中考数学中二次函数压轴题四边形

1.小明一直对四边形很感兴趣，在矩形ABCD中，E是AC上任意一点，连接DE，作DE⊥EF，交AB于点F．请你跟着他一起解决下列问题
（1）如图①，若AB=BC，则DE，EF有什么数量关系？请给出证明．
（2）如图②，若∠CAB=30°，则DE，EF又有什么数量关系？请给出证明．（3）由（1）、（2）这两种特殊情况，小明提出问题：如果在矩形ABCD中，B C=mAB，那DE，EF有什么数量关系？请给出证明．
2、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，经过A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点；
（1）求二次函数解析式；
（2）点D是二次函数图像上一点，且满足∠BDA=∠CAO,求D点坐标；
（3）点P是二次函数图像上位于第一象限上一个动点，连接PA分别交BC，y轴与点E，F，若△PEB，△CEF的面积分别为S1,S2,求S1-S2的最大值；。

中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积； 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值； 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形； 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形； 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ； 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ； 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标； 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450； 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ； 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标； 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。

二次函数与几何综合压轴题几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。

1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =−++的图象与x 轴相交于点A 和点()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P ，对称轴与x 轴交于点Q ，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M ，使得△AMB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴的交点分别为A 和()10B ,（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P 作x 轴平行线交AC 于点E ，过点P 作y 轴平行线交x 轴于点D ，求PE PD +的最大值及点P 的坐标；(3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P ，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点N 的坐标．3．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，()3,0B 两点，交y 轴于点()0,3C −．点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为()1,4−时，求四边形BACP 的面积；(3)当动点P 在直线BC 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点D 是抛物线的顶点，过点D 作直线DH y ∥轴，交x 轴于点H ，当点P 在第二象限时，作直线PA ，PB 分别与直线DH 交于点G 和点I ，求证：点D 是线段IG 的中点．4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()30A −,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()10A −，，B 两点，与y 轴相交于点()03C −，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，PBC 的面积与ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在（2）的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ′，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P ′恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P ′的坐标；如果不存在，请说明理由．6．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c ++过点()()()1,0,3,,00,3A B C −．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a ++≠经过点(1,0)A −和(0,3)B ，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN MN +有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．8．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B −两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．9．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C −两点．与y 轴交于点()0,2A −．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线212y x bx c =−++与x 轴交于,(4,0)A B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC ．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标； (3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=°，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE QF +的最小值为m ． ①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =−，请直接写出k 的取值范围．11．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线21:28=−−C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．12．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线24y ax bx ++与x 轴相交于点 1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PAPC的值； (3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．且与直线:1l y x =−−交于D E 、两点（点D 在点E 的右侧），点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．15．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点()0,6B −，抛物线经过点A ，B ，且对称轴是直线1x =．(1)求直线l 的解析式； (2)求抛物线的解析式；(3)点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交直线l 于点D ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ．求PM 的最大值及此时P 点的坐标．16．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线()210y ax bx a +−≠与x 轴交于点 1,0A 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥轴，过点D 作DE CD ⊥，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点Q ，当57BQ PQ =时．求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得DEF ACD BED ∠=∠+∠？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数25y ax x c =−+的图像与x 轴交于()4,0A −，(),0B b 两点，与y 轴交于点()0,4C −．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E ′是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E ′不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E ′，线段AE 的对应线段为A E ′′，连接E C ′，A A ′，A A ′的延长线交直线E C ′于点N ，求AA CN′的值．19．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于点()10A −，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点N ，若QM BM =，且4tan 3MBN ∠=，请直接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求PAB 面积．20．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx ++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A −，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．21．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线28y ax bx ++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．23．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，求出点F 的坐标； (3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？25．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点(4,0)A −，(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C −．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求k 的值； (3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点D ，与抛物线的交点分别是E ，F ，直线BC 交EF 于点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若DF HG=F 的坐标．26．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线2y bx c ++交x 轴于点()1,0A −和B ，交y 轴于点(C ，顶点为D ．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且60EFG ∠=°，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线253y ax x c =++经过点()3,1，与y 轴交于点()0,5B ，点E 为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线243y x =−与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ，过点E 作直线EF x ⊥轴，交AD 于点F ，连接BE ．当BE DF =时，求点E 的横坐标．(3)如图2，点N 为x 轴正半轴上一点，OE 与BN 交于点M ．若OE BN =，3tan 4BME ∠=，求点E 的坐标．28．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()4,0A −，()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标是()42m m −<<，过点D 作直线DE x ⊥轴，垂足为点E ，交直线AC 于点F ．当D ，E ，F 三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF 的长；(3)若点P 是抛物线上的一个动点（点P 不与顶点重合），点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 在坐标平面内，当四边形CMPN 是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P 的横坐标．。

精选中考二次函数压轴题（含答案）1．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EFBC；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=AC 与直线x =4(第2(图1) (图交于点E ．（1）求以直线x =4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E ；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．5．（2010湖南邵阳）如图，抛物线y ＝2134x x -++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为点D ，对称轴l 与直线BC 相交于点E ，与x 轴交于点F 。

二次函數與四邊形綜合專題一．二次函數與四邊形的形狀例1. 如圖，拋物線223y x x=--與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．（1）求A、B 兩點的坐標及直線AC的函數表達式；（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E 點，求線段PE長度的最大值；（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G 這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．解：（1）令y=0，解得11x=-或23x=∴A（-1，0）B（3，0）；將C點的橫坐標x=2代入223y x x=--得y=-3，∴C（2，-3）∴直線AC的函數解析式是y=-x-1（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2）則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），E（2(,23)x x x--∵P點在E點的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x-----=-++AGAGGAGAGGAFFFFAFAF∴當12x =時，PE 的最大值=94（3）存在4個這樣的點F，分別是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F -練習1.如圖，對稱軸為直線72x =的拋物線經過點A （6，0）和B （0，4）．（1）求拋物線解析式及頂點坐標；（2）設點E （x ，y ）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF 是以OA 為對角線的平行四邊形．求平行四邊形OEAF 的面積S 與x 之間的函數關系式，并寫出自變量x 的取值范圍；①當平行四邊形OEAF 的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF 是否為菱形？②是否存在點E ，使平行四邊形OEAF 為正方形？若存在，求出點E 的坐標；若不存在，請說明理由．GAGGAGAGGAFFFFAFAF練習 1.解：（1）由拋物線的對稱軸是72x =，可設解析式為27()2y a x k =-+．把A 、B 兩點坐標代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==-故拋物線解析式為22725()326y x =--，頂點為725(,).26-（2）∵點(,)E x y 22725()326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示點E 離．∵OA 是OEAF 的對角線，∴2172264(2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因為拋物線與x 軸的兩個交點是（1，0）的（6，0），所以，自變量x 的取值范圍是1＜x ＜6．①根據題意，當S = 24時，即274()25242x --+=．化簡，得271().24x -= 解之，得123, 4.x x ==故所求的點E 有兩個，分別為E 1（3，－4），E 2（4，－4）．點E 1（3，－4）滿足OE = AE ，所以OEAF 是菱形；GAGGAGAGGAFFFFAFAF點E 2（4，－4）不滿足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形．②當OA ⊥EF ，且OA = EF 時，OEAF是正方形，此時點E 的坐標只能是（3，－3）．而坐標為（3，－3）的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E ，使OEAF 為正方形．練習2.如圖，已知與x 軸交于點(10)A ，和(50)B ，的拋物線1l 的頂點為(34)C ，，拋物線2l 與1l 關于x 軸對稱，頂點為C '． （1）求拋物線2l 的函數關系式；（2）已知原點O ，定點(04)D ，，2l 上的點P 與1l 上的點P '始終關于x 軸對稱，則當點P 運動到何處時，以點D O P P '，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？（3）在2l 上是否存在點M ，使ABM △是以AB 為斜邊且一個角為30的直角三角形？若存，求出點MGAGGAGAGGAFFFFAFAF練習3. 如圖，已知拋物線1C 與坐標軸的交點依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求拋物線1C 關于原點對稱的拋物線2C 的解析式；（2）設拋物線1C 的頂點為M ，拋物線2C 與x 軸分別交于C D ，兩點（點C 在點D 的左側），頂點為N ，四邊形MDNA 的面積為S ．若點A ，點D 同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點M ，點N 同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點A 與點D 重合為止．求出四邊形MDNA 的面積S 與運動時間t 之間的關系式，并寫出自變量t 的取值范圍；（3）當t 為何值時，四邊形MDNA 的面積S 有最大值，并求出此最大值； （4）在運動過程中，四邊形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此時t 的值；若不能，請說明理由．二．二次函數與四邊形的面積例1.如圖10，已知拋物線P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE 在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下：x …-3-212…y…-52-4-520…(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍.練習1.如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標為（－圖10GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF8，0），點N 的坐標為（－6，－4）．（1）畫出直角梯形OMNH 繞點O 旋轉180°的圖形OABC ，并寫出頂點A ，B ，C 的坐標（點M 的對應點為A ， 點N 的對應點為B ， 點H 的對應點為C ）；（2）求出過A ，B ，C 三點的拋物線的表達式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分別在線段CO ，OA ，AB 上，求四邊形BEFG 的面積S 與m 之間的函數關系式，并寫出自變量m 的取值范圍；面積S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情況下，四邊形BEFG 是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接寫出此時m 的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由．練習2.如圖，正方形ABCD 的邊長為2cm ，在對稱中心O 處有一釘子．動點P ，Q 同時從點A 出發，點P 沿A B C →→方B C P O DQ A BP CODQ Ay32 1 O1 2 xGAGGAGAGGAFFFFAFAF向以每秒2cm 的速度運動，到點C 停止，點Q 沿A D 方向以每秒1cm 的速度運動，到點D 停止．P ，Q 兩點用一條可伸縮的細橡皮筋聯結，設x 秒后橡皮筋掃過的面積為2cm y ．（1）當01x ≤≤時，求y 與x 之間的函數關系式； （2）當橡皮筋剛好觸及釘子時，求x 值；（3）當12x ≤≤時，求y 與x 之間的函數關系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子到運動停止時POQ ∠的變化范圍；（4）當02x ≤≤時，請在給出的直角坐標系中畫出y 與x 之間的函數圖象．練習3. 如圖，已知拋物線l 1：y =x 2-4的圖象與x 軸相交于A 、C 兩點，B 是拋物線l 1上的動點(B 不與A 、C 重合)，拋物線l 2與l 1關于x 軸對稱，以AC 為對角線的平行四邊形ABCD 的第四個頂點為D . (1) 求l 2的解析式；(2) 求證：點D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共部分的面積(若只有一個矩形符合條件，則求此矩形的面積)；如果不能為矩形，請說明理由. 注：計算結果不取近似值.三．二次函數與四邊形的動態探究例1.如圖1，在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE 沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．例2. 已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；图2图1（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．例3. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S'表示矩形NFQC的面积．（1）S与S'相等吗？请说明理由．（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S 有最大值，最大值是多少？GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF（3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE 是等腰三角形．练习1.如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．xN MQ PHGFEDCBA图QPN M HGFED CBA图GAGGAGAGGAFFFFAFAF练习2. 实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：x图1x图2x图3)x图4GAGGAGAGGAFFFFAFAF无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f，，，之间的等量关系为 （不必证明）； 运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c=---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．参考答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）； 将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1GAGGAGAGGAFFFFAFAF（2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x xx --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x xx x x -----=-++∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F -练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==-故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 22725(326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线，∴2172264(2522OAE S S OA yy ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的取值范围是1＜x ＜6．①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -= 解之，得123, 4.x x ==x 故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），点E1（3，－4）满足OE = AE，所以OEAF点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以OEAF②当OA⊥EF，且OA = EF时，OEAF③坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使OEAF为正方形．练习 2.解：（1）由题意知点C'的坐标为(34)-，．设2l的函数关系式为2(3)4y a x=--．又点(10)A，在抛物线2(3)4y a x=--上，2(13)40a∴--=，解得1a=．∴抛物线2l的函数关系式为2(3)4y x=--（或265y x x=-+）．（2）P与P'始终关于x轴对称，PP'∴与设点P的横坐标为m，则其纵坐标为2m-4OD=，22654m m∴-+=，即2652m m-+=±2652m m-+=时，解得3m=±265m m-+=解得3m=．∴当点P运动到(3-或(3+GAGGAGAGGAFFFFAFAF或(322)--，或(322)+-，时，P P OD '∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形． （3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠=，30BAM ∠=（或30ABM ∠=），114222BM AB ∴==⨯=． 过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =．∴点M 的坐标为(43)-，． 但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．练习 3. 解（1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，． 所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-．（2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．GAGGAGAGGAFFFFAFAF过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADNS S =△．所以，四边形MDNA的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．（3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）．所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222ODON OH NH ==+． 所以22420tt +-=．解之得1222t t ==，（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时2t =．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

