2019高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.1复数的加法与减法课后训练新人教B版选修2-2

究新人教B版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数的加法和减法课堂探究新人教B版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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堂探究新人教B版选修1-2探究一复数的加减法运算复数的和（差)仍为复数，计算复数的加减法时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．【典型例题1】已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x）i，z2＝(4y－2x)－（5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z－z2,且错误!＝13＋2i，求z1,z2。

1思路分析:通过复数的加减法运算求得z（用x,y表示），再利用共轭复数的定义及复数相等的充要条件求出x，y的值，从而求得z1，z2。

解：∵z＝z1－z2＝(3x＋y)＋（y－4x）i－［（4y－2x)－（5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x）＋（5x＋3y）］i＝(5x－3y)＋（x＋4y）i，∴z＝（5x－3y)－（x＋4y）i。

又∵z＝13＋2i，∴错误!解得错误!∴z1＝（3×2－1）＋（－1－4×2)i＝5－9i，z2＝［4×(－1)－2×2］－[5×2＋3×（－1）]i＝－8－7i.探究二复数加减法的几何意义由于复数与向量的对应关系为复数赋予了几何意义，因此在处理复数某些问题时,可通过数形结合实现数与形的沟通．【典型例题2】在复平面内,▱ABCO的顶点O是坐标原点,顶点A，C对应的复数分别是z1＝x＋错误!i，z2＝错误!－x i，若B点在单位圆内，则实数x的取值范围为________．解析:设点B对应的复数为z，∵OB＝错误!＋错误!，即z＝z1＋z2＝x＋错误!i＋错误!－x i ＝错误!＋错误!i.由已知｜z｜＜1，∴|z|2＜1。

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数的加法和减法课堂探究 新人教B 版选修1-2探究一 复数的加减法运算复数的和(差)仍为复数，计算复数的加减法时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．【典型例题1】 已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13＋2i ，求z 1，z 2.思路分析：通过复数的加减法运算求得z (用x ，y 表示)，再利用共轭复数的定义及复数相等的充要条件求出x ，y 的值，从而求得z 1，z 2.解：∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，∴z ＝(5x －3y )－(x ＋4y )i.又∵z ＝13＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，－(x ＋4y )＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.探究二复数加减法的几何意义由于复数与向量的对应关系为复数赋予了几何意义，因此在处理复数某些问题时，可通过数形结合实现数与形的沟通．【典型例题2】 在复平面内，▱ABCO 的顶点O 是坐标原点，顶点A ，C 对应的复数分别是z 1＝x ＋23i ，z 2＝23－x i ，若B 点在单位圆内，则实数x 的取值范围为________． 解析：设点B 对应的复数为z ，∵OB ＝OA ＋OC ，即z ＝z 1＋z 2＝x ＋23i ＋23－x i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x i. 由已知|z |＜1，∴|z |2＜1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x 2＜1.即x 2＜118.∴－26＜x ＜26. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－26，26 点评 本题综合考查了复数减法与复数模的几何意义，要注意数形结合的充分利用． 探究三 易错辨析易错点 忽视了复数、向量、点对应关系的前提而致误【典型例题3】 已知z 1＝2i ，z 2＝1＋i ，z 3＝3＋2i 对应的点依次为A ，B ，C ，按A →B →C →D 的顺序作平行四边形ABCD ，求顶点D 对应的复数．错解：BA u u u r 对应的复数为z 1－z 2＝2i －(1＋i)＝－1＋i ，BC uuu r 对应的复数为z 3－z 2＝3＋2i －(1＋i)＝2＋i ，则BD u u u r 对应的复数为(z 1－z 2)＋(z 3－z 2)＝－1＋i ＋(2＋i)＝1＋2i ，所以点D 对应的复数为1＋2i.错因分析：将BD u u u r 对应的复数错认为是点D 对应的复数．实际上D 点对应的复数应与ODu u u r 相对应．正解：由错解得BD u u u r 对应的复数为1＋2i ，又OD u u u r ＝OB uuu r ＋BD u u u r ＝(1＋i)＋(1＋2i)＝2＋3i ，故点D 对应的复数为2＋3i.。

