2020届北京市石景山区2017级高三下学期一模考试数学试卷无答案

2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}2．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．123．（5分）直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．44．（5分）设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+46．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．57．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．28．（5分）如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）若复数是纯虚数，则实数a的值为．10．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于．11．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=．12．（5分）如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=．13．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）14．（5分）已知．①当a=1时，f（x）=3，则x=；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．16．（12分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．17．（14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．18．（14分）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．19．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=+m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．20．（14分）已知集合R n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，a n）∈R n，B=（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A 与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|=．（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ）设集合P⊆R n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明．2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜），B={x|0≤x≤1}∴A∩B={x|0≤x＜}故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y 轴上的截距最大，z有最大值为10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．（5分）直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解答】解：圆ρ=1的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=1．直线转化成直角坐标方程为：x=．所以：圆心到直线x=的距离为．则：弦长l=2=．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．4．（5分）设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．5．（5分）我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+4【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的k，S的值，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1，k=1，S=x+1，满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=（x+1）x+2=x2+x+2满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=（x2+x+2）x+3=x3+x2+2x+3满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（x3+x2+2x+3）x+4=x4+x3+2x2+3x+4不满足条件k＜4，退出循环，输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．5【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；所以，S=×2×2=2，△ABCS△PAC=S△PBC=×1=，S△PAB=×2=；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．故选B．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题7．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x=1；∴F（1，2），；∴．故选C．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算．8．（5分）如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．【解答】解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x ﹣）×=﹣1；∴黑色菱形的面积S′=（x﹣）（﹣1）=（x﹣2）2，若m：n=47：25，则=，解可得x=12或x=（舍），所以，△ABC的边长是12；故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）若复数是纯虚数，则实数a的值为1．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a的值．【解答】解：∵复数==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．10．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于﹣2．【分析】由已知求得a2，且得到a n﹣1•a n=﹣2（n≥2），与原递推式两边作比可得（n≥2），即数列{a n}中的所有偶数项相等，由此求得a8的值．【解答】解：由a1=1，a n•a n+1=﹣2，得a2=﹣2，•a n=﹣2（n≥2），又a n﹣1∴（n≥2），∴数列{a n}中的所有偶数项相等，则a8=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．11．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=4．【分析】确定双曲线﹣y2=1的右顶点坐标，从而可得抛物线y2=2px的焦点坐标，由此可得结论．