运筹学实验报告线性规划及其灵敏度分析

《管理运筹学》实验报告5.输出结果如下5.课后习题： 一、P31习题1某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种组合柜需要两种工艺（制白坯和油漆）.甲型号组合柜需要制白坯6工时，油漆8工时：乙型号组合柜需要制白坯12工时，油漆4工时.已知制白坯工艺的生产能力为120工时/天，油漆工艺的生产能力为64工时/天，甲型号组合柜单位利润200元，乙型号组合柜单位利润为240元.约束条件：问题：（1）甲、乙两种柜的日产量是多少？这时最大利润是多少？答：由实验过程中的输出结果得甲组合柜的日产量是4个，乙的事8个。

.0,0,6448,120126;240200 z max ≥≥≤+≤++=y x y x y x y x（2）图中的对偶价格13.333的含义是什么？答： 对偶价格13.333的含义是约束条件2中，每增加一个工时的油漆工作，利润会增加13.33元。

（3）对图中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息。

答：当约束条件1的常数项在48~192范围内变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对偶价格不变，仍为15.56；当约束条件2的常数项在40~180范围内变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件2的对偶价格不然，仍为13.333。

（4）若甲组合柜的利润变为300，最优解不变？为什么？答：目标函数的最优值会变，因为甲组合柜的利润增加，所以总利润和对偶价格增加；甲、乙的工艺耗时不变，所以甲、乙的生产安排不变。

二、学号题约束条件：学号尾数：56 则：约束条件：无约束条件（学号）学号43214321432143214321 0 0,309991285376)(53432max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ≤≥≤-+-+≥-+-+=-++-+++=无约束条件43214321432143214321 0 0,3099912445376413432max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ≤≥≤-+-≥-+-=-++-+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯-≥⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-7606165060~5154050~414)30(40~313)20(30~21210 20~11 10~1）（学号）（学号）（学号学号学号）（学号不变学号规则3.运算过程实验结果报告与实验总结：输出结果分析：答：由输出结果可得：最优解为352元，具体排班情况为：11点到12点的时段安排8个临时工；13点到14点的时段再安排1个临时工；14点到15点的时段安排1个临时工；16点到17点时段安排5个临时工；18点到19点安排7个临时工。

数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称线性规划及其灵敏度分析
所属课程名称运筹学B
实验类型综合
实验日期2014年10月24日
班级数学1201班
学号************
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致.
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求.
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识.
4．实验环境：实验用的软、硬件环境.
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容.概括整个实验过程.
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作.对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明.对于创新性实验，还应注明其创新点、特色. 6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析.
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论.
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议.
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价.。

淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号***********指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈 红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。