3.2.1 复数的加法与减法一、复数代数形式的加减法 1．运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 2．加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 二、复数加减法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( ) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i ，向量OZ →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为__________．[解析] Z 1Z 2→＝OZ →2－OZ →1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. [答案] 1－i3．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝4－3i ，则(z 1＋z 2)－(z 1＋z 2)＝__________. [解析] z 1＋z 2＝3＋4i ＋4－3i ＝7＋i ，z 1＋z 2＝3－4i ＋4＋3i ＝7－i ，∴(z 1＋z 2)－(z 1＋z 2)＝7＋i －(7－i)＝2i. [答案] 2i【例1】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2i ＝________. (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z .(1)[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i＝1＋i. [答案] 1＋i(2)解：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，又|z |＋z ＝1＋3i ，所以x 2＋y 2＋x ＋y i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以z ＝－4＋3i.1．复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i 看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般要用待定系数法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A ．－1＋i B ．1－i C ．iD ．－i[解析] (1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A. [答案] A的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，则点D 对应的复数为__________．(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.[思路探究] (1)先写出点A ，B ，C 的坐标，利用向量AB →＝D C →列方程求解． (2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．(1)[解析] 设D (x ，y )，类比向量的运算知A B →＝D C →，所以有复数－i －(1＋3i)＝2＋i －(x ＋y i)，得x ＝3，y ＝5，所以D 对应的复数为3＋5i.[答案] 3＋5i(2)解：设复数z 1，z 2，z 1＋z 2在复平面上对应的点分别为Z 1，Z 2，Z ，由|z 1|＝|z 2|＝1知，以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ 1Z 中，由余弦定理，得cos∠OZ 1Z ＝|z 1|2＋|z 2|2－|z 1＋z 2|22|z 1||z 2|＝－12，所以∠OZ 1Z ＝120°，所以∠Z 1OZ 2＝60°， 因此△OZ 1Z 2是正三角形， 所以|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1|＝1．利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1．技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：(1)为平行四边形；(2)若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形； (3)若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；(4)若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．1．在实数范围内a －b ＞0⇔a ＞b 恒成立，在复数范围内是否有z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2恒成立呢？提示：若z 1，z 2∈R ，则z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2成立．否则z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2.如果z 1＝1＋i ，z 2＝i ，虽然z 1－z 2＝1＞0，但不能说1＋i 大于i. 2．复数|z 1－z 2|的几何意义是什么？提示：复数|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应两点Z 1与Z 2间的距离．【例3】 复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作ABCD ，求|BD →|.[思路探究] 首先由A ，C 两点坐标求解出AC 的中点坐标，然后再由点B 的坐标求解出点D 的坐标．[解] 如图，设D (x ，y )，F 为ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD →＝OD →－OB →＝3＋3i －1＝2＋3i ，所以|BD →|＝13.1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．2．已知z ∈C ，且|z ＋3－4i|＝1，求|z |的最大值与最小值． [解] 由于|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z 对应的点Z 与复数－3＋4i 对应的点C 之间的距离等于1，故复数z 对应的点Z 的轨迹是以C (－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z |表示复数z 对应的点Z 到原点O 的距离，又|OC |＝5，所以点Z 到原点O 的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4. 即|z |最大值＝6，|z |最小值＝4.1．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1[答案] C2．设复数z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．b >0，a ∈RD ．a >0，b ∈R[解析] 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数． [答案] D3．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________.[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴x 2＋y 2＝3①，且z ＋3i ＝x ＋y i ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋3≠0，由①可得y ＝3.∴z ＝3i. [答案] 3i4．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________ .[解析] 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到点(－2,0)距离相等的点即虚轴，|z －1|表示z 对应的点到点(1,0)的距离，∴|z －1|最小值＝1．[答案] 15．集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N .(1)指出集合P 在复平面内所表示的图形； (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值．[解] (1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此，集合P 在复平面内所表示的图形是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如图．(2)由(1)知，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 直线l 的方程为y ＝x －1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，－22. 所以|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2. 因为点O 到直线l 的距离为22，且过点O 向l 作垂线，垂足在线段B E 上，22<2－2， 所以集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22.。

