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3.3.2 抛物线的简单几何性质【学习目标】1．抛物线的几何性质⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p 2.直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝ . 3．直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系： 、 和 ．设直线y ＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，将y ＝kx ＋m 代入y 2＝2px ，消去y 并化简，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0. ∈k ＝0时，直线与抛物线只有 交点；∈k ≠0时，Δ＞0∈直线与抛物线 ∈有 公共点． Δ＝0∈直线与抛物线 ∈只有 公共点．Δ＜0∈直线与抛物线∈ 公共点．【小试牛刀】1．抛物线关于顶点对称．()2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．() 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．() 4．抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．()5．抛物线y＝－18x2的准线方程为x＝132．()【经典例题】题型一抛物线性质的应用把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．[跟踪训练]1 已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是∈OAB 的重心，求∈OAB的周长．题型二直线与抛物线的位置关系直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．例2已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．[跟踪训练]2若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA∈OB.题型三中点弦及弦长公式“中点弦”问题解题方法例3已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，[跟踪训练]3 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．题型四 抛物线的综合应用例4 求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离．[跟踪训练]4 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值．【当堂达标】1．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)2．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y3．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．184．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A的坐标是()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)5．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.7．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．8．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当∈AOB的面积等于10时，求k的值．9.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求实数m的值；(2)若OA∈OB，求实数m的值．10.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．【参考答案】【自主学习】x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p2 x 轴 y 轴 (0,0) 1 x 1＋x 2＋p 相离 相切 相交 一个 相交 两个 相切 一个 相离 没有 【小试牛刀】 × √ √ √ × 【经典例题】例1 (1)y 2＝3x 或y 2＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .](2)[解] 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ， 设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∈BCD ＝30°，在Rt∈ACE 中，∈|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∈2|AE |＝|AC |，∈4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∈BD ∈FG ，∈43p ＝23，p ＝2.因此抛物线的方程是y 2＝4x .[跟踪训练]1 解 (1)抛物线y 2＝8x 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.(2)如图所示，由|OA |＝|OB |可知AB ∈x 轴，垂足为点M ， 又焦点F 是∈OAB 的重心，则|OF |＝23|OM |. 因为F (2,0)，所以|OM |＝32|OF |＝3，所以M (3,0)．故设A (3，m )，代入y 2＝8x 得m 2＝24；所以m ＝26或m ＝－26，所以A (3,26)，B (3，－26)，所以|OA |＝|OB |＝33，所以∈OAB 的周长为233＋4 6. 例2 解 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x＝14，∈y ＝1，∈直线l 与C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．∈当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；∈当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ∈当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k >1时，l 与C 没有公共点．[跟踪训练]2 [证明] 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∈直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∈可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∈OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∈OA →∈OB →，即OA ∈OB .例3 解 由题意知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ∈x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·y 1－y 22＝1＋1k 2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0或2x ＋y －p ＝0.[跟踪训练]3 [解] 法一：(点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∈(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∈y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝4，∈k AB ＝4. ∈AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.法二：由题意知AB 所在直线斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 所在直线的方程为y＝k (x －4)＋1.联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k x －4＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标．由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k .又y 1＋y 2＝2，∈k ＝4.∈AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0. 例4 解 方法一 设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43. 所以当t ＝23时，d 有最小值43.方法二 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∈Δ＝16＋12m ＝0，∈m ＝－43. 故最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.[跟踪训练]4 [解] (1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1. 【当堂达标】1.D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎨⎧y 2＝16x ，x 2＋y 2＝x －42＋y 2∈⎩⎨⎧ y 2＝16x ，x ＝2∈⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2.所以符合题意的点为(2，±42)．] 2. C 解析 设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px 得|y |＝p ，∈2|y |＝2p ＝8，p ＝4. ∈抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .3.A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]4.B [由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∈点A 的坐标为(1，±2)，故选B.]5. B 解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.6. 8解析 因为直线AB 过焦点F (1,0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7.158 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14.∈|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∈y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.] 8.解 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 由方程组⎩⎨⎧x ＝－y 2，y ＝k x ＋1，消去x 整理得ky 2＋y －k ＝0，Δ＝1＋4k 2>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1·y 2＝－1. 设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∈S ∈OAB ＝S ∈OAN ＋S ∈OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∈S ∈AOB ＝12×1×y 1＋y 22－4y 1y 2＝12×1k 2＋4＝10，解得k ＝±16.9.解 由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.由Δ＝(2m －8)2－4m 2＝64－32m >0，得m <2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716，经检验符合题意．(2)因为OA ∈OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8或m ＝0(舍去)． 所以m ＝－8，经检验符合题意．10.[解] 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∈x 1＋x 2＝6－p .∈ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px 消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∈x 1＋x 2＝3p ，代入∈式得3p ＝6－p ，∈p ＝32.∈所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