关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’, the variety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources c ondition‘i b ’in the economic management ‘shadow price problem’.Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution ， resourcescondition ，cost coefficient目录引言 (1)一、价值系数的变化分析 (2)二、技术系数的变化分析 (5)三、右端常数的变化分析 (6)四、增加新约束条件的灵敏度分析 (8)五、增加一个新变量的灵敏度分析 (9)六、线性规划灵敏度分析的应用 (9)七、线性规划在经济及管理问题上的典型应用 (14)八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征 (16)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)引言灵敏度分析是运筹学中一个比较重要的问题，在现实生活中，尤其是在经济 管理与投资中有着广泛的应用.随着经济的发展，已有不少学者对其进行研究，本文基于已有的研究上进行归纳总结，并在对其研究理论的基础上，对灵敏度分析的应用进行分析.在研究线性规划的灵敏度分析之前，先了解几个定义： 定义 线性规划的标准形：（LP ）max ..0Z CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩ (1.1)(1.2)(1.3) 其中()12,,,n C c c c =为行向量，()12,,,Tn X x x x =，()12,,,Tm b b b b =均为列向量，()ij m nA a ⨯=为m n ⨯矩阵；0b ≥，并假设A 的秩为m ，在问题（LP ）中，约束方程（1.2）的系数矩阵A 的任意一个m m ⨯阶满秩子矩阵B （0B ≠）称为线性规划问题的一个基解或基.这就是说，基矩阵B 是由矩阵A 中m 个线形无关的列向量组成的，不失一般性，可假设()111121,,,m m m mm a a B p p p a a ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭并称()1,2,i p i m =为基向量，与基向量相对应的变量()1,2,i X i m =称为基变量不在B 中的列向量()1,2,j p j m m n =++称为非基向量，与非基变量相对应的变量()1,2j X j m m n =++称为非基变量，并记()1,11,12,1,,,m m m m n m m mn a a N p p p a a ++++⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭，则系数矩阵A 可以写成分块形式，不失一般性(,)A B N =， （1.4） 将基变量和非基变量组成的向量分别记为()12,,,TB m X x x x =，()12,,,TN m m n X x x x ++=，则向量X 相应的写成分块形式B N X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1.5）再将（1.5）代入约束方程组（1.2）中，得(),B N X B N b X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由矩阵的乘法可得B N BX NX b +=，又因为B 是非奇异方阵，所以1B -存在，将上式两边乘以1B -，移项后，得11B N X B b B NX --=-现在可以把N X 看作一组自由变量（又称独立变量），给他们任意一组值N X ，则相应的B X 的一组值B X ，于是B N X X X ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭便是约束方程组（1.2）的一个解.特别令0N X =时，则1N X B b -=，现把约束方程组的这种特殊形式的解10B b X -⎛⎫= ⎪⎝⎭，称为基本解.满足变量非负约束条件（1.3）的基本解称为基本可行解. 现在来研究线性规划的灵敏度分析.灵敏度分析的含义是指对系统或事物因为周围条件变化显示出来的敏感度.具体说来就是要研究初始单纯形表上的系数变化对最优解的影响，研究这些系数在什么范围内变化时原最优基仍然是最优的.若原最优基不是最优的，如何用简便的方法找到新的最优解.现考虑标准形线性规划问题：（LP ）max ..0Z CXAX b s t X ==⎧⎨≥⎩当线性规划问题中的一个或几个参数变化时，可以用单纯形法从头计算，看最优解有没有变化.但这样做即麻烦又没有必要，因为单纯形法的迭代过程是从一组基向量变换为另一种基向量，每次迭代都和基变量的系数矩阵B 有关，表中每次迭代得到的数据只随基向量的不同选择而改变，因此可以把个别参数的变化直接在计算得到的最优解的单纯形表上反映出来.这样就不需要从头计算，而直接在最优性单纯形表进行审查，看一些数字变化后，是否仍满足最优性的条件，如果不满足的话再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解.下面就各个参数改变后的情况进行讨论：一、 价值系数j c 的变化分析（一）非基变量j x 的价值系数j c 的变化若非基变量j x 的价值系数j c 的改变为j j j c c c '=+∆，则变化后的检验数为1j j j B j c c C B p σ-'=+∆-，0要保持原最优基不变，即当j c 变化为j c ∆后，最终单纯形表中这个检验数小于或等于零，即10j j j B j c c C B p σ-'=+∆-≤，因此j j c σ∆≤-∆，这就确定里在保持最优解不变时非基变量j x 的目标函数j c ，的变化范围，当超出这个范围时，原最优解将不是最优解了.为了求新的最优解，必须在原最优单纯形表的基础上，继续进行迭代以求得新的最优解.例1 已知线性规划问题1234max 534Z x x x x =+++()12341234123423280054341200..3453100001,2,3,4j x x x x x x x x s t x x x x x j +++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥=⎩（Ⅰ）为保持原最优解不变，分别求非基变量13,x x 的系数13,c c 的变化范围 （Ⅱ）当1c 变为5时，求新的最优解.解 （i ）由图表可知：113/4σ=-，311/4σ=-，于是由公式j j c σ∆≤-∆知，保持原最优解不变，则有 1313/4,11/4c c ∆≤∆≤，当111113/417/4c c c '=+∆≤+=，333311/423/4c c c '=+∆≤+=时，原最优解不变.（ii ）当1517/4c =>时，已经超出了1c 的变化范围，最优解发生了变化，下面来求新的最优解.首先求出的检验数：()11111/450,4,523/403/4B c C B p σ-⎛⎫⎪''=-=-=> ⎪ ⎪-⎝⎭故1x 为换入基，用新的检验数13/4σ'=代替原来的检验数113/4σ=-，其余数据不变，得到新的单纯形表，并继续迭代得：表（1.2） 由表中可看出已得到新的最优解()*100,175,0,0,75Tx =及新的目标函数最优值 *1375Z =.（二）基变量j x 的价值系数j c 的变化若r c 是基变量r x 的价值系数，因为r B c C ∈，当r c 变为r r c c +∆时，就引起BC 的变化，则()()()1111120,,,0,,,B B B rB r r r rnC C B A C B A c B A C B A c a a a ----'''+∆=+∆=+∆其中 ()12,,,r r rn a a a '''是矩阵1B A -的第r 行.于是，变化后的检验数为1j j B j r rj j r rj c C B p c a c a σσ-'''=--∆=-∆ （j = 1，2，，n ）若要求最优解不变，则必须满足0j j r rj c a σσ''=-∆≤ （j = 1，2，，n ）由此可以导出当0rj a <时，有/r j rj c a σ'∆≤ ； 当0rj a >时，有/r j rj c a σ'∆≥. 因此，r c ∆的允许范围是{}{}max /|0min /|0j rj rj r j rj rj jja a c a a σσ''''>≤∆≤<使用此公式时，首先要在最优表上查出基变量r x 所在行中的元素()1,2,,rj a j n '=，而且只取与非基变量所在列相对应的元素，将其中的正元素放在不等式的左边，负元素放在不等式右边，分别求出r c ∆的上下界.例2 为保持现有最优解不变，分别求出例1 中基变量24,x x 的变化范围.若当B C 由（0，4，5）改变为（0，6，2）时，原最优解是否保持最优，如果不是，该怎么办？解 根据上述公式，利用表（1.1），为使最优基变量()245,,x x x 不变，4c ∆的变化范围是413/41/413/41/4max ,min ,213/43/4c ----⎧⎫⎧⎫≤∆≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭即4114c -≤∆≤ 故当41554c ≤≤时，原最优解不变， 现在4c 变为6，已超出了4c ∆的允许变化范围.同样的，2c ∆的允许范围是211/4113/41/4max ,min ,11/413/43/4c ----⎧⎫⎧⎫≤∆≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭，即2113c -≤∆≤故当21643c ≤≤时，原最优解不变，现在2c 变为2，也不在2c ∆的允许变化范围内，当B c 由（0，4，5）变为（0，6，2）即4c 变为6，2c 变为2，都超过了它们的允许变化范围，需要求新的最优解.为此用变换后的B c '代替B c ，将表（1.2）改成表1.3（I ），在继续进行迭代求得新的最优解，由该表知，已求得最优解()*0,0,0,300,200,0,100Tx =及目标函数最优值*1800Z =.j 最优解对目标函数中的价值系数j c 的改变不十分灵敏，而对价值系数j c 的灵敏度分析的应用意义是：企业可以在不改变资源优化分配的前提下，在一定幅度内改变价值系数j c 的值，来积极应对市场挑战.二、 技术系数ij a 的变化分析由于对价值系数j c 的分析分为基变量价值系数和非基变量价值系数，现也可以按这种方法把对技术系数ij a 的分析分为两类：（一）、非基向量列j P 改变为j P ' 12j j j nj a a P a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这种情况指初始表中的j P 到数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是非基向量.这一改变直接影响最优单纯形表上的第j 列数据与第j 个检验数.最终单纯形表上的第j 列数据变为1j B P -'，而新的检验数1j j B j c c B P σ-''=-，若0j σ'≤，则原最优解仍是新问题的最优解.若0j σ'>，则最优基在非退化情况下不再是最优基.这是，应在原来最优单纯形表的基础上，换上改变后的第j 列数据1j B P -'和j σ'，把j x 作为换入变量，用单纯形法继续迭代.（二）、基向量列j P 改变为j P '这种情况指初始表中的j P 列数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是基向量，此时，原最优解的可行性和最优性都可能遭到破坏，需要重新计算.三、 右端常数i b 的变化分析右端常数i b 的变化在实际问题中表明可用资源的数量发生变化.当第r 个约束方程的右端常数由原来的r b 变为r r r b b b '=+∆，其它系数都不变，即初始表上新的限定向量12000r r m b b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+∆=+⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中1200,0r r n b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∆=⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设原最优解为121m B B B B x x X B b x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则新的最优解为1111100B r X B b B b B b B b B b -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥''⎢⎥==+∆=+∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若原最优基B 仍是最优的，则新的最优解0B X '≥，即1111000r B r ir B r r mr d X B b B b B b d X b D d ---⎡⎤'⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎢⎥=+∆=+=+∆≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦其中r D 是1B -的第r 列，即12r r r mr d d D d ⎡⎤'⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦故()01,2,,i B r ir x b d i m '+∆≥=因此，r b 的允许变化范围是：max |0min |0i iB B ir r ir i iir ir x x d b d d d ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪''->≤∆≤-<⎨⎬⎨⎬''⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭如果r b ∆超出上述范围，则新的解不是可行解.