全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷39(题后含答案及解析)

全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷39 (题后含答案及解析)

题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题

单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1． 已知三阶矩阵A有特征值λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝2，则2A*的特征值是

A．1，－1，2

B．－2，2，－1

C．－4，4，－2

D．2，－2，4

正确答案：C

解析：由题知｜A｜＝λ1·λ2·λ3＝－2，而2A*的特征值是2·，其中λi是A的特征值，故2A*的特征值为－4，4，－2．

2． 下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：由题知，四个矩阵的特征值均是1，1，2，存在二重特征值1，故只有二重特征值对应的线性无关的特征向量的个数3－r(E3－A)＝2，即r(E3－A)＝1时，该矩阵能相似于对角阵．由

A

3． A、B为n阶矩阵，且A～B，则下述结论中不正确的是

A．λE－A＝AE－B

B．｜A｜＝｜B｜

C．｜λE－A｜＝｜λE－B｜

D．r(A)＝r(B)

正确答案：A

解析：由方阵相似性质知，若A～B，则｜A｜＝｜B｜，｜λE－A｜＝｜λE－B｜，r(A)＝r(B)，tr(A)＝tr(B)．故B，C，D项都正确．只有A项不正确．

4． 下列矩阵中与A＝合同的矩阵是

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：合同性质：若两个矩阵合同，则它们有相同的正惯性指数．，故A的正惯性指数为2．显然C项的正惯性指数为2，故C项正确．

5． 二次型f＝x12＋x22＋x32＋4x2x3的规范形是

A．z12＋z22+32

B．z12－z22－z32

C．z12＋z22?z32

D．z12－z22

正确答案：C

解析：，得A的特征值为λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝3，故A的正惯性指数为2，负惯性指数为1．故此二次型的规范型为z12＋z22－z32．

填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6． 行列式的值为______．

正确答案：-2

解析：

7． 设矩形A＝，则行列式｜2A－1｜＝______．

正确答案：2

解析：

8． 设A为三阶矩阵，将A的第2行的2倍加到第3行得到矩阵B，若B＝，则A＝______．

正确答案：

解析：

9． 设矩阵A＝，若齐次线性方程组Ax＝0有非零解，则数t＝______．

正确答案：-1

解析：

10． 向量空间V＝{α＝(0，a1，a2)｜a1，a2为任意实数}的维数为______．

正确答案：2

解析：因向量空间的维数就是此向量空间的基中的基向量的个数，即极大无关组中所含向量的个数．由a1，a2的任意性，得α＝a1(0，1，0)＋a2(0，0，1)．而e1＝(0，1，0)与e2＝(0，0，1)线性无关，故向量空间V的维数为2．

11． 设向量α＝(1，0，－1)，则它的单位化向量为______．

正确答案：

解析：

12． 设矩阵A＝的特征值为1，2，3，则数x＝______．

正确答案：6

解析：由＝｜A｜，得(－1)3+1x＝1×2×3，得x＝6．

13． 设三阶实对称矩阵A的特征值为0，1，2，它们对应的特征向量分别为α1＝(1，1，1)，α2＝(1，a，－1)，α3＝(b，－2，1)，则a＝______，b＝______．

正确答案：0．1

解析：由实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定是正交向量，得

α1α2T＝0，

14． 若实对称矩阵A＝为正定矩阵，则a的取值应满足______．

正确答案：a>1

解析：因A为正定矩阵，所以｜A｜>0，即3(a－1)>0，得a>1．

15． 设矩阵A＝，则二次型xTAx的规范形是______．

正确答案：z12－z22

解析：由A＝，得A的特征值为1，－1，故A的正惯性指数为1，负惯性指数为1，则二次型的规范形为z12－z22．

计算题

16． 计算行列式D＝的值．

正确答案：

17． 设向量α＝(2，1，3)，β＝(1，2，3)， 求：(1)若满足A=αTβ，求A2． (2)向量α与β的内积(α，β)．

正确答案：

18． 设，令B=P1AP2，求B－1．

正确答案：P1，P2为初等矩阵，则B由A经初等变换得

到．

19． 求向量组：的一个极大无关组，并将其余向量通过该极大无关组表示出来．

正确答案：以所有向量为列向量形成4×4矩阵，然后对该矩阵施行初等行变换化为简化行阶梯形矩阵：所以其一个极大无关组为：α1，α2，α4，且α3＝－5α1＋3α2－2α4．

20． 求齐次线性方程组的基础解系及通解．

正确答案：

21． 设A＝，(1)求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量；(2)判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵A，使得P－1AP＝A．

正确答案：(2)由(1)知，当λ1＝λ2＝λ3＝－1时，其对应的特征向量只有一个，不等于其重根数3，因此A不能对角化

22． 二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋5x32＋2x1x2＋2x1x3＋8x2x3．求：

(1)二次型的矩阵； (2)用配方法化二次型为标准形、规范形．

正确答案：(1)二次型的矩阵(2)f(x1，x2，x3) ＝x12＋2x22＋5x32+2x1x2＋2x1x3＋8x2x3 ＝(x1＋x2＋x3)2＋x22＋4x32＋6x23 ＝(x1＋x2＋x3)2＋(x2＋3x3)－5x32，则二次型的标准形为f＝y122＋y222－5y322(注：标准形不唯一)．则二次型的规范形为f＝z122＋z122－z322．

证明题

23． 设n阶矩阵A满足A2+2A－4E＝O，证明A可逆，并求A－1．

正确答案：因A2+2A－4E＝O整理变形为A2+2A＝4EA(A+2E)＝4EA·=E．故A可逆．且A－1=