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数的加法和减法课堂探究 新人教B 版选修1-2探究一 复数的加减法运算复数的和(差)仍为复数，计算复数的加减法时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．【典型例题1】 已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13＋2i ，求z 1，z 2.思路分析：通过复数的加减法运算求得z (用x ，y 表示)，再利用共轭复数的定义及复数相等的充要条件求出x ，y 的值，从而求得z 1，z 2.解：∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，∴z ＝(5x －3y )－(x ＋4y )i.又∵z ＝13＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，－(x ＋4y )＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.探究二复数加减法的几何意义由于复数与向量的对应关系为复数赋予了几何意义，因此在处理复数某些问题时，可通过数形结合实现数与形的沟通．【典型例题2】 在复平面内，▱ABCO 的顶点O 是坐标原点，顶点A ，C 对应的复数分别是z 1＝x ＋23i ，z 2＝23－x i ，若B 点在单位圆内，则实数x 的取值范围为________． 解析：设点B 对应的复数为z ，∵OB ＝OA ＋OC ，即z ＝z 1＋z 2＝x ＋23i ＋23－x i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x i. 由已知|z |＜1，∴|z |2＜1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x 2＜1.即x 2＜118.∴－26＜x ＜26. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－26，26 点评 本题综合考查了复数减法与复数模的几何意义，要注意数形结合的充分利用． 探究三 易错辨析易错点 忽视了复数、向量、点对应关系的前提而致误【典型例题3】 已知z 1＝2i ，z 2＝1＋i ，z 3＝3＋2i 对应的点依次为A ，B ，C ，按A →B →C →D 的顺序作平行四边形ABCD ，求顶点D 对应的复数．错解：BA u u u r 对应的复数为z 1－z 2＝2i －(1＋i)＝－1＋i ，BC uuu r 对应的复数为z 3－z 2＝3＋2i －(1＋i)＝2＋i ，则BD u u u r 对应的复数为(z 1－z 2)＋(z 3－z 2)＝－1＋i ＋(2＋i)＝1＋2i ，所以点D 对应的复数为1＋2i.错因分析：将BD u u u r 对应的复数错认为是点D 对应的复数．实际上D 点对应的复数应与ODu u u r 相对应．正解：由错解得BD u u u r 对应的复数为1＋2i ，又OD u u u r ＝OB uuu r ＋BD u u u r ＝(1＋i)＋(1＋2i)＝2＋3i ，故点D 对应的复数为2＋3i.。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义达标练新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义达标练新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义达标练新人教A版选修1-2的全部内容。