但由于r b 的变化不影响检验数，故仍保持检验数0σ≤，即 满足对偶可行性，这时可在原最终表的基础上，用对偶单纯形法继续迭代，以求出新的最优解.一般来说，当b 变为b '时，也可以直接计算1B b -，若有10B b -≥，则原最优基B 仍是最优基，但最优解和最优值要重新计算.若1B b -不恒大于零，则原最优基B 对于新问题来说不再是可行基，但由于所有检验数0σ≥，现行的基本解仍是对偶可行的，因此，只要把原最终表的右端列改为11B B b C B b --'⎡⎤⎢⎥'-⎢⎥⎣⎦，就可用对偶单纯形法求解新问题. 例3 线性规划问题12121122312max 232212416..515,0Z x x x x b x b s t x b x x =++≤+∆⎧⎪≤+∆⎪⎨≤+∆⎪⎪≥⎩分别分析123,,b b b ∆∆∆在什么范围内变化，问题的最优基不变.解 先分析1b ∆的变化，由公式10B B X X B b -'=+∆≥知，使问题最优基不变的条件是1111101325324421042053031005b λλ⎛⎫-⎡⎤ ⎪+⎢⎥∆⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪+-=-≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭由此推得162λ-≤≤同理由23403λ⎡⎤⎢⎥+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得， 24λ-≤≤∞，3331354405135λλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦从而3515λ-≤≤.四、 增加新约束条件的灵敏度分析若在线性规划问题中再增加一个新的约束条件，即 有1,11nm jj m j ax b ++=≤∑，即11m m A X b ++≤ （4.1） 其中 ()11,11,21,,,,m m m m n A a a a ++++=，()12,,,Tn X x x x =，由于增加一个约束，则可行域有可能减小，但不会使可行域增大，因此，若原问题的最优解满足这个新的约束，则在新问题中仍是最优解；若原来的最优解不满足这个新约束，那么现再来求新的最优解.设原来的最优基为B ，各基向量集中于A 的前m 列，最优解为 10B N x B b X x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对新增加的约束（4.1），引进松弛变量1n x +，又因为()()()111,m m m BNA A A +++=，则（4.1）式变成()()1111m B m N n m B N A X A X X b ++++++= （4.2）显然，1n x +是约束（4.2）的基变量.增加约束后，新的基B '、()1B -'及右端向量b '如下：()101m B B B A +⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦，()()111101m B B B A B ---+⎡⎤'=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，1m b b b +⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦， 对于新增加约束后的新问题，在现行基下对应变量()1j x j m ≠+，的检验数是：()()()111111,0,01j j j j j B j j B j B j j m m j B P B c z c C B P c C c C B P A B a σσ----++⎡⎤⎡⎤'''''=-=-=-=-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦它与不增加约束时相同.又因为1n x +是基变量，故10n σ+'=.因此，现行的基本解是对偶可行的，现行基本解是：()()()1111111111101B n m m n m m B B B b X bb B B b b A B X b A B b -----++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 若()()1110m m B b A B b -++-≥，则现行的对偶可行的基本解是新问题的可行解，即最优解.若()()1110m m B b A B b -++-<，则在原来最终解的基础上增加新约束（4.2）的数据，通过矩阵的初等行变换，把原最终表上的各基向量列及新增列1n P +化为单位阵，再用对偶单纯形法继续求解.五、 增加一个新变量的灵敏度分析假设要增加一个非负的新变量1n x +，其相应的系数列向量为1n P +，价值系数为1n C +.又知原问题的最优解是B ，显然，增加这个新变量，对原最优解的可行性没有影响.现计算新的检验数1111n n B n C C B P σ-+++=-若10n σ+≤，则原最优解是新问题的最优解；若10n σ+>则原最优解不再是最优解.这时，把11n B P -+加入到原最终表内，并以新变量1n x +作为换入变量，按单纯形法继续迭代，即可得到新的最优解.六、线性规划灵敏度分析的应用线性规划灵敏度分析的应用主要是资源条件的应用，而对资源条件b 的分析的一个重要应用是：“影子价格问题”定义 设线性规划对偶问题1max nj j j Z c x CX ===∑ min W Yb =（P ）()()11,2,,..01,2,,nij j i j ja x AXb b i m s t x j n =⎧=≤==⎪⎨⎪≥=⎩∑ （D ） ..0YA Cs t Y ≥⎧⎨≥⎩右端常数()1,2,,i b i m =表示第i 种资源的现有量下面讨论i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值的变化. 设B 是问题（P ）的最优基，则*1****1122B m m Z C B b Y b y b y b y b -===+++，当i b 变为1i b +时（其余右端常数不变，并假设这种变化不影响最优基B ）目标函数最优值变为*****1122(1)i i m m Z y b y b y b y b '=++++++，于是目标函数最优值的改变量为****i Z Z Z y '∆=-=，由上式可以看出*i y 的意义，它表示当右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值的改变量，也可以写成**i iZ y b ∂=∂()1,2,,i m =，即*i y 表示*Z 对i b 的变化率.在一对对偶问题（P ）和（D ）中，若（P ）的某个约束条件的右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值*Z 的改变量*i y 称为第i 个约束条件的影子价格，又称边际价格.由定义可知，影子价格*i y 的经济意义是在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数最优值的变化，即对偶变量i y 就是第i 个约束条件的影子价格.影子价格是针对某一具体的约束条件而言的.而问题中所有其它数据保持不变，因此影子价格也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数.影子价格又称灵敏度系数，通常指线性规划对偶模型中对偶变量的最优解.如果原规划模型属于一定资源约束条件下，按一定的生产消耗生产一组产品并需求总体效益目标最大化问题，那么其对偶模型属于对本问题中每一资源以某种方式进行估价，以便得出与最优生产计划相一致的一个企业最低总价值.该对偶模型中资源的估价表现为相应资源的影子价格.影子价格在经济管理中的应用很多，下面就下面这个问题进行分析： 影子价格指示企业内部挖掘潜力的方向.设线性规划模型（LP ）：()()11max 1,2,,..01,2,,nj jj nij ji j iZ c x a x b i m s t x j n ===⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得：min ..0Z C X AX b s t X ''='=⎧⎨'≥⎩ 其中(),0c c '=-，0是m 维行向量， (),A A I '=为m m *单位阵.因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基*x ，最优解为： ***11n n j j j j j j Z c x c x =='==∑∑ ，并可设()()1****,,0B B N N x B b x c c c x -⎡⎤⎡⎤'''⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()()1*11*****111,0n n m j j j j B N B B i j j i i B b Z c x c x c c c B b c B b ---===⎡⎤⎡⎤'''''⎢⎥=====⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 所以可令**ii Z y b∂=∂，即()()1**,1,2,,iB i y c B i m -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦因此，有***11nmj ji i j i Z c x y b ====∑∑ （6.1）再令()()1*****12,,,m B y y y y c B -'==，由单纯形法最优原则可知：()1**0B y A c c B A c -'''''-=-≤ （6.2） 即()()*(,),0,0y A I c c ≤-=-因此，有*0y ≥ （6.3） 而由（6.2），（6.3）及线性规划的对偶结构可知：*y 是对偶问题的可行解. 再由（6.1）及对偶定理可知：*y 是对偶问题的最优解.可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零.反之就是，若影子价格*0y >，则对应的是*x 的起作用约束.因此，影子价格*0i y =表示第i 种资源i b 未得到充分利用；而*0i y >则表示第i 种资源i b 已得到充分利用.影子价格直接应用到企业资源最有效的部门中去.当影子价格大于资源的市场价格时，企业应购进这种产品，使利润增加；当当影子价格小于资源的市场价格时出现多做多赔的情形，应出售这种资源.大公司还可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏.又如在社会上对一些紧缺资源，借助影子价格规定使用这种资源企业必须上缴的利润额，以控制企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大经济效益.“影子价格问题”：影子价格 设线性规划模型（LP ）Max∑-nj j jx c1..s t 1(1,2,)0(1,2)nij j i j j a x b i m x j n -⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 有最优解*x ，最优解为**j j z c x =∑则可令iib z ∂∂=**ϖ 则必有∑∑--==mi i i nj j j b x c z 1*1**ϖ和0*≥i ϖMax∑-nj j jx c1..s t 1(1,2,)0(1,2)nij j i j j a x b i m x j n -⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得min x c ''..t s 0Ax b x '=⎧⎨'≥⎩其中3(,)T x x x '=（5x 为松弛变量，是m 维列变量），(,0)c c '=-,这里0是m 维行向量，而(,)A A I '=为*m m 单位阵.因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基可行解*x ，最优解为：∑∑--'==nj nj j j jj x c xc z 11***并可设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-N B x x b B x **1**0)(，),(N B c c c ''=' i m i i B B nj N B jj n j j j b B c b B c b B c c xc x c z ∑∑∑------'='=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''='==11*1*11**1**])([)(0)(),( 所以可令iib z ∂∂=**ϖ，即[]i B i B c 1**)(-=ϖ，),,2,1(m i = 因此有∑∑--==n j mi i i j j b x c z 11***ϖ （6.4）再令1***2*1*)(),,(-'==B c Bm ϖϖϖϖ 由单纯形法最优准则可知0)(1**≤'-''='-'-c A B c c A B ϖ （6.5） 即)0,()0,(),(*c c I A -=-≤ϖ因此有0*≥ϖ (6.6) 而由(6.5)和(6.6)，由线性规划的对偶规划结构可知：*ϖ是对偶规划的可行解，再由(6.4)，以及对偶定理可知：*ϖ是对偶规划的最优解.）称*ϖ为第i 种资源的影子价格，****12(,,)n ωωωω=为影子价格向量.*ϖ表示，第i 种资源bi 对最优值的边际贡献.从线性规划对偶理论易见，影子价格就是对偶规划的最优解.而由前述对资源条件的灵敏度分析可知，对于最优解*x 的不起作用约束而言，若此约束的资源条件bi 在灵敏度范围内变动时，则最优值*z 不变，所以0**=∂∂=iib z ϖ 可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零。

