国家开放大学电大本科《离散数学》2022-2023期末试题及答案(试卷号：1009)

最新国家开放大学电大《离散数学》形考任务1试题及答案最新国家开放大学电大《离散数学》形考任务1试题及答.形考任务1（集合论部分概念及性质）单项选择.题目.若集合A＝.a, {a}, {1, 2}}, 则下列表述正确的是（）.选择一项:A.{a, {a}}.B..C.{1, 2..D.{a..题目.设函数f: N→N, f(n)=n+1, 下列表述正确的是.）.选择一项: A.f是满射.B.f存在反函.C.f是单射函.D.f是双射.题目.设集合A={1, 2, 3, 4, 5}, 偏序关系是A上的整除关系, 则偏序集<A, >上的元素5是集合A的.）.选择一项:A.极小.B.极大.C.最大.D.最小.题目.设A={a, b}, B={1, 2}, C={4, 5}, 从A到B的函数f={<a,1>.<b, 2>}, 从B到C的函数g={<1, 5>.<2, 4>}, 则下列表述正确的是.）.选择一项:A.g..={<a, 5>.<b, 4>.B.g..={<5, .>.<4, .>.C.f°.={<5, .>.<4, .>.D.f°.={<a, 5>.<b, 4>.题目.集合A={1.2.3.4}上的关系R={<x, y>|x=y且x.yA}, 则R的性质为.）.选择一项:A.传递.B.不是对称.C.反自.D.不是自反.题目.设集合..{1..}, 则P(A...).选择一项:A.{{1}.{a}.{1..}.B.{{1}.{a}.C.{,{1}.{a}.D.{,{1}.{a}.{1..}.题目.若集合A={1, 2}, B={1, 2, {1, 2}},则下列表述正确的是.).选择一项:A.AB, 且A.B.AB, 且A.C.BA, 且A.D.AB, 且A.题目.设集合A={1.2.3}, B={3.4.5}, C={5.6.7},则A∪B–.=.).选择一项:A.{1.2.3.4.B.{4.5.6.7.C.{2.3.4.5.D.{1.2.3.5.题目.设集合..{1.2.3.4.5}上的偏序关系的哈斯图如右图所示, 若A的子集..{3.4.5}, 则元素3为B的.）.选择一项:A.最小上.B.下.C.最大下.D.最小.题目1.如果R1和R2是A上的自反关系, 则R1∪R2, R1∩R2, R1-R2中自反关系有.）个.选择一项:A..B..C..D..以下资料为赠送资料:《滴水之中见精神》主题班会教案活动目的: 教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的, 每个人都要保护它, 做到节约每一滴水, 造福子孙万代。

最新国家开放大学电大《离散数学》期末题库及答案《离散数学》题库及答案一一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.若集合A = （l,2,3,4）,则下列表述不正确的是（）•A.16AB. {1,2,3}CAC. （1.2.3J6AD. 0UA2.若R和R?是A上的对称关系，则中对称关系有（〉个・A. 1B. 2C. 3D. 43.设G为连通无向图，则］）时,G中存在欧拉回路・A. G不存在奇数度数的结点B. G存在偶数度数的结点C. G存在一个奇数度数的结点D. G存在两个奇数度数的结点4.无向图G是棵树，边数是10,则G的结点度数之和是（）.A.20B. 9C. 10D. 115.设个体域为整数集，则公式V z3y（x+y = 0）的解释可为（）.A-存在一整数z有整数丁满足x+y = 0B.对任意整数z存在整数財满足x+y = 0C.存在一整数z对任意整数'满足工+y・0D.任意整数工对任意整数，满足x+y=0得分评卷人--------------- 二、填空題（毎小通3分，本題共15分）6.设集合A = {1.2,3),B = (2,3,4}.C=(3.4.5，则A (J (C - B )等于7-设 A = （2,3},B-{l,2}.C-{3,4}.从 A 到 B 的函ft/-{<2,2>,<3,1>}.从 B 到C 的函数R = <V1.3>,V2.4>）,则Dom（g"）等于.8.已知图G中共有】个2度结点,2个3度结点,3个4度结点，则G的边数是・9.设G是连通平面分别衰示G的結点数.边数和面数，u值为5/值为4,则r的值为・-10-设个体域D = （1.2.3,4hA（x）为七大于5”，则调词公式（Vz）AGr）的真值为11. 将语句“学生的主要任务是学习”翻译成命题公式. 12.将语句“今天天暗，昨天下雨.”翻译成命题公式.四、判斷说明題（判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本题共1413. 空集的圳:集是空集. 14.完全图K,不是平面图.15.设集合A = <1,2,3,4｝上的关系：R-«1.2>.<2.3>.<3,4>}.S = (<1.1>,<2,2>,<3,3>), 试计算(DR • S t (2)7? (3)r(J?nS).16.图 G=<V,E>.其中 V=S ，6,c,d}.E=((a,6),S,c),(a,d),(5,c),0,d),(c,d)},对应边的权值依次为2、3、4、5、6及7,试（1）画出G 的图形, （2）写岀G 的邻接矩阵;（3）求出G 权最小的生成树及其权值. 17.求PTQPR ）的析取范式与主合取范式.18.试证明：r -1 (P-*Q) An R A(QfR)=>i P.试题答案及评分标准仅供參考一、单项选择题（毎小题3分,本题共15分）l.C2.D3. A4. A5. B2OZZ«r-2O23^ttM三、逻辑公式翻译（毎小題6分，本题共】2分）分）五、计鼻16（每小JS 12分，本贓共36分）六、证明85（本楚共8分）2022集・2U23年股*二、壊空題（每小题3分，本题共15分）6. {1,2,3,5)7. {2,3}(或 A)8.109.110. 假（或F,或0）三、逻辑公式B!译（毎小题6分，本題共12分）11.设P ：学生的主要任务是学习. 则命题公式为:P.12.设今天夭晴，Q ：昨天下雨. 则命题公式为:PAQ.四、判断说明題（每小題7分，本题共14分）13.借误.空集的專集不为空集，为{0}. 14. 错误.完全图K,是平面图， 如K,可以如下图示嵌入平面.五、计算题（每小题12分，本題共36分）15. 解：(!)/? • S = (V1,2>,V2,3>* (2)J?-* = «2,1>,<3,2>,<4,3>}» (3)r(RnS)={Vl,l>,V2,2>,V3,3>,V4,4>} 16. 解.（DG 的图形表示为:《7分）（2）邻接矩阵:（3分）（6分）（2分）（6分） （2分） （6分）（3分）（4分） （8分）2022 集-2U23 年股*(3)粗线与结点表示的是最小生成树,(10 分)权值为9 (12分)17.解:P-(QAR)PV(QAR) 析取范式(2分)PVQ)A(q PVR) (5 分)g PVQ〉V(RA")A("VR) (7 分)PVQ)V(R A-i R)A(i PVR)V(QAr Q) (9 分)«(n PVQVR) A("VQV")A(i P VRVQ)A("VRVr Q)⑴分)PVQVR) A(i PVQV-i R) A(n P Vn QVR) 主合取范式 (12 分)六、证明JH(本■共8分)18.证明：(1)n □ (P-*Q) P(1 分)(2)P-*Q T(1)E (3 分)(3)(Q々) P(4 分)(On R P(5 分)(5>-| Q T(3)(4)7 (6 分)(6)n P T(2)(5)r (8 分)说明：(1)因证明过程中，公式引用的次序可以不同，一般引用前提正确得1分，利用两个公式得.出有效结论得1或2分，最后得岀靖论得2或1分.(2)另，可以用真值表验证.《陽散数学〉题库及答案二的关系R = {<=，3>M£A，3£B,且工+ » = 5}.则R=( ).A・(V1,2>,V1,3>,V2,3>} B. (VI,4>,V2,3>,V3,2>}C. (<1,1>,<2,2>,<3,2>}D. (<3.2>,<2,4>,<3,4»2.若集合A = {a,6,c,d},则下列表述正确的是( )•B. (a}£AD・("匕A2DZZ 邮-2023 邮3.设个体域为整数集期公式（七）（功）（工一，・2）的解释可为（）•A.存在一整数1有整数，満足工一》=2R存在一整散工对任意整數：，満足工一>・2G对任一整数工存在整数:y满足上一y=2D.任一整数］对任意幣数》满足x-y-24.”阶无向完全图K.的边數及每个结点的度数分别是（）・A. n（n —1）与mB. n（n —1）与C.n — 1 与nD. n（n —1）/2 与“一】5.设G为连通无向ffl.MC 〉时,G中存在欧拉回路•A.G不存在奇数度数的靖点B・G存在一个奇数度數的靖点C.G存在两个奇数度数的结点D.G存在偶数度数的结点得分|评卷人二、壊空順（毎小H 3分.本顕共15分）6.设集合A = {x|x是小于4的正整数）.用集合的列挙法A=・7.设 A = U,2）,B-{a.6}.C-{l,2）.从 A 到 B 的函»/= {<1 .a>.<2,6>）.从 B 到C的函数g-«a.2>,<6,l>）,则复合函数g./- ・8.设G = <V,E>是一个图，结点度数之和为30,MG的边数为・9.设G是具有r,个結点责条边4个面的连通平面图.JRn+4-2-・10.设个体域D-（2,3.4},A（x ）为—小于3■，则调词公式< Vx）A（x>的真值为得分评卷人三、遂梅公式翻译（毎小題6分，本■共12分）11-将语句•如果今天下頂•那么明天的比賽就要延期译成命，公式.12.将语句•地球是圆的，太阳也是圆的.”翻洋成命題公式.得分呼卷人----- 四、判断说明題（判斷各IH正讓•井说明理由.毎小願7分.本■共 14 分）13.设A = {a,6.c.</}.R-«a.6>,<6,a>,<a ,a>,<b,b> ,<（.€>}.则R是等价关系.2OZZ«r-2O23^ttM14.<Vz)(P(x)AQ(y»-R(x)中量伺V 的辖域为(PGr〉AQ(y)).得分评卷人-------------- 五、计算题(每小題12分，本題共36分)15.设集合A^{a,b,c}t B^{b t c,d}t试计算(DAUB; (2) A-Bi(3MXB.16.设G = VV,E>,V= {vi. v a. vj»v4).E =* ((vi»)» (vi»v s)» (t>i»v4). (v,,v>)»(V1 ,。