专题10平行四边形的存在性问题_、知识导航考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：(1) 对应边平行且相等；(2) 对角线互相平分.这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:(1)对边平行且相等可转化为:x A -x B =x D - x cy A -y B = yD-y c可以理解为点B 移动到点A,点。

移动到点O,移动路径完全相同.(2)对角线互相平分转化为：\ z 乙，、2 一 2可以理解为AC 的中点也是BQ 的中点.D【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一:X A~X B =X D~ X C -y B = yD-y c + x c = + X by A + % = % + 为x A +x c ^x B +x D2 _ 2 \X A +X C=X B +X D总 + % 二 % + 北 U a + %=% + %、2 — 2当AC 和BQ 为对角线时，结果可简记为：A+C = B + D (各个点对应的横纵坐标相加)以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系 中的4个点A 、B 、。

、D 满足"A+O8+ZT,则四边形ABCQ 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCQ 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化, 故存在反例.虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：(1) 四边形A8CQ 是平行四边形：AC. BQ 一定是对角线.(2) 以A 、B 、。

、。

四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论.平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.1.三定一动已知A (1, 2) B (5, 3) C (3, 5),在坐标系内确定点。

使得以A 、B 、。

、。

四个点为顶点的四边形是 平行四边形.思路1:利用对角线互相平分，分类讨论：设。

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型）题型一：二次函数与平行四边形存在性问题例1．（2023•泽州县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C 两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数与矩形存在性问题例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．题型三: 二次函数与菱形存在性问题例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B （4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当√5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和√5PD+PE的最大值；（3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．题型四: 二次函数与正方形存在性问题例4．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）．（1）求c的值；（2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形ABCD．①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值；②当点C在抛物线上时，求m的值；③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围．一．解答题（共20小题）1．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．2．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式及点C的坐标．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥CD，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．3．（2023•武清区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由；（3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．4．（2023春•承德县月考）已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m（0＜m＜8），当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？5．（2023春•梅江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，其中OA＝1，OC＝3．（1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得P A+PC最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．（3）在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．6．（2022秋•云州区期末）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过x轴上的点A（6，0）和y轴上的点B，且对称轴为直线x=7 2．（1）求二次函数的解析式．（2）点E位于抛物线第四象限内的图象上，以OE，AE为边作平行四边形OEAF，当平行四边形OEAF 为菱形时，求点F的坐标与菱形OEAF的面积．（3）连接AB，在直线AB上是否存在一点P，使得△AOP与△AOB相似，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春•开福区校级月考）【定义】对于函数图象上的任意一点P（x，y），我们把x+y称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼值”．根据定义回答问题：（1）①点P（9，10）的“雅和”为；（直接写出答案）②一次函数y＝3x+2（﹣1≤x≤3）的“礼值”为；（直接写出答案）（2）二次函数y＝x2﹣bx+c（bc≠0）（3≤x≤5）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“雅和”相等，若此二次函数的“礼值”为1﹣b，求b，c的值；（3）如图所示，二次函数y＝x2﹣px+q的图象顶点在“雅和”为0的一次函数的图象上，四边形OABC 是矩形，点B的坐标为（5，﹣3），点O为坐标原点，点C在x轴上，当二次函数y＝x2﹣px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023春•无锡月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象分别与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点B作BC的垂线交对称轴于点M，以BM、BC为邻边作矩形BMNC．（1）求A、B的坐标；（2）当点N恰好落在函数图象上时，求二次函数的表达式；（3）作点N关于MC的对称点N'，则点N'能否落在函数图象的对称轴上，若能，请求出二次函数的表达式；若不能，请说明理由．9．（2022秋•开福区校级期末）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝1，则BC＝；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC，为直径，AP＝2，PC＝8，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣2，0），C（1，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为6√3，若二次函数y＝ax2+bx+c （a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．10．（2022秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣2，3）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若O（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣2，2），B（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有3个公共点时，直接写出n的取值范围．11．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=3 4．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−b a，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”．12．（2023春•南关区月考）已知抛物线y=−12x2+bx+c（b、c是常数）的顶点B坐标为（﹣1，2），抛物线的对称轴为直线l，点A为抛物线与x轴的右交点，作直线AB．点P是抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．（1）b＝，c＝．（2）当点Q在线段AB上（点Q不与A、B重合）时，求PQ的长度d与m的函数关系式，并直接写出d的最大值．（3）当抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标．13．（2023春•南关区校级月考）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点A （﹣1，0）和点B （3，0）．点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为m ． （1）求b 、c 的值；（2）当△P AB 的面积为8时，求m 的值；（3）当点P 在点A 的右侧时，抛物线在点P 与点A 之间的部分（包含端点）记为图象G ，设G 的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，求h 与m 之间的函数关系式；（4）点Q 的横坐标为1﹣3m ，纵坐标为m +1，以PQ 为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．14．（2023•九台区校级一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2ax ﹣a （a 为常数）． （1）若点（2，﹣1）在抛物线上． ①求抛物线的表达式；②当x 为何值时y 随x 的增大而减小？（2）若x ≤2a ，当抛物线的最低点到x 轴的距离恰好是1时，求a 的值；（3）已知A （﹣1，1）、B(−1，2a −12)，连结AB ．当抛物线与线段AB 有交点时，该交点为P （点P 不与A 、B 重合），将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，以PM 、P A 为邻边构造矩形PMQA ．当抛物线在矩形PMQA 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为32时，直接写出a 的值．15．（2023•靖江市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+32，以PQ、QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时．直接写出m的取值范围．16．（2022秋•临朐县期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C 在x轴的负半轴，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝2，且过点O，A．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）若在线段OA上方的抛物线上有一点P，求△P AO面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）若把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．17．（2023•道外区一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A （﹣4，0），点C（0，6），与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第一象限抛物线上一点，连接AD，BD，设点D的横坐标为t，△ABD的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，连接P A交y轴于点E，点F在线段BC上，点G在直线AD上，若tan∠BAD=12，四边形BEFG为菱形，求点P的坐标．18．（2023春•九龙坡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴于点C，连接BC，D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点G，求PE+PG的最大值，以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y=12x2+bx+c沿射线CB方向平移，平移后的图象经过点H（2，﹣1），点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．19．（2023•安徽一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y =−14x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0），点D 的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）若点F 为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD 面积的最大值；（3）如图2，将抛物线C 1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C 2，M 为抛物线C 2上一动点，N 为平面内一动点，问是否存在这样的点M 、N ，使得四边形DMCN 为菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023•九台区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点（﹣2，﹣1），点（1，2）．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （m ≠0）．以点A 为中心，构造正方形POMN ，PQ ＝2|m |，且PQ ⊥x 轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴右侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接BC ．当BC ＝6时，求点B 的坐标；（3）若m ＜0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m 的值．。

