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线性代数(第五版)课件

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线性代数同济大学第五版课件5-3

线性代数同济大学第五版课件5-3
正整数, f(x) = a0xm + a1xkB 相似, Am 与 Bm 相似, AT 与 BT 相似,
f(A) 与 f(B) 相似.
上页 下页
三、矩阵的对角化
对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 能对角化.
以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , · , pn ), · · 则 P 可逆, 且 AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , · , n ) , · · 即 推论 P-1AP = .
证毕
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，
则A与对角阵相似．
上页 下页
0 0 1 1 1 x , 问 x 为 何 值 时 ， 例11 设 A 1 0 0 矩 阵A能 对 角 化 ？
第 三 节
主要内容
相似矩阵
相似矩阵的概念 相似矩阵的性质 矩阵对角化的充要条件
上页
下页
一、相似矩阵的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, 若有可逆矩阵P，
使 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
上页 下页
可. 推论 A与 阶方阵 A 与对角矩阵 由于 若 n B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P
由相似的定义和定理3，有下列 结论：
1. 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 若矩阵 A
可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
2.若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是
1 , 2 , · , n 的特征向量. · ·

人民大2024线性代数与概率论(第五版)课件 行列式的概念

人民大2024线性代数与概率论(第五版)课件 行列式的概念
自不同行、不同列的2个元素乘积
• 取正号与取负号的项各占一半,即各为1项
• 若相应列标排列逆序数为零,则这项前面取
正号；若相应列标排列逆序数为奇数,则这
项前面取负号。
对应三阶行列式
若相应列标排列逆序数为零或偶数,则这项前
面取正号；若相应列标排列逆序数为奇数,则这
项前面取负号
16
n阶行列式
定义1.1
容易看出:DT=D
可以证明这个结论对于n阶行列式也是成立的.
22
转置行列式
定理1.1
转置行列式DT的值等于行列式D的值,即
DT=D
定理1.1说明:在行列式中,行与列的地位是对等的
即:凡有关行的性质,对于列必然成立;凡有关列的
性质,对于行也必然成立.
23
三角形行列式
定义1.3
若行列式D主对角线以上或以下的元素全为零,
而行列式的出现是由线性方程组的求解问题引出来的，它是由解线
性方程组产生的一种算式。所以本章将从行列式的概念、性质、计
算出发，讲解行列式的一个重要应用—克莱姆法则求解线性方程组。
5
本节主要学习目标：
[知识目标]
了解行列式的概念。
熟练掌握二阶、三阶行列式的计算。
[能力目标]
能熟练求出二阶、三阶、四阶行列式的值。
a11a22…ann
25
三角形行列式
由于列标排列逆序数
N(1 2 … n)=0
所以项a11a22…ann前面应取正号.那么,三角形行
列式
11
21
D=
⋮
1
0
22
⋮
2
…
……ຫໍສະໝຸດ 00=a11a22…ann
⋮

人民大2024线性代数与概率论(第五版)课件 方阵的逆矩阵

人民大2024线性代数与概率论(第五版)课件 方阵的逆矩阵
0 1
0 0
1 0
0 1
0 1
0
0 0
1 0
0
0
0
1
0
−1
1
−1 0
1
1
−
2
2
1
0
3
22
例3
所以三阶方阵A的逆矩阵
1
A-1= 0
0
−1
1
2
0
0
1
−
2
1
3
23
例4
1
已知三阶方阵A= −1
−1
1
0
−1
1
−1
0
(1)判别三阶方阵A是否可逆?
(2)若三阶方阵A可逆,则求逆矩阵A-1.
24
例4
解: (1)计算三阶方阵A的行列式
31
解矩阵方程
考虑矩阵方程
AX=B
在方阵A可逆条件下,矩阵方程AX=B等号两端皆左
乘逆矩阵A-1,得到它的解为
X=A-1B
32
解矩阵方程
考虑矩阵方程
XA=B
在方阵A可逆条件下,矩阵方程XA=B等号两端皆右
乘逆矩阵A-1,得到它的解为
X=BA-1
33
例6
解矩阵方程
2
1
1
1
X=
2
−1
2
4
解:所给矩阵方程的解为
零,这时将第1行的适当若干倍分别加到其他
各行上去,使得第1列除第1行第1列元素外,其
余元素皆化为零
17
求逆矩阵
✓ 步骤2
在矩阵( )经步骤1得到的矩阵中,不妨设第2行第2
列元素不为零,这时将第2行的适当若干倍分别加到