精选-可编辑修改-中央电大离散数学（本科）考试试题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( a )．A ．A ⊂B ，且A ∈B B ．B ⊂A ，且A ∈BC ．A ⊂B ，且A ∉BD ．A ⊄B ，且A ∈B2．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图一所示，则下列结论成立的是 ( d )．图一A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的3．设图G 的邻接矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010*******000011100100110则G 的边数为( b )．A ．6B ．5C ．4D ．34．无向简单图G 是棵树，当且仅当( a )．A ．G 连通且边数比结点数少1B ．G 连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．5．下列公式 ( c )为重言式．A ．⌝P ∧⌝Q ↔P ∨QB ．(Q →(P ∨Q)) ↔(⌝Q ∧(P ∨Q))C ．(P →(⌝Q →P))↔(⌝P →(P →Q))D ．(⌝P ∨(P ∧Q)) ↔Q1．若集合A ={a ，b }，B ={ a ，b ，{ a ，b }}，则（ a ）．A ．A ⊂B ，且A ∈B B ．A ∈B ，但A ⊄BC ．A ⊂B ，但A ∉BD ．A ⊄B ，且A ∉B2．集合A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R ={<x ，y >|x +y =10且x , y ∈A }，则R 的性质为（ b ）．A ．自反的B ．对称的C ．传递且对称的D ．反自反且传递的3．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1-R 2中自反关系有（ b ）个．A ．0B ．2C ．1D ．34．如图一所示，以下说法正确的是 ( d ) ．A ．{(a, e )}是割边B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d , e )}是边割集图一5．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（ c ）．A ．(∀x)(A(x)∧B(x))B ．┐(∃x)(A(x)∧B(x))C ．┐(∀x)(A(x) →B(x))D ．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))1．设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={<a ，2>, <b ，2>}，R 2={<a ，1>, <a ，2>, <b ，1>}，R 3={<a ，1>, <b ，2>}，则（ b ）不是从A 到B 的函数．A ．R 1和R 2B ．R 2C ．R 3D ．R 1和R 32．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( b )．A ．8、2、8、2B ．无、2、无、2C ．6、2、6、2D ．8、1、6、13．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ a ）．A ．1024B ．10C ．100D ．14．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ c ）时，K n 中存在欧拉回路．精选-可编辑修改- A ．m 为奇数 B ．n 为偶数 C ．n 为奇数 D ．m 为偶数5．已知图G 的邻接矩阵为，则G 有（ d ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边1．若集合A ＝{ a ，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( c )．A ．{a ，{a}}∈AB ．{2}⊆AC ．{a}⊆AD ．∅∈A2．设图G ＝<V, E>，v∈V ，则下列结论成立的是 ( c ) ． A ．deg(v)=2∣E ∣ B ． deg(v)=∣E ∣ C ．E v V v 2)deg(=∑∈ D ．E v V v =∑∈)deg(3．命题公式（P ∨Q ）→R 的析取范式是 ( d )A ．⌝（P ∨Q ）∨RB ．（P ∧Q ）∨RC ．（P ∨Q ）∨RD ．（⌝P ∧⌝Q ）∨R4．如图一所示，以下说法正确的是 ( a )．A ．e 是割点B ．{a, e}是点割集C ．{b, e}是点割集D ．{d}是点割集5．下列等价公式成立的为( b )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔P ∨QB ．P →(⌝Q →P) ⇔⌝P →(P →Q)C ．Q →(P ∨Q) ⇔⌝Q ∧(P ∨Q)D ．⌝P ∨(P ∧Q) ⇔Q1．若G 是一个汉密尔顿图，则G 一定是( d )．A ．平面图B ．对偶图C ．欧拉图D ．连通图2．集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x ，y>|x=y 且x, y ∈A}，则R 的性质为（ c ）．A ．不是自反的B ．不是对称的C ．传递的D ．反自反3．设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A 上的整除关系，则偏序集<A ，≤>上的元素5是集合A 的（b ）．A ．最大元B ．极大元C ．最小元D ．极小元4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( c ) ．A ．{(a, d)}是割边B ．{(a, d)}是边割集C ．{(a, d) ,(b, d)}是边割集D ．{(b, d)}是边割集图一5．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ a ）．A ．(∃x)(A(x)∧B(x))B ．(∀x)(A(x)∧B(x))C ．┐(∀x)(A(x) →B(x))D ．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))1．若集合A ＝{ a ，{a}}，则下列表述正确的是( a )．A ．{a}⊆AB ．{{{a}}}⊆AC ．{a ，{a}}∈AD ．∅∈A2．命题公式（P ∨Q ）的合取范式是 ( c )A ．（P ∧Q ）B ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．（P ∨Q ）D ．⌝（⌝P ∧⌝Q ）3．无向树T 有8个结点，则T 的边数为( b )．A ．6B ．7C ．8D ．94．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( b )．A ．a 是割点B ．{b, c}是点割集C ．{b, d}是点割集D ．{c}是点割集图一5．下列公式成立的为( d )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔ P ∨QB ．P →⌝Q ⇔ ⌝P →Q精选-可编辑修改- C ．Q →P ⇒ P D ．⌝P ∧(P ∨Q)⇒Q1．“小于5的非负整数集合”采用描述法表示为___a___．A ．{x ∣x ∈N, x<5 }B ．{x ∣x ∈R, x<5 }C ．{x ∣x ∈Z, x<5 }D ．{x ∣x ∈Q, x<5 }2．设R1，R2是集合A={a,b,c,d}上的两个关系，其中R1={(a,a),(b,b),(b,c), (d,d)}，R2={(a,a),(b,b),(b,c),(c,b),(d,d)}，则R2是R1的__b____闭包．A ．自反B ．对称C ．传递D ．以上答案都不对3．设函数f ：R →R ，f(a)=2a+1；g ：R →R ，g(a)=a2，则___c___有反函数．A ．f gB ．g fC ．fD ．g4．已知图G 的邻接矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111110101110001000111010，则图G 有___d___．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点7边5．无向完全图K4是___a___．A ．汉密尔顿图B ．欧拉图C ．非平面图D ．树6．在5个结点的完全二叉树中，若有4条边，则有___b___片树叶．A ．2B ．3C ．4D ．57．无向树T 有7片树叶，3个3度结点，其余的都是4度结点，则T 有__c___个4度结点．A ．3B ．2C ．1D ．08．与命题公式P →（Q →R ）等值的公式是___a___．A ．(P ∧Q)→RB ．(P ∨Q)→RC ．(P →Q)→RD ．P →(Q ∨R) 9．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是___b___． A ．))()((y yR x P x ∃∨∀ B ．)()(y yR x P ∃∨ C ．P(x) D ．)(x Q 10．谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是___c___． A ．蕴涵式 B ．永假式C ．永真式D ．非永真的可满足式1．设A={1,2,3,4}，B={1,3}，C={-1,0,1,2}，则___a___．A ．AB ⊆ B ．C B ⊆C ．A B ∈D ．C B ∈2．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为___b___．A ．1000B ．1024C ．1D ．10 3．设集合A={1,2}，B={a,b}，C={α}，则=⨯⨯C B A )(__c____． A ．{<1,a,α>,<1,b,α>,<2,a,α>,<2,b,α>}B ．{<1,<a,α>>,<1,<b,α>>,<2,<a,α>>,<2,<b,α>>}C ．{<<1,a>,α>,<<1,b>,α>,<<2,a>,α>,<<2,b>,α>}D ．{{1,2},{a,b},{α}}4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为___d___．A ．8、1、6、1B ． 8、2、8、2C ．6、2、6、2D ．无、2、无、25．有5个结点的无向完全图K5的边数为___a___．A ．10B ．20C ．5D ．256．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当___b___时，K n 中存在欧拉回路．A ．n 为偶数B ．n 为奇数C ．m 为偶数D ．m 为奇数7．一棵无向树T 有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支点都是3度顶点，则T 有__c___个顶点．A ．3B ．8C ．11D ．138．命题公式（P ∨Q ）→R 的析取范式是___b___．A ．（⌝P ∧⌝Q ）∨RB ． ⌝（P ∨Q ）∨RC ．（P ∧Q ）∨RD ．（P ∨Q ）∨R9．下列等价公式成立的是___b___．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔P ∨QB ． P →(⌝Q →P) ⇔⌝P →(P →Q)C ．⌝P ∨(P ∧Q) ⇔QD ．Q →(P ∨Q) ⇔⌝Q ∧(P ∨Q) 10．谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是__c____． A ．蕴涵式 B ．永假式C ．永真式D ．非永真的可满足式二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．命题公式)(P Q P ∨→的真值是 T （或1） ．7．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 W ≤|S| ．精选-可编辑修改-8．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 0 ，则该序列集合构成前缀码．9．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 5 ．10．(∀x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的自由变元为R (x ，y )中的y6．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为 1024 ．7．设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为 8 ． 8．若A ={1,2}，R ={<x , y >|x ∈A , y ∈A , x +y =10}，则R 的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}．9．结点数v 与边数e 满足 e=v -1 关系的无向连通图就是树．6．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是{∅,{a ,b },{a },{b }}．7．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1-R 2中自反关系有 2 个．8．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 4 条边后使之变成树．9．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．10．设个体域D ＝{a , b }，则谓词公式(∀x )A (x )∧（∃x ）B （x ）消去量词后的等值式为(A (a )∧A (b ))∧(B （a ）∨B （b ）) ．6．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系， },,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式v -e +r =2 ．8．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 3 条边，可以确定图G 的一棵生成树．9．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且所有结点的度数全为偶数10．