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上方的抛物线上一点，求△DCA面积的最大值，以及△DCA面积取得最大值时，点D的坐标；（3）点P是直线AC上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．3．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y ＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F 的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC 周长最小，直接写出P，Q的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标；（2）在二次函数的图象位于x轴上方的部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过点M、N作x轴的垂线，分别交x轴于点H、G．①当四边形MNGH为正方形时，求MN的长；②当四边形MNGH为矩形时，求矩形MNGH周长的最大值．7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，同时有一动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△OPM是直角三角形？8．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；（2）直线ME与BC交于点N，点P为直线BC上方抛物线上一点，在直线BC上是否存在一点Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；（3）点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C 是直角三角形时，直接写出点F的坐标．10．如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，与x轴交于另一点A，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过E作EF∥y轴交x轴于点F，交直线BC于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段EM的最大值；（3）在（2）的条件下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求出该抛物线的解析式；（2）点D为抛物线在第四象限内图象上一个动点，设点D的横坐标求为x，四边形ABDC的面积为y1．①求四边形ABDC的面积y1关于x的解析式；②求出使得四边形ABDC的面积y1最大的点D的坐标；（3）在抛物线y＝ax2+bx+c上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．12．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）13．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由．14．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MO M′C，那么是否存在点M，使四边形MO M′C为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积．17．如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2，平移抛物线y＝x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．19．如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．（1）a0，b2﹣4ac0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标；（2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P 的坐标，然后根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE 面积S的最大值；（3）根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性质可以求得点Q的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，∴，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，，得，∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），∴设点P的坐标为（p，2p+6），＝＝﹣（p+）2+，∴S△P AE∵﹣3＜p＜﹣1，取得最大值，此时S△P AE＝，∴当p＝﹣时，S△P AE即△PAE面积S的最大值是；（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，∴OA＝PQ，∵点A（﹣3，0），∴OA＝3，∴PQ＝3，∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），∴，解得，或（舍去），当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．2．【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，得，即可求解；（2）过点D作DE∥x轴交x轴于点F，交直线AC于点E，设点D坐标为（m，﹣m2+m ﹣2），求直线AC的关系式为：y＝x﹣2，利用平行的性质点E的坐标可表示为（m，m﹣2），用m的代数式表示出DE＝﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，△DCA面积＝×4（﹣m2+2m），利用函数来讨论最值问题，即可求解；（3）存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m﹣2），①如图，点Q在x轴上方，利用平行知识表示出P点坐标为（m﹣1，﹣m2+m﹣4），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m﹣1）﹣2＝﹣m2+m﹣4，解得m＝1或3（1舍去），即可求解；②如图，点Q在x 轴下方，利用平行知识表示出P点坐标为（m+1，﹣m2+m），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m+1）﹣2＝﹣m2+m，解得m＝2±，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，∴，解得：，∴此抛物线的解析式：y＝﹣x2+x﹣2；（2）过点D作DE∥x轴交x轴于点F，交直线AC于点E，设点D坐标为（m，﹣m2+m﹣2），设直线AC关系式为：y＝px+q，把A（4，0）和C（0，﹣2）代入，得，∴，直线AC的关系式为：y＝x﹣2，∴点E的坐标可表示为（m，m﹣2），∴DE＝﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，+S△CDE∴△DCA面积S＝S△ADE＝DE•AF+DE•OF＝ED•AO＝×4（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，△DCA的面积最大，最大面积为4，此时点D坐标为（2，1）；（3）存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m﹣2），①如图，点Q在x轴上方，∵BC∥PQ，从B，C坐标可得B点向左平移个单位，再向下平移2个单位得到点C，∴点Q向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，∴P点坐标为（m﹣1，﹣m2+m﹣4），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m﹣1）﹣2＝﹣m2+m﹣4，∴m＝1或3（1舍去），此时点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）；②如图，点Q在x轴下方，∵BC∥PQ，从B，C坐标可得C点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点C，∴点Q向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，∴P点坐标为（m+1，﹣m2+m），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m+1）﹣2＝﹣m2+m，∴m＝2±，此时点Q坐标为（2+，），点P坐标为（3+，）或点Q坐标为（2﹣，），点P坐标为（3﹣，）．∴点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）或点Q坐标为（2+，），点P坐标为（3+，）或点Q坐标为（2﹣，），点P坐标为（3﹣，）．3．【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a （x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），进而得出PE＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质可得：当m＝﹣时，PE有最大值，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，＝PF•EF＝PE2，∴S△PEF∴当m＝﹣时，S＝×（）2＝；△PEF最大值（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．4．【分析】（1）令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，可得A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，可得C（0，﹣8）；（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，根据题意得E（m，m2+2m ﹣8），D（m，﹣2m﹣8），即可得出DE＝﹣m2﹣4m，利用△ACO∽△DOF，建立方程求解即可；（3）分三种情况：CM为对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，可得出N（﹣1，﹣6），根据CM＝PN＝CN＝，即可求出答案；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），建立方程求解即可；③当CM为对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），根据N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，即可求得答案．【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8）；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，∵直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，∴E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m，设DE交x轴于点F，则F（m，），∴OF＝﹣m，∴AF＝m﹣（﹣4）＝m+4，DF＝2m+8，∵OD⊥AC，EF⊥OA，∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，∴∠DOF＝∠OCD，∴△ACO∽△DOF，∴＝，∴OC•DF＝OA•OF，∴8（2m+8）＝4（﹣m），解得：m＝﹣，∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣）2﹣4×（﹣）＝；（3）存在，如图2，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：CM为对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，﹣6），CN＝＝，∴CM＝PN＝，∴M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣）；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，解得：a＝，∴M3（0，﹣），③当CM为对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，∴M4（0，﹣12），综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．5．【分析】（1）求出B （2，﹣1），A （4，0），再将点O 、点A 、点B 代入抛物线y ＝ax 2+bx +c ，即可求解解析式；（2）①设F （2，m ），G （x ，x 2﹣x ），由已知可得（x ﹣2）2+＝，整理得到m （m ﹣x 2+2x ）＝0，因为任意一点G 到定点F 的距离与点G 到直线y ＝﹣2的距离总相等，所以m ＝0，即可求F 坐标；②设过点F 的直线解析式为y ＝kx ﹣2k ，M （x M ，y M ），N （x N ，y N ），联立直线与抛物线解析式得x 2﹣（4+4k ）x +8k＝0，则有x M +x N ＝4+4k ，x M •x N ＝8k ，y M +y N ＝4k 2，y M •y N ＝﹣4k 2，由①可得+＝+＝1；（3）作B 点关于y 轴的对称点B '，作C 点关于x 轴的对称点C '，连接C 'B '交x 轴、y 轴分别于点P、Q，四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，求出B'（﹣2，﹣1），C'（3，），可得直线B'C'的解析为y＝x﹣，则可求Q（0，﹣），P（，0）．【解答】解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），∴B（2，﹣1），∴A（4，0），将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2+bx+c，得到，解得，∴y＝x2﹣x；（2）①设F（2，m），G（x，y），∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|，∴（y+2）2＝y2+4y+4，∵y＝x2﹣x，∴（y+2）2＝y2+4y+4＝y2+x2﹣4x+4＝y2+（x﹣2）2，∴G到直线y＝﹣2的距离与点（2，0）和G点的距离相等，∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等，∴（x﹣2）2+＝，整理得，m（m﹣x2+2x）＝0，∵距离总相等，∴m＝0，∴F（2，0）；②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（x M，y M），N（x N，y N），联立，整理得x2﹣（4+4k）x+8k＝0，∴x M+x N＝4+4k，x M•x N＝8k，∴y M+y N＝4k2，y M•y N＝﹣4k2，∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，∴+＝+＝＝＝1，∴+＝1是定值；（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，∵点C（3，m）是该抛物线上的一点∴C（3，﹣），∵B（2，﹣1），∴B'（﹣2，﹣1），C'（3，），∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，∴Q（0，﹣），P（，0）．6．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等，进而求解；②当四边形MNGH为矩形时，由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，即可求解．【解答】解：（1）由题意抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点，则，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点A（1，4）；（2）设点M坐标为M（m，﹣m2+2m+3）（m＞0），①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等．由（1）得抛物线的对称轴为直线x＝1，则点N的横坐标为2﹣m，∴点N坐标为（2﹣m，﹣m2+2m+3），∴MN＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，∵MN＝MH，∴2m﹣2＝﹣m2+2m+3，解得：或（舍去），∴；②当四边形MNGH为矩形时，由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，∴当m＝2时，矩形MNGH周长的最大值为10．7．【分析】（1）根据点O，A的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的解析式，再将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，即可得出顶点B的坐标；＝S△ABO （2）当运动时间为t时，结合点P，M的运动速度可得出0≤t≤3，由S四边形ABPM 可得出四边形ABPM的面积关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可﹣S△POM解决最值问题；（3）当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形①当∠OPM＝90°时，由∠BOA＝60°，∠PMO＝30°，则OM＝2OP，即t＝6﹣2t，即可求解②当∠OMP＝90°时同理可解．【解答】解：（1）将O（0，0），A（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x．∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，∴顶点B的坐标为（3，3）．（2）当运动时间为t时，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，OM＝6﹣2t．∵当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动，∴0≤t≤3．＝S△ABO﹣S△PO＝•OA•y B﹣•OM•PC＝×6×3﹣×（6﹣2t）×则S四边形ABPMt＝（t﹣）2+．∵＞0，∴当t＝时，四边形ABPM的面积取最小值，最小值为；（3）设直线OB的解析式为y＝kx，将B（3，3）代入y＝kx，得：3＝3k，解得：k＝，∴直线OB的解析式为y＝x．过点P作PC⊥x轴于点C，如图所示．设点P的坐标为（x，x），则点C的坐标为（x，0）．∵tan∠POC＝＝，∴∠POC＝60°．当∠APO＝90°，则cos∠POC＝＝，∴OP＝3．∵OP＝1×t＝3，∴t＝3．当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形，①当∠OPM＝90°时，①当∠OPM＝90°时，∵OM＝2OP，即2t＝6﹣2t，t＝1.5；②当∠OMP＝90°时，∵∠BOA＝60°，∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，即t＝2（6﹣2t），∴t＝．8．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可．（2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．②分三种情形：如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，分别求解即可．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．9．【分析】（1）先求出直线BC与x轴交点的坐标，再将其和A（﹣1，0）代入函数解析式，求出待定系数的值即可；（2）画出图形，根据平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，列出方程求得结果；（3）利用相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质列方程解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3过点B和点C，∴B（3，0）、C（0，3），OB＝OC＝3，把A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+2x+c，得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点M的坐标为（1，4）．（2）对于直线y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴N（1，2）．设P（m，﹣m2+2m+3）．若MN是平行四边形的一边，如图1，则PQ∥MN且MN＝PQ＝2，Q（m，﹣m+3），∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝2，解得：m1＝2，m2＝1（不符合题意，舍去），∴Q（2，1）若MN是平行四边形的对角线，如图2，∵线段MN的中点为坐标为（1，3），且点Q与点P关于点（1，3）成中心对称，∴Q（2﹣m，m2﹣2m+3），∵点Q在直线y＝﹣x+3上，∴m2﹣2m+3＝﹣（2﹣m）+3，解得m1＝0，m2＝2（不符合题意，舍去），∴Q（0，3）．综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（0，3）．（3）如图3，∠A'FC＝90°，作FG⊥x轴于点G，则FG＝A'G，设F（m，﹣m+3），则﹣m+3＝m﹣1，解得m＝2，∴F（2，1）；如图4，∠CA'F＝90°，作FG⊥x轴于点G，则∠FA'G＝90°﹣∠OAC＝∠A'CO，∴＝＝tan＝∠A'CO＝，∴FG＝A'G，∴﹣m+3＝（m﹣1），解得m＝，∴F（，）．综上所述，点F的坐标为（2，1）或（，）．故答案为：（2，1），（，）．10．【分析】（1）点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，将点C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），EM＝﹣2x2+12x，即可求解；（3）分AM是边、AM是对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，则点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，故抛物线的表达式为：y＝3ax2+10x+12，将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+10x+12；（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），EM＝（﹣2x2+10x+12）﹣（﹣2x+12）＝﹣2x2+12x，∵﹣2＜0，故EM有最大值，最大值为18，此时x＝3；（3）y＝﹣2x2+10x+12，令y＝0，则x＝﹣1或6，故点A（﹣1，0），由（2）知，x＝3，则点M（3，6），设点P的横坐标为：m，点Q的坐标为：（，s），①当AM是边时，当点A向右平移4个单位向上平移6个单位得到点M，同样，点P（Q）向右平移4个单位向上平移6个单位得到点得到点Q（P），即m±4＝，解得：m＝﹣或，故点P（﹣，﹣）或（，﹣）；②当AM是对角线时，由中点公式得：﹣1+3＝m+，解得：m＝﹣，故点P（﹣，）；综上，点P的坐标为：（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．11．【分析】（1）用待定系数法即可求解；＝S△AOC△DOC+S△DOB＝﹣x2+x+6（0＜x＜3），即可求解；（2）由y＝S四边形ABDC（3）分∠QBC、∠QCB为直角两种情况，利用函数的性质分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3），∴，解得，∴该抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①如图，设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD、AC．则0＜x＜3，x2﹣2x﹣3＜0则△AOC的面积＝，△DOC的面积＝x，△DOB的面积＝﹣（x2﹣2x﹣3），＝S△AOC+S△DOC+S△DOB＝﹣x2+x+6（0＜x＜3）；∴y＝S四边形ABDC②∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y的最大值为，此时，点D（，﹣）；（3）有两种情况：如图2，过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点F，连接Q1C．∵∠CBO＝45°，∴∠FBO＝45°，BO＝OF＝3．∴点F的坐标为（0，3）．∴直线BF的解析式为y＝﹣x+3．则，解得，∴点Q1的坐标为（﹣2，5）．如图（3），过点C作CG⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点G，连接BQ2．∵∠CBO＝45°，∴∠CGB＝45°，OG＝OC＝3．∴点G的坐标为（﹣3，0）．∴直线CG的解析式为y＝﹣x﹣3．由，解得，∴点Q2的坐标为（1，﹣4）．综上，在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．12．【分析】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5），即可求解；＝AB（y C﹣y D），即可求解；（2）S四边形AMBC（3）抛物线的表达式为：y＝x2，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x ﹣，点M坐标为（2，﹣3）；（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），S四边形AMBC＝AB（y C﹣y M）＝×6×（9+3）＝36；（3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）2﹣3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y＝x2，则定点D与动点P之间距离PD＝＝，令t＝，则x2＝3t，可得PD＝，当t＝﹣＝﹣时，PD有最小值，∵t≥0，∴3﹣2m≤0，即m≥时，PD的最小值d＝；当m＜时，3﹣2m＞0，t≥0，∴t2+（3﹣2m）t+m2≥0，故当PD最小时，t＝0，即x＝0，∴当点P与点O重合时，PD最小，即PD的最小值d＝|m|∴d＝．13．【分析】（1）将A、D的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值．（2）根据抛物线的解析式即可得到其对称轴及B点的坐标，由于A、B关于抛物线对称轴对称，连接BD，BD与抛物线对称轴的交点即为所求的P点，那么PA+PD的最小值即为BD的长，根据B、D的坐标，即可用勾股定理（或坐标系两点间的距离公式）求出BD的长，也就求得了PA+PD的最小值．（3）此题可分作两种情况考虑：①BE∥DG；根据抛物线的解析式可求得C点坐标，可得C、D关于抛物线对称轴对称，即C、D的纵坐标相同，所以CD∥x轴，那么C点就是符合条件的G点，易求得CD的长，根据平行四边形的性质知BE＝CD，由此可得到BE的长，将B点坐标向左或向右平移CD个单位即可得到两个符合条件的E点坐标；②BD∥EG；根据平行四边形的性质知，此时G、D的纵坐标互为相反数，由此可求得G点的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求得G点的坐标；那么将G点的横坐标减去3（B、D横坐标差的绝对值），即可得到两个符合条件的E点坐标；综上所述，符合条件的E点坐标应该有4个．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（2）由：y＝x2+2x﹣3得：对称轴为：，令y＝0，则：x2+2x﹣3＝0，∴x1＝﹣3，x2＝1，∴点B坐标为（1，0），而点A与点B关于x＝﹣1对称，∴连接BD与对称轴的交点即为所求的P点．过点D作DF⊥x轴于点F，则：DF＝3，BF＝1﹣（﹣2）＝3，在Rt△BDF中，BD＝，∵PA＝PB，∴PA+PD＝PB+PD＝BD＝，即PA+PD的最小值为．（3）存在符合条件的点E，①在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则有：y＝﹣3，故点C坐标为（0，﹣3），∴CD∥x轴，∴在x轴上截取BE1＝BE2＝CD＝2，得BCDE1和BDCE2，此时：点C与点G重合，E1（﹣1，0），E2（3，0）．②∵BF＝DF＝3，∠DFB＝90°，∴∠FBD＝45°，当G3E3∥BD且相等时，有G3E3DB，作G3N⊥x轴于点N，∵∠G3E3B＝∠FBD＝45°，∠G3NE3＝90°，G3E3＝BD＝，∴G3N＝E3N＝3；将y＝3代入y＝x2+2x﹣3得：，∴E3的坐标为：，即，同理可得：，综上所述：存在这样的点E，所有满足条件的E点坐标为：E1（﹣1，0），E2（3，0），E 3，．14．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设P（m，﹣m2+4m），C（m，m）可得PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）由（2）可知，由AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．推出点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC 和四边形ADP′C′是平行四边形，求出直线DP的解析式，利用方程组即可解决问题；【解答】（1）解：把O（0，0）和点A（3，3）代入y＝ax2+4x+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．（2）解：0＜m＜3，PC＝PB﹣CB，∵B（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+4x上，C在OA上，A（3，3），∴P（m，﹣m2+4m），C（m，m）∴PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，当D（，0）时，PC max＝，答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．（3）由（2）可知，∵AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．∴点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC和四边形ADP′C′是平行四边形，∵直线OA的解析式为y＝x，∴直线DP的解析式为y＝x﹣3，由，解得或，∴m的值为．15．【分析】（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点代入求出a、b、c的值即可；（Ⅱ）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（Ⅲ）分点N在x轴下方和上方两种情况进行讨论．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（Ⅱ）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，连接BC，如图1所示，。