线性代数(第五版)课件

线性代数(第五版)课件

二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 a22
x2 x2
b1 b2
若令
D a11 a12 (方程组的系数行列式) a21 a22
D1
b1 b2
(a11a22 a a12 21 ) x2 a11b2 b1a21
当a a11 22 a12a时21，该0方程组有唯一解
ba a b
1 22
12 2
x 1
a a a a 11 22
12 21
a b ba
11 2
1 21
x 2
a a a a 11 22
12 21
二元线性方程组
a11 a21
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.
定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序.
例如 在排列32514中， 逆序
32514
逆序 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序.
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
a12 a22
D2
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
D2 D
例1
求解二元线性方程组

线性代数(同济第五版)第一、二章复习提纲PPT课件

线性代数(同济第五版)第一、二章复习提纲PPT课件
列的逆序数决定.
-
7
第四节 对 换
一、 对换的定义 二、 对换与排列奇偶性的关系
-
8
小结：
1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
D 1 ta p 1 1 a p 2 2 a p n n
D 1 ta 1 p 1 a 2 p 2 a n np
2.k 1akA ik j Dij 0,当 ij;
n
D,当 ij,
k1aik A jkDij 0,当 ij;
其中ij 10,,当 当iijj， .
-
13
第七节 克拉默法则
一、克拉默法则 二、相关定理
-
14
克拉默法则:
如果线性方程组 ( n 个未知变量、 n 个方程）
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132
a 31 a 32 a 33
a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 23,1
-
3
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入 二、全排列及其逆序数
-
4
小结：
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
-
21
二、矩阵的定义
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , ,m ; j 1 , 2 , ,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
0 1

线性代数课件同济大学第五版

线性代数课件同济大学第五版

第二章 矩阵及其运算
P47 习题二
§2.1 矩阵:
t1, t2 §2.3 逆矩阵: t10, t11(1)(3) §2.4 矩阵的分块: t27, t28 课后练习：t25,t26
§2.2 矩阵的运算:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
P78 习题三
第一章 行列式
P25 习题一
§1.1 §1.2二阶、三阶行列式, 逆序数:
t2, t4(1)(3) t5,t9 §1.3 行列式的性质: t6(1)(3), t8(1)(2)(5) §1.4 行列式按行(列)展开: t9 §1.5 克莱姆法则: t10
§1.3 n阶行列式:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
t1(1), t2 §3.2 矩阵的秩: t4, t2 课后练习：t3 §3.3 线性方程组的解: t13(1), t14(1), t16 课后练习：t17
§3.1 矩阵的初等变换:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
第四章 向量组的线性相关性
P106 习题四
t1 §4.2 向量组的线性相关性: t4 课后练习：t5,t6, t8 §4.3 向量组的秩: t11, t13 课后练习：t12(2) §4.4 线性方程组解的结构: t20(1), t26(1) §4.5 向量空间: t38 课后练习：t37
§4.1 向量组及其线性组合:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
第五章 相似矩阵与二次型
P134 习题五
§5.1 向量的内积、长度与正交性:
t1
课后练习：t7,
§5.2 方阵的特征值与特征向量:

同济大学线性代数课件1-1

同济大学线性代数课件1-1

x x x a 11 1 a 12 2 a 13 3 b 1, a x x x 21 1 a 22 2 a 23 3 b 2, a x x x 31 1 a 32 2 a 33 3 b 3;
a11
得
b1
a13 a23 , a33
D2 a21 b2 a31 b3
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线
a 11 副对角线 a 2 1
a 12 aa aa 1 12 2 1 22 1 a 22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
b1 b2
例1
2x2 12 求解二元线性方程组 3x 1 2x1 x2 1
3 2 3 ( 4 ) 7 0 因为 D 2 1
解
12 2 D 12 ( 2 ) 14 1 1 1 3 12 D 3 24 21 2 2 1
D 14 1 所以 x1 2, D 7
D
a 12 a 22
a 11 a 21
a 12 a 22
(方程组的系数行列式)
D1
a 11 D2 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
ba a b D 1 2 2 1 2 2 1 x 1 a a a a D 1 1 2 2 1 2 2 1
a b ba D 1 1 2 1 2 1 2 x 2 a a a a D 1 1 2 2 1 2 2 1
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
称为三阶行列式.
a11
a12
a13