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右顶点坐标为（2，0），∵抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，∴=2，∴p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键．12．（5分）如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=﹣．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位，所得到y=sin[3（x+）+φ]=sin（3x++φ）的图象，若所得图象关于原点对称，则+φ=kπ，k∈Z，又﹣π＜φ＜0，∴φ=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．13．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是36．（用数字作答）【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．14．（5分）已知．①当a=1时，f（x）=3，则x=4；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=．【分析】①当a=1时，f（x）=3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值；②由f（x）=3，求得x=﹣1，或x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）=3，由此求得a的值．【解答】解：①x≥1，x﹣=3，可得x=4；x＜1，2﹣（x+）=3，即x2+x+4=0无解，故x=4；②由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x﹣=3，求得x=﹣1，或x=4．∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=﹣1，x3=4，x1 =﹣6，∴a≤﹣1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为﹣6，再根据f（﹣6）=2a+6+=3，求得a=，满足a≤﹣1．故答案为4，．【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2由余弦定理：cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．∴B=，且A∈（0，）．那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），∵A∈（0，）．∴，故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．16．（12分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，得出；（Ⅱ）根据X的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列；（Ⅲ）由甲种和乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率和频数，计算在1200个数据中应抽取的数据个数．【解答】解：（Ⅰ）由图（乙）知，10（a+0.02+0.03+0.025+0.015）=1，解得a=0.01，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，∴；（Ⅱ）X的所有可能取值1，2，3；则，，，其分布列如下：X123P（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2+3+4+5+6=20个，其中有4个数据在区间（0，10]内，又因为分层抽样共抽取了1200×5%=60个数据，乙种酸奶的数据共抽取60﹣20=40个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率为0.1，故乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内有40×0.1=4个．故抽取的60个数据，共有4+4=8个数据在区间（0，10]内．所以，在1200个数据中，在区间（0，10]内的数据有160个．【点评】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列问题，是综合题．17．（14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥PD．BC⊥DC，从而BC⊥面PDC，进而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能证明DE⊥面PBC．（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为PD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥PD．因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥DC．PD∩DC=D，所以BC⊥面PDC．DE⊂面PDC，DE⊥BC，在△PDC中，PD=DC，E为PC中点，所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，所以DE⊥面PBC．解：（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，其中，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（2，0，0），，，．设，则．DF⊥PB得，解得．所以．设平面FDA的法向量，则，令z=1得x=0，y=﹣3．平面FDA的法向量，平面BDA的法向量，，．二面角F﹣AD﹣B的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（14分）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出斜率f'（1）=1，然后求解切线方程．（Ⅱ）化简=．求出，令，解得x=1．判断函数的单调性求出极小值，推出结果．（Ⅲ）设h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），依题意，对于任意x＞1，h（x）＞0恒成立．，a≤1时，a＞1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．【解答】解：（Ⅰ），f'（1）=1，又f（1）=0，所以切线方程为y=x﹣1；（Ⅱ）证明：由题意知x＞0，令=．令，解得x=1．易知当x＞1时，g'（x）＞0，易知当0＜x＜1时，g'（x）＜0．即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，所以g（x）min=g（1）=0，g（x）≥g（1）=0即，即x＞0时，；（Ⅲ）设h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），依题意，对于任意x＞1，h（x）＞0恒成立．，a≤1时，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，满足题意．a＞1时，随x变化，h'（x），h（x）的变化情况如下表：x（1，a）a（a，+∞）h'（x）﹣0+h（x）↘极小值↗h（x）在（1，a）上单调递减，所以g（a）＜g（1）=0即当a＞1时，总存在g（a）＜0，不合题意．