设个体域D ＝{1,2}，则谓词公式)(x xA ∃消去量词后的等值式为A (1)∨A (2)6．命题公式)(P Q P ∨→的真值是 T （或1） ．7．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 W ≤|S| ．8．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 0 ，则该序列集合构成前缀码．9．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 5 ．10．(∀x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的自由变元为R (x ，y )中的y6．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为 1024 ．7．设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为 8 ． 8．若A ={1,2}，R ={<x , y >|x ∈A , y ∈A , x +y =10}，则R 的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}．9．结点数v 与边数e 满足 e=v -1 关系的无向连通图就是树．10．设个体域D ＝{a , b , c }，则谓词公式(∀x )A (x )消去量词后的等值式为A (a ) ∧A (b )∧A （c ）6．若集合A={1，3，5，7}，B ={2，4，6，8}，则A ∩B =空集（或∅） ．7．设集合A ={1，2，3}上的函数分别为：f ={<1,2>,<2,1>,<3,3>,}，g ={<1,3>,<2,2>,<3,2>,}，则复合函数g ︒f ={<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>,}8．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则G 的结点度数之和为2|E |（或“边数的两倍”）9．无向连通图G 的结点数为v ，边数为e ，则G 当v 与e 满足 e=v -1 关系时是树．10．设个体域D ＝{1, 2, 3}， P (x )为“x 小于2”，则谓词公式(∀x )P (x ) 的真值为假（或F ，或0） ．6．设集合A ={2, 3, 4}，B ={1, 2, 3, 4}，R 是A 到B 的二元关系，},{y x B y A x y x R ≤∈∈><=且且则R 的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<2, 4>，<3, 3>}，<3, 4>，<4, 4>}7．如果R 是非空集合A 上的等价关系，a ∈A ，b ∈A ，则可推知R 中至少包含<a , a >，< b , b >等元素．8．设G ＝<V , E >是有4个结点，8条边的无向连通图，则从G 中删去 5 条边，可以确定图G 的一棵生成树．9．设G 是具有n 个结点m 条边k 个面的连通平面图，则m 等于n +k -210．设个体域D ＝{1, 2}，A (x )为“x 大于1”，则谓词公式()()x A x ∃的真值为真（或T ，或1）11．设集合A ={1,2,3}，用列举法写出A 上的恒等关系I A ，全关系E A ：I A = __ I A ={<1,1>,<2,2>,<3,3>}；E A ={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}12．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是{∅,{a },{b },{a ,b }}13．设集合A ={1,2,3}，B ={a ,b }，从A 到B 的两个二元关系R ={<1,a >,<2,b >,<3,a >}，S={<1,a >,<2,a >,<3,a >}，则R -S =_ R -S ={<2,b >}．14．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式v -e +r =2．15．无向连通图G 是欧拉图的充分必要条件是结点度数均为偶数．16．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 3 条边，可以确定图G 的一棵生成树．17．设G 是完全二叉树，G 有15个结点，其中有8个是树叶，则G 有____14___条边，G 的总度数是___28_____，G 的分支点数是____7____．18．设P ，Q 的真值为1，R ，S 的真值为0，则命题公式Q S R Q P ∧∨∧∨)(的真值为___0_____．19．命题公式)(R Q P →∧的合取范式为)(R Q P ∨⌝∧析取范式为)()(R P Q P ∧∨⌝∨20．设个体域为整数集，公式)0(=+∃∀y x y x 真值为___1_____．11．设集合A ={1,2,3,4}，B ={3,4,5,6}，则：=B A ___{3,4}_____，=B A _____{1,2,3,4,5,6}_____．12．设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 ．13．设集合A ={a ,b ,c ,d }，B ={x ,y ,z }，R ={<a ,x >,<a ,z >,<b ,y >,<c ,z >,<d ,y >}则关系矩阵M R ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100010101．精选-可编辑修改-14．设集合A ={a ,b ,c ,d ,e }，A 上的二元关系R ={<a ,b >,<c ,d >,<b ,b >}，S ={<d ,b >,<b ,e >,<c ,a >}，则R ·S ={<a ,e >,<c ,b >,<b ,e >}15．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且__所有结点的度数全为偶数16．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．17．设正则二叉树有n 个分支点，且内部通路长度总和为I ，外部通路长度总和为E ，则有E =___ I +2n18．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则命题公式)()(S Q R P ∨→∨的真值为_____1___．19．已知命题公式为G ＝(⌝P ∨Q )→R ，则命题公式G 的析取范式是(P ∧⌝Q )∨R20．谓词命题公式(∀x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的约束变元为___x___．三、逻辑公式翻译（每小题4分，本题共12分）11．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式．设P ：所有人今天都去参加活动，Q ：明天的会议取消， （1分）P → Q ． （4分）12．将语句“今天没有人来．” 翻译成命题公式．设 P ：今天有人来， （1分）⌝ P ． （4分）13．将语句“有人去上课．” 翻译成谓词公式．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课， （1分）(∃x)(P(x) ∧Q(x))． （4分）11．将语句“如果你去了，那么他就不去．”翻译成命题公式．设P ：你去，Q ：他去， （1分）P →⌝Q ． （4分）12．将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， （1分）P ∧Q ． （4分）13．将语句“所有人都去工作．”翻译成谓词公式．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作， （1分）(∀x)(P(x)→Q(x))． （4分）11．将语句“他不去学校．”翻译成命题公式．设P ：他去学校， （1分）⌝ P ． （4分）12．将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， （1分）P →Q ． （4分）13．将语句“所有的人都学习努力．”翻译成命题公式．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 学习努力， （1分）（∀x ）(P(x)→Q(x))． （3分）11．将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．设P ：他接受了这个任务，Q ：他完成好了这个任务， （2分）P ∧⌝ Q ． （6分）12．将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．设P ：今天下雨， （2分）⌝ P ． （6分）11．将语句“他是学生．”翻译成命题公式．设P ：他是学生， （2分）则命题公式为： P ． （6分）12．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．设P ：明天下雨，Q ：我们就去郊游， （2分）则命题公式为：⌝ P → Q ． （6分）11．将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式．设P ：今天考试，Q ：明天放假． （2分）则命题公式为：P ∧Q ． （6分）12．将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式．设P ：我去旅游，Q ：我有时间， （2分）则命题公式为：P →Q ． （6分）⑴ 将语句“如果明天不下雨，我们就去春游．”翻译成命题公式．⑵ 将语句“有人去上课．” 翻译成谓词公式．⑴设命题P 表示“明天下雨”，命题Q 表示“我们就去春游”.则原语句可以表示成命题公式 ⌝P →Q. （5分）⑵设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课则原语句可以表示成谓词公式 (∃x)(P(x) ∧Q(x))．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）14．┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为永真式．正确． （3分）┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与P 组成的析取式，如果P 的值为真，则┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真， （5分）精选-可编辑修改-如果P 的值为假，则┐P 与P →┐Q 为真，即┐P ∧（P →┐Q ）为真，也即┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真，所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式． （7分）15．若偏序集<A ，R>的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．正确． （3分）对于集合A 的任意元素x ，均有<x, a>∈R （或xRa ），所以a 是集合A 中的最大元．（5分）14．如果R1和R2是A 上的自反关系，则R1∪R2是自反的．正确． （3分）R1和R2是自反的，∀x ∈A ，<x, x> ∈ R1，<x, x> ∈R2，则<x, x> ∈ R1⋃R2，所以R1∪R2是自反的． （7分）15．如图二所示的图G 存在一条欧拉回路．正确． （3分）因为图G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数． （7分）14．设N 、R 分别为自然数集与实数集，f ：N →R ，f (x)=x+6，则f 是单射．正确． （3分）设x1，x2为自然数且x1≠x2，则有f(x1)= x1+6≠ x2+6= f(x2)，故f 为单射． （7分）15．设G 是一个有6个结点14条边的连通图，则G 为平面图．错误． （3分）不满足“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v-6．”13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （∀x ）F （x ）→G （x ） 前提引入(2) F （y ）→G （y ） US （1）．错误． （3分）（2）应为F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． （7分）14．若偏序集<A ，R>的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．错误． （3分）集合A 的最大元不存在，a 是极大元． （7分）13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （∀x ）F （x ）→G （x ） 前提引入(2) F （y ）→G （y ） US （1）．错误． （3分）（2）应为F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． （7分）14．如图二所示的图G 存在一条欧拉回路．v 1v 图二精选-可编辑修改-错误． （3分）因为图G 为中包含度数为奇数的结点． （7分）13．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 是欧拉图．错误． （3分）当图G 不连通时图G 不为欧拉图． （7分）14．若偏序集<A ，R>的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元是f ．图二错误． （3分）集合A 的最大元与最小元不存在，a 是极大元，f 是极小元，．五．计算题（每小题12分，本题共36分）16．设集合A={1，2，3，4}，R={<x, y>|x, y ∈A ；|x -y|=1或x -y=0}，试（1）写出R 的有序对表示；（2）画出R 的关系图；（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．（1）R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} （3分）（2）关系图为（6分）（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的。