线性代数课件--同济大学

线性代数课件--同济大学

用 k 乘第 i 行： 用 k 乘第 i 列：
ri k ci k
“运算性质”
12 3
24 6
1 0 1 2 r1 1 1 0 1
2
01 1
01 1
推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。
24 6 12 3 1 0 1 21 0 1 01 1 01 1
性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
对角线法则:
主对角线
a11 a12 a21 a22
副对角线
a11a22 a12a21
例. 解方程组
32x1x1 2
x2 x2
12 1
解： D 3
2 3 (4) 7 0
21
12 2
3 12
D1 1
14 1
D2 2
21 1
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 7
3
a11 0 0
a
D
21
a 22
0
a a11 22 ann
an1 an2 ann
(3) 对角行列式
a11
D
a22
a a11 22 ann
ann
(4) 副对角行列式

工程数学线性代数第五版课件.ppt

工程数学线性代数第五版课件.ppt

0 0 ain ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
i 1,2,,n
an1 an2 ann
7
上页 下页 返回
例1 （即P12的例7）
3 1 1 2
5 1 D
3 4 c1 2c3
2 0 1 1 c4 c3
1 5 3 3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010 5 5 3 0
第 j行
an1 ann
14
上页 下页 返回
把 a jk 换成 aik (k 1,,n),可得
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行 第 j行
相同
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
x3 x1
xn x1
x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
0 x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 ) xnn2 ( xn x1 )
按第1列展开，并把每列的公因子 ( xi x1 ) 提出， 就有
12
上页 下页 返回
1
( x2 x1 )( x3 x1 )( xn x1 )
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
11
上页 下页 返回
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
对Dn , 从第n行开始，后行减去前行的x1倍，得
Dn
1
1
1
1
0
x2 x1

工程数学线性代数同济第五版课件1-5

工程数学线性代数同济第五版课件1-5

n1
.
0
上页
下页
a
b ab 2a b 3a b
c abc 3a 2b c 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10 a 6 b 3 c d
例4 计算
D
a a a
解
从第4行开始，后行减前行
r4 r 3 r3 r2 r 2 r1
D 0.
上页 下页
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
第行 i （列）乘以
a 11 a 12 a1n ka i 1 ka i 2
k ，记作 ri k ( c i k )
a 11 a 12 a1n
ai2 a in
2n
解 将第2n行依次与第2n-1行、…、第2行对调 （共作2n-2次相邻对换），再把第2n列依次与第 2n-1列、…、第2列对调，得到
上页 下页
a c 0 D 2n ( 1)
2(2n 2)
b d 0
0 0 a


0 0 b


a c
b d d
2( n 1)
0
0
c
由上例题，得到递推公式
D 2 n ( ad bc ) D 2 ( n 1 ) ( ad bc ) D 2 ( n 2 )
1 3 1 2 2
上页 下页
r3 3 r1
r4 4 r1
0 0 0 0
r 2 r4
0 0 0 0