3。

2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义1。

已知复数z1=1+7i，z2=—2-4i，则z1+z2等于（）A。

—1+3i B。

—1+11i C。

3+3i D.3+11i【解析】选A。

z1+z2=1+7i+（—2—4i）=(1—2）+(7—4）i=—1+3i。

2.复数z满足z-(1—i）=2i,则z等于( )A.1+iB.-1-iC.-1+i D。

1-i【解析】选A。

z=2i+（1-i)=1+i.3.|(3+2i)-(4-i）｜等于（)A. B. C.2 D。

-1+3i【解析】选B。

｜(3+2i）-(4—i）|=|-1+3i｜==。

4.向量对应的复数是5-4i，向量对应的复数是-5+4i,则—对应的复数是（)A.-10+8iB.10—8iC。

0 D.10+8i【解析】选B.—=（5，-4)—(-5,4)=(10，—8）。

故-对应的复数是10—8i。

5.若z1=2+i，z2=3+ai(a∈R)，z1+z2所对应的点在实轴上，则a为。

【解析】z1+z2=（2+i)+(3+ai)=5+(a+1）i,z1+z2对应的点在实轴上，即z1+z2为实数，因此a+1=0，a=—1。

3.1.2 复数的概念课后训练1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．－1或12．下列命题中的真命题是( )．A ．－1的平方根只有一个B ．i 是1的四次方根C ．i 是－1的立方根D ．i 是方程x 6－1＝0的根3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )．A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－44．“复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的什么条件( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知复数z ＝m 2－m ＋(m 2－1)i(m ∈R )．若z 是实数，则m 的值为________；若z 是虚数，则m 的取值范围是________；若z 是纯虚数，则m 的值为________．6．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值分别是________．7．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x 的值是__________．8．m 分别为何实数时，复数 z ＝263m m m --+＋(m 2－2m －15)i. (1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数．9．关于x 的方程3x 2－2a x －1＝(10－x －2x 2)i 有实数根，求实数a 的值和这个实根．参考答案1. 答案：A 由题意，知210,10,x x ⎧-=⎨-≠⎩∴x ＝－1.2. 答案：B －1的平方根为±i ，故选项A 错；因为i 3＝－i ，所以i 不是－1的立方根，选项C 错；因为i 6＝i 4·i 2＝－1，所以i 不是x 6－1＝0的根，故选项D 错． 3. 答案：C 由复数相等的充要条件，有2243,4,a a a a ⎧-=⎨-=⎩解得a ＝－4. 4. 答案：A 若a ＋b i(a ，b R )为纯虚数，则a ＝0；若a ＝0，则a ＋b i 不一定为纯虚数，因为a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 为实数0.5. 答案：±1 m ≠±1 0 复数z ＝m 2－m ＋(m 2－1)i 的实部为m 2－m ，虚部为m 2－1.当m 2－1＝0，即m ＝±1时，z 为实数；当m 2－1≠0，即m ≠±1时，z 为虚数；当m 2－m ＝0，且m 2－1≠0，即m ＝0时，z 为纯虚数．6. 答案：0,3 由复数相等的充要条件，得0,38,x x y =⎧⎨-=-⎩∴x ＝0，y ＝3. 7. 答案：－2 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，∴2222log 321,log 210.x x x x ⎧(--)>⎨(++)=⎩∴x ＝－2. 8. 答案：分析：根据复数的有关概念，将复数问题转化为实数问题求解．解：复数z 的实部为262333m m m m m m --(+)(-)=++ 虚部为m 2－2m －15＝(m ＋3)(m －5)．(1)要使z 是实数，则必须有350,30,m m m (+)(-)=⎧⎨+≠⎩解得m ＝5，所以当m ＝5时，z 为实数．(2)要使z 为虚数，则必须有(m ＋3)(m －5)≠0，所以当m ≠5，且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使z 为纯虚数，则必须有230,3350,m m m m m (+)(-)⎧=⎪+⎨⎪(+)(-)≠⎩解得m ＝－2，或m ＝3， 所以当m ＝－2，或m ＝3时，z 为纯虚数．9. 答案：分析：由方程有实根，根据复数相等的充要条件，将问题转化为方程组来求解．解：设方程的实根为x ＝m ，则2312a m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝(10－m －2m 2)i ， 根据复数相等的充要条件，得方程组22310, 22100, a m m m m ⎧--=⎪⎨⎪+-=⎩①②由②，得m ＝2，或52m =-. 代入①，得a ＝11，或715a =-. 所以当实数a ＝11时，实根为2；当实数715a =-时，实根为25-.。

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数的加法和减法课堂探究 新人教B 版选修1-2探究一 复数的加减法运算复数的和(差)仍为复数，计算复数的加减法时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．【典型例题1】 已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13＋2i ，求z 1，z 2.思路分析：通过复数的加减法运算求得z (用x ，y 表示)，再利用共轭复数的定义及复数相等的充要条件求出x ，y 的值，从而求得z 1，z 2.解：∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，∴z ＝(5x －3y )－(x ＋4y )i.又∵z ＝13＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，－(x ＋4y )＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.探究二复数加减法的几何意义由于复数与向量的对应关系为复数赋予了几何意义，因此在处理复数某些问题时，可通过数形结合实现数与形的沟通．【典型例题2】 在复平面内，▱ABCO 的顶点O 是坐标原点，顶点A ，C 对应的复数分别是z 1＝x ＋23i ，z 2＝23－x i ，若B 点在单位圆内，则实数x 的取值范围为________． 解析：设点B 对应的复数为z ，∵OB ＝OA ＋OC ，即z ＝z 1＋z 2＝x ＋23i ＋23－x i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x i. 由已知|z |＜1，∴|z |2＜1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x 2＜1.即x 2＜118.∴－26＜x ＜26. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－26，26 点评 本题综合考查了复数减法与复数模的几何意义，要注意数形结合的充分利用． 探究三 易错辨析易错点 忽视了复数、向量、点对应关系的前提而致误【典型例题3】 已知z 1＝2i ，z 2＝1＋i ，z 3＝3＋2i 对应的点依次为A ，B ，C ，按A →B →C →D 的顺序作平行四边形ABCD ，求顶点D 对应的复数．错解：BA u u u r 对应的复数为z 1－z 2＝2i －(1＋i)＝－1＋i ，BC uuu r 对应的复数为z 3－z 2＝3＋2i －(1＋i)＝2＋i ，则BD u u u r 对应的复数为(z 1－z 2)＋(z 3－z 2)＝－1＋i ＋(2＋i)＝1＋2i ，所以点D 对应的复数为1＋2i.错因分析：将BD u u u r 对应的复数错认为是点D 对应的复数．实际上D 点对应的复数应与ODu u u r 相对应．正解：由错解得BD u u u r 对应的复数为1＋2i ，又OD u u u r ＝OB uuu r ＋BD u u u r ＝(1＋i)＋(1＋2i)＝2＋3i ，故点D 对应的复数为2＋3i.。

