全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)
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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若AB=82，BC=16．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．
【答案】（1）4；（2）8
【解析】
【分析】
（1）过P点作PF∥AC交BC于F，由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出BP=CQ，根据PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，则可得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS证明△PFD≌△QCD，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；
（2）过点P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF为等腰三角形，可得BE=12BF，由（1）证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=12CF，即可得出BE+CD=8．
【详解】
解:（1）如图①，过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PFB，
∴BP=PF，
∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，
∴△PFD≌△QCD，
∴DF=CD=12CF，
又因P是AB的中点，PF∥AQ，
∴F是BC的中点，即FC=12BC=8，
∴CD=12CF=4；
（2）8BECD为定值．
如图②，点P在线段AB上，
过点P作PF∥AC交BC于F，
易知△PBF为等腰三角形，
∵PE⊥BF
∴BE=12BF
∵易得△PFD≌△QCD
∴CD=12CF
∴111182222BECDBFCFBFCFBC
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．
2．已知4ABcm，3ACBDcm.点P在AB上以1/cms的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为ts．
（1）如图①，ACAB，BDAB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1t时，ACP△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“ACAB，BDAB”为改“60CABDBA”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/xcms，是否存在实数x，使得ACP△与BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，11tx或232tx
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
【详解】
解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
APBQABACBP，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
34ttxt，
解得11tx，
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
34xttt，
解得232tx，
综上所述，存在11tx或232tx使得△ACP与△BPQ全等．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．
3．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为6,0、0,6，P为线段AB上的一点．
（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持AMON，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BDOP，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且PEABDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；
（2）作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；
【详解】
（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由如下：
如图1中，连接OP．
∵A、B坐标为（6，0）、（0，6），
∴OB=OA=6，∠AOB=90°，
∵P为AB的中点，
∴OP=12AB=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠PAM=45°，
∴∠OPA=90°，
在△PON和△PAM中，
ONAMPONPAMOPAP，
∴△PON≌△PAM（SAS），
∴PN=PM，∠OPN=∠APM，
∴∠NPM=∠OPA=90°，
∴PM⊥PN，PM=PN．
（2）结论：OD=AE．理由如下：
如图2中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．
∵BD⊥OP，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，
∴∠AOG=∠DBO，
∵OB=OA，
∴△DBO≌△GOA，
∴OD=AG，∠BDO=∠G，
∵∠BDO=∠PEA，
∴∠G=∠AEP，
在△PAE和△PAG中，
AEPGPAEPAGAPAP，
∴△PAE≌△PAG（AAS），
∴AE=AG，
∴OD=AE．
【点睛】
考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．如图，在ABC中，903, 7CACBC，，点D是BC边上的动点，连接AD，以AD为斜边在AD的下方作等腰直角三角形ADE．
（1）填空：ABC的面积等于 ；
（2）连接CE，求证：CE是ACB的平分线；
（3）点O在BC边上，且1CO， 当D从点O出发运动至点B停止时，求点E相应的运动路程．
【答案】（1）212；（2）证明见解析；（3）32
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；
（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分线的判定证明；
（3）由（2）可知点E在∠ACB的平分线上，当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=1()2ACCD，根据CD的长度计算出CE的长度即可．
【详解】
解：（1）903, 7CACBC，
∴112137222ABCSACBC，
故答案为：212
（2）连接CE，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，
∴∠EMA=∠END=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MEN=90°，
∴∠MED+∠DEN=90°，
∵△ADE是等腰直角三角形
∴∠AED=90°，AE=DE
∴∠AEM+∠MED=90°，
∴∠AEM=∠DEN
∴在△AEM与△DEN中，
∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE
∴△AEM≌△DEN（AAS）
∴ME=NE
∴点E在∠ACB的平分线上，
即CE是ACB的平分线
（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，
∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，
∵△AEM≌△DEN
∴AM=DN，
即AC-CM=CN-CD
在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，
∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）
∴CM=CN
∴CN=1()2ACCD，
又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，
∴CE=22()2CNACCD，
当AC=3，CD=CO=1时，
CE=2(31)222
当AC=3，CD=CB=7时，
CE=2(37)522
∴点E的运动路程为：522232，
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．
5．已知：在ABC中，,90ABACBAC，PQ为过点A的一条直线，分别过BC、两点作,BMPQCNPQ，垂足分别为MN、.
（1）如图①所示，当PQ与BC边有交点时，求证：MNCNBM；
（2）如图②所示，当PQ与BC边不相交时，请写出线段BMCN、和MN之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）MNBMCN（或BMMNCN或CNMNBM），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件先证AMBCNA≌，得到,AMCNBMAN，即可证得MNCNBM；（2）由（1）知AMBCNA≌，得到,AMCNBMAN，即可确定MNBMCN.
【详解】
证明：∵,BMPQCNPQ，
∴∠AMB=∠CAN=90,
∵∠BAC=90，
∴∠CAN+∠ACN=90，
