的收益额为y （单位：千元），则y = g （x ）,且ke χ-2∖ 0, x > 0, y > 0其他 2'1 1 2=1 --- =—3 3s 、 F (、 ∖y2e-x ~2ydy, 1'0,x > 0 x≤0 e-∖ x>00, x≤0,2'Λ(y)0,y>0 = y≤Q6>-2∙V , y>00, y≤02'................................................... 2'4 二 450 (唯一驻点)，又峪一‹0da 2 100所以，当α = 450吨时，可以使平均收益石丫最大，即公司应当组织货源450吨。

山东建筑大学试卷 共 3 页 第1 页班级 ______________ 姓名 ______________学号 ______________山东建筑大学试卷共3 页第 2 页·线··········································································································装订山东建筑大学试卷共 3 页第 3 页·线··········································································································装订2008~2009-1学期《概率论与数理统计》期末考试试题A参考答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分） 1、2 2、0.4 3．21,99αβ== 4、2.6 5、2()n χ二、选择题（每题3分，共15分） 1、C ；2、D ；3、B ；4、B ；5、C 三、（本题满分8分）解：设Bi =“取出的零件由第 i 台加工”)2,1(=i()A P ()()11B A P B P =()()22B A P B P +…………5分97.032⋅=98.031⋅+973.0=…………3分 四、（本题满分10分）解：由题意知，X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：1，3. 且{}81213,03=⎪⎭⎫⎝⎛===Y X P ，…………2分{}8321211,1213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===CY X P ，…………2分{}8321211,2223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===CY X P ，…………2分 {}81213,33=⎪⎭⎫⎝⎛===Y X P .…………2分于是，（1）（X ，Y ）的联合分布为（2）{}{}813,0====>Y X P X Y P .…………2分 五、（本题满分12分） 解：随机变量X 的密度函数为()2221x ex f -=π()+∞<<∞-x …………2分设随机变量Y 的分布函数为()y F Y ，则有(){}{}{}1122-≤=≤+=≤=y X P y X P y Y P y F Y …………2分 ①. 如果01≤-y ，即1≤y ，则有()0=y F Y ； ②. 如果1>y ，则有 (){}{}1112-≤≤--=-≤=y X y P y X P y F Y⎰⎰------==12112222221y x y y x dx edx eππ即()22101xY dx y F y y -⎧>=≤⎩…………4分所以， ()()12101yY Y y f y F y y --⎧>'==≤⎩…………4分即()12101y Y y f y y --⎧>=≤⎩．六、（本题满分10分） 解： ① )(X E 021==-∞+∞-⎰dx e x x2分)(X D 22)]([)(X E X E -=2212021022==-=⎰⎰∞+-∞+∞--dx e x dx e xx x 2分 ②)()()(),(X E X E X X E X X Cov -=0021=-=-∞+∞-⎰dx e xx x2分 0)()(),(==X D X D X X Cov XXρ， 2分所以X 与X 不相关. 2分 七、（本题满分10分）解：（1）由⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==0)2(),(1dxdy Ae dxdy y x f y xA dy e dx e A y x 21002==⎰⎰∞+∞+-- 所以2=A .…………2分（2）X 的边缘密度函数：⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(⎩⎨⎧>=-其他,00x e x .…………4分 Y 的边缘密度函数：⎰∞+∞-=dx y x f y f Y ),()(⎩⎨⎧>=-其他,0022y e y .…………2分 （3）因)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X ，Y 是独立的. …………2分 八、（本题满分12分）解：⑴. 当02>σ为未知，而+∞<<∞-μ为已知参数时，似然函数为()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=-ni i n x L 12222221exp 2μσπσσ()02>σ…………2分 因而 ()()()∑=---=ni ixn L 12222212ln 2ln μσπσσ()02>σ…………2分所以，由似然方程()()()01212ln 412222=⋅-+-=∂∂∑=σμσσσn i i x nL ，…………2分解得()∑=-=n i i x n 1221μσ，…………2分因此，2σ的极大似然估计量为()∑=-=ni i X n 1221ˆμσ． ⑵. 因为()2~σμ，NX i ()n i ，，， 21=，所以()10~，N X i σμ- ()n i ，，， 21=，所以 []0=-μi X E ，[]2σμ=-i X D ()n i ，，， 21=，所以()[]()[][]222σμμμ=-+-=-i i i X D X E X E ()n i ，，， 21=，因此，()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑=n i i X n E E 1221ˆμσ()()∑=-=n i i X E n 121μ221σσ=⋅=n n所以，()∑=-=ni i X n 1221ˆμσ是未知参数2σ的无偏估计．…………4分 九、（本题满分8分） 解：由于正态总体()2,σμN中期望μ与方差2σ都未知，所以所求置信区间为()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--1,122n t n SX n t n S X αα．…………4分 由05.0=α，16=n ，得025.02=α．查表，得()1315.215025.0=t ．由样本观测值，得75.503161161==∑=i i x x ， ()2022.61511612=-=∑=i ix x s ． 所以， ()445.5001315.2162022.675.50312=⨯-=--n t n s x α， ()055.5071315.2162022.675.50312=⨯+=-+n t n s x α， 因此所求置信区间为()055.507,445.500 …………4分。