离散数学试题(B卷答案1〕一、证明题〔10分〕1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R证明:左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R((P∨Q)∨(P∨Q))∧RT∧R(置换)R2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)证明：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取X式和主合取X式〔10分〕。

证明：(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))〔P∧(Q∨R)〕∨(P∧Q∧R)(P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R)m0∨m1∨m2∨m7M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题〔10分〕1〕C∨D，(C∨D)E，E(A∧B)，(A∧B)(R∨S)R∨S证明：(1)(C∨D)EP(2)E(A∧B)P(3)(C∨D)(A∧B)T(1)(2)，I(4)(A∧B)(R∨S)P(5)(C∨D)(R∨S)T(3)(4)，I(6)C∨DP(7)R∨ST(5)，I2)x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))证明(1)xP(x)P(2)P(a)T(1)，ES(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))P(4)P(a)Q(y)∧R(a)T(3)，US(5)Q(y)∧R(a)T(2)(4)，I(6)Q(y)T(5)，I(7)R(a)T(5)，I(8)P(a)∧R(a)T(2)(7)，I(9)x(P(x)∧R(x))T(8)，EG(10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5 人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

离散数学（本）一、单项选择题1.集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, yA}，则R的性质为（）．A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的正确答案: B2.如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A.0B.2C.1D.3正确答案: B3.设集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，C={5, 6, 7}，则A∪B–C =( )．A.{1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 5}C.{2, 3, 4, 5}D.{4, 5, 6, 7}正确答案: A4.若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．A.{a，{a}}AB.{1，2}AC.{a}AD.A正确答案: C5.若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A.1024B.10C.100D.1正确答案: A6.设函数f：N→N，f(n)=n+1，下列表述正确的是（）．A.f存在反函数B.f是双射的C.f是满射的D.f是单射函数正确答案: D7.设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的偏序关系的哈斯图如图所示，若A的子集B = {3, 4, 5}，则元素3为B的（）．A.下界B.最小上界C.最大下界D.最小元正确答案: B8.设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．A.最大元B.最小元C.极大元D.极小元正确答案: C9.设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1,1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（）闭包．A.自反B.传递C.对称D.自反和传递正确答案: C10.集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, yA}，则R的性质为（）．A.不是自反的B.不是对称的C.传递的D.反自反正确答案: C11.图G如图三所示，以下说法正确的是 ( )．A.a是割点B.{b,c}是点割集C.{b, d}是点割集D.{c}是点割集正确答案: B12.设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．A.e－v＋2B.v＋e－2C.e－v－2D.e＋v＋2正确答案: A13.图G如图四所示，以下说法正确的是 ( ) ．A.{(a, d)}是割边B.{(a, d)}是边割集C.{(a, d) ,(b, d)}是边割集D.{(b, d)}是边割集正确答案: C14.设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为( )．A.6B.5C.4D.3正确答案: B15.无向图G存在欧拉回路，当且仅当（）．A.G中所有结点的度数全为偶数B.G中至多有两个奇数度结点C.G连通且所有结点的度数全为偶数D.G连通且至多有两个奇数度结点正确答案: C16.无向完全图K4是（）．A.欧拉图B.汉密尔顿图C.非平面图D.树正确答案: B17.无向树T有8个结点，则T的边数为( )．A.6B.7C.8D.9正确答案: B18.若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．A.平面图B.对偶图C.欧拉图D.连通图正确答案: D19.若G是一个欧拉图，则G一定是( )．A.平面图B.汉密尔顿图C.连通图D.对偶图正确答案: C20.设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( )．图五A.（a）是强连通的B.（b）是强连通的C.（c）是强连通的D.（d）是强连通的正确答案: A21.命题公式为( )A.矛盾式B.可满足式C.重言式D.合取范式正确答案: B22.设个体域为整数集，则公式的解释可为( )．A.存在一整数x有整数y满足x+y=0B.任一整数x对任意整数y满足x+y=0C.对任一整数x存在整数y满足x+y=0D.存在一整数x对任意整数y满足x+y=0正确答案: C23.设命题公式G：，则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是 ( )．A.0, 0, 0B.0, 0, 1C.0, 1, 0D.1, 0, 0正确答案: D24.设A（x）：x是人，B（x）：x是教师，则命题“有人是教师”可符号化为（）．A.B.C.D.正确答案: D25.下列公式 ( )为重言式．A.┐P∧┐Q↔P∨QB.(Q→(P∨Q)) ↔(┐Q∧(P∨Q))C.Q→(P∨(P∧Q))↔Q →PD.(┐P∨(P∧Q)) ↔Q正确答案: C26.下列等价公式成立的为( )．A.┐P∧P┐Q∧QB.┐Q→P P→QC.P∧Q P∨QD.┐P∨P Q正确答案: A27.谓词公式(x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中的（）。

离散数学期末考试试题及答案离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。

下面是小编整理的离散数学期末考试试题及答案，欢迎阅读参考！一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。

1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。

[A] 3 [B] 8 [C]9 [D]272、设A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,则AB( )。

[A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,83、若X是Y的子集，则一定有( )。

[A]X不属于Y [B]X∈Y[C]X真包含于Y [D]X∩Y=X4、下列关系中是等价关系的'是( )。

[A]不等关系 [B]空关系[C]全关系 [D]偏序关系5、对于一个从集合A到集合B的映射，下列表述中错误的是( )。

[A]对A的每个元素都要有象 [B] 对A的每个元素都只有一个象[C]对B的每个元素都有原象 [D] 对B的元素可以有不止一个原象6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为( )。

[A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q7、设A={a,b,c},则A到A的双射共有( )。

[A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个8、一个连通G具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过中每边仅一次回到该结点( )。

[A] G没有奇数度结点 [B] G有1个奇数度结点[C] G有2个奇数度结点 [D] G没有或有2个奇数度结点9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是( )。

