上海市建平中学2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析

- 1 - 上海市建平中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

一、填空题

1.若3cos2，则cos2______.

【答案】12

【解析】

【分析】

直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..

【详解】因为3cos2，

所以2231cos22cos12()122.

故答案为：12

【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力.

2.已知1sin3x，,2x，则cosx______.

【答案】223

【解析】

【分析】

根据三角函数的符号以及三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】因为,2x，可得cos0x，

根据三角函数的基本关系式，可得222cos1sin3xx.

故答案为：223. - 2 - 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及三角函数的符号是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

3.已知na是等比数列，首项是3，公比是12，则前4项和为______.

【答案】458

【解析】

【分析】

由等比数列的求和公式求解即可.

【详解】由等比数列的求和公式得4413[1()]115452=6(1)611616812S.

故答案为：458.

【点睛】本题主要考查等比数列的求和，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

4.若tan3，则sin2__________.

【答案】35

【解析】

由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，

得22222222sincos2sincos2tancossin22sincoscossincossin1tancos，

又因为tan3，则222tan2331tan135，即3sin25.

5.已知扇形的圆心角为23，半径为5，则扇形的面积为______.

【答案】253

【解析】

【分析】

利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解.

【详解】因为扇形的圆心角为23，半径为5，所以扇形的弧长210533l，

所以面积11102552233Slr. - 3 - 故答案为：253.

【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..

6.等差数列na的前n项和为nS，41a，则7S______.

【答案】7

【解析】

【分析】

利用等差数列前n项和公式和等差中项的性质，即可求出7s.

【详解】解：1747727722aaaS.

故答案为：7.

【点睛】本题考查等差数列前n项和公式和等差中项的性质，属于基础题.

7.已知函数2sin3cosfxxx，1x、2xR，则12fxfx的最大值是______.

【答案】213

【解析】

【分析】

利用辅助角公式把函数()fx的解析式写成正弦型函数解析式形式，然后利用函数()fx的最值进行求解即可.

【详解】因为2sin3cos13sin()fxxxx（其中3tan2），

所以maxmin()13,()13fxfx，

因为1x、2xR，

所以12fxfx的最大值为：1max2min()()13(13)213fxfx.

故答案为：213

【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了正弦型函数的最值应用，考查了数学运算能力.

8.在数列na中，2a5，nn1naa2nN*，则数列na的通项na______． - 4 - 【答案】n21

【解析】

【分析】

由递推关系累加求和即可求解.

【详解】由题意可得：n1nn1n2n1n221aa2aa2aa2，

利用累加法，

得：n1nn1221aa2221，

1a3，

于是：nna21．

故答案为n21

【点睛】本题考查利用累加法求数列通项公式，是基础题.

9.已知na为等差数列,135246105,99aaaaaa,na前n项和nS取得最大值时n的值为___________.

【答案】20

【解析】

【分析】

先由条件求出1,ad，算出nS，然后利用二次函数的知识求出即可

【详解】设na的公差为d，由题意得

13511121054daaaadaa

即1235ad，①

2461113599aaaadadad

即1333ad，②

由①②联立得139,2ad - 5 - 所以22139(2)40204002nSnnnnnn

故当20n时，nS取得最大值400

故答案：20

【点睛】等差数列的nS是关于n的二次函数，但要注意n只能取正整数.

10.函数sin23yx的图象向右平移3个单位后与函数fx的图象重合，则下列结论正确的是______.

①fx的一个周期为2； ②fx的图象关于712x对称；

③76x是fx的一个零点； ④fx在5,1212单调递减；

【答案】①②③

【解析】

【分析】

先由图像的平移变换推导出fx的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确．

【详解】解：函数sin23yx的图象向右平移π3个单位后与函数fx的图象重合，

sin2sin2333fxxx，

fx的一个周期为2π，故①正确；

yfx的对称轴满足：232xk，kZ，

当2k时，yfx的图象关于7πx12对称，故②正确；

由sin203fxx，23xk得26kx，

76x是fx的一个零点，故③正确； - 6 - 当5,1212x时，2,322x，

fx在5,1212上单调递增，故④错误．

故答案：①②③．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

11.在锐角ABC中，内角A、B、C的对边分别是,,abc，若231abba，1c，则3ab的取值范围是______.

【答案】1,3

【解析】

【分析】

根据231abba，结合余弦定理可得6C，再根据正弦定理将3ab化简成关于A的三角函数表达式，再根据锐角ABC求得A的取值范围，结合三角函数的性质求解值域即可.

【详解】因为231abba，1c，故2223cabab.

所以22233cos222abcabCabab.又锐角ABC，故6C.

由正弦定理，12sinsinsinsin6abcABC，

所以5323sinsin23sinsin6abABAA

313123sinsincos2sincos2sin22226AAAAAA.

又锐角ABC，故02062AA，解得32A，即663A. - 7 - 故32sin1,36abA.

故答案为：1,3

【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用、边角互化求取值范围的问题，需要将所给的边的表达式利用正弦定理转换为角的表达式，同时结合角度的范围求解.属于中档题.

12.已知数列na满足14a，*1222,nnnaannN，若不等式2235nnna对任意*nN恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】37(,)8

【解析】

【分析】

由数列递推公式，求得(1)2nnan，把不等式2235nnna对任意*nN恒成立，转化为2352nn对任意*nN恒成立，设232nnfn，求得fn的单调性与最值，即可求解.

【详解】由题意，数列na满足14a，*1222,nnnaannN，

则11122nnnnaa（常数），所以数列2nna是以1422为首项，以1为公差的等差数列，

所以2(1)112nnann，整理得(1)2nnan，

不等式2235nnna对任意*nN恒成立，

即223235(1)22nnnnnn对任意*nN恒成立，

即2352nn对任意*nN恒成立，

设232nnfn，则112(1)323251222nnnnnnfnfn， - 8 - 当1,2n时，10fnfn，此时数列为递增数列；

当3,nnN时，10fnfn，此时数列为递减数列，

又由132,348ff，所以337588，

即实数的取值范围是37(,)8.

故答案为：37(,)8.

【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及恒成立问题的求解和数列的单调性的判定及应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

二、选择题

13.函数2sin6xy，xR的最小正周期是（ ）

A. 12 B. 6 C. 12 D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】

直接应用正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可.

【详解】函数2sin6xy的最小正周期为：2126T.

故选：A

【点睛】本题考查了正弦型函数最小正周期公式的应用，属于基础题.

14.用数学归纳法证明等式，123...221nnn时，由nk到1nk时，等式左边应添加的项是（ ）

A. 21k B. 22k

C. 2122kk D. 12...2kkk

【答案】C

【解析】

试题分析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由nk到1nk时，等式左边增