综上所述，实数a的最大值为1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=+m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e===，即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC丨及丨MN丨，丨BN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，即可求得B，N两点间距离是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，过点（0，1），则b=1，由椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段中点M（x0，y0），则，整理得：x2+2mx+2m2﹣2=0，由△=（2m）2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，解得：﹣＜m＜，则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则M（﹣m，m），丨AC丨=•=•=由l与x轴的交点N（﹣2m，0），则丨MN丨==，∴丨BN丨2=丨BM丨2+丨MN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，∴B，N两点间距离是否为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．20．（14分）已知集合R n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，a n）∈R n，B=（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A 与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|=．（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ）设集合P⊆R n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明．【分析】（Ⅰ）根据集合的定义，写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和，根据，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R2，d（A，B）max=2．（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，集合M中元素个数最大值为4．（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和．设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t i个1，m﹣t i个0，则由于（i=1，2，…，n）所以从而【点评】本题考查新定义，考查函数的最值，考查集合知识，难度大．。

2020年北京石景山区高三一模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第1题4分2017年天津河东区高三一模文科第1题5分2017年天津河东区高三一模理科第1题5分2016~2017学年北京海淀区中央民族大学附属中学高二下学期期末理科第1题5分设集合P={1,2,3,4}，Q={x||x|⩽3,x∈R}，则P∩Q等于（）．A. {1}B. {1,2,3}C. {3,4}D. {−3,−2,−1,0,1,2,3}2、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第2题4分在复平面内，复数5+6i，3−2i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）．A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i3、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第3题4分下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）．A. y=−x2+2B. y=2−xC. y=ln⁡xD. y=1x4、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第4题4分2019~2020学年黑龙江哈尔滨香坊区哈尔滨市第六中学高三上学期期中文科第9题5分2019~2020学年四川成都温江区成都实验外国语学校高二上学期段考文科（一）第10题5分2017~2018学年广东佛山禅城区佛山市第一中学高二上学期期中文科第2题5分2019~2020学年10月山东青岛市南区青岛第一中学高二上学期月考理科第3题5分圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（）．A. −43B. −34C. √3D. 25、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第5题4分将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种．A. 36 B. 64 C. 72 D. 816、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第6题4分如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）．A. 2B. 4C. 5D. 87、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第7题4分2017年河北唐山高三三模文科第8题5分2019~2020学年5月北京海淀区中国人民大学附属中学高一下学期月考第6题6分2020~2021学年北京西城区北京市第七中学高三上学期开学考试第8题5分2020年广东深圳福田区深圳明德实验学校高三二模理科第8题5分函数f(x)=cos⁡(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)满足（）．A. 在(0,π3)上单调递增B. 图象关于直线x=π6对称C. f(π3)=√32D. 当x=5π12时有最小值−18、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第8题4分设{a n}是等差数列，其前n项和为S n．则“S1+S3>2S2”是“{a n}为递增数列”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第9题4分2020~2021学年10月北京西城区西城外国语学校高三上学期月考第10题4分2020~2021学年10月北京西城区西城外国语学校高三上学期月考第10题4分设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R．使得f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2，则称函数f(x)具有性质P，那么下列函数：①f(x)={1x,x≠00,x=0；②f(x)=x2；③f(x)=|x2−1|；具有性质P的函数的个数为（）．A. 0B. 1C. 2D. 310、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第10题4分2019~2020学年四川成都金牛区成都市石室外语学校高一下学期期中理科第12题5分2019~2020学年6月江苏南京建邺区金陵中学河西分校高一下学期月考第10题5分点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，若PA1//面AMN，则PA1的长度范围是（）．