关于定价的博弈论模型
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CH13 关于定价的博弈论模型
分析寡头市场的最大困难在于策略问题。在此情形下，市场上仅有几家企业，每一家企业在做决策时，都必须在一定程度上考虑其它企业的行为。博弈论就是用以研究策略选择的一种主要的工具。
一、基本概念
在一些情况下，个人或企业必须作出策略性选择，并且最终的结果依赖于每一个行动者的选择，这种情况就可以看成是一个博弈。
1．博弈的三要素
任何一个博弈都必须具备三个要素：
（1）博弈的参与者
参与人的具体身份无关紧要，在博弈中没有“好人”与“坏蛋”之分，我们只是简单地假设每个参与者在考虑到对手行为的前提下，做出最有利的策略性选择。
（2）策略
策略是博弈参与者的行动规则。
在非合作博弈中，参与者之间不能就策略选择达成一个有约束力的协议。
（3）支付（payoffs）
支付是参与者的最终受益。支付包括了与博弈结果相关的所有方面，既包括显性的货币报酬，也包括隐性的参与者关于结果的心理感受。
2. 符号
两个参与者（A和B）之间的博弈G用下式表示
[,,(,),(,)]ABABGSSUabUab
其中，AS和BS分别表示参与者A和参与者B的可选策略，(,)AUab和(,)BUab分别表示当参与者A和B分别选择策略a和策略b时，各自所得到的支付（,ABaSbS）。
二、Nash均衡
市场均衡：在均衡价格和产量下，买方和卖方都没有动力去改变自己的行为。 2 Nash均衡：对于策略组合（**,ab），如果给定其它参与者的策略，没有一个参与者会选择单方面偏离，那么这个策略组合就构成一个Nash均衡。也就是说
***(,)(,)AAUabUab 对于所有AaS
***(,)(,)BBUabUab 对于所有BbS
对纳什均衡的理解
设想所有参与者在博弈之前达成一个（没有约束力的）协议，规定每个参与人选择一个特定的战略。那么，给定其他参与人都遵守此协议，是否有人不愿意遵守此协议？如果没有参与人有积极性单方面背离此协议，我们说这个协议是可以自动实施的（self-enforcing），这个协议就构成一个纳什均衡。否则，它就不是一个纳什均衡。
三、一个例子
两个厂商（A和B）决定自己花多少钱用于做广告。每个厂商可以选择较高的预算（H）或较低的预算（L）。
1．博弈的扩展式表述
图13.1
2．博弈的策略式（规范式）表述
表13.1
3．占优策略和Nash均衡
从表13.1可以看出，低预算（L）是厂商B的占优策略，即不管厂商A选择哪一种策略，L都是厂商B的最佳选择。由于该博弈的结构是公共知识，厂商A也知道L是厂商B的占优策略，所以厂商A将选择L。因此，该博弈的均衡是（L，L）。
请验证（L，L）构成一个Nash均衡，而其它三个策略组合都不是Nash均衡。 3 四、混合策略Nash均衡
上面的博弈存在唯一的Nash均衡，但是并非所有博弈都是如此。在下图所示的猜谜博弈中，没有上述意义上的Nash均衡存在；而在“性别之战”博弈中，存在两个Nash均衡。
儿童B
H(正面) T(反面)
儿童A H(正面) 1,-1
-1,1
T(反面) -1,1 1,-1
表13.2 猜谜博弈
表13.3 “性别之战”
Nash均衡不存在的一个主要原因是参与人的策略较少，缺乏灵活性。在以下两种情况下，参与者的潜在策略数无穷大，就可以保证博弈至少存在一个均衡：（1）参与者的策略是某一区间内的连续变量（比如厂商对产量或价格的选择）；（2）参与者使用混合策略——以一定的概率选择某种概率。相应地，以概率1选择某种行动的策略叫做“纯策略”。
下面，我们来求解“猜谜博弈”的混合策略Nash均衡。
Suppose that the players decide to randomize amongst his strategies and play a mixed strategy.
Player A could flip a coin and play H with probability r and T with probability 1-r , and player B
flip a coin and play H with probability s and T with probability 1-s.