3.2.1 复数的加法与减法1．掌握复数代数形式的加减法运算法则，并能运用复数加减法运算法则进行熟练计算．2．理解复数加减法的几何意义．1．复数的加法与减法的定义(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，定义z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______＋______i.(2)已知复数a ＋b i ，根据加法的定义，存在唯一的复数－a －b i ，使(a ＋b i)＋(－a －b i)＝0.－a －b i 叫做a ＋b i 的______．－a －b i ＝－(a ＋b i)．在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称．根据相反数的概念，我们规定两个复数的减法法则如下： (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a ＋b i)＋(－c －d i)＝(a －c )＋(b －d )i ，即(a ＋b i)－(c ＋d i)＝______＋______i.(3)两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别________．(1)两个复数的和(差)仍为复数．(2)复数的加法法则可推广到多个复数相加的情形．(3)复数的加法运算满足交换律、结合律．【做一做1－1】若z 1＝2＋i ，z 2＝3i ，z 3＝－1－i ，则z 1＋z 2－z 3＝________.【做一做1－2】已知z 1＝4－2i ，且z 1＋z 2＝3＋3i ，则z 2＝________.2．加减运算的几何意义已知复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，其对应的向量1OZ ＝(x 1，y 1)，2OZ ＝(x 2，y 2)(如图)，且1OZ 和2OZ 不共线．以OZ 1和OZ 2为两条邻边作OZ 1ZZ 2，根据向量的加法法则，对角线OZ 所表示的向量OZ ＝1OZ ＋2OZ ，而1OZ ＋2OZ 所对应的坐标是(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，这正是两个复数之和z 1＋z 2所对应的有序实数对．因此复数加法的几何意义就是______________________．类似地，向量21Z Z 对应两个复数的差z 1－z 2，作OZ '＝21Z Z ，则点Z ′也对应复数z 1－z 2.两个复数的差z 1－z 2(即1OZ －2OZ )与连两个终点Z 1，Z 2，且指向被减数的向量对应，这与平面向量的几何解释是一致的．【做一做2－1】|(3＋2i)－(1＋i)|表示( )．A ．点(3,2)与点(1,1)之间的距离B ．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离C ．点(3,2)到原点的距离D ．以上都不对【做一做2－2】若z 1，z 2为非零复数，且满足|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则以点Z 1，O ，Z 2为相邻顶点的平行四边形为________．怎样理解复数减法的向量运算？剖析：复数的减法也可用向量来进行运算．同样可实施平行四边形法则和三角形法则．设OZ 与复数a+bi 对应，1OZ 与复数c+di 对应，如图所示，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一边作平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2OZ 所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i 对应．因为1Z Z 与2OZ 平行且相等，所以向量1Z Z 也与这个差对应，实际上，两个复数的差z －z 1(即OZ －1OZ )与连两个复数所对应的向量终点并指向被减数的向量对应．即“首同尾连向被减”，这就是复数减法的几何意义．题型一 复数的加减运算【例题1】计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．分析：分清实部与虚部，按复数加减法的运算法则进行计算．反思：(1)类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次计算．(2)算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加减．题型二 复数加减法的几何意义【例题2】已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i ，4－4i ，2＋6i.求第四个顶点对应的复数．分析：在平行四边形中，已知的三个顶点顺序未定，故第四个顶点有三种情况．据复数加减法的几何意义求之．反思：理解复数加减法的几何意义是求解的关键.题型三 复数知识的综合应用【例题3】设f (z )＝|z |＋z －2i ，z 1＝3－i ，z 2＝－2＋4i ，z 3＝z 1＋z 2，求f (z 3)． 分析：由题意，求出z 3代入f (z )即可．题型四 易错辨析易错点：在进行复数代数形式运算时忘记加括号，从而导致运算错误．【例题4】已知z 1＝1＋2i ，z 2＝4－3i ，计算|z 1－z 2|.错解：由z 1＝1＋2i ，z 2＝4－3i ，得z 1－z 2＝1＋2i －4－3i ＝－3－i ，∴|z 1－z 2|＝|－3－i|＝(－3)2＋(－1)2＝10.1已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1在复平面内所对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2在复平面上，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，C 所对应的复数分别为－3－2i ，－4＋5i,2＋i ，则向量BD 所对应的复数是( )．A ．7－11iB ．3－6iC ．5－9iD ．－5－3i3设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( )．A ．1－3iB ．－2＋11iC ．－2＋iD ．5－5i4已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于________．5已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.答案：基础知识·梳理1．(1)(a ＋c ) (b ＋d ) (2)相反数 (a －c ) (b －d ) (3)相加(减)【做一做1－1】3＋5i z 1＋z 2－z 3＝(2＋i ＋3i)－(－1－i)＝(2＋4i)＋(1＋i)＝3＋5i.【做一做1－2】－1＋5i ∵(4－2i)＋z 2＝3＋3i ，∴z 2＝(3＋3i)－(4－2i)＝－1＋5i.2．向量加法的平行四边形法则【做一做2－1】A |z 1－z 2|的几何意义是z 1，z 2两点间的距离．【做一做2－2】矩形 ∵|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，∴平行四边形的对角线长度相等，∴平行四边形为矩形．典型例题·领悟【例题1】解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i＝－a ＋(4b －3)i.【例题2】解：设平行四边形中已知的三个顶点分别为Z 1，Z 2，Z 3，它们对应的复数分别是z 1＝2i ，z 2＝4－4i ，z 3＝2＋6i ，设第四个顶点所对应的复数为z 4，则(1)当这个平行四边形是以Z 1Z 2→和Z 1Z 3→为一组邻边时，有Z 1Z 4→＝Z 1Z 2→＋Z 1Z 3→，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)．∴z 4＝(z 2＋z 3)－z 1＝6.(2)当这个平行四边形是以Z 2Z 1→和Z 2Z 3→为一组邻边时，有Z 2Z 4→＝Z 2Z 1→＋Z 2Z 3→，∴z 4－z 2＝(z 1－z 2)＋(z 3－z 2)．∴z 4＝(z 1＋z 3)－z 2＝－2＋12i.(3)当这个平行四边形是以Z 3Z 1→和Z 3Z 2→为一组邻边时，有Z 3Z 4→＝Z 3Z 1→＋Z 3Z 2→，∴z 4－z 3＝(z 1－z 3)＋(z 2－z 3)．∴z 4＝(z 1＋z 2)－z 3＝2－8i.综上所述，第四个顶点对应的复数为6或－2＋12i 或2－8i.【例题3】解：∵z 1＝3－i ，z 2＝－2＋4i ，∴z 3＝z 1＋z 2＝3－i ＋(－2＋4i)＝3＋i －2＋4i＝(3－2)＋(1＋4)i＝1＋5i.∵f (z )＝|z |＋z －2i ，∴f (z 3)＝|1＋5i|＋1＋5i －2i ＝1＋52＋1＋3i＝1＋26＋3i.【例题4】错因分析：在运算z 1－z 2时忘记加括号，从而导致结果错误．正解：由z 1＝1＋2i ，z 2＝4－3i ，得z 1－z 2＝(1＋2i)－(4－3i)＝1＋2i －4＋3i ＝－3＋5i ， ∴|z 1－z 2|＝－2＋52＝34.随堂练习·巩固1．B ∵z ＝z 2－z 1＝－1＋i ，∴Z (－1,1)．2．A BD →＝BA →＋BC →＝(OA →－OB →)＋(OC →－OB →)＝(－3，－2)－(－4,5)＋(2,1)－(－4,5)＝(7，－11)．3．D ∵z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ，∴f (z 1－z 2)＝5－5i.4．6－2i ∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝3－i －(－3＋i)＝3－i ＋3－i ＝6－2i.5．3 ∵z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.故a ＋b ＝3.。