[A] G中有幺元 [B] G中么元是唯一的[C] G中任一元素有逆元 [D] G中除了幺元外无其他幂等元10、令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为( )[A] p→┐q [B] p∨┐q[C] p∧q [D] p∧┐q11、设G=的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={,}.则G的割(点)集是( )。

国家开放大学电大本科《离散数学> 2022-2023期末试题及答案（试卷号：1009）一、单项选择题(每小题3分，本息共16分)1, 若集合A = <1,2,3},则下列表述正确的是〈 )•A. {1,2,3}€AB. AC(1,2}C. U,2,3}gAD. {1,2}£A2. 设 A = {1,2,3},B = (1,2,3,4},人到 B 的关系 R = {O ,>> |工 £ A ,了 £ B },则 R =().A. {<1,2>,V2,3>}B. {V1,1>,V1,2>,V1,3>,V1,4>，V1,5>}C. «1,1>,<2,1>)D. {<2,】>,V3,】>,V3,2>}3. 无向图G 的边数是10,则图G 的结点度数之和为(A. 10B. 20C. 30D. 54. 如图一所示，以下说法正确的是〈 )•A. e 是割点B. {a,e}是点割集C. (b.e}是点割集D. {d}是点割集5-设个体域为整数集，则公式Vx3y （x+y = 2）的解释可为（）.A. 任意整数工，对任意整数y 满足工+了 = 2B. 对任意整数工，存在整数y 满足工+了 = 2C. 存在一整数z,对任意整数y 满足工+了 = 2D. 存在一整数工，有整数了满足x+jr = 2则人 CHBUC ）等于 _____ .7. 设 A = {1,2},B = <2,3},C=（3,4},从 A 到 B 的函数/= （VI,2>,V2,3>},从 B到 C 的函数 g = （V2,3>,V3,4>},则 Ran （g 0/）等于 ______ .8. 设G 是汉密尔顿图，S 是其结点集的一个子集，若S 的元素个数为6,则在G-S 中的连通分支数不超过 ________ .二、填空霆（每小题3分，本题共15分）9.设G是有8个结点的连通图，结点的度数之和为24,则可从G中删去 ________ 条边后使之变成树.10.设个体域D = {1,2, 3, 4},则谓词公式（VQ A S）消去量词后的等值式为H.将语句“昨夭下雨，今天仍然下雨.”翻译成命题公式.12. 将i 吾句“我们下午2点或者去礼堂看电彩或者去教室看书.”翻译成命飓公式. 得分评卷人13. 不存在集合A 与B,使得AEB 与AQB 同时成立.14. 如图二所示的图G 存在一条欧拉回路.15. 设 A = ｛l,2,3｝,R = （<x,y>l=£A<yCA 且 1+»=4｝击=｛〈工，3>0£人，36人且 工=）｝，试求 R,S,R" ,r （S ）.16. 设图 G = <VtE>»V=（v! 试（1） 画出G 的图形表示； （2） 写出其邻接矩阵； （3） 求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形•17. 求-I （PVQ ）VR 的析取范式与主合取范式•18. 试证明门 PVQ»P -*(i (n PVn Q)〉.（仅 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.C2. D3. B二、填空题（每小题3分，本题共15分）6. {b t c)7. {3,4）（或 C ） 8.6 9.5评卷人三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）四、判断说明题（判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本题共14 分）评卷人五、计算题（每小题12分，本题共36分）评卷人六、证明题（本题共8分）10.A（1）AA（2） AA（3） AA（4）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11.设P：昨天下雨,Q：今天下雨. （2分）则命题公式为:PAQ. （6分）12.设P：我们下午2点去礼堂看电影，Q：我们下午2点去教室看书. （2分）则命题公式为门（P-Q）. （6分）注:或者（1 PAQ）V（PAi Q）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13.错误•（3分）例:设A = {a},B^{a,{a}}（5 分）则有AEB且AWB. （7分）说明:举出符合条件的反例均给分.14.正确. （3分）因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数均为偶数. （7分）如果具体指出一条欧拉回路也同样给分.五、计算题（每小题12分，本题共36分）15.解：R = {V1,3>,V2,2>,V3,1>} （3分）S = {<1,1>,<2,2>,<3,3>} （6分）7?~* = （<3,1>,<2,2>,<1,3>} （9分）r（S） = （<l,l>,<2,2>,<3,3>} （12分）说明：对于每一个求解项，如果部分正确，可以给对应1分・16.解：（1）（2）邻接矩阵10 0.(3)deg(pi) = 2deg(v2)=2deg(v3)=Odcg(vj = 2 (9 分)(4)补图(12 分)17.解门(PVQ)VR«=>(-, PA-i Q)VR 析取范式(5分)PVR)A(n QVR) (7分)«((n PVK)V(QA-i Q))A(-| QVR) (9分) E((I P VK) V(QA-i Q))A((n QV^>V(P An P)) (10分)«(-i PVR VQ) A(" VR Vi Q) A(i QVk VP)A(i QVRV") ⑴分) «(PV-i QVR)A(i PVQVR)A(rPVi QVR) 主合取范式(12 分)六、证明题(本题共8分)18.证明：(Di PVQ P(1 分)<2)P P(附加前提) (3分)(3)Q T(l)(2)/ (5 分)(4)PAQ T(2)(3)/ (6 分)(5)n(i PV-i Q) T(4)E (7 分)(6)P^n (n PV-i Q) CP 规则(8 分)说明：(D因证明过程中，公式引用的次序可以不同，一般引用前提正确得1分，利用两个公式得出有效结论得1或2分，最后得出结论得2或1分.(2)可以用真值表验证.采用反证法可参照给分.。

大学离散数学期末考试题库和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示“属于”？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 如果A和B是两个集合，那么A∪B表示什么？A. A和B的交集B. A和B的并集C. A和B的差集D. A和B的补集答案：B3. 以下哪个命题是真命题？A. ∀x∈N, x^2 > xB. ∃x∈N, x^2 = x + 1C. ∀x∈N, x^2 ≥ xD. ∃x∈N, x^2 < x答案：C4. 在图论中，一个无向图的边数为E，顶点数为V，那么这个图的生成树的边数是多少？A. EB. V-1C. VD. E-1答案：B5. 以下哪个算法是用于解决旅行商问题（TSP）的？A. 动态规划B. 贪心算法C. 分支限界法D. 回溯法答案：D6. 在逻辑中，以下哪个符号表示“蕴含”？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C7. 以下哪个是二进制数？A. 1010B. 2A3C. 12BD. ZYX答案：A8. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D9. 以下哪个是布尔代数的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 所有以上答案：D10. 在离散数学中，以下哪个概念用于描述两个集合之间的关系？A. 函数B. 映射C. 序列D. 所有以上答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 补集答案：ABCD12. 在图论中，以下哪些是图的基本类型？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：ABCD13. 在逻辑中，以下哪些是命题逻辑的基本连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 蕴含（→）答案：ABCD14. 在关系数据库中，以下哪些是SQL的基本操作？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：ABCD15. 在离散数学中，以下哪些是组合数学的基本概念？A. 排列B. 组合C. 二项式系数D. 图论答案：ABC三、填空题（每题3分，共30分）16. 如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B=______。