二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

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】二次函数压轴题1. 如图①，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋2(a ≠0)与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P (m ，0)(0<m <4)．过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点M .(1)求a 的值；(2)若PN ∶MN ＝1∶3，求m 的值；(3)如图②，在(2)的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O逆时针旋转得到OP 2，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AP 2、BP 2，求AP 2＋32BP 2的最小值．图① 图②第1题图解：(1)∵A (4，0)在抛物线上，∴0＝16a ＋4(a ＋2)＋2，解得a ＝－12；(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2，令x ＝0可得y ＝2，∴OB ＝2，∵OP ＝m ，∴AP ＝4－m ，∵PM ⊥x 轴，∴△OAB ∽△P AN ，∴OB OA ＝PN P A ，即24＝PN 4－m， ∴PN ＝12(4－m )，∵M 在抛物线上，∴PM ＝－12m 2＋32m ＋2，∵PN ∶MN ＝1∶3，∴PN ∶PM ＝1∶4，∴－12m 2＋32m ＋2＝4×12(4－m )，解得m ＝3或m ＝4(舍去)，即m 的值为3；(3)如解图，在y 轴上取一点Q ，使OQ OP 2＝32，第1题解图由(2)可知P 1(3，0)，且OB ＝2，∴OP 2OB ＝32，且∠P 2OB ＝∠QOP 2，∴△P 2OB ∽△QOP 2，∴QP 2BP 2＝OP 2OB ＝32， ∴当Q (0，92)时，QP 2＝32BP 2，∴AP 2＋32BP 2＝AP 2＋QP 2≥AQ ，∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时，AP 2＋QP 2有最小值，又∵A (4，0)，Q (0，92)，∴AQ ＝42＋（92）2＝1452， 即AP 2＋32BP 2的最小值为1452.2. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，点P 是x 轴上方抛物线上的一个动点，过P 作PN ⊥x 轴于N ，交直线BC 于M .(1)求二次函数表达式及顶点D 的坐标；(2)当PM ＝MN 时，求点P 的坐标；(3)设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，连接AP 交对称轴于E ，连接BP 并延长交对称轴于F ，试证明HE ＋HF 的值为定值，并求出这个定值．第2题图解：(1)∵A (－2，0)，B (4，0)在二次函数的图象上，将A ，B 点代入二次函数表达式中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋（－2）b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝1， ∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4，将其化为顶点式为y ＝－12(x －1)2＋92，∴顶点D 的坐标为(1，92)；(2)由抛物线表达式得点C 的坐标为(0，4)，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋c (k ≠0)，将点B (4，0)，点C (0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋c ＝0c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝－1c ＝4，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4，(5分)∵点P 在x 轴上方的抛物线上，∴设点P 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)(－2＜t ＜4)，∵PN ⊥x 轴于N ，∴点N 的坐标为(t ，0)，∵PN 交BC 于M ，∴点M 的坐标为(t ，－t ＋4)，(7分)∵PM ＝MN ，点P 在点M 的上方，∴PN ＝2MN ，即－12t 2＋t ＋4＝2(－t ＋4)，解得t 1＝2，t 2＝4(与B 重合舍去)，∴当PM ＝MN 时，点P 的坐标为(2，4)；(8分)第2题解图(3)如解图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，设点P 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)，∵DH⊥x轴于点H，∴PG∥DH，∴△AHE∽△AGP，△BGP∽△BHF，∴EHPG＝AHAG，PGFH＝BGBH，∴EH＝AH·PGAG，FH＝BH·PGBG，(10分)当点G在BH上时，∵AH＝BH＝3，AG＝t＋2，BG＝4－t，PG＝－12t2＋t＋4，∴EH＋FH＝3(PGt＋2＋PG4－t)＝3·(－12)(t＋2)(t－4)·4－t＋t＋2（t＋2）（4－t）＝9，同理，当点G在AH上，由抛物线对称性可知，结果相同．综上可知，HE＋HF的结果为定值，且这个定值为9.(14分)3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝12x＋1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D.(1)求a、b及sin∠ACP的值；(2)设点P 的横坐标为m .①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9 ∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由．第3题图解：(1)由12x ＋1＝0，得x ＝－2，∴A (－2，0)，由12x ＋1＝3，得x ＝4，∴B (4，3)．∵y ＝ax 2＋bx －3经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2·a －2b －3＝042·a ＋4b －3＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12，如解图，设直线AB 与y 轴交于点E ，则E (0，1)． ∵PC ∥y 轴，∴∠ACP ＝∠AEO .∴sin ∠ACP ＝sin ∠AEO ＝OA AE ＝222＋12＝255； (2)①由(1)知，抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x －3，∴P (m ，12m 2－12m －3)，C (m ，12m ＋1)，∴PC ＝12m ＋1－(12m 2－12m －3)＝－12m 2＋m ＋4.在Rt △PCD 中，PD ＝PC ·sin ∠ACP ＝(－12m 2＋m ＋4)×255＝－55(m －1)2＋955.∵－55<0，∴当m ＝1时，PD 有最大值955； ②存在，m ＝52或329.【解法提示】如解图，分别过点D 、B 作DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为点F 、G .第3题解图由图中几何关系可知∠FDP ＝∠DCP ＝∠AEO ，∴cos ∠FDP ＝cos ∠AEO ＝OE AE ＝122＋12＝55， 在Rt △PDF 中，DF ＝cos ∠FDP ·PD ＝55PD ＝－15(m 2－2m －8)． 又∵BG ＝4－m ，∴PBCPCDS S △△＝DF BG ＝－15（m 2－2m －8）4－m ＝m ＋25. 当PBCPCD S S △△＝m ＋25＝910时，解得m ＝52； 当PBCPCD S S △△＝m ＋25＝109时，解得m ＝329. ∴m ＝52或329.4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA ＝3，AB ＝4，在OC 上取一点E ，使OA ＝OE ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A ，E ，B 三点．(1)求B ，E 点的坐标及抛物线表达式；(2)若M 为抛物线对称轴上一动点，则当|MA －ME |最大时，求M 点的坐标；(3)若点D 为OA 中点，过D 作DN ⊥BC 于点N ，连接AC ，若点P 为线段OC 上一动点且不与C 重合，PF ⊥DN 于F ，PG ⊥AC 于G ，连接GF ，是否存在点P ，使△PGF 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵OA ＝3，AB ＝4, OA ＝OE ，∴A (0，3)，B (－4，3), E (－3，0)． 将A ，B ，E 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝316a －4b ＋c ＝39a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4c ＝3， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋4x ＋3；(3分)(2)∵抛物线y ＝x 2＋4x ＋3的对称轴为直线x ＝－2，点A 关于对称轴的对称点为点B ，∴当|MA －ME |最大时，M 在直线BE 与直线x ＝－2的交点处，即连接BE 并延长交直线x ＝－2于点M ，M 点即为所求，如解图①，(5分)第4题解图①设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵直线过B (－4，3)，E (－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝3－3k ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3b ＝－9， ∴直线BE 的解析式为y ＝－3x －9.当x ＝－2时， y ＝－3，∴M (－2，－3)；(7分)(3)设P (x ，0)(x ＜0)，如解图②，过点P 分别作PF ⊥DN 于点F ，PG ⊥AC 于点G ，过点G 作GH ⊥OC 于点H ，交DN 于点Q ，连接GF ，第4题解图②∵OA ＝3，AB ＝4，∠AOC ＝90°，∴AC ＝5，∵D 为OA 的中点，DN ⊥BC ，∴PF ＝32，sin ∠1＝PG PC ＝OA AC ，∴PG x ＋4＝35，∴PG ＝3（x ＋4）5， ∵cos ∠1＝CG PC ＝OC AC ，∴CG x ＋4＝45， ∴CG ＝4（x ＋4）5. ∵△CGH ∽△CAO ，∴GH AO ＝CG CA ＝CH CO ，∴GH 3＝CG 5＝CH 4，∴GH ＝35CG ＝35×4（x ＋4）5＝12（x ＋4）25， CH ＝45CG ＝45×4（x ＋4）5＝16（x ＋4）25，(9分) ∴PH ＝QF ＝OC －CH －OP ＝4－16（x ＋4）25＋x ＝9（x ＋4）25， GQ ＝GH －QH ＝12（x ＋4）25－32， ∴在Rt △GQF 中，GF 2＝[12（x ＋4）25－32]2＋81（4＋x ）2625＝9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94.要使△PGF 为等腰三角形，可分三种情况讨论：(ⅰ)当GF ＝GP 时， GF 2＝GP 2，∴9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94＝9（x ＋4）225， ∴x ＝－3916，∴P 1(－3916，0)；(11分)(ⅱ)当FG ＝FP 时，FG 2＝FP 2，∴9（x ＋4）225－36（x＋4）25＋94＝94，∴x 1＝－4，x 2＝0.∵点P 不与C 重合，∴x ＝－4(舍去)，∴P 2(0，0)；(12分)(ⅲ)当PG ＝PF 时，3（x ＋4）5＝32，∴x ＝－32，∴P 3(－32，0)．(13分)综上所述，存在P 1(－3916，0)，P 2(0，0)，P 3(－32，0)使△PFG 为等腰三角形．(14分)5. 已知：直线y ＝12x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，抛物线y ＝13x 2＋bx＋c 经过点A 、B ，且交x 轴于点C .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，且点P 在AB 的下方，设点P 的横坐标为m . ①试求当m 为何值时，△P AB 的面积最大；②当△P AB 的面积最大时，过点P 作x 轴的垂线PD ，垂足为点D ，问在直线PD 上是否存在点Q ，使△QBC 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．第5题图 备用图解：(1)∵直线y ＝12x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，则A (6，0)，B (0，－3)，又∵抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，则⎩⎨⎧0＝13×62＋6b ＋c －3＝c，解得⎩⎨⎧b ＝－32c ＝－3，∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－32x －3；(2)①∵点P 的横坐标为m ，∴P (m ，13m 2－32m －3)，∵点P 在直线AB 下方，∴0＜m ＜6，第5题解图①如解图①，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点E ，交x 轴于点D ，则E (m ，12m －3)，∴PE ＝12m －3－(13m 2－32m －3)＝－13m 2＋2m ，∴S △P AB ＝S △BPE ＋S △PEA ＝12PE ·OA＝12(－13m 2＋2m )×6＝－(m －3)2＋9，∴当m ＝3时，△P AB 的面积最大；②在直线PD 上存在点Q ，使△QBC 为直角三角形；点Q 的坐标为(3，94)或(3，－32)．【解法提示】直线PD 的解析式为：x ＝3，易得C (－32，0)，D (3，0)，当∠BCQ ＝90°时，如解图②，易证△COB ∽△QDC ，则CO OB ＝QD DC ，可得Q (3，94)；第5题解图②当∠CBQ ＝90°时，如解图③，易知Q 在AB 上，将x ＝3代入直线y ＝12x －3，得y ＝－32，∴Q (3，－32)；第5题解图③当∠BQC ＝90°时，如解图④，易证△CDQ ∽△QRB ，则CD QR ＝DQ BR ，即923－DQ＝DQ 3，无解．第5题解图④综上所述，在直线PD 上存在点Q ，使△QBC 为直角三角形，点Q 的坐标为(3，94)或(3，－32)．6. 如图，抛物线y＝x2－4x－5与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴；(2)如图①，点E(m，n)为抛物线上一点，且2<m<5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值；(3)如图②，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②第6题图解：(1)把y＝0代入y＝x2－4x－5，得x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，∵点B在点A的右侧，∴A，B两点的坐标分别为(－1，0)，(5，0)，把x＝0代入y＝x2－4x－5，得y＝－5，∴点C的坐标为(0，－5)，∵y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2；(4分)(2)由题意可知，四边形EHDF 是矩形，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，点E 坐标为(m ，m 2－4m －5)，∴EH ＝－m 2＋4m ＋5，EF ＝m －2，∴矩形EHDF 的周长为2(EH ＋EF )＝2(－m 2＋4m ＋5＋m －2)＝－2(m 2－5m－3)＝－2(m －52)2＋372，∵－2<0，2<m <5，∴当m ＝52时，矩形EHDF 的周长最大，最大值为372；(8分)第6题解图(3)存在点P ，使以点P ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形．