3.2.1 复数的加法与减法[A 基础达标]1．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，位于第三象限．2．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB 为直角三角形．3．在平行四边形ABCD 中，若A ，C 对应的复数分别为－1＋i 和－4－3i ，则该平行四边形的对角线AC 的长度为( )A. 5 B ．5 C ．2 5D ．10解析：选B.依题意，对角线AC 对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i ，因此AC 的长度即为|－3－4i|＝5.4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i解析：选D.依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，即CD →对应的复数为4－2i.5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.因为z 1＋z 2＝(a －3)＋(4＋b )i 为实数， 所以4＋b ＝0，b ＝－4.因为z 1－z 2＝(a ＋4i)－(－3＋b i)＝(a ＋3)＋(4－b )i 为纯虚数，所以a ＝－3且b ≠4.故a ＝－3，b ＝－4.6．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限． 解析：因为z ＝3－4i ，所以|z |＝5，所以z －|z |＋(1－i)＝3－4i －5＋(1－i)＝－1－5i.答案：三7．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝________． 解析：因为z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )， 由|z |＝4得a 2＋4＝16，所以a 2＝12，所以a ＝±23， 所以z ＝±23－2i. 答案：±23－2i8．如图所示，在复平面内的四个点O ，A ，B ，C 恰好构成平行四边形，其中O 为原点，A ，B ，C 所对应的复数分别是z A ＝4＋a i ，z B ＝6＋8i ，z C ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z A －z C ＝________.解析：因为OA →＋OC →＝OB →， 所以4＋a i ＋(a ＋b i)＝6＋8i. 因为a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋a ＝6，a ＋b ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.所以z A ＝4＋2i ，z C ＝2＋6i ，所以z A －z C ＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i. 答案：2－4i 9．计算：(1)(2－3i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋32i ＋1； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－i 2－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫i 3－12＋i ； (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． 解：(1)原式＝(2－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋32i ＋1＝1－32i. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－13＋1i ＝16＋16i.(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i.10．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数为1，2＋i ，－1＋2i. (1)求向量AB →，AC →，BC →对应的复数； (2)判定△ABC 的形状．解：(1)OA →＝(1，0)，OB →＝(2，1)，OC →＝(－1，2)， 所以AB →＝OB →－OA →＝(1，1)，对应的复数为1＋i ， AC →＝OC →－OA →＝(－2，2)，对应的复数为－2＋2i ， BC →＝OC →－OB →＝(－3，1)，对应的复数为－3＋i.(2)因为|AB |＝1＋1＝2，|AC |＝（－2）2＋22＝8，|BC |＝（－3）2＋1＝10， 所以|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．[B 能力提升]11．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( ) A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D.2＋1解析：选D.|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)| ＝（1－sin θ）2＋（1＋cos θ）2＝3－2（sin θ－cos θ） ＝3－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4)≤3＋22＝2＋1.12．复数z 1，z 2分别对应复平面内的点M 1，M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2＝________．解析：根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→，OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，|OM →|＝42＋32＝5，|M 1M 2→|＝10. |z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2 ＝|M 1M 2→|2＝100. 答案：10013．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.14．(选做题)已知z 0＝2＋2i ，|z －z 0|＝ 2. (1)求复数z 在复平面内对应的点的轨迹；(2)求当z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值． 解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －z 0|＝2，即|x ＋y i －(2＋2i)|＝|(x －2)＋(y －2)i|＝2，解得(x －2)2＋(y －2)2＝2，所以复数z 对应的点的轨迹是以Z 0(2，2)为圆心，半径为2的圆．(2)当z 对应的Z 点在OZ 0的连线上时，|z |有最大值或最小值． 因为|OZ 0|＝22，半径r ＝2，所以当z ＝1＋i 时，|z |min ＝ 2.。