离散数学（本科）考试试题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( a )．A．A⊂B，且A∈B B．B⊂A，且A∈BC．A⊂B，且A∉B D．A⊄B，且A∈B2．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是( d )．图一A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的3．设图G的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111则G的边数为( b )．A．6 B．5 C．4 D．34．无向简单图G是棵树，当且仅当( a )．A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1C．G的边数比结点数少1 D．G中没有回路．5．下列公式( c )为重言式．A．⌝P∧⌝Q↔P∨Q B．(Q→(P∨Q)) ↔(⌝Q∧(P∨Q))C．(P→(⌝Q→P))↔(⌝P→(P→Q)) D．(⌝P∨(P∧Q)) ↔Q1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（ a ）．A．A⊂B，且A∈B B．A∈B，但A⊄BC．A⊂B，但A∉B D．A⊄B，且A∉B2．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y∈A}，则R的性质为（ b ）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的3．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（b ）个．A．0 B．2 C．1 D．34．如图一所示，以下说法正确的是( d ) ．A．{(a, e)}是割边B．{(a, e)}是边割集C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集图一5．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（ c ）．A．(∀x)(A(x)∧B(x)) B．┐(∃x)(A(x)∧B(x))C．┐(∀x)(A(x) →B(x)) D．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))1．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <b，2>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（ b ）不是从A到B的函数．A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R32．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( b )．A．8、2、8、2 B．无、2、无、2C．6、2、6、2 D．8、1、6、13．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ a ）．A．1024 B．10 C．100 D．14．设完全图K n有n个结点(n≥2)，m条边，当（ c ）时，K n中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数5．已知图G的邻接矩阵为，则G 有（ d ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边1．若集合A ＝{ a ，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( c )．A ．{a ，{a}}∈AB ．{2}⊆AC ．{a}⊆AD ．∅∈A2．设图G ＝<V, E>，v ∈V ，则下列结论成立的是 ( c ) ． A ．deg(v)=2∣E ∣ B ． deg(v)=∣E ∣C ．E v V v 2)deg(=∑∈D ．E v V v =∑∈)deg(3．命题公式（P ∨Q ）→R 的析取范式是 ( d )A ．⌝（P ∨Q ）∨RB ．（P ∧Q ）∨RC ．（P ∨Q ）∨RD ．（⌝P ∧⌝Q ）∨R4．如图一所示，以下说法正确的是 ( a )．A ．e 是割点B ．{a, e}是点割集C ．{b, e}是点割集D ．{d}是点割集5．下列等价公式成立的为( b )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔P ∨QB ．P →(⌝Q →P) ⇔⌝P →(P →Q)C ．Q →(P ∨Q) ⇔⌝Q ∧(P ∨Q)D ．⌝P ∨(P ∧Q) ⇔Q1．若G 是一个汉密尔顿图，则G 一定是( d )．A ．平面图B ．对偶图C ．欧拉图D ．连通图2．集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x ，y>|x=y 且x, y ∈A}，则R 的性质为（ c ）．A ．不是自反的B ．不是对称的C ．传递的D ．反自反3．设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A 上的整除关系，则偏序集<A ，≤>上的元素5是集合A 的（ b ）．A ．最大元B ．极大元C ．最小元D ．极小元4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( c ) ．A ．{(a, d)}是割边B ．{(a, d)}是边割集C ．{(a, d) ,(b, d)}是边割集D ．{(b, d)}是边割集图一5．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ a ）． A ．(∃x)(A(x)∧B(x)) B ．(∀x)(A(x)∧B(x))C ．┐(∀x)(A(x) →B(x))D ．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))1．若集合A ＝{ a ，{a}}，则下列表述正确的是( a )．A ．{a}⊆AB ．{{{a}}}⊆AC ．{a ，{a}}∈AD ．∅∈A2．命题公式（P ∨Q ）的合取范式是 ( c )A ．（P ∧Q ）B ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．（P ∨Q ）D ．⌝（⌝P ∧⌝Q ）3．无向树T 有8个结点，则T 的边数为( b )．A ．6B ．7C ．8D ．94．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( b )．A ．a 是割点B ．{b, c}是点割集C ．{b, d}是点割集D ．{c}是点割集图一5．下列公式成立的为( d )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔ P ∨QB ．P →⌝Q ⇔ ⌝P →QC ．Q →P ⇒ PD ．⌝P ∧(P ∨Q)⇒Q1．“小于5的非负整数集合”采用描述法表示为___a___．A ．{x ∣x ∈N, x<5 }B ．{x ∣x ∈R, x<5 }C ．{x ∣x ∈Z, x<5 }D ．{x ∣x ∈Q, x<5 }2．设R1，R2是集合A={a,b,c,d}上的两个关系，其中R1={(a,a),(b,b),(b,c), (d,d)}，R2={(a,a),(b,b),(b,c),(c,b),(d,d)}，则R2是R1的__b____闭包．A ．自反B ．对称C ．传递D ．以上答案都不对3．设函数f ：R →R ，f(a)=2a+1；g ：R →R ，g(a)=a2，则___c___有反函数．A ．f gB ．g fC ．fD ．g4．已知图G 的邻接矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111110101110001000111010，则图G 有___d___．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点7边5．无向完全图K4是___a___．A ．汉密尔顿图B ．欧拉图C ．非平面图D ．树6．在5个结点的完全二叉树中，若有4条边，则有___b___片树叶．A ．2B ．3C ．4D ．57．无向树T 有7片树叶，3个3度结点，其余的都是4度结点，则T 有__c___个4度结点．A ．3B ．2C ．1D ．08．与命题公式P →（Q →R ）等值的公式是___a___．A ．(P ∧Q)→RB ．(P ∨Q)→RC ．(P →Q)→RD ．P →(Q ∨R) 9．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是___b___． A ．))()((y yR x P x ∃∨∀ B ．)()(y yR x P ∃∨ C ．P(x) D ．)(x Q 10．谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是___c___． A ．蕴涵式 B ．永假式C ．永真式D ．非永真的可满足式1．设A={1,2,3,4}，B={1,3}，C={-1,0,1,2}，则___a___．A ．AB ⊆ B ．C B ⊆C ．A B ∈D ．C B ∈2．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为___b___．A ．1000B ．1024C ．1D ．10 3．设集合A={1,2}，B={a,b}，C={α}，则=⨯⨯C B A )(__c____． A ．{<1,a,α>,<1,b,α>,<2,a,α>,<2,b,α>}B ．{<1,<a,α>>,<1,<b,α>>,<2,<a,α>>,<2,<b,α>>}C ．{<<1,a>,α>,<<1,b>,α>,<<2,a>,α>,<<2,b>,α>}D ．{{1,2},{a,b},{α}}4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为___d___．A ．8、1、6、1B ． 8、2、8、2C ．6、2、6、2D ．无、2、无、25．有5个结点的无向完全图K5的边数为___a___．A ．10B ．20C ．5D ．256．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当___b___时，K n 中存在欧拉回路．A ．n 为偶数B ．n 为奇数C ．m 为偶数D ．m 为奇数7．一棵无向树T 有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支点都是3度顶点，则T 有__c___个顶点．A ．3B ．8C ．11D ．138．命题公式（P ∨Q ）→R 的析取范式是___b___．A ．（⌝P ∧⌝Q ）∨RB ． ⌝（P ∨Q ）∨RC ．（P ∧Q ）∨RD ．（P ∨Q ）∨R9．下列等价公式成立的是___b___．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔P ∨QB ． P →(⌝Q →P) ⇔⌝P →(P →Q)C ．⌝P ∨(P ∧Q) ⇔QD ．Q →(P ∨Q) ⇔⌝Q ∧(P ∨Q) 10．谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是__c____． A ．蕴涵式 B ．永假式C ．永真式D ．非永真的可满足式二、填空题（每小题3分，本题共15分） 6．命题公式)(P Q P ∨→的真值是 T （或1） ．。

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号：1009)一、单项选择题(每小题3分，本题共16分)若集合A = {1,2,3,4},则下列表述不正确的是( ).A.{2,3)€AB.AU{1,2,3,4}C. <1,2,3,4)QAD. 16A2.若无向图G的结点度数之和为20,则G的边数为( ).A.10B. 20C. 30D. 53.无向图G是棵树，结点数为10,则G的边数为( ).A. 5B. 10C.9D. 114.设A(x)：x是人,B(x)：x是学生，则命题“有的人是学生”可符号化为( )•A.Vx)(A(x)-*B(x»B.(3x)(A(x)AB(x))C.(Vx)(A(x)AB(x»D.-«(3x)(A(x)A -B(x»5.下面的推理正确的是( ).A.(l)(Vx)F(x)->G(x) 前提引入(2)F(>-)-*G(y) US(1).B.(1)( 3 x)F(x)-*G(x) 前提引入(2)F(y)-*G(y) US(1),C.(l)(3x)(F(x)->G(x»前提引入(2)F(y)-*G(x) ES(1).D.(l)(3x)(F(x)-*G(x)) 前提引入(2)F(y)-*G(y) ESQ).二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.设A = {1,2),H = {1,2,3},则A到B上不同的函数个数为________________ .7.有&个结点的无向完全图的边数为 ____________ .8.若无向图G中存在欧拉路但不存在欧拉回路，则G的奇数度数的结点有________ 个.9.设G是有10个结点的无向连通图，结点的度数之和为30,则从G中删去条边后使之变成树.10.设个体域£> = {1,2,3,4},则谓词公式(*)人(了)消去量词后的等值式为三、逻辑公式翻译(每小题6分，本息共12分)11.将语句“昨天下甬“翻译成命题公式.12.将语句“小王今天上午或者去看电彩或者去打球”翻译成命JS公式.四、判断说明题(判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本黑共14分)13.存在集合A与B,使得A6B与AUB同时成立.14.完全图K<是平面图.五、计算题(每小题12分，本题共36分)15.设偏序集VA,R>的哈斯图如下,B为A的子集，其中B = 试(1)写出R的关系表达式；(2)画出关系R的关系图；(3)求出B的最大元、极大元、上界.16.设图G — <V,E>,V={vj f v it v t,Vi»v s)»(v2, v3)»(v3»vs)}»试(1)画出G的图形表示；(2)写出其邻接矩阵；(3)求出每个结点的度数；(4)画出图G的补图的图形，17.求P TQ代R)的合取范式与主合取范式.六、证明题(本题共8分)18.设A.B是任意集合，试证明：若AXA=BXB,^ A = B.M答杖松标准(仅辩者)一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. A2. A3. C4.B5. D二、填空题(每小题3分，本题共］5分)6.97.”3 — 1)/2(或庆)8.210. A(l) VA(2) V A(3) V A(4)三、 逻辑公式翻译（每小题6分，本题共】2分）H,设P ：昨天下雨. 则命题公式为:P ，12. 设P ：小王今天上午去看电影 Q ：小王今天上午去打球 则命题公式为：r （PiQ ）. 或者（rPAQ ）V 〈PA rQ ）四、 判断说明题（每小题7分，本题共14分）13. 正确.例：设 A = {a} t H — {a,{a}） 则有且ACI3.说明：举出符合条件的例均给分. 14. 正确.完全图K 〈是平面图， 如K,可以如下图示嵌入平面.（7分）五、计算题（每小题12分，本题共36分）15. （l ）R = {Va ，a>,Vb,Q>,Vc,c>,Vd,d>・Va0>・Va ・c>，V&，d>，VQ,d >}. （4 分）（2）关系图(8分)（3）集合B 无最大元，极大元为6与c.无上界. 16, 解: （1）关系图（2分） （6分）（2分）（6分）（3分） （517. P TQAR) 5PV(QAR) 0(rPVQ 〉A(rPVR)合取范式<=>(-PVQ)V(K A rR)A(rPVR) 0("VQ)V(& A rR)A(" VR)V(QA -Q)D(rPVQVR)A(rPVQVA("VR VQ) A(-、PVR V -Q) c=>(-PVQV7?)A(-'PVQV-R)A(-PV-QVR) 主合取范式 六、证明题（本意共8分）18. 证明：V2（2）邻接矩阵bioir 101001001 1 00 0（6分）(3) deg(vi)=,3deg(v t )—2 <ieg(v 3)~2 deg顷)=1 deg(v s )=2 (4) 补图（9分）（】2分）（2分） （5分）（7分〉设x€A,则Vx,x>€AXA,（1 分）因AXA = BXB,故V X,X>€BXB,则有xGB, （3 分）因此AGB. （5分）设xQB,则Vx,x>€BXB,（6 分）因AXA-BXB,故Vx,x>eAXA,则有因此BWA. （7 分）故得A=B. （8分）。