实验一 线性规划问题及灵敏度分析实验目的：了解WinQSB 软件在Windows 环境下的文件管理操作，熟悉软件界面内容，掌握操作命令。

用WinQSB 软件求解线性规划，掌握winQSB 软件写对偶规划，灵敏度分析和参数分析的操作方法。

实验每组人数及学时：组人数1人，学时数：4学时 实验环境：装有WinQSB 软件的个人电脑 实验类型：验证性 实验内容：一、 用WinQSB 软件求解线性规划的方法：操作步骤：1.将WinQSB 文件复制到本地硬盘；在WinQSB 文件夹中双击setup.exe 。

2.指定安装WinQSB 软件的目标目录（默认为C:\ WinQSB ）。

3. 安装过程需输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕之后，WinQSB 菜单自动生成在系统程序中。

4.熟悉WinQSB 软件子菜单内容及其功能，掌握操作命令。

5．求解线性规划。

启动程序 开始→程序→WinQSB→Linear and Integer Programming 。

6．学习例题 点击File→Load Problem→lp.lpp, 点击菜单栏Solve and Analyze 或点击工具栏中的图标用单纯形法求解，观赏一下软件用单纯形法迭代步骤。

用图解法求解，显示可行域，点击菜单栏Option →Change XY Ranges and Colors，改变X1、X2的取值区域（坐标轴的比例），单击颜色区域改变背景、可行域等8种颜色，满足你的个性选择。

下面结合例题介绍WinQSB 软件求解线性规划的操作步骤及应用。

用WinQSB 软件求解下列线性规划问题：1234max657Z x x x x =+++s.t. 12341234123123431234269260852150730001020,,0,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤⎧⎪-+-≥⎪⎪++=⎪-≥⎨⎪-≥⎪≤≤⎪⎪≥⎩无约束解：应用WinQSB 软件求解线性规划问题不必化为标准型，如果是可以线性化的模型则先线性化，对于有界变量及无约束变量可以不用转化，只需要修改系统的变量类型即可，对于不等式约束可以在输入数据时直接输入不等式符号。

淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号20071101008指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈 红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容,而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。

关键词 单纯形法，灵敏度分析,最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ，Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’， the var iety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis 。