A. [2,√5]B. [3√22,√5] C. [3√22,3] D. [2,3]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第11题5分2019~2020学年3月天津和平区天津市第一中学高一下学期周测B 卷第11题已知向量BA →=(12,√32)，BC →=(√32,12)，则∠ABC = ．12、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第12题5分已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且1a 1−1a 2=2a 3，则S 4= ．13、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第13题5分能够说明“设a ，b 是任意非零实数，若“a >b ，则1a <1b”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为 ．14、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第14题5分2020~2021学年北京石景山区高二上学期期末第15题4分2020~2021学年山西太原高二上学期期末理科第15题4分已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN |= ．15、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第15题5分石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是、．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第16题14分如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=PB=2√2，AC∩BD=O．(1) 求证：BO⊥面PAC．(2) 求二面角A−PC−B的余弦值．17、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第17题14分2020年，北京将实行新的高考方案．新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(1) 估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(2) 从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选”物理、化学、生物”的概率．(3) 从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量ξ={0两名男生选考方案不同1两名男生选考方案相同，求ξ的分布列和期望．18、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第18题14分已知锐角△ABC ，同时满足下列四个条件中的三个：①A =π3②a =13③c =15④sin⁡C =13(1) 请指出这三个条件，并说明理由．(2) 求△ABC 的面积．19、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第19题15分2020~2021学年北京石景山区高二上学期期末第20题10分2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期开学考试第19题已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为√22，直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(1) 求椭圆C 的方程．(2) 证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(3) 延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．20、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第20题14分2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期开学考试第20题已知函数f(x)=x2(x>0)，g(x)=aln⁡x(a>0)．(1) 若f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围．(2) 当a=1时，过f(x)上一点(1,1)作g(x)的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第21题14分2020~2021学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三上学期期中第21题2020~2021学年北京东城区北京市东直门中学高三上学期期中第21题2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期开学考试第21题有限个元素组成的集合A={a1,a2,⋯,a n}，n∈N∗，记集合A中的元素个数为card(A)，即card(A)=n．定义A+A={x+y|x∈A,y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card(A+A)，当card(A+A)=n(n+1)时，称集合A具有性质P．2(1) A={1,4,7}，B={2,4,8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由．(2) 设集合A={a1,a2,a3,2020}，a1<a2<a3<2020且a i∈N∗(i=1,2,3)，若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值．(3) 设集合A={a1,a2,⋯,a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i>0(i=1,2,⋯,n)且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 A;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;;11 、【答案】π612 、【答案】15;13 、【答案】2，−1，;14 、【答案】3;15 、【答案】小学;中级;16 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √3．3;17 、【答案】 (1) 392人．;(2) 8．15;(3) ξ的分布列为：Eξ=3．10;18 、【答案】 (1) △ABC同时满足①，②，③，证明见解析．;(2) 30√3．;+y2=1．19 、【答案】 (1) 椭圆方程为x22;(2) 证明见解析．;(3) 直线l的斜率为k=±√2．2;20 、【答案】 (1) 0<a<2e．;(2) 过点(1,1)可作出y=ln⁡x的2条切线．;21 、【答案】 (1) 集合A不具有性质P，集合B具有性质P，证明见解析．;(2) 6049．;(3) 集合A具有性质P，证明见解析．;。