离散数学期末复习例题讲解一、考核说明考核对象：本课程考核说明适用于国家开放大学开放教育本科电气信息类计算机科学与技术专业的学生．考核依据：本考核说明是以本课程的教学大纲（2015年3月修改）和指定的参考教材为依据制定的．本课程指定的参考教材是由胡俊、顾静相编写，国家开放大学出版社出版的《离散数学（本科）》第2版．考核方式：本课程的考核实行形成性考核和终结性考核相结合的方式．其中终结性考核采用半开卷、笔试方式，试卷满分100分．半开卷考试允许考生携带指定的一张专用A4纸（统一印制），考生可以将自己对全课程学习内容的总结归纳写在这张A4纸上带入考场，作为答卷时参考．考试时间：90分钟．试题类型及结构：单项选择题的分数占15％，填空题的分数占15％，公式翻译题的分数占12％，判断说明题的分数占14％，计算题的分数占36％；证明题的分数占8％．二、例题讲解（一）集合论1．单项选择题（1）若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A答：B（2）若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A，且B∈A B．B⊄ A，且B∉AC．B ⊂ A，但B∉A D．B∈ A，但B⊄A答：D（3）设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}答：C（4）设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．对称的B．自反的C．对称和传递的D．反自反和传递的答：A（5）设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（ ）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对 答：C（6）设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系的哈斯图如图1所示,若A 的子集B = {3 , 4 , 5}， 则元素3为B 的（ ）．A ．最小上界B ．最大下界C ．下界D ．以上答案都不对 图1 答：A2．填空题（1）设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 ． 答：2n（2）设集合A ={0,1,2},B ={0,2,4},R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的集合表示式为 ． 答：{<0,0>, <0,2>, <2,0>, <2,2>}（3）设集合A =｛a ,b ,c ,d ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则R 的自反闭包是 ．答：r (R )= {<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}∪I A（4）设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ． 答：无、2、无、2（5）设集合A ={1, 2},B ={a , b }，那么集合A 到B 的不同函数的个数有 ． 答：4因为：f ：{<1, a >, <2, a >}, {<1, b >, <2, b >}{<1, a >, <2, b >}, {<1, b >, <2, a >}3．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的”是否成立？并说明理由． 答：结论成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2． 由逆关系定义和I A ⊆R 1，得I A ⊆ R 1-1；由I A ⊆R 1，I A ⊆R 2，得I A ⊆ R 1∪R 2，I A ⊆ R 1⋂R 2．所以，R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的．注： R 1-R 2是自反的吗？4．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图2所示，则集合 A 的最大元为a ；最小元不存在．答：错a 是集合A 的极大元，最大元不存在． 图2 5．设集合A ＝{a ,b , { a , b }}，B ={{a }, {b }, b }，求a f5（1）B ⋂A ； （2）A －B ； （3）A ⨯B ． 解：（1）B ⋂A ={a , b , { a , b }}⋂{{a }, {b }, b }={b } （2）A －B = {a , b , { a , b }}－{{a }, {b }, b }={a , { a , b }} （3）A ⨯B ＝{a , b , { a , b }}⨯{{a }, {b }, b }＝{<a , {a }>, <a , {b }>, <a , b >，<b , {a }>, <b , {b }>, <b , b >, <{ a , b }, {a }>, <{ a , b }, {b }>, <{ a , b }, b >}6．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R ︒S ，R -1，S -1，r (R )，s (R )，t (R )，r (S )，s(S )，t (S )．解：R =∅，S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} R ︒S =∅，R -1=∅，S -1= S ；r (R )= I A ，s (R )= ∅，t (R )= ∅；r (S )=S ∪{<2,2>，<3,3>,<4,4>}，s (S )= S ；t (S )= S ∪{<1,3>，<2,2>,<2,3>,<3,1>，<3,2>,<3,3>} 7．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．证：若x ∈A ⋃ (B ⋂C )，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ， 即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ． 即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， 即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，所以A ⋃ (B ⋂C )⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．反之，若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， 即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，即x ∈A 或x ∈B ⋂C ， 即x ∈A ⋃ (B ⋂C )，所以(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )⊆ A ⋃ (B ⋂C )． 因此．A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )． 8．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．证明：已知R 是对称关系和传递关系，只需证明R 是自反关系． ∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，因为R 是对称的，故<b , a >∈R ； 又R 是传递的，即当<a , b >∈R ，<b , a >∈R ⇒<a , a >∈R ；由元素a 的任意性，知R 是自反的． 所以，R 是等价关系．（二）图论1．单项选择题（1）设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．4 答：D（2）设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(答：C（3）设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图3所示，则下列结论成立的是 ( )．图3A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的答：A（4）给定无向图G 如图4所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（ ）． A ．{b , d } B ．{d }C ．{a , c }D ．{g , e } 答：A 图4（5）图G 如图5所示，以下说法正确的是( )． A ．{(a , d )}是割边B ．{(a , d )}是边割集C ．{(d , e )}是边割集D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集答：C 图5 （6）设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )．A ．e －v ＋2B ．v ＋e －2C ．e －v －2D ．e ＋v ＋2 答：A2．填空题（1）已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ．答：15 （1⨯1+2⨯2+3⨯3+4⨯4）/2（2）设无向图G ＝<V ,E >是汉密尔顿图，则V 的任意非空子集V 1，都有 ≤∣V 1∣． 答：W （G - V 1）（3）设无向图G 为欧拉图，则图G 连通且 ． 答：每个结点的度数为偶数（4）设图G =<V ,E >，其中|V |=n ,|E |=m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m = ． 答：n -1（5）连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答：4οο οο (a )οο οο (b ) οοοο (c )οοοο(d )a gb d fc e οο ο οο οο ο a ο οο ο ο b c f d e（6）给定一个序列集合{1，01，10，11，001，000}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．答：1 3．给定图G （如图6所示）: （1）试判断它们是否为欧拉图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．答：（1）图G 是欧拉图，因为图G 是连通图且每个结点的度数是偶数．（2）欧拉回路为： v 1 e 1 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 e 5v 5 e 7 v 2 e 8v 6 e 6 v 4 e 4v 1 注意：回路是不惟一4．试判断“设G 是一个有5个结点、10条边的连通图，则G 为平面图”是否正确，为什么？答：错误．因为它不满足定理4.3.3，即“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v -6．”5．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={(a 1, a 2)，(a 2, a 4)，(a 3, a 1)，(a 4, a 5)，(a 5, a 2)}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形． 解：（1）图G 是无向图，图形如图7所示：图7 （2）图G 的邻接矩阵如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0101010010000011100100110)(G A（3）结点a 1, a 2, a 3, a 4, a 5的度数分别为：2，3，1，2，2． （4）图G 的补图的如图8所示：图86．