This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table 。

浅谈线性规划问题的灵敏度分析符龙飞2016年5月15日摘要线性规划是运筹学的一个重要的分支，本文主要讨论有关线性规划问题的灵敏度分析，灵敏度分析顾名思义就是指对事物或者使整个系统因为其自身周围环境条件变化而表现出来的敏感程度的分析，在线性规划问题中，我们都假定技术数据、资源数据和价值数据向量或者矩阵中元素为已知常数，但是在实际的问题工作中这些数据往往只是一些预测的数据和估计值，在处理实际问题的建立线性规划模型时，这些数据并不是不会变化的，不是很精确,有可能进行了修改.因此本文讨论在实际问题中当技术系数、资源系数、价值系数以及增加一个变量和增加一个约束条件时，原问题最优解的变化，对原线性规划问题进行灵敏度分析.关键词：线性规划；灵敏度；最优解AbstractLinear programming is an important branch of operational research, this paper mainly discusses the sensitivity analysis of linear programming, sensitivity analysis of the definition refers to the analysis of the sensitivity of its own because of changes in ambient conditions and displayed on things or to make the whole system of linear programming problems, we assume that the technology of data resources the data value and data vector or matrix elements in the known constant, but in the actual problems in these data are just some forecast data and estimates, the establishment of a linear programming model to deal with practical problems, will not change the data, is not very accurate, may be modified in this paper.When discussing technical factors, in the actual problem of resource factor, value factor and add a variable and add a constraint condition, the original problem of optimal solution Sensitivity analysis of the original linear programming problem.Keywords: Linear programming; sensitivity; optimal solution目录第一章前言 (1)1.1 线性规划问题及线性规划发展史 (1)1.2 灵敏度分析的概念 (1)1.3线性规划模型 (1)1.4灵敏度分析的方法及步骤 (2)1.5 符号说明 (2)第二章技术系数a的变化分析 (3)ij2.1 非基变量系数列向量发生变化 (3)2.2 基变量系数列向量发生变化 (4)第三章资源系数b的变化分析 (7)ic的变化分析 (10)第四章价值系数i4.1 非基变量价值系数变化 (10)4.2基变量价值系数变化 (11)第五章增加新的变量的变化分析 (13)第六章增加新约束条件的变化分析 (16)总结 (18)[参考文献] (19)第一章前言1.1 线性规划问题及线性规划发展史线性规划是我们研究运筹学最基本的也是最重要的问题之一，是运筹学中相对比较成熟的一个重要分支.线性规划是近几十年发展起来的一种数学规划的方法，它主要研究在给定的线性不等式或者线性方程约束条件下，对所求的目标函数在一定意义下的极值问题，使其线性指标最优.它广泛应用于工、商、农、军事、交通运输、经济管理以及计划等各个领域.具有应用广泛、适应性强、计算技术比较简单等特点，线性规划在理论上已经也来越成熟，其应用也越来越广泛和深入[1].线性规划的发展是运筹学史上几代人智慧的结晶.1939年，原苏联数学家康托洛维奇发表了《生产组织与计划中的数学方法》学术报告，首次提出了线性规划问题，但是他没有找到一个统一的求解这类问题的方法，1941年美国学者希奇柯克独立的提出了运输问题这样一类特殊的线性规划问题，1947年，美国学者丹捷格提出求解线性规划的单纯形法和许多相关的理论，为线性规划奠定了理论基础，推动了线性规划的发展.自此以后线性规划在计算上趋向成熟，应用也更加广泛深入[2].1.2 灵敏度分析的概念灵敏度分析顾名思义就是指对事物或者使整个系统因为其自身周围环境条件变化而表现出来的敏感程度的分析.在线性规划问题中，我们都假定技术数据、资源数据和价值数据向量或者矩阵中元素为已知常数，但是在实际的问题工作中这些数据往往只是一些预测的数据和估计值，在处理实际问题的建立线性规划模型时，这些数据并不是不会变化的，不是很精确,有可能进行了修改.如果市场条件发生了变动，价值系数的值就会发生变化，技术系数会随着工艺技术条件的变化而变化，同样，在资源投入量发生变化时，资源系数也会随之发生变化，它的值会根据资源投入后能产出多大经济效果来决定的一种决策选择.因此，当这些数据发生变化时，线性规划的最优目标值或者最优解会发生怎样的变化？或者是不是这些参数在一定的范围内其线性规划问题的最优解不会发生变化？这就是本文我们研究线性规划问题的灵敏度分析所要解决的问题.1.3线性规划模型线性规划模型的标准形式如下：max z CX(0)0AX b b X =≥⎧⎨≥⎩我们在求解线性规划问题时首先就应该把数学模型转化成标准形式.1.4灵敏度分析的方法及步骤要进行灵敏度分析，首先要弄明白的就是上述问题：①当系数发生变化时，最优解或者最优目标值发生变化，我们如何简便地求出新的最优目标值和最优解；②当系数在什么一定范围内，线性规划的最优解是不变的.我们可以将灵敏度度分析归纳为：（1）将参数的改变计算反映到最终单纯形表上来，具体的计算方法是按下列公式计算出由技术参数、资源参数和价值参数的变化引起的最终单纯形表上有关数字的变化，即*1b B b -∆=∆*1j j P B P -∆=∆()()*1mj j j j ij i i c z c z a y =∆-=∆--∑（2）检查原问题是否仍为可行解； （3）检查对偶问题是否仍为可行解.（4）我们可以按照下表1-1所列出的情况得出结论或者得出继续计算的步骤[3].表1-1原问题 对偶问题 结论或者继续计算的步骤 可行解 可行解 表中的解仍为最优解 可行解 非可行解 用单纯法继续迭代求最优解 非可行解 可行解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 非可行解非可行解引入人工变量，编制新的的单纯形表，求最优解1.5 符号说明①ij a 技术数据； ②i b 资源数据； ③j c 价值数据； ④B 最优基； ⑤s .t . 约束条件.第二章 技术系数ij a 的变化分析2.1 非基变量系数列向量发生变化如果我们用最优基B 来说，当非基变量j x 的系数列向量j A 改变为'j j jA A A =+∆就会有变化后的检验数为()'1j j B j j j j c C B A A Y A σσ-=-++∆=+∆ ()1,2,,j n =[4]在这里，对偶可行解为1B Y C B -=，我们要使原来的线性规划最优基B 仍然保持不变的话，必须有'0j σ≥，即j j Y A σ∆≥- ()1,2,,j n =而当()0,,,,0Tj ij P a ∆=∆时，则由上式可得()10,,0im i ij j ij y y y y a a σ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∆≥-∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们可以导出 当0i y >时，有jij ja y σ∆≥-；当0i y <时，有jij ja y σ∆≤-.例1已知线性规划问题12345max 2300Z x x x x x =---++s .t .()12341234347901,2,3,4,5j x x x x x x x x x j ⎧+++=⎪⎪+++=⎨⎪≥=⎪⎩ 23a 怎样变化时最优解保持不变？解：最终单纯形表如下表2-1j c2- 3- 1-0 0bB C B X 1x2x3x 4x5x2-1x 1 0 1-43 13- 1 3-2x0 1 2 13- 13 2j σ353138Z =-由此表可得[]133323234113312,311331233B cC B p a a σ-⎡⎤-⎢⎥⎡⎤=-=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=+ 32323120233a a σ=+≥⇒≥-所以[232,)a ∈-+∞原最优解保持不变.2.2 基变量系数列向量发生变化仍然对于最优基B 来说，当基变量j x 的系数列向量j A 发生变化的时候，对于基向量B 和它的逆矩阵1B -都会有一定的影响，则线性规划的解的可行性、最优性以及它的最优目标值都会随之发生变化.我们要求出一个一般公式是很难的，因此，我们会用单纯形法重新求解变化后的线性规划问题.对于重新的求解可以在原来的单纯形终表上变换数据后进行迭代[5].例2已知线性规划问题1234max 534Z x x x x =+++s .t .()123412341234232800543412003453100001,2,3,4jx x x x x x x x x x x x x j +++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥=⎩如果非基变量3x 的系数由135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦变为141⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么原线性规划的最优解是否还是最优？如果不是求出最优.解:由3110431154A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则330115110,,114444Y A σ⎡⎤⎛⎫⎢⎥∆==-<-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦因此不满足j j Y A σ∆≥-，那么原线性规划的最优解就不再是最优解了，根据灵敏度分析的步骤，求新的最优解我们应该先求出新的检验数'1'3330130,,111044B c C B A σ-⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-+=-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦所以可以取3x 为进基变量，然后计算1'311111401143312014B A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦用它去替换原线性规划最优单纯形表表2-1的第3列，从而得到表2-2，继续迭代可以得到表2-3，如下表2-1 原线性规划最优单纯形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 100 140 134- 0 1 141- 4x20022-111-2x100 34-1 114 0 0 34-1 1300134114141表2-2 改变后的单纯形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 100 140 1 0 1 141- 4x 200 20 31 0 11-2x100 34-1 2- 0 0 34-1 13001341-141表2-3 迭代后的单形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 1003 512- 0 0 13- 1 112-23- 4x 2003 23 0 1 13 0 13 13- 2x7003 712 1 0 23 0 112- 13 41003471213712 23我们由上表就可以看得出来，求得的最优解*7002001000,,,0,,0,0333X ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及改变后的最优值*41003z =.