2020年北京市石景山区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P=[−1,3]，Q={x||x−1|≤1}，则P∩Q=()A. [−1,0]B. [0,2]C. [−2,3]D. [−1,3]2.在复平面上，复数3−2i对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是()A. y=x3B. y=ln|x|C. y=x−2D. y=|log2x|4.直线x−y+1=0与圆x2+y2=1的关系是()A. 相切B. 相交但不过圆心C. 相离D. 相交且过圆心5.将4名志愿者全部分配到三个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的分配方案总数为()A. 18B. 24C. 36D. 726.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 2B. 83C. 6D. 87.设函数的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则()A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减C. f(x)在(0,π2)单调递增 D. f(x)在(π4,3π4)单调递增8.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=e x(x+1)，给出下列命题：①当x>0时，f(x)=e x(1−x)；②f(x)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)；③函数f(x)有2个零点；④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2，其中正确命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 410.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC1B1内(含边界)一点，若，则线段A1P长度的取值范围是()A. (√22,√52) B. [3√24,√52] C. [1,√52] D. [0,√52]二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量a⃗=(1,√3)，向量a⃗,c⃗的夹角是π3，a⃗·c⃗=2，则|c⃗|等于________．12.已知首项为1的正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=10，则S4a4−2=_______．13.由命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a,+∞)，则实数a=______ ．14.M是抛物线y2=8x上一点，F是抛物线的焦点，若|FM|=8，则∠xFM的大小为______．15.某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共用17名，无论是否把我算在内，下面是否都是对的，在这些医务人员中：医生不少于护士，女护士多于男医生，男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形且AD=2AB，侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E是AD中点．(1)证明：CE⊥平面PBE；(2)求二面角D−PC−B的余弦值．17.天津高考数学试卷共有8道选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，评分标准规定：“选对得5分，不选或选错得0分”.某考生已确定有4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断2个选项是错误的，有一道仅能判断1个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，求：(Ⅰ)该考生得40分的概率；(Ⅱ)写出该考生所得分数孝的分布列，并求：①该考生得多少分的可能性最大？②该考生所得分数ξ的数学期望⋅18.已知，△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A=π3；②cosB=−23；③a=7；④b=3．(Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由；(Ⅱ)求△ABC的面积．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．20.已知函数f(x)=x−lnx−1．(Ⅰ)求函数f(x)在x=2处的切线方程；(Ⅱ)若x∈(0,+∞)时，f(x)≥ax−2恒成立，求实数a的取值范围．21.已知首项为3的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，且−2S2，S3，4S4成等差数列．2(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对于数列{A n}，若存在一个区间M，均有A i∈M，(i=1,2，3…)，则称M为数列{A n}的“容，试求数列{b n}的“容值区间”长度的最小值．值区间”.设b n=S n+1Sn-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合P=[−1,3]，Q={x||x−1|≤1}={x|0≤x≤2}，∵P∩Q={x|0≤x≤2}=[0,2]．故选：B．先分别求出集合P，Q，由此能求出P∩Q．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接写出复数3−2i对应的点的坐标得答案．解：在复平面上，复数3−2i对应的点的坐标为(3,−2)，位于第四象限．故选：D．3.答案：B解析：本题考查函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，指数函数及其性质，对数函数及其性质．掌握奇偶函数的判定方法及常见函数的性质是解题的关键．解：A.y=x3为奇函数，故A错；B.y=ln|x|既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增，故B正确；C.y=x−2在(0,+∞)上是减函数，故C错；D.y=|log2x|，函数的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，不是偶函数，故D错．故选B．4.答案：B解析：本题主要考查了直线与圆位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道容易题．解：由圆的方程x2+y2=1，得圆心坐标为(0,0)，圆的半径r=1，圆心到直线x−y+1=0的距离为d=√1+1=√22<1=r，且d≠0所以直线与圆相交且不过圆心，故选B．5.答案：C解析：本题考查排列、组合的运用，为基础题．根据题意，分2步进行分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：首先把4名志愿者分为3组，则有一个组有2人，共有C42种分法，再把分好的3组分到不同的3个场馆，则有A33种分法，所以共有C42A33=36种分法．故选C．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积、几何体的三视图，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键.直观图如图所示，底面为梯形，面积为(1+2)×22=3，四棱锥的高为2，即可求出几何体的体积．解：直观图为四棱锥F−ABHI，如图所示：=3，四棱锥的高为2，底面为梯形，面积为(1+2)×22×3×2=2．∴几何体的体积为13故选A．7.答案：A解析：本题主要考查了辅助角公式以及三角函数的图象和性质，属于基础题．首先根据辅助角将其变成，根据函数周期求出ω，再结合其为偶函数，，再利用余弦函数的图象解答．求出φ=π4解：f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0)，且函数f(x)的最小正周期为π，=π，解得ω=2，∴2πω，∵f(−x)=f(x)，，即，，∴取k=0，可得，则f(x)=√2cos2x．)