运筹学 线性规划

运筹学中的线性规划算法运筹学是运筹学家在解决一些管理决策问题（通常是最优化问题）时开发出来的一类数学方法。

运筹学与现代计算机科学和算法理论密切相关。

这里我们主要讲述一种在运筹学中被广泛使用的算法——线性规划算法。

一、线性规划的定义及特点线性规划是运筹学中应用最广泛的一类优化问题，它是在一组线性等式和不等式的约束条件下，最小化或最大化某一线性函数的优化问题。

形式化地，一个线性规划（LP）问题可以表示为$$\begin{aligned}& \text{maximize } c^Tx \\& \text{subject to } Ax \le b \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \ge 0\end{aligned}$$其中 $c \in \mathbb{R}^n$ 和 $b \in \mathbb{R}^m$，矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$。

注意到这里的不等式约束均为“小于等于”形式，并且 $x$ 的每一个分量都不可以为负数。

线性规划具有如下重要特点：1. 线性规划问题必须有线性约束，即线性规划问题只考虑目标函数和约束条件都是线性函数的情况。

2. 一般情况下，线性规划问题的最优解必须满足最优性约束，即必须取到目标函数的最大（小）值的点必须满足所有的约束条件。

3. 线性规划问题的最优解只能出现在可行点集的顶点处，这样的点集被称为线性规划问题的基本可行解集。

二、线性规划求解的基本思路及方法线性规划求解的基本思路是：先将可行域化为一个凸多面体，找到其顶点（基本可行解集），然后逐一检查这些顶点，直到找到最优解。

线性规划算法有多种，常见的有单纯形法、内点法、分支定界法等。

其中最广泛应用的是单纯形法。

1. 单纯形法单纯形法是由美国运筹学家乔治·丹尼尔（George Dantzig）在20世纪40年代发明的。

其主要思想是：从一个初始可行点开始，对于不满足约束条件的变量（非基变量），通过一些变换（如高斯消元）寻找到下一个可行解（即将一个非基变量变成基变量），如果找到更优解，则继续上述寻找过程，直至无法找到更优解。

第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。

本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。

学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。

包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。

包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。

包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。

包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。

当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。

如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。

这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。

战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。

这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。

我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。

现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。

运筹学中的线性规划理论与应用线性规划是运筹学中的一种重要工具，被广泛应用于经济、管理、工程等领域。

它的核心思想是通过建立数学模型，以线性目标函数和线性约束条件为基础，以最优化为目标，找到最佳的决策方案。

在本文中，我将讨论线性规划的基本概念和理论，并介绍其在实际应用中的案例。

一、线性规划的基本概念和理论线性规划主要研究如何分配有限资源以达到最优化的利益。

在线性规划中，决策变量、目标函数和约束条件是构建数学模型的三个基本要素。

1. 决策变量决策变量是指在问题中需要做决策的变量，通常表示为一个向量。

例如，在生产计划中，决策变量可以表示为不同产品的生产数量。

2. 目标函数目标函数是指在线性规划中需要最大化或最小化的目标指标。

目标函数通常是由决策变量线性组合而成的。

3. 约束条件约束条件是指在线性规划中限制决策变量取值范围的条件。

约束条件通常是由一系列线性不等式或等式组成的。

在线性规划问题中，通过将目标函数和约束条件转化为数学表达式，可以建立一个数学模型。

这个模型可以通过一系列数学方法求解，以达到最优化的目标。

二、线性规划在实际应用中的案例线性规划在现代管理和决策中有着广泛的应用。

以下是几个典型的案例。

1. 生产计划在生产计划中，线性规划可以用于确定不同产品的生产数量，以最大化利润或满足市场需求。

2. 配送问题在物流配送中，线性规划可以用于合理安排不同配送点的货物数量和时间，以最小化配送成本。

3. 投资组合在金融领域，线性规划可以用于确定不同投资项目的投资比例，以最大化收益或降低风险。

4. 网络流问题在网络建设中，线性规划可以用于确定网络中各节点之间的流量分配，以最大化网络传输效率。

这些案例只是线性规划在实际应用中的冰山一角。

在现代运筹学和管理科学中，线性规划以其简单、有效和灵活的特点，成为了决策分析的重要工具。

总结：线性规划是运筹学中的一种重要工具，通过建立数学模型，以线性目标函数和约束条件为基础，以最优化为目标，解决实际决策问题。

运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。

其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。

一、线性规划线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。

在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。

其数学模型可以表示为：$\max c^Tx$$s.t. Ax \leq b,x\geq 0$其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。

如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解方法来确定决策变量的最优值。

线性规划的求解方法一般分为单纯形法和内点法两种方法。

单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的情况。

内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解在可行域内部，直到找到最优解为止。

这种方法对大规模问题求解能力强，使用较多。

二、整数规划整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。

整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。

与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。

因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。

分支定界是一种常用的整数规划求解方法。

它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。

割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。

总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。

第一章、 线性规划和单纯形法1.1 线性规划的概念一、线性规划问题的导出1．(引例) 配比问题——用浓度为45%和92%的硫酸配置100t 浓度为80%的硫酸。

取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t,则有： 求解二元一次方程组得解。

目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么情况？设取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有： ⎩⎨⎧⨯=++++=++++1008.092.085.073.045.03.01005432154321x x x x x x x x x x 请问有多少种配比方案？为什么？哪一种方案最好？假设5种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元/t ，则有：2.生产计划问题如何制定生产计划，使三种产品总利润最大？考虑问题：⎩⎨⎧⨯=+=+1008.092.045.01002121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⨯=++++=++++++++=5,,2,1,01008.092.085.073.045.03.0100..250019001400700400543215432154321 j x x x x x x x x x x x t s x x x x x MinZ j（1）何为生产计划？（2）总利润如何描述？（3）还要考虑什么因素？（4）有什么需要注意的地方（技巧）？（5）最终得到的数学模型是什么？二、线性规划的定义和数学描述（模型）1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。

2.配比问题和生产计划问题的线性规划模型的特点：用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为决策变量；存在一定的限制条件，且为线性表达式；有一个目标要求（最大化，当然也可以是最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数； 对决策变量有非负要求。