第二章：信号与噪声

Fn
cn 2
e jn
(称为复振幅)；
Fn
cn ejn 2
Fn*
（是 F n
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的共轭）。
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（a）非周期信号
（b）构造的周期信号
图2-1 非周期信号
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2、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式 cosx ejx ejx 可得的指数表达式 2
f (t) Fnejn0t
式中
n
（2.2-6）
Fn
1 T
T/2 f(t)ejn0tdt
T/2
n0,1,2.3,
,
F0 c0 a0
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设能量信号为时间的实函数，通常把能量信号的归 一化能量（简称能量）定义为由电压加于单位电阻上所 消耗的能量，即为
E f 2(t)dt
（2.1-3）
A
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2.2确知信号的分析
确知信号的性质可以从频域和时域两方面进行分析。 频域分析常采用傅里叶分析法，时域分析主要包括卷积和 相关函数。本节我们将概括性地介绍傅里叶分析法，重点 介绍相关函数、功率谱密度和能量谱密度等概念。
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信号的傅里叶变换具有一些重要的特性，灵活运用这 些特性可较快地求出许多复杂信号的频谱密度函数，或从 谱密度函数中求出原信号，因此掌握这些特性是非常有益 的。其中较为重要且经常用到的一些性质和傅里叶变换对 见附录二。
下面讨论周期信号的傅里叶变换。
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第二章：信号与噪声
2.1 信号的分类 2.2 确知信号的分析 2.3 随机变量的统计特征 2.4 随机过程的一般表述 2.5 平稳随机过程 2.6 高斯随机过程 2.7 随机过程通过系统的分析 2.8 窄带高斯噪声 2.9 周期平稳随机过程
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2.1信号的分类
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2.1.1确知信号与随机信号
本节我们介绍基于概率论的随机变量及其统计特征， 它是随机过程和随机信号分析的基础。
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2.3.1 随机变量
在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表示， 如果变量的取值是随机的，则称变量为随机变量。例如， 在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随 机变量。否则就称为连续随机变量。
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2.1.2周期信号与非周期信号
周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。 周期信号满足下列条件
f( t ) f( t n T ) ,n 0 , 1 , 2 . 3 ,, t
（2.1-1）
式中，为的周期，是满足式（2.1-1）条件的最小时 段。非周期信号是不具有重复性的信号。
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Pf
lim T
F2
T
（2.2-31）
则整个频率范围内信号的总功率与功率谱之间的关系 可表示为
P 1
2
Pf
d
（2.2-32）
可以证明：功率信号 f ( t ) 的自相关函数和功率谱密度是
一对傅里叶变换，即 Rf()Pf
后面我们将介绍的窄带高斯噪声的包络就是服从瑞利 分布。
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2.3.4随机变量的数字特征
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均匀分布的概率密度函数的曲线如图2-2所示。
图2-2 均匀分布的概率密度函数
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图2-3 高斯分布的概率密度函数
高斯分布是一种重要而又常见的分布，并具有一些有 用的特性。在后面我们将专门进行讨论。
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图2-4 瑞利分布
概率密度函数有如下性质：
（1） f (x) 0
（2.3-5）
（2）
f (x)dx 1
（3）
b
f(x)dxP(aXb)
a
（2.3-6） （2.3-7）
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对于离散随机变量，其概率密度函数为
f(x)i n1Pi(xxi) 0
xxi xxi
（2.3-8）
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由以上两式可见，互相关函数反映了一个信号与另一 个延迟τ秒后的信号间相关的程度。需要注意的是，互相 关函数和两个信号的前后次序有关，即有
R21()R12()
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2.3 随机变量的统计特征
前面我们对确知信号进行了分析。但实际通信系统中 由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而 携带信息的信号也都是随机的，如语言信号等，另外通信 系统中还必然存在噪声，它也是随机的，这种具有随机性 的信号称为随机信号。尽管随机信号和随机噪声具有不可 预测性和随机性，我们不可能用一个或几个时间函数准确 地描述它们，但它们都遵循一定的统计规律性。在给定时 刻上，随机信号的取值就是一个随机变量。
确知信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，它 在定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如电路中的正 弦信号和各种形状的周期信号等。
在事件发生之前无法预知信号的取值，即写不出明确 的数学表达式，通常只知道它取某一数值的概率，这种具 有随机性的信号称为随机信号。例如，半导体载流子随机 运动所产生的噪声和从目标反射回来的雷达信号（其出现 的时间与强度是随机的）等都是随机信号。所有的实际信 号在一定程度上都是随机信号。
随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数 来描述。
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F (x)
F (x)
x
P(X x)
F(x)P(Xx)
（2.3-1）
F(x)P (Xx) P (xi) xix P(xi)(i1,2,3, )
i1,2,3, （2.3-2）
xi
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可见，概率密度函数是分布函数的导数。从图 形上看，概率密度就是分布函数曲线的斜率。