全国自考公共课线性代数经管类(行列式)模拟试卷1(题后含答案及解析)

全国自考公共课线性代数经管类（行列式）模拟试卷1 (题后含答案及解析)

全部题型 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题

填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1． 设A为2阶可逆矩阵，且已知(2A)-1=则A=__________.

正确答案：根据可逆矩阵的基本性质可知

2． 设3阶矩阵则(AT)1=__________.

正确答案：

3． 设矩阵则A-1=__________.

正确答案：(A，En)=，则A-1=

4． 设向量α1=(1，1，1)T，α2=(1，1，0)T，α=(1，0，0)T，β=(0，1，1)T，则β由α1,α2,α3线性表示的表示式为β=_________．

正确答案：设线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β，对它的增广矩阵施行初

等行变换，得：显然x1α1+x2α2+x3α3=β的同解方程组Tx=d就是它的惟一解就是x1=1 ;x2=0;x3=一1．∴β可以惟一表示成α1,α2,α3的线性组合是β=α1+0α2一α3．

计算题

5． 计算下列行列式

正确答案：用对角线法展开．D=3xy(x+y)一x3一y3一(x+y)3=一2(x3+y3)．

6． 计算行列式

正确答案：将行列式的第三列减去第二列，第四列减去第一列，就可以直接求出其值．

7． 计算行列式的值．

正确答案：[解法一][

解法二]

8． 设2阶矩阵A可逆，且A-1=对于矩阵令B=P1AP2，求B-1

正确答案：由于B=P1AP2故B-1=(P1AP2)-1=P2-1A-1P1-1

9． 判断矩阵是否可逆，若可逆，求出它的逆矩阵．

正确答案：由于故矩阵A可逆．逐个求出代数余子式和伴随矩阵：于是.

已知矩阵

10． 求A的逆矩阵A-1；

正确答案：由于｜A｜=一1≠0，所以A可逆，且

11． 解矩阵方程AX=B

正确答案：

12． 问β=(4，5，5)能否表示成α1=(1，2，3)，α2=(一1，1，4)，α3=(3，3，2)的线性组合?

正确答案：考察线性方程组x1α1T+x2α2T+x3α3T=βT．用矩阵的初等行变换化简方程组的增广矩阵：(α1T，α2T，α3T，βT)

13． 设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=一α1+α3，β=2α2—2α3，β=2α1—5α2+3α3．试确定向量组β1，β2，β3的线性相关性．

正确答案：设有数k1，k2，k3，使k1β1+k2β2+k3β3=0即k1(一α1+α3)+k2(2α2—2α3)+k3(2α1一5α2+3α3)=0整理得(一k1+2k3)α1+(2k2—5α3)α2+(k1一2k2+3k3)α3=0因为α1,α2,α3线性无关，则其系数矩阵初等变换得到r(A)=2＜3，所以方程组有非零解．从而β1，β2，β3线性相关．

14． 已知向量组试讨论其线性相关性．若线性相关，则求出一组不全为零的数k1，k2，k3使得k1α1+k2α2+k3α3=0．

正确答案：构造矩阵A=(α1,α2,α3)，利用矩阵的初等行变换将Ax=0的系数矩阵化成简化行阶梯形矩阵．因为r(A)=2＜3，所以Ax=0有非零解，从而向量组线性相关．方程x1α1+x2α2+x3α3=0．的同解线性方程组为令x3=1，可得一组解为x1=一2，x2=1，x3=1．取k1=一2，k2=1，k3=1，得一2α1+α2+α3=0．

15． 设向量组α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(3，0，7，14)T，α4=(1，一1，2，0)T，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．

正确答案：由于A=(α1,α2,α3，α4)=因此，阳嫩组的秩为3，取α1,α2,α3为向量组的一个极大线性无关组(答案不惟一，α1,α3,α4；α2,α3,α4也是极大线性无关组)，α3=3α1+α2．

16． 求α=(α1,α2,α3)在基S={(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)}下的坐标，并将α用这个基线性表出．

正确答案：令x1(1，0，0)+x2(1，1，0)+x3(1，1，1)=(α1,α2,α3)，即容易解得x1=a1—a2，x2=a2一a3.x3=a3．所以α=(α1,α2,α3)在基S={(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)}下的坐标为(a1—a2，

a2一a3，a3)，且有(a1，a2，a3)=(a1—a2)(1，0，0)+(a2一a3)(1，1，0)+a3(1，1，1)．

17． 求R4中由向量组生成的子空间的一个基和维数．

正确答案：向量组α1,α2,α3,α4的一个极大无关组就是其生成子空间的一个基，α1,α2,α3,α4的秩就是生成空问的维数．因此α1,α2,α3就是由α1,α2,α3,α4生成的子空间的一个基，生成子空间的维数为3．

已知线性方程组

18． 讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．

正确答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换

当λ=一2时,方程组无解;当λ≠一2且λ≠1时方程组有惟一解；当λ=1时,方程组有无穷多个解．

19． 在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．

正确答案：当λ=1时,同解方程组为x=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1,0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2，0，0)T所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．

已知线性方程组

20． 求当a为何值时，方程组无解、有解．

正确答案：将线性方程组的增广矩阵做初等行变换，当a≠一3时，，即，方程组

无解当a=一3时，，方程组有无穷多个解．

21． 当方程组有解时。求出其全部解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．

正确答案：当a=一3时,同解方程组为得到方程组的一个特解为η*=(一1，1，0)T，导出组的一个基础解系为ξ=(一2，1，1)T，从而方程组的全部解为η=η*+kξ(k为任意常数)．

22． 设求出A的所有的特征值和特征向量．

正确答案：A的特征方阵为A的特征方程为它的两个根是λ1=0，λ2=5，这就是A的两个特征值．用来求特征向量的齐次线性方程组为即属于λ1=0的特征向量满足线性方程组可取解属于λ2=5的特征向量 满足线性方程组可取解p1，p2就是A的两个线性无关的特征向量．容易验证属于λ1=0的特征向量全体为k1p1，k1为任意非零常数；属于λ2=5的特征向量全体为k2p2，k2为任意非零常数．