高数一笔记

结论2：假设在区间I上有两个函数的导数处处相等，则这两个函数之间至多相关一个常数。
如：x2+5，x2+6，x2===导数=2x
例3：设函数f(x)=ekx，在区间[-1，1]满足罗尔定理，求K。
解：e-k=ek推出K=0
例4：函数f(x)=x3+2x，在[0,a]满足拉格朗日中值定理，求点 =
解：
复合函数求导例题：
原函数定义域为R
把各区间内数值代入到y’，确定y’正负号，推出原函数的单调性。
x
负无穷，1
1
1，2
2
2，正无穷
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单增
单减
单增
例2：
x
负无穷，0
0
0,正无穷
f'(x)
-
+
f(x)
单减
单增
例3：当x>0，证明：x>ln(1+x)这个不等式成立
证明：
例4：
P94习题2.4
11.25笔记
L（x）=R(X)-C（X）即总利润=总收入-总成本
L’(X)=R’(X)-C’（X）
ML=MR-MC边际利润=边际收入-边际成本
例1：总成本=1500+1/1200*q2百元，求q=900件时的边际成本。
解：边际成本C’（q）=（1500+1/1200*q2）’=1/1200*2q=1/600q
将q=900，代入C’(q)=900/600=1.5
例：Y=sinx，求y(n)=sin(x+n* )
Y’=cosx=sin(x+ ) y’’=cos(x+ )=sin(x+ + )=sin(x+2* ) y’’’=cos(x+2* )=sin(x+3* )y(n)=sin(x+n* )
例：Y=cosx，求y(n)=cos(x+n* )
例：设f(x)的n-2阶导数f(n-2)(x)=x/lnx，求f(n)(x)
1、
2、
11.22笔记
4.2洛必达法则（5-7分计算题）
求导解决极限的问题。
使用洛必达的条件：
1、使用范围：
2、分子和分母都有导数
3、分母的导数不为0
4、导数比的极限存在
例1：
例2：
例3： ex-1~x
例4： ln(1+x)~x
例5： （1+x）a-1~~ax
例6：
例7：
例8：
例9：
例10： 最后一步用除以最高次
例1：求y=ex-x-1的单调性
Y’=ex-1（定义域为R）
当x属于（-无穷，0）时，y’<0，单调减少
当x属于（0，+无穷）时，y’>0，单调增加
11.24笔记
例1：y=2x3-9x2+12x-3的单调性。
解：y’=6x2-18x+12=6(x2-3x+2)=6(x-2)(x-1)
令y’=0，得：x=1，x=2
例5：由直线y=0，x=8，及抛物线y=x2围成的一个曲边三角形，在曲边y=x2上求一点使曲线在该点处的切线与直线y=0及x=8所围成的三角形面积最大。
解：
题：
题：
11.26笔记
P145第3.6节导数和微分在经济学中的简单应用
1、边际分析
边际成本MC=（成本）’
边际收入MR=（收入）’
边际利润ML=（利润）’
x<3时，f’(x)为负数，f(x)为单调减少
例5：证明：当x>0时，
证明：
求极值的步骤：1、求f’(x)，或f’’(x)
2、找极值点：（1）导数为0的点（驻点）（2）不可导点
3、将极值点代入原式求极值
例6：求y=2ex+e-x的极值
解：
可导函数的极值点一定是驻点。
例7：当x=±1时，函数y=x3+3px+1取得极值，常数P=-1
罗尔：闭连、开导、端点函数值相等，使得导数为0
拉格朗日中值定理：闭连、开导，使得导数=函数的改变量/自变量的改变量
例1：f(x)=sinx,[0,p/2]，是否满足拉格朗日中值定理
解：
证明2：arcsinx+arccosx=P/2，[-1,1]
结论1：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数
例：判断函数f(x)=x2-2x-3在[-1,3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。
分析：（1）基本初等函数连续，f(x)在[-1,3]上连续；（2）函数的定义域是R，（-1，3）属于于R，是可导的；
（3）f(-1)=1+2-3=0 f(3)=9-6-3=0区间端点的函数值相等。