Given these probabilities, the outcomes of the game occur with the following probabilities: H-H ,
rs; H-T, r(1-s); T-H, (1-r)s; T-T,(1-r)(1-s). Player A’s expected utility is then given by
()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)AEursrsrsrs
42212(21)21rsrsrss
Oviously, A’s optimal choice of r depends on B’s probability, s. If 12s, utility is maximized
by choosing 0r. If 12s, A should opt for 1r. And when 12s, A’s expected utility
is 0 no matter what value of r is choosen. A’s best response function is
0, 12()1, 12[0,1], 12ifsrsifsifs 4 For player B, expected utility is given by
()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) (4221)2(12)(12)BEursrsrsrsrsrssrr
Now, when 12r, B’s expected utility is maximized by choosing 0s. If 12r, A
should opt for 1s. And when 12r, A’s expected utility is independent of what s is
choosen. B’s best response function is
1, 12()0, 12[0,1], 12ifrsrifrifr
r1/211/21response
curve of Aresponse
curve of Bs
Nash equilibria are shown in the figure by the intersections of optimal response curves for A and
B.
Or, we can get the equilibrium through the FOC
()1420 2AEussr
()1420 2BEurrs
对上式的理解：在给定参与人B采用混合战略() (1-)sHsT的情况下，如果混合战略() (1-)rHrT是参与人A的最优选择，必有()()AAEuHEuT。同样的，在给定参与人A采用混合战略() (1-)rHrT的情况下，如果混合战略() (1-)sHsT是参与人B的最优选择，必有()()BBEuHEuT。这样，混合策略Nash均衡就可以由以下两式得到
()()()()AABBEuHEuTEuHEuT
即
1(1)(1)(1)1(1)(1)1(1)1(1)(1)ssssrrrr
这样很容易就可以得到上面的混合策略Nash均衡。 5 四、囚徒困境
囚徒B
坦白 抵赖
囚徒A 坦白 -3，-3 0.5，-10
抵赖 -10，0.5
-2，-2
表13.3 囚徒困境
抵赖 is a dominated strategy. A rational player would therefore never 抵赖. This solves the
game since every player will 坦白. Notice that I don't have to know anything about the other player.
囚徒困境：个人理性与集体理性之间的矛盾。
This result highlights the value of commitment in the Prisoner's dilemma – commitment consists
of credibly playing strategy 抵赖.
囚徒困境的广泛应用：军备竞赛、卡特尔、公共品的供给。
五、动态博弈
参与人A首先行动，参与人B在观察到参与人A的行动以后，再行动。相对于动态博弈，参与者同时行动，或者虽然行动上又先后，但是后行动者不能观察到先行动者的选择的博弈叫做静态博弈。
1. 扩展式表述
图13.2
2．策略式表述
表13.4
请注意企业B的策略和策略空间。策略是对行动规则的完备描述，由于在参与者A选择以后， 6 参与者B可能面临两种情况——参与者A选择了H或者选择了L，因此，参与者B的策略就要分别描述这两种情况下自己的行动选择。以策略（L，H）为例，它表示如果参与人A选择了L，那么参与人B就选择L，如果参与人A选择了H，那么参与人B也选择H。
3. 均衡
（1）Nash均衡
根据表13.4的策略式表述，该博弈一共有3个纯策略Nash均衡：[L, (L, L)]、[L, (L, H)]和[H,
(H,L)]。其中，[L, (L, H)]和[H, (H,L)]并不合理。以[H, (H,L)]为例，参与人A之所以选择H，是因为他相信如果自己选择了L，参与人B将选择H。但是很明显，参与人B的这一“威胁”并不可信。因为一旦参与人A真的选择了L，对参与人B来说，最有选择是L而不是H。策略组合[L, (L, H)]同样存在这一问题。只有[L, (L, L)]是唯一合理的均衡。
因此，Nash均衡不能剔除动态博弈中的不可信威胁。为了得到更为合理的均衡，我们需要更强的均衡概念。
（2）子博弈精炼（完备）均衡（Subgame Perfect Equilibrium）
定义：一个扩展式博弈的子博弈由单个决策结x和该决策结的所有后续结（包括终点结）组成，它不能切割原博弈的信息集。
图13.2中的博弈包含3个子博弈——原博弈本身以及由参与者B的两个决策结点开始的两个子博弈；而图13.1中的博弈仅包含1个子博弈，那就是原博弈本身。