<概率论>试题一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。

试用 A 、B 、C 分别表示事件1）A 、B 、C 至少有一个发生2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。

则P(B )A U ＝3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。

07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案一、 填空题（满分15分）：1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为101。

解答：101!5!321=⨯=p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =⋃==则=)(B A P q r - 。

解答：q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-⋃=-⋃=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3)(===k ak X P k则a =32. 解答：32233111310=⇒=-⋅==∑∞=a a a a kk 4.设随机变量为ξ与η，已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答：374.065236252)(),cov(),cov(2)(,,=⨯⨯⨯-+=-+=-=-+=-ηξηξρηξηξηξηξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1===-k p qk P k ξ。

则ξ的特征函数=)(t f ξ 。

()().1)(:1111it it k k it itk k itk it qepe qe pep qe e E tf -====∑∑∞=--∞=ξξ解 二、 单项选择题（满分15分）：1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ).① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.①.()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=010x x e x F x②()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-010x x e x G x③()⎩⎨⎧≥-<=Φ0100x e x x x④()⎩⎨⎧≥+<=-0100x e x x H x3.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为（② ）。

《概率论与数理统计》模拟试卷（九）一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）1、设 A 、B 、C 是三个随机事件，则事件“A 发生，B 与C 都不发生” 用A 、B 、C 可表示为__________.2、设事件A ,B 互不相容，()0.2,()0.4,==P A P B 则()P A B = .3、设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，则)(2X E = .4、已知随机变量X ～)1,0(N ,Y ～)1,3(N ,且X 与Y 相互独立，设随机变量Y X Z -=,则Z 服从的分布为 .5、 设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，2,X S 分别是样本均值和样本方差，2σ 已知时，μ的一个置信水平为1-α的置信区间为 .二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且()0,()0,P A P B >> 则一定有()P A B = ( ).(A) ()()P A P B + (B) 1()()P A P B - (C) 1()()P A P B + (D) 1()P AB -2、袋中有5个乒乓球，其中2个黄的，3个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

则第二人取到黄球的概率是( ).(A) 15 (B) 25(C) 35 (D) 453、设)(1x F 与)(2x F 分别表示随机变量1X 和2X 的分布函数。