单调递减，则f(x)在(0,π2故选A．8.答案：C解析：【试题解析】本题考查充要性，以及数列，属于基础题．化简求解S3+S5>2S4，再判断充要性．解：∵等差数列{a n}的公差为d，S3+S5>2S4，∴S3+S4+a5>S3+a4+S4，∴a5−a4=d>0，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的充要条件，故选：C．9.答案：B解析：解：设x>0，则−x<0，故f(−x)=e−x(−x+1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，故f(−x)=−f(x)=e−x(−x+1)，所以f(x)=e−x(x−1)，故①错误；因为当x<0时，由f(x)=e x(x+1)>0，解得−1<x<0，当x>0时，由f(x)=e−x(x−1)>0，解得x>1，故f(x)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)，故②正确；令e x(x+1)=0可解得x=−1，当e−x(x−1)=0时，可解得x=1，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(0)=0，故函数的零点由3个，故③错误；④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2，正确，因为当x>0时f(x)=e−x(x−1)，图象过点(1,0)，又f′(x)=e−x(2−x)，可知当0<x<2时，f′(x)>0，当x>2时，，f′(x)<0，故函数在x=2处取到极大值f(2)=1，e2且当x趋向于0时，函数值趋向于−1，当当x趋向于+∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作出函数f(x)的图象，可得函数−1<f(x)<1，故有|f(x1)−f(x2)|<2成立．综上可得正确的命题为②④，故选B逐个验证：①为函数对称区间的解析式的求解；②为不等式的求解，分段来解，然后去并集即可；③涉及函数的零点，分段来解即可，注意原点；④实际上是求函数的取值范围，综合利用导数和极值以及特殊点，画出函数的图象可得范围．本题考查命题真假的判断，涉及函数性质的综合应用，属中档题．10.答案：B解析：本题考查点、线、面间的距离问题，线面平行，属中档题．分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN//平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，由此可解．解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN//BC1，EF//BC1，∴MN//EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN//平面AEF；∵AA1//NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N//AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N//平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN//平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P//平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M=√A1B12+B1M2=√52，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=√52，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O=√A1M2−OM2=3√24，A1M=A1N=√52，所以线段A1P长度的取值范围是[3√24,√5 2].故选B．11.答案：2解析：本题考查向量的坐标以及向量数量积的定义，由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．解：∵|a⃗|=√12+(√3)2=2又∵a⃗⋅c⃗=|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2即：2×|c⃗|×12=2∴|c⃗|=2故答案为2.12.答案：85解析：本题考查等比数列通项和求和，属于基础题．先求出公比q，再利用等比数列通项和求和化简求解即可．解：等比数列{a n}中，a1=1，a1+a3=10，由题意设公比为q(q>0)，故1+q²=10，解得q=3(q=−3舍去)，故S4a4−2=1−341−333−2=85．故答案为85．13.答案：1解析：解：存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m>0”，∴△=4−4m<0，∴m>1，m的取值范围为(1,+∞)．则a=1存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m> 0”，根据一元二次不等式解的讨论，可知△=4−4m<0，所以m>1，则a=1．考察了四种命题间的关系和二次函数的性质，属于常规题型．14.答案：60°解析：解：M是抛物线y2=8x上一点，F是抛物线的焦点，若|FM|=8，可得M(6,4√3).|FM|=8，则∠xFM的大小，可得cos∠xFM=6−28=12，则∠xFM的大小为：60°．故答案为：60°．求出抛物线中的M的坐标，然后求解∠xFM的大小．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．15.答案：女医生解析：解：设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有：①a+b≥c+d②c>a，③a>b④d≥2得出：c>a>b>d≥2，假设：d=2，仅有：a=5，b=4，c=6，d=2时符合条件，又因为使abcd中一个数减一人符合条件，只有b−1符合，即女医生．假设：d>2则没有能满足条件的情况．综上，这位说话的人是女医生．故答案为：女医生．设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论．本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．16.答案：解：(1)证明：∵侧面△PAD 是正三角形，E 是AD 中点，∴PE ⊥AD ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ， ∴PE ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥CE ， ∵底面ABCD 是矩形且AD =2AB ， ∴AE =DE =AB =CD ， ∴∠AEB =∠DEC =45°， ∴∠AEB +∠DEC =90°， ∴∠BEC =90°，∴BE ⊥CE ， ∵PE ∩BE =E ，∴CE ⊥平面PBE ．(2)解：以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系， 设AD =2AB =2，则点D(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，√3)，B(−1,1，0)， ∴PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)， 设平面PCB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 设平面PCD 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −√3c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,0,1)，设二面角D −PC −B 的平面角为θ，则θ为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为：cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−14．