如解图，设点P 的坐标为(2，k )，∵B 和C 两点的坐标分别为(5，0)，(0，－5)，∴BC ＝52＋52＝52，①当∠CBP ＝90°时，∵BC 2＋BP 2＝CP 2，∴(52)2＋(5－2)2＋(－k )2＝22＋(k ＋5)2，解得k ＝3，∴P 1(2，3)；(10分)②当∠PCB ＝90°，∵BC 2＋PC 2＝BP 2，∴(52)2＋22＋(k ＋5)2＝(5－2)2＋(－k )2，解得k ＝－7，∴P 2(2，－7)；(12分)③当∠CPB ＝90°时，∵PC 2＋PB 2＝BC 2，∴22＋(k ＋5)2＋(5－2)2＋k 2＝(52)2，解得k ＝1或k ＝－6，∴P 3(2，1)，P 4(2，－6)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(2，3)，(2，－7)，(2，1)或(2，－6)．(14分)7. 如图，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 经过A (2，0)，B (－4，0)两点，直线y ＝2x －2交y 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴交直线CD 于点C .(1)求抛物线的解析式；(2)求点B 关于直线y ＝2x －2对称的点E 的坐标，判断点E 是否在抛物线上，并说明理由；(3)点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线CE 于点F ，是否存在这样的点P ，使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)∵抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (2，0)，B (－4，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－14×4＋2b ＋c ＝0－14×16－4b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－12c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2－12x ＋2；(2)点E 在抛物线上，理由如下：如解图①，设直线CD ：y ＝2x －2与x 轴交于点N ，过点E 作EM ⊥x 轴，垂足为点M，令y＝2x－2＝0，解得x＝1，∴点N的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，－2)，∵BN2＝25，BD2＝20，DN2＝5，BN2＝BD2＋DN2，∴BD⊥CD，∵点B和点E关于点D对称，∴BE＝2BD，∴BE＝45，∵当x＝－4时，y＝2x－2＝－10，∴点C的坐标为(－4，－10)，∵BN＝5，BC＝10，∴CN＝55，又∵∠MBE＝∠BCN，∠CBN＝∠BME，∴△CBN∽△BME，∴BECN＝MEBN，即4555＝ME5，∴ME＝4，根据勾股定理得BM＝BE2－ME2＝80－16＝8，∴BM＝8，∴OM＝4，∴点E 的坐标为(4，－4)， 当x ＝4时，y ＝－14x 2－12x ＋2＝－14×16－12×4＋2＝－4， ∴点E 在抛物线上；第7题解图①(3)存在，点P 的坐标为(－1，94)或(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292，－3329＋1518)． 【解法提示】如解图②，设直线CE 的解析式为y ＝kx ＋b ′，由(2)得点C (－4，－10)，E (4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ′＝－104k ＋b ′＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝34b ′＝－7，第7题解图②∴直线CE 的解析式为y ＝34x －7.∵PF ⊥x 轴，设点P 的坐标为(a ，－14a 2－12a ＋2)，则点F 的坐标为(a ，34a －7)，∴PF ＝|－14a 2－12a ＋2－(34a －7)|＝|－14a 2－54a ＋9|， 要使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形为平行四边形， ∵PF ∥BC ， ∴PF ＝BC ＝10.当－14a 2－54a ＋9＝10时， 解得a 1＝－4(舍去)，a 2＝－1， ∴点P 的坐标为(－1，94)， 当－14a 2－54a ＋9＝－10时， 解得a 1＝－5＋3292， a 2＝－5－3292， ∴点P 的坐标为(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292， －3329＋1518)， 综上所述，存在点P ，使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形为平行四边形，点P 的坐标为(－1，94)或(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292，－3329＋1518)． 8. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过点A (3，－3)和点B (33，0)，过点A 作直线AC ∥x 轴，交y 轴于点C . (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D .连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出相应点P 的坐标； (3)抛物线上是否存在点Q ，使得S △AOC ＝13S △AOQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)将点A (3，－3)，B (33，0)分别代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝3a ＋3b 0＝27a ＋33b， 解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－332，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－332x ；(2)设P 点的坐标为P (m ，12m 2－332m )，则D (m ，－3)，∴PD ＝|12m 2－332m ＋3|，AD ＝|m －3|， ∵∠ACO ＝∠ADP ＝90°，∴①当△ACO ∽△ADP 时，有AC OC ＝ADPD ， 即33＝|m －3||12m 2－332m ＋3|，∴3|m －3|＝|12m 2－332m ＋3|，∴3(m －3)＝12m 2－332m ＋3或－3(m －3)＝12m 2－332m ＋3，整理得m 2－53m ＋12＝0或m 2－3m ＝0，解方程m 2－53m ＋12＝0得：m 1＝43，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；解方程m 2－3m ＝0得：m 3＝0，m 4＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；此时P 点的坐标为P (0，0)或P (43，6)； ②当△ACO ∽△PDA 时，有AC OC ＝PD AD ， 即33＝|12m 2－332m ＋3||m －3|，∴3|12m 2－332m ＋3|＝|m －3|，∴3(12m 2－332m ＋3)＝m －3或－3(12m 2－332m ＋3)＝m －3， 整理得3m 2－11m ＋83＝0或3m 2－7m ＋43＝0，解方程3m 2－11m ＋83＝0，得：m 1＝833，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；解方程3m 2－7m ＋43＝0，得：m 1＝433，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；此时P 点的坐标为P (833，－43)或P (433，－103)，综上可知：以点A 、D 、P 为顶点的三角形与△AOC 相似时，点P 的坐标为：P (0，0)或P (43，6)或P (833，－43)或P (433，－103)；(3)存在．在Rt △AOC 中，OC ＝3，AC ＝3，根据勾股定理得OA ＝23， ∵S △AOC ＝12OC ·AC ＝332，S △AOC ＝13S △AOQ ， ∴S △AOQ ＝932，∵OA ＝23，∴△AOQ 边OA 上的高为92，如解图，过点O作OM⊥OA，截取OM＝92，第8题解图过点M作MN∥OA交y轴于点N，∵AC＝3，OA＝23，∴∠AOC＝30°，又∵MN∥OA∴∠MNO＝∠AOC＝30°，∴在Rt△OMN中，ON＝2OM＝9，即N(0，9)，过点M作MH⊥x轴交x 轴于点H，∵∠MNO＝30°，∴∠MOH＝30°，∴MH＝12OM＝94，OH＝934，即M(934，94)，设直线MN的解析式为y＝kx＋9(k≠0)，把点M的坐标代入得94＝934k＋9，即k＝－3，∴y＝－3x＋9，联立得⎩⎨⎧y ＝－3x ＋9y ＝12x 2－332x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23y ＝15，即Q (33，0)或(－23，15)．9. 如图，抛物线经过原点O (0，0)，与x 轴交于点A (3，0)，与直线l 交于点B (2，－2)． (1)求抛物线的解析式；(2)点C 是x 轴正半轴上一动点，过点C 作y 轴的平行线交直线l 于点E ，交抛物线于点F ，当EF ＝OE 时，请求出点C 的坐标；(3)点D 为抛物线的顶点，连接OD ，在抛物线上是否存在点P ，使得∠BOD ＝∠AOP ？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第9题图 备用图解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ， 将A (3，0)，B (2，－2)代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＝04a ＋2b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ；(2)设直线l的解析式为y＝kx，将B(2，－2)代入y＝kx中，得－2＝2k，解得k＝－1，∴直线l的解析式为y＝－x，设点C的坐标为(n，0)，则点E的坐标为(n，－n)，点F的坐标为(n，n2－3n)．①当点C在点A的左侧时，如解图①所示，EF＝－n－(n2－3n)＝－n2＋2n，OE＝n2＋（－n）2＝2n，∵EF＝OE，∴－n2＋2n＝2n，解得n1＝0(C，E，F三点均与原点重合，舍去)，n2＝2－2，∴点C的坐标为(2－2，0)；②当点C在点A的右侧时，如解图②所示，EF＝n2－3n－(－n)＝n2－2n，OE＝n2＋（－n）2＝2n，∵EF＝OE，∴n2－2n＝2n，解得n1＝0(C，E，F均与原点重合，舍去)，n2＝2＋2，∴点C的坐标为(2＋2，0)；综上所述，当EF ＝OE 时，点C 的坐标为(2－2，0)或(2＋2，0)； (3)存在点P 使得∠BOD ＝∠AOP ，点P 的坐标为(145，－1425)或(165，1625)． 【解法提示】抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＝(x －32)2－94，∴顶点D 的坐标为(32，－94)，设抛物线的对称轴交直线l 于点M ，交x 轴正半轴于点N ，过点D 作DG ⊥OB 于点G ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，如解图③所示，∵直线l 的解析式为y ＝－x ， ∴∠MON ＝45°，∴△ONM 为等腰直角三角形，ON ＝MN ＝32，OM ＝2ON ＝322， ∴DM ＝94－32＝34， 在Rt △DGM 中，∵∠DMG ＝∠NMO ＝45°， ∴Rt △DGM 为等腰直角三角形， ∴MG ＝DG ＝34×22＝328， ∴OG ＝OM ＋MG ＝322＋328＝1528.设点P 的坐标为(c ，c 2－3c )，当点P 在x 轴下方时，如解图③所示，OH ＝c ，HP ＝3c －c 2，第9题解图③∵∠HOP ＝∠BOD ，∴tan ∠HOP ＝tan ∠BOD ，∴HP OH ＝DG OG ，即3c －c 2c ＝3281528， 解得c 1＝0(P 点与O 点重合，舍去)，c 2＝145，∴点P 的坐标为(145，－1425)；当点P 在x 轴上方时，如解图④所示，OH ＝c ，HP ＝c 2－3c ，第9题解图④同理可得c 2－3c c ＝3281528， 解得c 1＝0(P 点与O 点重合，舍去)，c 2＝165，∴P 点的坐标为(165，1625)．综上所述，存在点P 使得∠BOD ＝∠AOP ，点P 的坐标为(145，－1425)或(165，1625)．10. 在平面直角坐标系中，直线y ＝12x －2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上．(1)求二次函数的表达式；(2)如图①，连接DC ，DB ，设△BCD 的面积为S ，求S 的最大值；(3)如图②，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，是否存在点D ，使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的2倍？若存在，直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由．图① 图②第10题图解：(1)直线y ＝12x －2中，令y ＝0，解得x ＝4，令x ＝0，解得y ＝－2，∴点B (4，0)，C (0，－2)，将点B (4，0)，C (0，－2)代入y ＝12x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧8＋4b ＋c ＝0c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－32c ＝－2， ∴二次函数的表达式为y ＝12x 2－32x －2；第10题解图①(2)如解图①，过点D 作DE ∥y 轴，交BC 于点E ，设点D 的坐标为(x ，12x 2－32x －2)(－1<x <4)，则点E (x ，12x －2)，∴DE ＝12x －2－(12x 2－32x －2)＝－12x 2＋2x ，∴S ＝S △CDE ＋S △BDE ＝12(－12x 2＋2x )×4＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，S 有最大值，S 的最大值为4；(3)存在，满足条件的点D 的横坐标为2或2911.【解法提示】令y ＝0，则12x 2－32x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4，∴A (－1，0)，∵B (4，0)，C (0，－2)，∴AB 2＝52＝25，AC 2＝12＋(－2)2＝5，BC 2＝42＋22＝20，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，如解图②，取AB 的中点P ，第10题解图②∴P (32，0)，∴P A ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠ABC ，∴tan ∠CPO ＝OC OP ＝tan2∠ABC ＝43，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点R ，交BC 的延长线于点G ，连接CR ， ①当∠DCM ＝2∠ABC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∵DG ∥x 轴，∴∠DGC ＝∠ABC ，∴∠CDG ＝∠ABC ，∴tan ∠CDG ＝tan ∠ABC ＝OC OB ＝12，即CR DR ＝12，设点D (x ，12x 2－32x －2)，∴DR ＝x ，RC ＝－12x 2＋32x ，∴－12x 2＋32x x＝12，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2， ∴点D 的横坐标为2；②当∠MDC ＝2∠ABC ，∴tan ∠MDC ＝43，设MC ＝4k ，∴DM ＝3k ，DC ＝5k ，∵tan ∠DGC ＝3k MG ＝12，∴MG ＝6k ，∴CG ＝2k ，∴DG ＝35k ，∵∠MGD ＝∠RGC ，∠DMG ＝∠CRG ＝90°， ∴△DMG ∽△CRG ，∴DM CR ＝DG CG ，∴CR ＝255k ，RG ＝2CR ＝455k ，即3k CR ＝35k 2k ，∴DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR CR ＝1155k 255k ＝x －12x 2＋32x ， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2911， ∴点D 的横坐标为2911，综上所述，满足条件的点D的横坐标为2或2911.。