第三章 资源系数i b 的变化分析我们知道，资源系数发生变化的问题关键就是怎样把i b 的变化直接的反映到原来线性规划问题的最终单纯形表，对于单纯形法的迭代过程，其实就是矩阵的初等变换过程，用所学的知识我们知道，对于分块矩阵[]BI我们进行初等变换时，把矩阵B 变成单位矩阵I ,会有单位矩阵I 变成矩阵1B -，即1IB -⎡⎤⎣⎦因此我们可以知道，若在已知的最终单纯形表中基可行解所对应的基“B ”（最终单纯形表中的基变量在初始单纯形表中的列向量所构成的矩阵），即可在最终单纯形表中找到“1B -”（初始单纯形表中的单位矩阵I 在最终单纯形表中所对应的矩阵），我们可以有'1b B b -=[6].例3对于线性规划问题12max 2z x x =+s .t .212121251562245,0x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ 如果把第二个约束条件的右端项增大到32，那么分析一下最优解如何让变化.解：由最终单纯形表表3-1表3-1 最终单纯形表1x2x3x4x5x3x 152 0 0 1 54 152- 1x 72 1 0 0 14 12- 2x32114- 32i i z c -0 0 014 12因为003224880b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由*1b B b -∆=∆，得*51514201011082420213042b ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦将其加到表3-1一列数字上的最终单纯形表的基变量解，得表3-2.表3-21x2x3x4x5x3x 352 0 0 1 54 152- 1x 112 1 0 0 14 12- 2x12- 0 1 0 14- 32 i i z c -1412又因为上表中原问题是非可行解，因此我们需继续计算，采用对偶单纯形法可以得到表3-3表3-31x2x3x4x5x3x 15 0 5 1 0 0 1x 5 1 10 0 12x20 4-0 1 6-i i z c -12从表中我们可以看出新的最优解15x =，*2510z =⨯=.第四章 价值系数i c 的变化分析4.1 非基变量价值系数变化假设()12n A p p p =.若j j j c c c =+∆，j N ∈,则1T j j B j j j c c B p c σσ-=-=+∆如果使最优基不变，则必须有0j σ≤，因此非基变量价值系数j c ，j N ∈的变动范围应该满足j j c σ∆≤-例4已知线性规划问题123max 234Z x x x =---s .t .123412341234523234,,,,0x x x x x x x x x x x x x ---+=-⎧⎪-+-+=-⎨⎪≥⎩求解价值系数在什么范围变化时，最优解不变.解：表4-1是最终单纯形表表4-1j c →2-3- 4- 0 0b cB X b1x2x3x4x5x3-2x 25 0 0 15- 25- 15 2-1x1151 0 75 15- 25- j σ95- 85- 15- 由单纯形法计算可得表4-2表4-2j c →2-3-34c -+∆0 0b cb x b1x2x3x4x5x3-2x 25 0 0 15- 25- 15 2-1x115175 15- 25- j σ0 0395c -+∆85- 15- 从表4-2中我们可以看出当395c ∆≤时，最优解不变. 4.2基变量价值系数变化如果B B B c c c =+∆,则对于j N ∀∈,11TT B j j j j B j c c B p c B p σσ--=-=-∆这时，若保持最优基不变，一定要使得0j σ≥，j N ∀∈.所以基变量价值系数Bc 满足不等式组的取值范围为1T B j jc B p j N σ-∆≤∀∈例5已知线性规划问题123max 2z x x x =-++s .t .1231241234624,,,0x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪≥⎩当1c 变为4时，求新问题的最优解.解：这个线性规划模型的最终单纯形表为表4-3 .表4-31x2x3x4x2x 6 1 1 1 0 4x1030 11 i i 1c 是非基变量的系数，则()1133,132c c ∆≤--=≤-+=所以，1c 在12c ≤的范围内变化时，最优解不变.当1c 变为4时，超出范围，则重新计算()()1'1241144,42,003TB j c B p c c p σ-⎛⎫=-=-=-> ⎪⎝⎭把表4-3中13σ=-变为2，选择1x 为入基变量，4x 为出基变量，进行迭代，得到的最终单纯形表，表4-4表4-41x2x3x 4x2x83 0123 13- 4x 1031 013 13 i i c z - 0 053- 23- 新的最优解为：1234108,,033x x x x ====；最优值：*563z =.第五章 增加新的变量的变化分析增加一个新的变量实际上就是在单纯形表中增加一列，假如增加一个新的变量1n x +，1n c +是它所对应的价值系数，()111211,,,Tn n n mn A a a a ++++=是它在约束矩阵中的对应系数列向量，则增加一列'11'''2111'1n n n n mn a a A B A a +++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其检验数1111n n B n c C B A σ-+++=-+那么就得到了新问题的单纯形表，如果10n σ+≥，则原线性规划问题的最优解不变.我们通过具体例题来讨论增加新的约束条件.例6某生产加工厂计划用两种不同的原料生产四种商品，四种商品的收益和消耗的原料数以及消耗的原料定量如表5-1表5-1产品（万件）/原料（kg ）甲 乙 丙 丁 提供量 第一种原料3 2 104 18 第二种原料 0 0 2 1/2 3 求：如果增加第一种原料，增加多少原最优基不变？解：设生产甲、乙、丙、丁四种产品各1x ，2x ，3x ，4x 万件，则线性规划模型为1234max 985019Z x x x x =+++s .t .()1234343210418123201,2,3,4j x x x x x x x j ⎧+++≤⎪⎪+≤⎨⎪⎪≥=⎩增加第一种原料时，1b 就会发生变化，设1118b b =+∆，1(18,3)b b =+∆，则1111210221833314311636b b B b b -⎡⎤⎡⎤-+∆⎢⎥⎢⎥+∆⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则需满足12203b +∆≥，11106b -∆≥原最优基不变，得136b -≤∆≤，即11524b ≤≤.函数1112(0,0,1,2)63t X b b =-∆+∆，113883Z b =+∆是1b ∆最优值和最优解，当16b ∆>，13b ∆<-时，原来的最优基就会改变，原问题的最优基如下表表5-2.表5-2j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 243 0 1 23 103-2 503x12- 13- 1 0 16- 43 1j σ4- 23- 0133- 103- 88Z =当16b ∆>时，情形如下，常数项用111223116b B b b -⎡⎤+∆⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-∆⎢⎥⎣⎦代替，用对偶单纯法得表5-3.表5-3j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 243 0 1 23 103-1223b +∆503x12- 13- 116- 43 1116b -∆j σ4-23- 0 0133- 103-113883Z b =+∆用对偶单纯形法求解，第二行需乘以3-,第一行加上第二行乘以43-,可以得到单纯形表表5-4.表5-4j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 00 41 02683x321 3-0 124-1132b ∆- j σ3- 02- 04-6-1904Z b =+∆当11302b ∆-≥，即16b ∆>，新的最优基42(,)B P P =,最优解为11(0,3,0,6)2b ∆-，最大收益为1904b +∆万元.第六章 增加新约束条件的变化分析我们在处理实际问题时，往往会遇到在其问题的基础上增加新的约束条件，如果新添加的约束条件能够使原来的最优解得到满足，那么它的最优解一定不变，反之，则需对问题继续进行分析.例7对于线性规划问题 12max 2z x x =+s .t .212121251562245,0x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩增加一个新的约束条件123212x x +≤，分析最优解的变化.解：把原来线性规划问题最优解带入新的约束条件中，因为 73273212222⨯+⨯=> 则约束条件可以写成1263212x x x ++=，6x 为基变量，反映到表3-1中得表6-1.表6-11x2x 3x 4x5x6x 0 3x 152 0 0 1 54 152- 0 2 1x 72 1 0 0 14 12- 0 1 2x 320 1 0 14- 320 06x12 3 2 0 01 i i c z -14121将1x ，2x 列系数变为单位向量，用对偶单纯法进行迭代，得最终单纯形表，表6-2.表6-21x2x 3x 4x5x 6x0 3x 15 0 0 1 52 0 5-2 1x 4 1 0 0 13 0 13-1 2x 0 0 1 0 12- 0 16x13 2 0 16 1 23- i i c z -16- 013-则新的最优解为*124,0,8x x z ===.总结从本文中讨论我们可以看出，在线性规划问题中，一些数据发生变化时，特别是当数据变化的幅度较小时，用灵敏度分析新的问题要比从头求解新问题简便的多，因此我们要学会掌握线性规划问题的灵敏度分析并加以推广.[参考文献][1] 李小光.线性规划中的灵敏度分析[J].2000,20(3),15-20.[2] 张伯声．运筹学[M]．北京：科学出版社，2008，65-75．[3] 党耀国，李邦义．运筹学[M]．北京：科学出版社，2009，61-73．[4] 施泉生.运筹学[M].北京：中国电力出版社，2004，44-50.[5] 孙麟平.运筹学[M].北京：科学出版社，2005，32-38.[6] 吕蓬，潘志.运筹学数学规划篇[M].北京：清华大学出版社，2011，32-40.。