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PE ⊥AD ，从而PE ⊥底面ABCD ，PE ⊥CE ，AE =DE =AB =CD ，BE ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面PBE ．(2)以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −PC −B 的余弦值．17.答案：解：(Ⅰ)设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A ，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B ， “不能理解题意的”该题选对为事件C ， 则P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14， ∴该考生得40分的概率：P =[P(A)]2⋅P(B)⋅P(C)=14×13×14=148．(Ⅱ)①该考生所得分数ξ=20，25，30，35，40， P(ξ=20)=[P(A .)]2P(B .)P(C .)=14×23×34=648，P(ξ=25)=C 21P(A)P(A .)P(B .)P(C .)+[P(A .)]2P(B)P(C .)+[P(A .)]2P(B .)P(C .)=2×(12)2×23×34+14×13×34+14×23×14=1748，P(ξ=30)=[P(A)]2P(B .)P(C .)+C 21P(A .)P(A)P(B .)P(C)+[P(A .)]2P(B)P(C)=(12)2×23×34+2×12×12×23×14+2×12×12×13×34+(12)2×13×14=1748，P(ξ=35)=C 21P(A)P(A .)P(B)P(C)+[P(A)]2P(B .)P(C .)=2×12×12×13×14+(12)2×13×34+(12)2×23×14=748， P(ξ=40)=1−648−1748−1748−748=148，∴该考生得25分或30分的可能性最大． ②Eξ=20×648+25×1748+30×1748+35×748+40×148=33512．解析：(Ⅰ)设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A ，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B ，“不能理解题意的”该题选对为事件C ，则P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，由此能求出该考生得40分的概率．(Ⅱ)①该考生所得分数ξ=20，25，30，35，40，分别求出相应的概率，由此能求出该考生得25分或30分的可能性最大． ②由①能求出Eξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．18.答案：(Ⅰ)解：△ABC 同时满足①，③，④.理由如下：若△ABC 同时满足①，②．因为cosB =−23<−12，且B ∈(0,π)，所以B >23π． 所以A +B >π，矛盾．所以△ABC 只能同时满足③，④．因为a >b ，所以A >B ，故△ABC 不满足②． 故△ABC 满足①，③，④．(Ⅱ)解：因为a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以72=32+c 2−2×3×c ×12． 解得c =8，或c =−5(舍)．所以△ABC 的面积S =12bcsinA =6√3．解析：(Ⅰ)判断三角形的满足的条件，推出结果即可； (Ⅱ)利用余弦定理求出c ，利用面积公式求解△ABC 的面积．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3．因为a 2=b 2+c 2， 所以b =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形， 则 PA//MN ，且|PA|=|MN|． 所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)， 所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0， 由Δ>0，得 k 2>12，且x 1+x 2=−8√3k4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1．所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|， 所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112．经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得，f′(x)=1−1x ，∴f′(2)=1−12=12，f(2)=1−ln2，∴函数f(x)在x =2处的切线方程为：y −(1−ln2)=12(x −2) 即x −2y −ln4=0(Ⅱ)当x ∈(0,+∞)时，f(x)≥ax −2恒成立， ∴a ≤1+1x −lnx x ，令g(x)=1+1x −lnx x，则g′(x)=lnx−2x 2=0，即x =e 2，可得g(x)在(0,e 2)上单调递减，在(e 2,+∞)上单调递增， ∴g(x)min =g(e 2)=1−1e 2，即a ≤1−1e 2故实数a 的取值范围是(−∞,1−1e 2]．解析：(Ⅰ)求切线方程，关键是求斜率，也就是求f(x)在x =2时的导数，然后利用点斜式，问题得以解决；(Ⅱ)求参数的取值范围，转化为a ≤1+1x −lnx x，也就是求最值的问题，问题得以解决．本题综合考察函数的单调性、导数的应用以及恒成立问题，中等题．21.答案：解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，由−2S 2，S 3，4S 4成等差数列， 知2S 3=−2S 2+4S 4，即a 1+a 2+a 3=−(a 1+a 2)+2(a 1+a 2+a 3+a 4)， ∴a 4a 3=−12=q ，又a 1=32，∴a n =32⋅(−12)n−1；(2)由(1)可知S n =1−(−12)n ，当n 为偶数时，S n =1−(12)n ，易知S n 随n 增大而增大， ∴S n ∈[34,1)，此时b n =S n +1S n∈(2,2512]，当n 为奇数时，S n =1+(12)n ，易知S n 随n 增大而减小， ∴S n ∈(1,32]，此时b n =S n +1S n∈(2,136]，又136>2512，∴b n ∈(2,136]，故数列{b n }的“容值区间”长度的最小值为16．解析：本题考查等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，考查新定义的理解和运用，以及分类讨论的思想方法，注意运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)设等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，运用等差数列的中项的性质，以及等比数列的通项公式，解方程可得q ，即可得到所求通项公式；(2)运用等比数列的求和公式，讨论n 为偶数，n 为奇数，结合数列的单调性，以及“容值区间”的定义，即可得到所求区间的最小值．。