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊四边形）1．如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为A （﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P 坐标．2．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y 轴交于点C，连接AC．(1)求m的值及该抛物线的对称轴；(2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)若点在第一象限，连接(3)是否存在这样的点，使以点请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．P P P(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一动点，求四边形PBEC 面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点C，平移后点A的对应点为点A'，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y'的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点M，使以点M、Q、A'、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．6．如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点D与点C 关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点．设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．(1)求点A、点B、点C及抛物线的顶点坐标；(2)当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形？7．如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点的直线交线段于点，且，求的正切值；(3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．8．如图，抛物线经过等腰的，两点，，．2y ax bx c =++x (1,0)A -(3,0)B y (0,3)C D C AB E :3:5ACE CEB S S ∆∆=CEA ∠P Q x D C P Q P 2y x bx c =-++Rt OAB V A B (03)A ，90OAB ∠=︒(1)求抛物线的解析式；(2)若点是上方抛物线上的动点，交于点，当点位于何处时，四边形是平行四边形，求点的坐标．9．已知一个二次函数的图象经过A （1，0）、B （3，0）、C （0，）三点，顶点为D ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求经过A 、D 两点的直线的表达式；(3)设P 为直线AD 上一点，且以A 、P 、C 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．C AB CD AB ⊥OB D C ACDO C 3-10．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．(1)求抛物线的解析式．(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点S关于m的函数关系式，并求出S(2)求抛物线表达式；(3)如图，点为直线上方、抛物线上一点，过点作矩形，且轴，求当矩形为正方形时点的坐标．13．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．(1)求此二次函数的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，点E 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AE 交对称轴于点F ，试判断四边形CDEF 的形状，并证明你的结论．D AC D DHEF DF x ∥DHEF D14．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．15．【实践探究】数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：1()230y ax bx a =+-≠x ()()1,0,3,0A B -y C 2,P Q BC Q P 1P PM y ∥BC M Q QN y ∥BC N PM QN +Q 3()230y ax bx a =+-≠11y 'y 'D E ,,,B C D E E(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过?请通过计算进行说明（货船看作长方体）；(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F ，交抛物线对称轴于点E ，提出了以下两个问题，请予解答：①如图2，B 为直线上方抛物线上一动点，过B 作垂直于x 轴，交x 轴于A ，交直线于C ，过点B 作垂直于直线，交直线于，求的最大值．②如图3，G 为直线上一动点，过G 点作x 轴的垂线交抛物线于点H ，点P 在坐标平面内．问：是否存在以E 、G 、H 、P 为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G 点的坐标；若不存在，请说明理由．6m 10m 0.5m 0.2m 6m 3.2m y x =OF OF BA OF BD OF OF D BD CD +OF参考答案：。