运筹学实验报告学院:经济管理学院专业班级:工商11-2班姓名:石慧婕学号:311110010207实验一线性规划一实验目的学习WinQSB软件的基本操作,利用Linear Programming功能求解线性规划问题。

掌握线性规划的基本理论与求解方法,重点在于单纯形法的应用以及灵敏度分析方法。

二、实验内容安装WinQSB软件,了解WinQSB软件在Windows环境下的文件管理操作,熟悉软件界面内容,掌握操作命令。

利用Linear Programming功能建立线性模型,输入模型,求解模型,并对求解结果进行简单分析。

三实验步骤1.将WinQSB文件复制到本地硬盘;在WinQSB文件夹中双击setup、exe。

2.指定安装WinQSB软件的目标目录(默认为C:\ WinQSB)。

3.安装过程需要输入用户名与单位名称(任意输入),安装完毕之后,WinQSB菜单自动生成在系统程序中。

4.熟悉WinQSB软件子菜单内容及其功能,掌握操作命令。

5.求解线性规划问题。

启动程序开始→程序→WinQSB→Linear and Integer Programming。

某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、D。

已知产品的规格要求,产品单价,每天能供应的原材料数量及原材料单价分别见下表1与2。

该厂应如何安排生产,使利润收入为最大？表1表2CPH10010060652535(1)计算过程(1)利用WinQSB软件,根据建立的数据模型,设定完成后建立问题的电子表格;在电子表格中输入各个系数,保存。

如下图:点击菜单栏Solve and Analyze中的Solve the Problem项或者点击工具栏中的图标用单纯形法求解,查瞧求解得出的结果;（2）点击菜单栏Solve and Analyze中的Solve and Display Steps,查瞧单纯形法在求解该问题时的具体迭代步骤;点击菜单栏Solve and Analyze中的Graphic Method,用图解法求解,显示可行域。

摘要线性规划是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费用最少或获得的利益最大。

它的研究对象是有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高；某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。

