数据结构 课件 第七章 图

第7章 图
CAC - 2
CAC - 3
7.1 图的定义和术语
7.1.1 图的定义和术语
1. 图的定义（graph）
图G由两个集合构成，记作G=<V,E> ，其中V是顶点的非空有限集合，
E是顶点间关系----边的有限集合，边是顶点的无序对或有序对集合。 。
【例】 V0
V1
V2
V3
V4
无序对(vi,vj)： 用连接顶点vi、vj的线段
V0
V1
V0
V1
V2
V3
V2
V3
两个强连通分量
CAC - 17
练习
具有n个顶点的强连通图至少有多少条边？是什么形状？
分析：强连通图是针对有向图而言的。由于强连通图要求 图中任何2个顶点之间能够连通，因此每个顶点至少要有一条 以该顶点为终点（弧头）和出发点（弧尾）的弧，每个顶点 的入度和出度至少各为1，即顶点的度至少为2。
边或弧
G2=<V2,E2> V2={ v0 ,v1,v2,v3 } E2={ <v0,v1 > , <v0,v2 >, <v2,v3 >,<v3,v0 > }
CAC - 6
7.1.1 图的定义和术语
2. 图的相关术语 （1）无向图：若图G中所有边是没有方向的，则称G为无向图。 （2）有向图：若图G中所有顶点间的连线是有方向的，则称G为有向图。 （3）顶点：数据元素Vi称为顶点。 （4）边和弧：P(Vi,Vj)表示在顶点Vi和Vj之间有线相连，如果是无向图， 则称该线为边；在有向图中，则称该连线为弧。边用顶点的无序偶对(Vi， Vj)表示，弧用有序偶对< Vi，Vj >表示。 （5）弧头和弧尾：有序偶对的第一个结点称为始点（或弧尾，即不带箭 头的一端），有序偶对的第二个结点称为终点（或弧头，即带箭头的一 端）。

InfoType *info;
}VNode,AdjList[MAX_V];
}ArcNode;
typedef struct //图的邻接表类型
{ AdjList vertices; //存储图中所有顶点的数组
int vexnum,arcnum; //存储图的顶点数目和边(弧)的数目
int kind; //图的种类标志
返回
表结点
adjvex nextarc info
表头结点
data firstarc
typedef struct ArcNode typedef struct
{ int adjvex;
{ VertexType data;
struct ArcNode *nextarc; ArcNode *firstarc;
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_V][MAX_V];
typedef struct
{ VertexType vex[MAX_V]; //顶点信息数组(如顶点编号等)
AdjMatrix arcs;
//图的邻接矩阵
int vexnum,arcnum; //图的顶点数和边(弧)的数目
GraphKind kind;//图的种类标志
A CB F DE G (a) 有向图G1
A BC D EF (b) 无向图G2
返回
2 几个常用术语 可以证明,对于具有n个顶点的无向图的边和具有n个
顶点的有向图的弧的最大数目分别为n(n-1)/2和n(n-1)。 称具有n(n-1)/2条边的无向图为完全图(completed
grahp)。 称具有n(n-1)条弧的有向图为完全有向图 称边或弧的数目e<nlogn的图为稀疏图(sparse

由于“弧”是有方向的，因此称由顶点集 和弧集构成的图为有向图。
例如: G1 = (V1, VR1)
其中 A
V1={A, B, C, D, E}
B
E VR1={<A,B>, <A,E>,
C
D
<B,C>, <C,D>, <D,B>, <D,A>, <E,C> }
若<v, w>VR 必有<w, v>VR, 则称 (v,w) 为顶点 v 和顶点 w 之间存在一条边。
A
B
EB
E
CF
CF
假设一个连通图有 n 个顶点和 e 条边， 其中 n-1 条边和 n 个顶点构成一个极小连 通子图，称该极小连通子图为此连通图的 生成树。
B A
F
C D
E
对非连通图，则 称由各个连通分 量的生成树的集 合为此非连通图 的生成森林。
基本操作
结构的建立和销毁 对顶点的访问操作
插入或删除顶点 插入和删除弧
7.2 图的存储表示
一、图的数组(邻接矩阵)存储表示 二、图的邻接表存储表示 三、有向图的十字链表存储表示 四、无向图的邻接多重表存储表示
一、图的数组(邻接矩阵)存储表示
定义:矩阵的元素为
{ 0 (i,j)VR
Aij= 1 (i,j)VR
B A
F
C D
E
010010 100010 000101 001001 110000 011100
含有 e=n(n-1) 条弧的有向图称作 有 向完全图;
若边或弧的个数 e<nlogn，则称作 稀疏图，否则称作稠密图。
假若顶点v 和顶点w 之间存在一条边， 则称顶点v 和w 互为邻接点， 边(v,w) 和顶点v 和w 相关联。

含有 e=n(n-1) 条弧的有向图称作 有 向完全图；
若边或弧的个数 e<nlogn，则称作
稀疏图，
13
1
1
4
2
3
4
2
3
无向完全图 有向完全图
15 A 9
11
B 7 21
E
3
C2 F
权：与图的边或 弧相关的数。
网:带权的图。
有两个图G=(V,{E}) 和
图 G=(V,{E}),
245
无向完全图 5
3
6
1
3
6
图与子图 例
例
245
1 57
1
3
6
32
46
G2
顶点5的度：3 顶点2的度：4
G1
顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0
例
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5
245
简单路径：1，2，3，5
回路：1，2，3，5，6，3，1
1
3
6
简单回路：3，5，6，3
G1
31.12.2020
h
6
7.1 图的定义和术语
主
7.2 图的存储结构（***）
要
7.3 图的遍历（***）
内 容
7.4 图的连通性问题 最小生成树（***）
7.5 有向无环图及其应用
拓扑排序 关键路径
7.6 最短路径
图的结构定义:
图是由一个顶点集 V 和一个弧集 R构成的 数据结构。
Graph = (V , R ) 其中，VR＝{<v,w>| v,w∈V 且 P(v,w)}
C D
E
A F