二次函数压轴题集锦带答案(2024年中考真题)1.(24年安徽中考)已知物线2y x bx =-+(b 为常数)的顶点横坐标比抛物线22y x x =-+的顶点横坐标大1. (1)求b 的值；(2)点11(,)A x y 在抛物线22y x x =-+上,点11(,)B x t y h ++在抛物线2y x bx =-+上. (i)若3h t =,且10,0x t >,求h 的值； (ii)若 11x t =-,求h 的最大值.2.(24年包头中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线22yx bxc 与x 轴相交于()1,0A ,B 两点(点A 在点B 左侧),顶点为()2,M d ,连接AM ．(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图1,若C 是y 轴正半轴上一点,连接,AC CM ．当点C 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时,求证:ACM BAM ∠=∠;(3)如图2,连接BM ,将ABM 沿x 轴折叠,折叠后点M 落在第四象限的点M '处,过点B 的直线与线段AM '相交于点D ,与y 轴负半轴相交于点E ．当87BD DE =时,3ABD S △与2M BD S '△是否相等？请说明理由．3.(24年成都中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:230L y ax ax a a =-->与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),其顶点为C ,D 是抛物线第四象限上一点. (1)求线段AB 的长(2)当1a =时,若ACD ∆的面积与ABD ∆的面积相等,求tan ABD ∠的值:(3)延长CD =交x =轴于点E =,当AD DE =时,将ADB ∆沿DE 方向平移得到A EB ''∆.将抛物线L 平移得到抛物线L ',使得点A ',B '都落在抛物线L '上.试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.4.(24年重庆中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-,与y 轴交于点C ,与x 轴交于A B ，两点(A 在B 的左侧),连接tan 4AC BC CBA ∠=，，．(1)求抛物线的表达式(2)点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点,过点P 作PE x ⊥轴,垂足为E ,交AC 于点D ．点M 是线段DE 上一动点,MN y ⊥轴,垂足为N ,点F 为线段BC 的中点,连接AM NF ，．当线段PD 长度取得最大值时,求AM MN NF ++的最小值(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移,使得新抛物线经过(2)中线段PD 长度取得最大值时的点D ,且与直线AC 相交于另一点K ．点Q 为新抛物线上的一个动点,当QDK ACB ∠∠=时,直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．5.(24年浙江中考)已知二次函数2y x bx c =++(b ,c 为常数)的图象经过点(2,5)A -,对称轴为直线12x =-.(1)求二次函数的表达式(1)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度,向左平移(0)m m >个单位长度后,恰好落在2y x bx c =++的图象上,求m 的值(3)当2≤a ≤n 时,二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94,求n 的取值范围.6.(24年呼伦贝尔中考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像经过原点和点()4,0A ．经过点A 的直线与该二次函数图象交于点()1,3B ,与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式及点C 的坐标;(2)点P 是二次函数图象上的一个动点,当点P 在直线AB 上方时,过点P 作PE x ⊥轴于点E ,与直线AB 交于点D ,设点P 的横坐标为m ． ①m 为何值时线段PD 的长度最大,并求出最大值;①是否存在点P ,使得BPD △与AOC 相似．若存在,请求出点P 坐标;若不存在,请说明理由．7.(24年广州中考)已知抛物线232:621(0)G y ax ax a a a =--++>过点()1,2A x 和点()2,2B x ,直线2:l y m x n =+过点(3,1)C ,交线段AB 于点D ,记CDA 的周长为1C ,CDB △的周长为2C ,且122C C =+．(1)求抛物线G 的对称轴 (2)求m 的值(3)直线l 绕点C 以每秒3︒的速度顺时针旋转t 秒后(045)t ≤<得到直线l ',当l AB '∥时,直线l '交抛物线G 于E ,F 两点． ①求t 的值①设AEF △的面积为S ,若对于任意的0a >,均有S k ≥成立,求k 的最大值及此时抛物线G 的解析式．8.(24年绥化中考)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx c =-++与直线相交于A ,B 两点,其中点()3,4A ,()0,1B ．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)过点B 作BC x ∥轴交抛物线于点C ,连接AC ,在抛物线上是否存在点P 使1tan tan 6BCP ACB ∠=∠．若存在,请求出满足条件的所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由．(提示:依题意补全图形,并解答)(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到()2111110y a x b x c a =++≠,平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ,点E 为原抛物线对称轴上的一点,F 是平面直角坐标系内的一点,当以点B ,D ,E ,F 为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点F 的坐标．9.(24年上海中考)在平面直角坐标系中,已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B ．(1)求平移后新抛物线的表达式(2)直线x m =(0m >)与新抛物线交于点P,与原抛物线交于点Q ． ①如果PQ 小于3,求m 的取值范围①记点P 在原抛物线上的对应点为P ',如果四边形P BPQ '有一组对边平行,求点P 的坐标．10.(24年乐山中考)在平面直角坐标系xOy 中,我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线222y ax ax a =-+(a 为常数且0a >)与y 轴交于点A ．(1)若1a =,求抛物线的顶点坐标;(2)若线段OA (含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个,求a 的取值范围;(3)若抛物线与直线y x =交于M ,N 两点,线段MN 与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”,求a 的取值范围．11.(24年甘肃武威中考)如图1,抛物线()2y a x h k =-+交x 轴于O,()4,0A 两点,顶点为(2,B ．点C 为OB 的中点．(1)求抛物线2()y a x h k =-+的表达式;(2)过点C 作CH OA ⊥,垂足为H,交抛物线于点E ．求线段CE 的长．(3)点D 为线段OA 上一动点(O 点除外),在OC 右侧作平行四边形OCFD ．①如图2,当点F 落在抛物线上时,求点F 的坐标;①如图3,连接BD ,BF ,求BD BF +的最小值．12.(24年枣庄中考)在平面直角坐标系xOy 中,点()2,3P -在二次函数()230y ax bx a =+->的图像上,记该二次函数图像的对称轴为直线x m =．(1)求m 的值(2)若点(),4Q m -在23y ax bx =+-的图像上,将该二次函数的图像向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图像．当04x ≤≤时,求新的二次函数的最大值与最小值的和(3)设23y ax bx =+-的图像与x 轴交点为()1,0x ,()()212,0x x x <．若2146x x <-<,求a 的取值范围．13.(24年四川广安中考)如图,抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,点A 坐标为(1,0)-,点B 坐标为(3,0)．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一个动点,过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ,过点P 作y 轴的垂线,垂足为点E ,请探究2PD PE +是否有最大值？若有最大值,求出最大值及此时P 点的坐标;若没有最大值,请说明理由．(3)点M 为该抛物线上的点,当45∠=︒MCB 时,请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．14.(24年四川南充中考)已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -,()3,0B ．(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,抛物线与y 轴交于点C ,点P 为线段OC 上一点(不与端点重合),直线PA ,PB 分别交抛物线于点E ,D ,设PAD 面积为1S ,PBE △面积为2S ,求12S S 的值; (3)如图2,点K 是抛物线对称轴与x 轴的交点,过点K 的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M ,N ,过抛物线顶点G 作直线l x ∥轴,点Q 是直线l 上一动点．求QM QN +的最小值．15.(24年四川泸州中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0A ,与y 轴交于点B,且关于直线1x =对称．(1)求该抛物线的解析式;(2)当1x t -≤≤时,y 的取值范围是021y t ≤≤-,求t 的值;(3)点C 是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点D,在y 轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E 为顶点的四边形是菱形？若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明理由．16.(24年河北中考)如图,抛物线21:2C y ax x =-过点(4,0),顶点为Q ．抛物线22211:()222C y x t t =--+-(其中t 为常数,且2t >),顶点为P ．(1)直接写出a 的值和点Q 的坐标．(2)嘉嘉说:无论t 为何值,将1C 的顶点Q 向左平移2个单位长度后一定落在2C 上． 淇淇说:无论t 为何值,2C 总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．(3)当4t =时①求直线PQ 的解析式.①作直线l PQ ∥,当l 与2C 的交点到x 轴的距离恰为6时,求l 与x 轴交点的横坐标．(4)设1C 与2C 的交点A,B 的横坐标分别为,A B x x ,且A B x x <．点M 在1C 上,横坐标为()2B m m x ≤≤．点N 在2C 上,横坐标为()A n x n t ≤≤．若点M 是到直线PQ 的距离最大的点,最大距离为d ,点N 到直线PQ 的距离恰好也为d ,直接用含t 和m 的式子表示n.17.(24年武汉中考)抛物线215222y x x =+-交x 轴于A ,B 两点(A 在B 的右边),交y 轴于点C ．(1)直接写出点A ,B ,C 的坐标(2)如图(1),连接AC ,BC ,过第三象限的抛物线上的点P 作直线PQ AC ∥,交y 轴于点Q ．若BC 平分线段PQ ,求点P 的坐标(3)如图(2),点D 与原点O 关于点C 对称,过原点的直线EF 交抛物线于E ,F 两点(点E 在x 轴下方),线段DE 交抛物线于另一点G ,连接FG ．若90EGF ∠=︒,求直线DE 的解析式．18.(24年四川德阳中考)如图,抛物线2y x x c =-+与x 轴交于点()1,0A -和点B ,与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式;(2)当02x <≤时,求2y x x c =-+的函数值的取值范围;(3)将拋物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M ,点P 为抛物线的对称轴上一动点,求PA PM +的最小值．19.(24年湖北中考)如图,二次函数23y x bx =-++交x 轴于(1,0)A -和B ,交y 轴于C .(1)求b 的值.(2)M 为函数图像上一点,满足MAB ACO ∠=∠,求M 点的横坐标.(3)将二次函数沿水平方向平移,新的图像记为L ,L 与y 轴交于点D ,记DC d =,记L 顶点横坐标为n .①求d 与n 的函数解析式.②记L 与x 轴围成的图像为,U U 与ABC ∆重合部分(不计边界)记为W ,若d 随n 增加而增加,且W 内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点,直接写出n 的取值范围。