可推出函数f(x)=x2-2x-3在[-1,3]上满足罗尔定理条件。
例11：
例12：
例13：
例14：
例15：
无穷-无穷型，通分
例16：
例17：
11.23笔记
例1：
例2：
例3：
例4：
P173 4.3节函数的单调性
判断函数的单调性的步骤：
1、判断原函数的定义域
2、求一阶导数
3、找点
（1）找驻点，即使一阶导数为0的点
（2）找导数不存在的点
4、根据点划分区间，确定在各区间内一阶导数的正负号，讨论原函数的单调性。
解：拉格朗日中值定理：闭连、开导====
洛必达法则（ ）
例3：P172 3.2
函数的单调性：f’(x)>0，f(x)单增；f’(x)<0，f(x)单减，找到的点是极值点=驻点（一阶导数为0的点、导数不存在的点）
例4：判断y=x2-6x+8的单调性
解：y’=2x-6
令y’=0=====>x=3
x>3时，f’(x)为正数，f(x)为单调增加
f’’(x)<0==凸
例4：P180习题
11.27笔记
P196 4.6节渐近线
1、分类：
例1：
解：
例2：
解：
例3：y=lnx找出它的水平渐近线
解：
例4：
解：
例5：
解：
11.28笔记
第四章总结
（1）微分中值定理
（2）洛必达法则
（3）函数单调性的判定
（4）函数的极值及其求法
（5）函数的最值及其应用
（6）曲线的凹凸性和拐点
P180 4.5节函数的极值与最值
极值（局部）： 最值（整体）：
第一充分条件：设函数f(x)在x0处是有导数，且在x0处取得极值，则f’(x0)=0
找极值点：（1）驻点，即一阶导数为0的点，0也是一阶导数的一个根。（2）不可导点
可导函数的极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。
求极值的步骤：
（1）判断原函数的定义域
解：
P176 4.4节曲线的凹凸性和拐点
单调性：（极值点）
凹凸性：f’’(x)>0,凹
F’’(x)<0,凸
例1：判断y=x3凹凸性
解：y’=3x2，y’’=6x，令y’’=0====x=0
当x<0，y’’<0，所以曲线在（负无穷，0）是凸的
当x>0，y’’>0，所以曲线在（0，正无穷）是凹的
找拐点：（1）二阶导数不存在的点（2）二阶导数为0的点
（7）曲线的渐近线
重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判断、函数的最值、极值
难点：函数最值的应用
例1：设函数y=x+klnx在[1，e]上满足罗尔定理的条件，求K=1-e
罗尔定理：闭连、开导、区间端点函数值相等，y’=0
1+kln1=e+klne====1=e+k===k=1-e
例2：函数f(x)=x3+4x2-7x-10在区间[-1，2]满足拉格朗日中值定理，求点Z
（6）可导=====可微，可导----连续----极限
（7）微分
微商
例：
P154第四章微分中值定理和导数的应用
1、弗马引理：极值点处的导数为0
2、罗尔定理：（是拉格朗日定理的特例）
几何意义：过一个曲线弦，过一点作一条切线，这一条切线是水平的，这一条切线的斜率等于0
驻点：使得导数为0的点称为驻点。F’(x0)=0，x0为驻点。
F(-1)=-5 f(3)=11 f(0)=2 f(2)=-14
例：y=x5y’=5x4y’’=5*4x3y’’’=5*4*3x2y(4)=5*4*3*2x y(5)=5*4*3*2*1=5!
(xn)(n)=n!(xn)(n+1)=0
例：Y=5x10+3x8-7x+9，求y(10)y(10)=5*10!
例：Y=(x2+1)10(x9+x3+1)，求y(30)=0
降幂公式：
当x->0时
（对数肩膀可提前，重要极限二）
11.12部分例题：
11.13部分例题：
10.14部分例题：
11.15部分例题：
11.16例题：
幂指函数求导
抽象的复合函数求导：
11.17例题：
高阶导数：求两次导以上
（平均速度）’=（瞬时速度）’=加速度
例：
例：y=ax+b求y’’ y’=a y’’=0
解：y’=3x2+3p，当x=±1时，令y’=0,即3x2+3p=3+3p=0==p=-1
凹凸性与拐点
凹凸性的判断：y’’>0，凹；y’’<0，凸
找拐点：（1）二阶导数为0的点；（2）二阶导数不存在的点