上海市杨浦高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
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第 1 页，共 16 页 上海市杨浦高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 复数满足2＋2z1－i＝iz，则z等于（ ）
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
2． 若当Rx时，函数||)(xaxf（0a且1a）始终满足1)(xf，则函数3||logxxya的图象大致是
（ ）
【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．
3． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．6103515++ B．610+35+14
C．6103515++ D．4103515++
第 2 页，共 16 页 【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
4． 复数ii3)1(2的值是（ ）
A．i4341 B．i4341 C．i5351 D．i5351
【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．
5． 已知函数()xefxx=，关于x的方程2()2()10fxafxa-+-=（aRÎ）有3个相异的实数根，则a的
取值范围是（ ）
A．21(,)21ee-+?- B．21(,)21ee--?- C．21(0,)21ee-- D．2121ee禳-镲睚-镲铪
【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．
6． 已知集合2|5,x|yx3,AyyxBAB（ ）
A．1, B．1,3 C．3,5 D．3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
7． 已知，[,]，则“||||”是“coscos||||”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
8． 底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥P-ABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（ ）
A．36π B．48π
C．60π D．72π
9． 已知2,0()2, 0axxxfxxx，若不等式(2)()fxfx对一切xR恒成立，则a的最大值为（ ）
A．716 B．916 C．12 D．14
10．已知集合，则( )
A
B 第 3 页，共 16 页 C
D
11．已知函数(5)2()e22()2xfxxfxaxfxx，若(2016)ef，则a（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
12．满足下列条件的函数)(xf中，)(xf为偶函数的是（ ）
A.()||xfex B.2()xxfee C.2(ln)lnfxx D.1(ln)fxxx
【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．如图所示，圆C中，弦AB的长度为4，则ABAC×的值为_______．
CAB
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．
14．函数)(xf（Rx）满足2)1(f且)(xf在R上的导数)('xf满足03)('xf，则不等式
1log3)(log33xxf的解集为 .
【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.
15．如图，已知m，n是异面直线，点A，Bm，且6AB；点C，Dn，且4CD.若M，N分
别是AC，BD的中点，22MN，则m与n所成角的余弦值是______________.
【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能第 4 页，共 16 页 力.
16．已知函数21,0()1,0xxfxxx，()21xgx，则((2))fg ， [()]fgx的值域为 ．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．设不等式的解集为.
（1）求集合；
（2）若，∈，试比较与的大小。
18．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为cossin2，曲线C的极坐标方程为2sin2cos(0)pp．
（1）设t为参数，若222xt，求直线l的参数方程；
（2）已知直线l与曲线C交于,PQ，设(2,4)M，且2||||||PQMPMQ，求实数p的值．
19．（本题满分15分）
设点P是椭圆14:221yxC上任意一点，过点P作椭圆的切线，与椭圆)1(14:22222ttytxC交于A，B两点． 第 5 页，共 16 页
（1）求证：PBPA；
（2）OAB的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
20．（本小题满分14分）
设函数2()1cosfxaxbxx，0,2x（其中a，bR）.
（1）若0a，12b，求()fx的单调区间；
（2）若0b，讨论函数()fx在0,2上零点的个数.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.
第 6 页，共 16 页 21．（本小题满分12分）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4xsin C＋6≥0对一切实数x恒
成立.
（1）求cos C的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的
形状.
【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.
22．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，，，...，，集合..。，，，，...，.
（1）当，时，用列举法表示集合；
（2）设、，..。，..。，其中、，，，...，.证明：若，则.
第 7 页，共 16 页 上海市杨浦高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】
【解析】解析：选D.法一：由2＋2z1－i＝iz得
2＋2z＝iz＋z，
即（1－i）z＝－2，
∴z＝－21－i＝－2（1＋i）2＝－1－i.
法二：设z＝a＋bi（a，b∈R），
∴2＋2（a＋bi）＝（1－i）i（a＋bi），
即2＋2a＋2bi＝a－b＋（a＋b）i，
∴2＋2a＝a－b2b＝a＋b，
∴a＝b＝－1，故z＝－1－i.
2． 【答案】C
【解析】由||)(xaxf始终满足1)(xf可知1a．由函数3||logxxya是奇函数，排除B；当)1,0(x时，0||logxa，此时0||log3xxya，排除A；当x时，0y，排除D，因此选C．
3． 【答案】C
【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE^平面ABCD，如图所示，所以此四棱锥表面积为1S=2610+2创?1123+245+2622创创?
6103515=++，故选C． 第 8 页，共 16 页 4646101011326EVDCBA
4．
【答案】C
【解析】iiiiiiiiii53511062)3)(3()3(2323)1(2．
5． 【答案】D 第 9 页，共 16 页 xyOe1 第Ⅱ卷（共90分）
6．
【答案】D
【解析】|5,|3|3,AyyBxyxxx3,5AB，故选D.
7． 【答案】A.
【解析】||||coscos||cos||cos，设()||cosfxxx，[,]x，
显然()fx是偶函数，且在[0,]上单调递增，故()fx在[,0]上单调递减，∴()()||||ff，故是充分必要条件，故选A.
8． 【答案】
【解析】选A.设球O的半径为R，矩形ABCD的长，宽分别为a，b，
则有a2＋b2＝4R2≥2ab，∴ab≤2R2，
又V四棱锥P－ABCD＝13S矩形ABCD·PO
＝13abR≤23R3.
∴23R3＝18，则R＝3，
∴球O的表面积为S＝4πR2＝36π，选A.
9． 【答案】C
【解析】解析： 当0a（如图1）、0a（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a时，如图3，直线2(2)yx与函数2yaxx图象相切时，916a，切点横坐标为83，函数2yaxx图象经过点(2,0)时，12a，观察图象可得12a，选C．