图G =<V , E >，其中V ={a , b , c , d , e , f }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ),ο οο ο οa 1a 2 a 3a 4a 5v 1 v 2 v 3v 4 v 5v 6 e 1 e 2e 3 e 4 e 5 e 6e 7 e 8 οο ο ο ο ο图6 ο ο ο ο οa 1a 2 a 3a 4 a 5οο ο ο οa 1 a 2 a 3a 4a 5(d , f ), (e , f ) }，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值． 解：（1）G 的图形如图9所示：（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011000101111110010010001011001010110 图9（3）粗线表示最小的生成树（见图10）：最小的生成树的权为：1+1+5+2+3=12． 图107．设有一组权为2,3,6,9,13,15,试 （1）画出相应的最优二叉树； （2）计算它们的权值．解：最优二叉树如图11所示：图11 权值： 2⨯4+3⨯4+6⨯3+9⨯2+13⨯2+15⨯2 =8+12+18+18+26+30 =1128．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于2的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．οο ο ο οc a b e dοf1 5 22 61 9 38 ο ο ο ο οc a b ed οf 15 22 61 938 οοο οο ο ο ο ο32 9 135 6 1115 20 ο ο 48289．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加2k条边到图G 才能使其成为欧拉图．（三）数理逻辑1．单项选择题（1） 下列命题公式是等价公式的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔P ∨QB ．A →(⌝B →A ) ⇔⌝A →(A →B )C ．Q →(P ∨Q ⇔⌝Q ∧(P ∨Q )D ．⌝A ∨(A ∧B ) ⇔B 答：B 因为A →(⌝B →A ) ⇔ A →(B ∨A ) ⇔⌝A ∨(B ∨A ) ⇔ A ∨ (⌝A ∨B ) ⇔ A ∨ (A →B )⇔⌝A →(A →B )（2）下列公式 ( )为重言式．A ．⌝(⌝P ∨(P ∧Q )) ↔QB ．(B →(A ∨B )) ↔(⌝A ∧(A ∨B ))C ．A ∧⌝B ↔A ∨BD ．(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q )) 答：D 因为(P →(⌝Q →P ))⇔⌝P ∨(Q ∨P )) ⇔1 (⌝P →(P →Q )) ⇔P ∨(⌝P ∨Q )) ⇔1 （3）命题公式⌝ (P →Q )的主析取范式是( )． A ．Q P ⌝∧ B Q P ∧⌝ C ．Q P ∨⌝ D ．Q P ⌝∨答：A 因为⌝ (P →Q ) ⇔⌝ (⌝P ∨Q ) ⇔P ∧⌝Q（4）设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( )A ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∀B ．))()((x G xC x ⌝→⌝∀C ．))()((x G x C x ⌝→⌝∃D ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∃答：D（5）表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )． A ．P (x , y ) B ．P (x , y )∨Q (z ) C ．R (x , y ) D ．P (x , y )∧R (x , y ) 答：B2．填空题（1）命题公式()P Q P →∨的真值是 ． 答：1 因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨ P ) ⇔1（2）含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 ． 答：(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )因为P ∧Q ⇔ P ∧Q ∧(⌝R ∨R ) ⇔(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )（3）设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 ． 答：(A (1) ∨A (2))∨(B (1) ∧B (2))（5）谓词命题公式(∀x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的约束变元为 ． 答：x3．请将语句翻译成命题公式： （1）今天不是天晴．（2）你去听课，他也去听课．（3）如果天下雪，则我明天就不去市里． （4）尽管他参加了考试，但他没有通过考试．解：（1）设P ：今天是天晴； 命题公式为： ⌝ P ．（2）设P ：你去听课，Q ：他去听课：命题公式为：P ∧Q ．（3）设P ：天下雪，Q ：我明天去市里； 命题公式为：P →⌝Q ．（4）设P ：他参加了考试，Q ：他没有通过考试； 命题公式为：P ∧⌝ Q ．4．请将语句翻译成谓词公式： （1）所有人都不去上课． （2）有人不去工作． 解：（1）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课．谓词公式为： (∀x )(P (x )→ ┐Q (x ))．（2）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去工作，谓词公式为： (∃x )(P (x) ∧┐Q (x ))． 5．判断下列各题正误，并说明理由．（1）公式((Q ∧⌝R )→P )∧(⌝P →Q ∨R )↔P ∨R 为永真式．（2）求命题公式(P ∧Q )∧(⌝P ∨⌝R )的真值表，并判断它的类型. 解：（1）该公式是永真式．因为 R P R Q P P R Q ∨↔∨→⌝∧→⌝∧)())((R P R Q P P R Q ∨↔∨∨∧∨∨⌝⇔)()( R P Q Q R P ∨↔∧⌝∨∨⇔)( 1⇔（2）6．判断下列各题正误，并说明理由．（1）公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式(永真式)．（2）下面的推理是否正确，请给予说明． ① P （a ） P ② （∀x ）P （x ） US ① 解：（1）该公式是永真式．因为 ))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀⇔))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀1)(),()(⇔∀∨⌝∃∨⌝∀⇔x xP y x yG x xP（2）错误．② 应为（∀x ）P （x ） UG ① 全称指定规则与全称推广规则不能混淆．7．求公式R Q P →∧)(的析取、合取、主合取\主合取范式． 解：R Q P R Q P ∨∧⌝⇔→∧)()(R Q P ∨⌝∨⌝⇔)(R Q P ∨⌝∨⌝⇔ （析取、合取、主合取范式）⇔(┐P ∧(┐Q ∨Q )∧(┐R ∨R ))∨((┐P ∨P )∧┐Q ∧(┐R ∨R )) ∨((┐P ∨P )∧(┐Q ∨Q )∧R )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R )∨(P ∧Q ∧R )（主析取范式）8．用列真值表的方法求命题公式R Q P →→)(的主析取范式．解：列真值表取真值为1的项，所求主析取范式为：(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R ) ∨(P ∧Q ∧R )9．试求谓词公式),()),(),()((y x B y x yG y x xH x S x ∨∃→∃∧∀中，∀x ，∃x ，∃y 的辖域，试问G (x , y )和B (x , y )中x ，y 是自由变元，还是约束变元？解：∀x 的辖域：)),(),()((y x yG y x xH x S ∃→∃∧ ∃x 的辖域：H (x ,y )∃y 的辖域：G (x ,y ) G (x , y )中的x ，y 是约束变量，B (x , y )中的x , y 是自由变量. 10．证明命题公式(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价． 证：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P ∧Q⇔(⌝P ∧⌝P ∧Q )∨(Q ∧⌝P ∧Q )∨(⌝R ∧⌝P ∧Q ) ⇔(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R ) ⇔⌝P ∧Q （吸收律） ⇔⌝(P ∨⌝Q ) （摩根律）9．构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∃． 分析：前提：)()(x xQ x xP ∀→∃．结论：))()((x Q x P x →∀证：(1) )()(x xQ x xP ∀→∃ P(2) )()(x xQ x xP ∀∨⌝∃ T (1)E(3) )()(x xQ x P x ∀∨⌝∀ T (2) E (量词与否定的关系) (4) ))()((x Q x P x ∨⌝∀(5) ))()((x Q x P x →∀ T (4) E上面这些例题供大家复习参考．。

《离散数学》试题及答案一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式2．设P 表示“天下大雨”， Q 表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（ ）。

(A)． P Q →； (B)．P Q ∧； (C)．P Q ⌝→⌝； (D)．P Q ⌝∨．3.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( )(A) 1∈A (B) {1,2, 3}⊆A(C) {{4,5}}⊂A (D) ∅∈A4. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >} (C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}5. 设G 如右图：那么G 不是( ). (A)哈密顿图； (B)完全图；(C)欧拉图； (D) 平面图.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共206. 设集合A ={∅,{a }}，则A 的幂集P (A )=7. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><,那么R －1＝8. 在“同学，老乡，亲戚，朋友”四个关系中_______是等价关系.9. 写出一个不含“→”的逻辑联结词的完备集 .10.设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的二元关系，其关系矩阵为 M R ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001101，那么R 的关系图为三、证明题（共30分）11. （10分）已知A 、B 、C 是三个集合，证明A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C)12. （10分）构造证明：(P →(Q →S))∧(⌝R ∨P)∧Q ⇒R →S13.（10分）证明（0,1）与[0,1)，[0,1)与[0,1]等势。