为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，则在下列给定的各组数中可取( ).(A) 52,53-==b a (B) 32,31==b a (C) 23,21=-=b a (D) 23,21-==b a 4、设总体2~(,)X N μσ， 12,,,n X X X 是来自正态总体的样本，则2σ 的无偏估计量是( ). (A) 211()n i i X X n =-∑ (B) 211()1n i i X X n =-+∑(C) 211()1n i i X X n =--∑ (D) 2211n i i X X n =-∑ 5、设)2(,,,21≥n X X X n 为来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则下列说法正确的为( ).(A) X ～2(,)N μσ (B) X n ～2(,)N μσ(C) 22nS σ～)(2n χ (D) 22(1)n S σ-～)1(2-n χ三、有两种花籽，发芽率分别为0.8, 0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立，求（1）这两颗花籽都能发芽的概率.（2）恰有一颗能发芽的概率. (本题12分)（3）至少有一颗能发芽的概率.四、设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧<<=其他,010,)(3x kx x f ，（1）确定常数k ；（2）求}31{≤X P ；（3）求1{3}3P X ≤<. 五、设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其他,00,0,2),()2(y x e y x f y x ， （1）求关于Y X ,的边缘概率密度)(),(y f x f Y X .（2）判断Y X ,是否相互独立. (本题12分)六、设随机变量(X,Y )的概率密度为2,01,01,(,)0,.y x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求(),().E Y E XY 七、n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，n x x x ,,,21 为相应的样本值。

概率论与数理统计 课程( A 卷)（11gb 机制5，6，7，8）答案及评分标准一、 填空题：1. A B C2. 0.23. 24. 125. 2(1)χ 二、选择题：6.B7.C8.B9.A 10.C 三、计算题：11.记事件:i A 任取一件元件，来自第i 车间(1,2,3)i =； 事件:B 任取一件元件为次品. 由题意有1()0.35P A =，2()0.50P A =，3()0.15P A =；及1()0.03P B A =，2()0.04P B A =，3()0.05P B A =，……4分 (1) 由全概率公式得所求概率 31()()()0.038i i i P B P B A P A ===∑. …………..8分 (2) 由贝叶斯公式得 11131()()21()0.276376()()iii P B A P A P A B P B A P A ====∑ …………..11分12. (1) {2}(2)ln 2P X F <==； ………….3分{03}(3)(0)1P X F F <≤=-=； …………..6分(2) 1,1()()0,x ef x F x x ⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他 …..……11分 13. ()(2)0.400.320.30.2E X =-⨯+⨯+⨯=-； ………..3分2222()(2)0.400.320.3 2.8E X =-⨯+⨯+⨯=；………..6分[]22()()() 2.76D X E X E X =-=； ………..8分22(35)3()513.4E X E X +=+=； ………..11分 14.(1) 由(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰得 211214121x c dx cx ydy -==⎰⎰，故214c =；………..5分 (2) 2621(),11()(,)80,X x x x f x f x y dy +∞-∞⎧--<<⎪==⎨⎪⎩⎰其他；…..8分527,01()(,)20,Y y y f y f x y dx +∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩⎰其他； …..11分15.由题意有 ()1E X =,()4D X =;2)(=Y E ,9)(=Y D , 则 ()()()()123E Z E X Y E X E Y =+=+=+= …………3分()()()2(,)D Z D X D Y Cov X Y =++()()29D X D Y ρ=++= ……7分(,)(,)(,)(,)Cov X Z Cov X X Y Cov X X Cov X Y =+=+()2XY D X ρ=+= ……10分31)()(),(==Z D X D Z X Cov XZ ρ ………………….13分16. (1)令11μ=A ,其中X A =1,1101()(1)2E X x x dx θθμθθ+==+=+⎰, 代入得 12X θθ+=+ …………4分 得θ的矩估计为112ˆ+--=X X θ. …………6分 (2)设n x x x ,,,21 为一组样本观察值，则 似然函数为11()(,)(1)nni i i i L f x x θθθθ====+∏∏ …………9分取对数 1()(1)ln ni i LnL nLn x θθθ==++⋅∑令 1()ln 01ni i dLnL n x d θθθ==+=+∑ …………12分得θ的极大似然估计为1ˆ1ln nii nxθ==--∑ …………13分。