1
1 2 0 0 0
2 1 1 1 2
3 5 1 0 2

线性代数第五版第一章课件

线性代数第五版第一章课件
阶行列式的定义, 为了作出 n 阶行列式的定义,先来研究三阶行 列式的结构. 三阶行列式的定义为: 列式的结构. 三阶行列式的定义为:
a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a31 a32 a33 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
(−1) a1 p1 a2 p2 L anpn
t
的项，其中 p1p2…pn 为自然数1,2, …, n 的一 为自然数1,2, 的项， 由于这样的排列 个排列，t 为这个排列的逆序数． 个排列， 为这个排列的逆序数． 共有n 共有n! 个，因而共有 n! 项． 所有这 n! 项的代 数和
∑
(−1) a1 p1 a2 p2 L anpn
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 t a23 = ∑ (−1) a1 p1 a2 p2 a3 p3 , a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数，∑ 表示对1、2、 的逆序数， 表示对1 求和． 3 三个数的所有排列 p1p2p3 求和． 类似地， 类似地，可以把三阶行列式的这一定义推广 到一般的情形， 阶行列式的定义． 到一般的情形，得到 n 阶行列式的定义．
t
称为 n 阶行列式，记作
D=
a11 a21 L an1
a12 L a22 L L L an 2 L
a1n a2 n L ann
简记作 det(aij)，其中数 aij 为行列式 D 的（i,j）元. det(a 按此定义的二阶、三阶行列式， 按此定义的二阶、三阶行列式，与用对角线 法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的 法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的.
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• 想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就 是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果 你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞 图像处理，大量的图像数据处理更离不开 矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量 的后期电脑制作没有线代的数学工具简直 难以想象。
• 想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计 算机计算出了由美国统计局的25万条经济数 据所组成的42个未知数的42个方程的方程组， 他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。
这些模型通常都是线性的，也就是说，它们
是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫 “投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了 1973年的诺贝尔经济学奖。
• 相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一 个重要议题是线性规划。许多重要的管理 决策是在线性规划模型的基础上做出的。 线性规划的知识就是线代的知识啊。比如， 航空运输业就使用线性规划来调度航班， 监视飞行及机场的维护运作等；又如，你 作为一个大商场的老板，线性规划可以帮 助你合理的安排各种商品的进货，以达到 最大利润。
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
(a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
(a11a22 a a 12 21 ) x2 a11b2 b1a21
二、线性代数的课程特点
高度的抽象性和严密逻辑性,并缺乏直观 的思维模型.
开设时间为大一、大二年级. 线性代数课时短, 内容多. 理论多, 例题少.
三、学习线性代数的方法
线性代数的灵魂是向量的线性关系、线性变换和欧氏空 间的线性结构, 各种算法要靠这个灵魂来支撑, 即所谓“ 空 间为体, 矩阵为用”。
矩阵的运算是学习线性代数的一把钥匙.
四、教材及主要参考书目
1. 教材
线性代数，同济大学数学系编，高等教育出
版社
2. 主要参考书目
• Linear Algebra and Its Applications， 3ed, David C. Lay，电子工业出版社
• 线性代数实践及Matlab入门，陈怀琛，龚杰民，电子工 业出版社
第一章 行列式
内容提要
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数 行列式的概念.
§3 n 阶行列式的定义
§4 对换 （选学内容）
§5 行列式的性质
行列式的性质及计算.
§6 行列式按行（列）展开
§7 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
• 高等代数(第二版)，丘维声，高等教育出版社.
五、线性代数有什么用？
1、如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你 有帮助； 2、如果你想继续深造，考研，必须学好线代。因为 它是必考的数学科目，也是研究生科目《矩阵论》、 《泛函分析》的基础。
3、如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流 所抛弃，也必须学好，因为瑞典的L. 戈丁说过，没有掌握线 代的人简直就是文盲。
• 对于其他工程领域，没有用不上线代的地 方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的 受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘 探设备获得的大量数据所满足的几千个方 程组需要你的线代知识来解决. 知道马尔 科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许 多学科如生物学、商业、化学、工程学及 物理学等领域中被用来做数学模型.
应用中，他们也常常出现在物理学（例如势 能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲 率）、经济学（例如效用函数）和统计学 （例如置信椭圆体）中， 某些这类应用实例 的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。
第一章 行列式
第二章 矩阵及其运算
第三章 矩组的线性相关性
第五章 相似矩阵及二次型
第六章 *线性空间与线性变换
线性代数求解模型
帮助
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
• 矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物 理、化学领域的微分方程、连续的或离散 的动力系统中，甚至数学生态学家用以在 预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成 猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘 算法广泛应用在各个工程领域里被用来把 实验中得到的大量测量数据来拟合到一个 理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法 实质就是超定线性方程组的求解；二次型 常常出现在线性代数在工程（标准设计及 优化）和信号处理（输出的噪声功率）的
4、如果毕业后想找个好工作，也必须学好线代：
•想搞数学，当个数学家, 恭喜你， 你的职业未来将是最光明 的. 如果到美国打工的话你可以找到最好的职业.
•想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字 滤波器分析设计等需要线代，进行IC集成电路设计时，对付 数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法; 想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是向量场 的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处 理等等也离不开矩阵运算。
当a a11 22 a12a时21，该0方程组有唯一解
x1
b1a22 a a11 22
a12b2 a a12 21
x2
a11b2 a a11 22
b1a21 a a12 21
二元线性方程组
aa1211
线性代数（第五版）
线性代数(Linear Algebra)
东北师范大学
计算机学院
一、什么是线性代数？
发
线性代数主要研究有限维线性空间中的
线性关系和线性映射, 它秉承了一般代数学的 实用性、抽象性和高度思辨性的特点, 不但为 其他课程和应用领域提供了处理多元问题的
有力工具, 而且为提高学生素质、适应信息时 代提供了必要的思维训练.