复数代数情势的加减运算及其多少意义[A 组 学业达标]1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 即是( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－i剖析 : 原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i ＝－1＋i.谜底 : A2．设z 1＝3－4i , z 2＝－2＋3i , 那么z 1－z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 剖析 : z 1－z 2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i ,在复平面内z 1－z 2对应点的坐标为(5 , －7) , 位于第四象限．谜底 : D3．假设复数z 知足z ＋(3－4i)＝1 , 那么z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4 剖析 : z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i , 应选B.谜底 : B4．假设z 1＝2＋i , z 2＝3＋a i(a ∈R) , 且z 1＋z 2所对应的点在实轴上 , 那么a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1 剖析 : z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上 , ∴1＋a ＝0 , ∴a ＝－1.谜底 : D5．在平行四边形ABCD 中 , 对角线AC 与BD 订交于点O , 假设向量OA → , OB →对应的复数划分是3＋i , －1＋3i , 那么CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i剖析 : 依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB → , 而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i , 即CD →对应的复数为4－2i.应选D.谜底 : D6．已知z 是复数 , |z |＝3且z ＋3i 是纯虚数 , 那么z ＝________.剖析 : 设z ＝a ＋b i , 那么a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 是纯虚数 ,∴a ＝0 , b ＋3≠0.又∵|z |＝3 , ∴b ＝3 , ∴z ＝3i.谜底 : 3i7．复平面内点A , B , C 对应的复数划分为i,1,4＋2i , 由A →B →C →D 按逆时针次序作▱ABCD ,那么|BD →|即是________．剖析 : 如以下图 , 设D (x , y ) , F 是▱ABCD 的对角线的交点 , 那么点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 32 , 以是⎩⎨⎧ x ＋1＝4 y ＋0＝3 那么⎩⎨⎧ x ＝3 y ＝3.以是点D 对应的复数为z ＝3＋3i ,以是BD →＝OD →－OB →＝3＋3i －1＝2＋3i ,以是|BD →|＝13.谜底 : 138．假设复数z 知足z －1＝cos θ＋sin θi , 那么|z |的最大值为________．剖析 : ∵z －1＝cos θ＋sin θi ,∴z ＝1＋cos θ＋sin θi.那么|z |＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2(1＋cos θ)≤2.谜底 : 29．设m ∈R , 复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)．(1)假设z 为实数 , 求m 的值 ;(2)假设z 为纯虚数 , 求m 的值．剖析 : z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.(1)假设z 为实数 , 那么m 2－3m ＋2＝0 ,以是m ＝1或2.(2)假设z 为纯虚数 ,那么⎩⎨⎧ 2m 2－3m －2＝0 m 2－3m ＋2≠0解得m ＝－12. 故当m ＝－12时 , z 为纯虚数． 10．如以下图 , 平行四边形OABC 的极点O , A , C 划分对应复数0,3＋2i , －2＋4i.求 :(1)向量AO →对应的复数 ;(2)向量CA →对应的复数 ;(3)向量OB →对应的复数．剖析 : (1)由于AO →＝－OA → , 以是向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)由于CA →＝OA →－OC → , 以是向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)由于OB →＝OA →＋OC → , 以是向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.[B 组 本领晋升]1．△ABC 的三个极点所对应的复数划分为z 1 , z 2 , z 3 , 复数z 知足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3| , 那么z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．心田C ．重心D ．垂心剖析 : 设复数z 与复平面内的点Z 相对应 , 由△ABC 的三个极点所对应的复数划分为z 1 , z 2 , z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|可知点Z 到△ABC 的三个极点的间隔相称 , 由三角形外心的界说可知 , 点Z 即为△ABC 的外心．谜底 : A2．假设z ∈C , 且|z ＋2－2i|＝1 , 那么|z －2－2i|的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5剖析 : 设z ＝x ＋y i , 那么由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 , 表现以(－2,2)为圆心 , 以1为半径的圆 , 如以下图 , 那么|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表现圆上的点与定点(2,2)的间隔 , 数形联合得|z －2－2i|的最小值为3.谜底 : B3．假设复数z 知足z ＝|z |－3－4i , 那么z ＝________.剖析 : 设复数z ＝a ＋b i(a , b ∈R) ,那么⎩⎨⎧ a ＝a 2＋b 2－3 b ＝－4以是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝76 b ＝－4以是z ＝76－4i. 谜底 : 76－4i 4．已知复平面内的A , B 对应的复数划分是z 1＝sin 2θ＋i , z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ , 个中θ∈(0 ,π) , 设AB →对应的复数是z .(1)求复数z ;(2)假设复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上 , 求θ的值． 剖析 : (1)∵点A , B 对应的复数划分是z 1＝sin 2θ＋i , z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ ,∴点A , B 的坐标划分是A (sin 2θ , 1) ,B (－cos 2θ , cos 2θ) ,∴AB →＝(－cos 2θ , cos 2θ)－(sin 2θ , 1)＝(－cos 2θ－sin 2θ , cos 2θ－1)＝(－1 , －2sin 2θ)．∴AB →对应的复数z ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知点P 的坐标是(－1 , －2sin 2θ) ,代入y ＝12x , 得－2sin 2θ＝－12 , 即sin 2θ＝14, ∴sin θ＝±12. 又∵θ∈(0 , π) ,∴sin θ＝12 , ∴θ＝π6或5π6.。

