上海市建平中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

上海市建平中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）

1. “ ”是“

”成立的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】解：若 ，则

，则

成立，即充分性成立，

若当 时，

成立，但 不成立，即必要性不成立，

即“ ”是“

”成立的充分不必要条件，

故选：A．

根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．

2. 若实数a、b满足条件 ，则下列不等式一定成立的是

A.

B. C. D.

【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A、 ， 时，有

成立，故A错误；

对于B、 ， 时，有 成立，故B错误；

对于C、 ， 时，有 成立，故C错误；

对于D、由不等式的性质分析可得若 ，必有 成立，则D正确；

故选：D．

根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．

本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．

3. 设集合 ， 对任意 恒成立，则P与Q的关系是

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】解： 集合 ，

对任意 恒成立，

．

与Q的关系是 ．

故选：C．

先分别求出集合P，Q，由此能求出P与Q的关系．

本题考查集合的关系的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4. 已知集合 2，3， ，集合 是集合A的子集，若

且 2， ， ，满足集合B的个数记为 ，则

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【答案】B

【解析】解：由题意可得 ， ， ，那么集合 2，3，4，5，6， ；

集合 ， ， 满足集合B的个数列罗出来，

可得： 3， ， 3， ， 3， ， 4， ， 4， ； 5， ， 4， ， 4， ， 5， ， 5， ，

故选：B．

根据 和 ，可得 ， ， ，集合 2，3，4，5，6， ；集合 ， 满足集合B的个数列罗出来，可得答案．

本题考查子集与真子集，并且即时定义新的集合，主要考查学生的阅读理解能力．

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5. 设全集 2，3，4，5， ，集合 4， ，则 ______．

【答案】 3，

【解析】解：全集 2，3，4，5， ，集合 4， ，

则 3， ．

故答案为： 3， ．

根据补集的定义写出 A.

本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．

6. 不等式

的解集为______．

【答案】

【解析】解：

，

，

解得： ，

故不等式的解集是 ，

故答案为： ．

问题转化为 ，求出不等式的解集即可．

解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为

，再转化为整式不等式 ，然后利用二次不

等式或高次不等式的结论求解．

7. 已知集合 0， ， ，若 ，则实数a的值为______．

【答案】

【解析】解：若 ，则

， ；

， ；

， ；

， ．

故答案为： ．

先假设 ，得 ， ； ， ； ， ；取补集得结果．

本题考查的知识点集合的包含关系应用，难度不大，属于基础题．

8. 用列举法写出集合 ______

【答案】

【解析】解： ，且 ；

，0，或1；

，或1；

，或0；

．

故答案为： ．

由 及 即可求出 ，0，或1，从而得出 ，或1，进而得出y的值，从而得出集合A．

考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法．

9. 已知不等式 的解集为 ，则 ______

【答案】11

【解析】解：不等式 的解集为 ，

方程 的实数根为2和3，

，

， ；

．

故答案为：11．

利用不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系求出a、b的值．

本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．

10. 命题“如果 ，那么 ”的逆否命题为______．

【答案】若 ，则

【解析】解：原命题“如果 ，那么 ”，

其逆否命题为：“若 ，则 ”．

故答案为：若 ，则 ．

根据逆否命题的定义，即把结论和条件的否定后作为逆否命题的条件和结论即可． 本题考查的知识点是逆否命题的定义，需要正确写出对条件的结论的否定，这是关键和易出错的地方．

11. 已知集合 ， ， ，则 ______．

【答案】

【解析】解： ．

故答案为： ．

根据交集定义得 ， ．

此题考查了交集及其运算，需要注意此题是点集，是基础题．

12. 若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则a的取值范围为______．

【答案】

【解析】解：若“ ”是“ ”的充分不必要条件，

则 ，

故答案为：

根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

13. 已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值集合为______

【答案】 ．

【解析】解： ，

， ，

，

，

，

，

，

故实数a的取值集合为 ．

故答案为： ．

分为 ，和 两种情况讨论，取并集得结论．

本题考查了集合的化简与集合的运算的应用，注意不要漏掉 ，属于基础题．

14. 已知集合 中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为______．

【答案】 或

【解析】解： 集合 中的所有元素之和为2，

的解为 或无解，

或 ，

解得 ．

实数a的取值集合为 或 ．

故答案为： 或 ．

推导出 的解为 或无解，由此能求出实数a的取值集合．

本题考查实数的取值集合的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15. 已知正实数x，y满足 ，则

的最小值是______

【答案】

【解析】解：正实数x，y满足 ，

则

当且仅当

且 即

，

时取得最小值是

故答案为：

由已知分离

，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换

16. 若不等式 对任意 ， 恒成立，则a的取值范围是______．

【答案】

【解析】解： 不等式 ， ， ，

，

令

，可得：

．

．

可知：

时函数 取得最大值，

．

．

．

不等式 对任意 ， 恒成立，

的取值范围是 ．

故答案为： ．

不等式 ， ， ，

，令

，可得：

利用导数研究其单调性极值最值即可得出．

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

17. 已知x，y是实数，求证： ．

【答案】证明：因为 ，可得 ，

，可得 ，

所以 ．

【解析】利用综合法，证明不等式即可．

本题考查不等式的证明，综合法的应用，是基本知识的考查．

18. 已知全集 ，集合 ，

，求 ， ．

【答案】解： ；

；

；

；

， ；

．

【解析】先求出A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．

考查描述法表示集合的定义， ，以及交集、并集和补集的运算．

19. 已知命题p：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程 对于任意实数a都没有实数根．

若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．

【答案】解： 命题p：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，

可得 ，

解得 ；

命题q：关于x的一元二次方程 对于任意实数a都没有实数根，