中考数学二次函数-经典压轴题附答案解析一、二次函数1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(32-，154)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a ba b++⎧⎨-+⎩＝＝，解得：12ab-⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，∴2231y x xy x⎧--+⎨-⎩＝＝，解得：1145xy-⎧⎨-⎩＝＝，221xy＝，＝⎧⎨⎩∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，则点F(m，m﹣1)，∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA＝12(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)＝-52（m+32）2+1258，∴当m＝32-时，P最大，∴点P(32-，154).(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y ＝﹣x﹣3，∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，联立533y xy x+⎧⎨+⎩＝＝得D1(0，3)，同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．2．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（14，y1），D（34，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【解析】【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A（5，0）．由图象，得当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组415 y xy x=+⎧⎨=-+⎩，解得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E（45，215），F（0，1）．点M在△AOB内，1＜4b+1＜215，∴0＜b＜45．当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣14＝34﹣b，∴b＝12，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，综上：①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．3．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为28，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为27292832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．4．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】 试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上 所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b x a =-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=-1243x x -=答：两排灯的水平距离最小是3考点：二次函数的实际应用．5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x 轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣2,23）55 4m-≤≤【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣32）2﹣54，然后根据n的取值得到最小值．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），∴103b cc--+=⎧⎨=⎩，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则330bk b''=⎧⎨+=⎩，解得：k=-1,b’=3故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P （t ，3﹣t ），∴D （t ，﹣t 2+2t +3），∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ，∵OB ＝OC ＝3，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴∠OCB ＝45°，当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ，∵PD ∥y 轴，∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°，∴∠CDP ＝45°，∴∠PCD ＝90°，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，解2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得03x y =⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩ ∴D （1，4），此时P （1，2）； 当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°，∴∠CDP ＝90°，∴CD ∥x 轴，∴D 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝0或x ＝2，此时P （2，1）；当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴＝﹣t 2+3t ，解得t ＝0或t ＝3，此时P （3）；综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴E （1，4），设N （1，n ），则0≤n ≤4，取CM 的中点Q （2m ，32）， ∵∠MNC ＝90°， ∴NQ ＝12CM ， ∴4NQ 2＝CM 2，∵NQ 2＝（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2， ∴4[（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2]＝m 2+9， 整理得，m ＝（n ﹣32）2﹣54， ∵0≤n ≤4，当n ＝32时，m 最小值＝﹣54，n ＝4时，m ＝5， 综上，m 的取值范围为：﹣54≤m ≤5．【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．6．如图1，在矩形ABCD 中，DB ＝6，AD ＝3，在Rt △PEF 中，∠PEF ＝90°，EF ＝3，PF ＝6，△PEF （点F 和点A 重合）的边EF 和矩形的边AB 在同一直线上．现将Rt △PEF 从A 以每秒1个单位的速度向射线AB 方向匀速平移，当点F 与点B 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）如图1，连接PD ，填空：PE ＝ ，∠PFD ＝ 度，四边形PEAD 的面积是 ；（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．【答案】（1）3009+93；（233）见解析. 【解析】 分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根据梯形的面积公式求解.（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得3（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t 3时，3＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可.详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6∴sin ∠P=1=2EF PF ∴∠P=30°∵PE ∥AD∴∠PAD=300， 根据勾股定理可得3所以S 四边形PEAD =12×（3+3）993+； （2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，在Rt △ADF 中，由AD=3，得33 ；（3）分三种情况讨论：①当0≤t 3 PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，3t ，∴S=1233； ②3＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴3-t ，S △ABD 93， ∵∠FBK=∠FKB ，∴3，KH=KF×sin600=9-32t ,∴S=S △ABD ﹣S △FBK =239932t +③当3≤t≤33时，PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，BF=33-t, BE=33-t+3，OE=BE×tan300=9-3333t +，∴S=233233633-1224t t --++． 点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.7．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩，解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 23，﹣2）．综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．8．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=32，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．9．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案； （2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣32）2+94，当n=32时，PM最大=94；②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，n2﹣2n﹣3=-3，P（2，-3）；当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+2（不符合题意，舍），n3=3-2，n2﹣2n﹣3=2-42，P（3-2，2-42）；综上所述：P（2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.10．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上 所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b x a =-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得1266x x =+=-12x x -=答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．11．如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC = （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 的周长最小值为10131++；（3）12(4,5),(8,45)P P --【解析】【分析】（1）OB=OC ，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，即可求解；（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；（3）S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12AE×（y C -y P ）=BE ：AE ，即可求解． 【详解】（1）∵OB=OC ，∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x 2+2x+3…①；对称轴为：直线1x =（2）ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE ，其中AC=10、DE=1是常数，故CD+AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD=C′D ，取点A′（-1，1），则A′D=AE ，故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值10101013（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12AE×（y C -y P ）=BE ：AE ， 则BE ：AE ，=3：5或5：3，则AE=52或32， 即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0）， 将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3， 解得：k=-6或-2，故直线CP 的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…② 联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去）， 故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．12．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6. (1)求a 的值；(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐标即可 【详解】(1)解：由题意得()()1y x x a =--- 由图知：0a ＜所以A (,0a )，()10B ,,()0,C a - ()()112ABC S a a ∆=-⋅-=6 34()a a =-=或舍∴3a =-(2)由(1)得A (-3,0)，()10B ,,()0,3C ∴直线AC 得解析式为：3y x =+AC 中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ ∴AC 的垂直平分线为：y x =-又∵AB 的垂直平分线为：1x =- ∴1y x x =-⎧⎨=-⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1). (3)解：过点P 做PD ⊥x 轴 由题意得：PD =d ，∴12ABP S PD AB ∆=⋅=2d∵QPB ∆的面积为2d∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等 ∴AQ PB ∥设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B ∴1y x =- ∴2123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1()0x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),由题意及PAQ AQB ∠=∠ 易得：ABQ QPA ∆∆≌ ∴BQ =AP 26设Q (m ，-1)(0m ＜) ∴()221126m -+=4m =-∴Q ()4,1-. 【点睛】本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标；第二问关键在于找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB 的解析式13．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.【答案】(1)点A的坐标为（4，8）将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得8=16a+4b0=64a+8b解得a=,b=4∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=AP=t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t.∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.②共有三个时刻：t1=163， t2=4013，t38525．【解析】（1）根据题意即可得到点A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出点E的坐标，从而得到点G的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．14．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由见解析；（3）当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．【解析】试题分析：（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴，方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴的交点，∴A点为（-1，0）∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：∴，解得：∴抛物线的解析式为．（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；点M是抛物线的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为．∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴化简得：∴＝＝当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点∴．考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）15．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）详见解析（3）详见解析【解析】【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。