它要解决的问题的目标可以用数值指标反映，对于要实现的目标有多种方案可以选择，有影响决策的若干约束条件。

本文主要介绍了线性规划模型在实际生活中的应用，其中包括解线性方程组的各种方法，如图解法、单纯形法、以及对偶单纯形法等等，以及简单介绍了有关灵敏度分析的方法。

由于许多问题仅仅利用线性规划的方法还不足以解决，因此用到了对偶理论，也因此引出了对偶单纯形法。

对偶规划是线性规划问题从另一个角度进行研究，是线性规划理论的进一步深化，也是线性规划理论整体的一个不可分割的组成部分。

灵敏度分析是对线性规划结果的再发掘，是对线性规划理论的充要应用，本文以实例验证灵敏度分析的实际应用。

关键词：线性规划；单纯形法；对偶单纯形法ABSTRCTLinear programming is an effective method to solve the optimal allocation of scarce resources, make the cost of pay or receive at least the interests of the largest. Its object of study is the human and financial resources, resource conditions, how to reasonably arrange to use, benefit is supreme; A task is determined, how to arrange people, goods, and make it the most provinces. It to the target can be used to solve the problem of the numerical indicators, to achieve a variety of solutions to choose from, have an impact on the decision of some constraint conditions. Through the subject design, can deepen the operations research, optimization method, linear programming, nonlinear programming, to improve the integrated use of knowledge, improve the ability of using the sensitivity analysis to solve various practical problems. This article mainly introduces the application of linear programming model in real life, including the various methods of solving linear equations, as shown in figure method, simplex method and dual simplex method, etc., and simply introduces the method of sensitivity analysis. Due to many problems just by using the method of linear programming is not enough to solve, so use the duality theory, thus raises the dual simplex method. The dual programming is linear programming problem from another Angle, is the further deepening of linear programming theory, linear planning theory as a whole is also an integral part of. Sensitivity analysis is to discover, the result of the linear programming is the charge to application of linear programming theory. Keywords: linear programming；Simplex method；The dual simplex method目录前言线性规划模型的应用与灵敏度分析 (1)第一章线性规划问题 (1)1. 线性规划及灵敏度分析简介 (1)2. 线性规划模型应用的发展 (1)3. 线性规划模型研究的问题 (2)4. 线性规划模型的应用 (2)4.1问题 (2)4.2线性规划方法的特点及局限性 (2)4.3线性规划模型的基本结构 (3)4.4线性规划模型的一般形式 (3)4.4线性规划的性质…………………………………………………………………………………5第二章求解线性规划的方法 (6)1. 图解法 (6)2. 单纯行法 (7)2.1 单纯行法的基本思路 (7)2.2 单纯形法的求解步骤 (11)2.3 单纯形法的求解过程小结 (12)2.3.1人造基、初始基本可行解 (12)2.3.2最优解判别定理： (14)2.3.3单纯行过程的两种方法 (14)3. 单纯行法 (14)3.1对偶问题的提出 (14)3.2线性规划的对偶理论 (15)3.3对偶单纯形法的步骤 (15)4. 单纯行表......................................................................................................错误!未定义书签。

运筹学线性规划方案实验报告一早起床，我就知道今天要写一份运筹学线性规划方案实验报告。

这个题目听起来就有点头疼，不过没关系，我已经有10年的方案写作经验了，这就好比家常便饭，慢慢来，一点一点梳理。

得给这个实验报告起个响亮的名字，我已经想好了——“最优解寻迹之旅”。

咱们就直接进入主题吧。

1.实验背景这次实验的背景是我国一家生产多种产品的企业。

这家企业生产的产品有A、B、C三种，分别需要经过甲、乙、丙三个车间进行加工。

每个车间都有一定的生产能力和生产成本，而企业的目标是最大化利润。

这就需要我们运用线性规划的方法，找出最优的生产方案。

2.实验目的本次实验的目的就是通过线性规划方法，为企业制定出最优的生产方案，使得企业在现有的生产条件下，实现利润最大化。

3.实验方法线性规划，听起来高大上，其实原理很简单。

就是用一组线性方程，来描述各种约束条件，然后找到一个目标函数，使得这个目标函数在满足约束条件的情况下达到最大值或最小值。

甲车间：A产品需要1小时，B产品需要2小时，C产品需要3小时，总时间为8小时；乙车间：A产品需要2小时，B产品需要1小时，C产品需要2小时，总时间为10小时；丙车间：A产品需要3小时，B产品需要2小时，C产品需要1小时，总时间为12小时。

然后，我们需要确定目标函数。

企业的目标是最大化利润，所以我们的目标函数就是：f(A,B,C)=10A+15B+20C其中，A、B、C分别表示三种产品的产量。

就是求解这个线性规划问题。

我们可以使用单纯形法、内点法等算法求解。

这里，我们选择使用单纯形法。

4.实验步骤（1）列出约束条件方程组；（2）确定目标函数；（3）使用单纯形法求解线性规划问题；（4）分析求解结果，确定最优生产方案。

5.实验结果A产品产量：4件B产品产量：3件C产品产量：2件将这个结果代入目标函数，我们可以得到最大利润为：f(4,3,2)=104+153+202=110所以，最优生产方案是生产4件A产品、3件B产品和2件C产品，最大利润为110。

实验二线性规划模型的对偶问题及灵敏度分析一、实验目的：进一步掌握线性规划模型的基本原理，理解线性规划的对偶问题，掌握R软件在线性规划问题灵敏度分析中的运用。

二、实验内容：（1）教材P127 习题1。

利用线性规划的最终单纯形表，对目标函数系数和约束方程的常数项进行灵敏度分析，并在R软件中验证你的计算结果；（2）教材P131 习题11。

写出该问题的对偶问题，并用R 软件求解原问题和对偶问题。

指出二者最优解与对偶价格之间的联系。

（3）建立教材P130 习题7的数学模型并用R软件分析。

三、实验要求：（1）利用线性规划基本原理对所求解问题建立数学模型；（2）熟练写出线性规划问题的对偶问题；（3）给出R软件中的输入并求解；（4）对目标函数系数及约束方程的常数项进行灵敏度分析四、实验报告要求：实验过程描述（包括变量定义、分析过程、分析结果及其解释、实验过程遇到的问题及体会）。

（1）maxz=20X1+8X2+6X38X1+3X2+2X3<=2502X1+X2<=504X1+3X3<=150X 1,X2,X3>=0> library(lpSolve)> obj<-c(20,8,6)> mat<-matrix(c(8,3,2,2,1,0,4,0,3),nrow=3,byrow=T) > dir<-c("<=","<=","<=")> rhs<-c(250,50,150)> x<-lp("max",obj,mat,dir,rhs,compute.sens=1)> x$status;x$solution;x$objval[1] 0[1] 0 50 50[1] 700> x$sens.coef.from;x$sens.coef.to[1] -1e+30 6e+00 3e+00[1] 2.4e+01 1.0e+30 1.0e+30C1范围是（-∞，24），C2范围是（6，+∞），C3范围是（3，+∞）> library(lpSolve)> obj<-c(20,8,6)> mat<-matrix(c(8,3,2,2,1,0,4,0,3),nrow=3,byrow=T) > dir<-c("<=","<=","<=")> rhs<-c(250,50,150)> x<-lp("max",obj,mat,dir,rhs,compute.sens=1)> x$status;x$solution;x$objval[1] 0[1] 0 50 50[1] 700> x$duals;x$duals.from;x$duals.to[1] 0 8 2 -4 0 0[1] -1.000000e+30 7.105427e-15 -2.842171e-14 0.000000e +00 -1.000000e+30 -1.000000e+30[1] 1.0e+30 5.0e+01 1.5e+02 2.5e+01 1.0e+30 1.0e+30b1,b2,b3的对偶价格分别为0、8、2；b1范围为(250，∞)，b2范围为(0, 50)，b3范围为(0, 150)。