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复数的几何意义1．若错误!＝（0，－3），则错误!对应的复数为( )A．0 B．－3C．－3i D．3［答案] C［解析］由错误!＝(0，－3），得点Z的坐标为（0，－3）,∴错误!对应的复数为0－3i＝－3i。

故选C.2．已知z1＝5＋3i,z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )A．z1〉z2B．z1〈z2C．｜z1|>|z2｜D．｜z1|〈|z2｜［答案］D[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A，B.又｜z1｜＝错误!，|z2｜＝错误!，∴｜z1|<|z2|.故选D。

3．在复平面内,O为原点,向量错误!对应复数为－1－2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量错误!对应复数为( )A．－2－i B．2＋iC．1＋2i D．－1＋2i[答案] B［解析］由题意知A点坐标为（－1，－2),而点B与点A关于直线y＝－x对称,则B点坐标为(2，1）,所以向量错误!对应复数为2＋i.故应选B.4．在复平面内，复数6＋5i、－2＋3i对应的点分别为A、B。

若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是（）A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i[答案］C[解析] 由题意知A（6,5）,B（－2，3),AB中点C（x，y），则x＝错误!＝2，y＝错误!＝4，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.5．复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π）的模为（)A．2cos错误!B．－2cos错误!C．2sin错误!D．－2sin错误!［答案］B[解析］所求复数的模为错误!＝错误!＝错误!，∵π＜α＜2π，∴错误!＜错误!＜π，∴cos错误!＜0，∴错误!＝－2cos错误!.6．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案］C[解析］z＝－2sin100°＋2icos100°。