2020年中考数学二次函数压轴题核心考点突破09四边形面积最值

四边形面积最值除了关于三角形的各种面积问题之外，四边形问题也是中考题中常见的一种问法，鉴于四边形一般是普普通通的四边形，因此问题一般也是普普通通的问题，本文分享一点关于四边形面积的题目．思考：如何求一个普通的四边形的面积？解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积，至于三角形面积参考铅垂法．就是这么的简单粗暴，甚至还有一点无聊~搞定了四边形的面积，就可以看看四边形面积的最值了，还是来看点例子吧：已知抛物线24y ax bx =+-经过点(2,0)A 、(4,0)B -，与y 轴交于点C ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标．【分析】 （1）2142y x x =+-； （2）此处四边形ABPC 并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角形求面积．若连接AP ，则△ABP 和△APC 均为动三角形，非最佳选择；若连接BC ，可得定△ABC 和动△BPC ，只要△BPC 面积最大，四边形ABPC 的面积便最大．考虑A （2,0）、B （-4,0）、C （0，-4），故164122ABCS=⨯⨯=， 接下来求△BPC 的面积，设P 点坐标为21,42m m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，连接BC ，则直线BC 的解析式为：y =-x -4过点P 作PQ ⊥x 轴交BC 于点Q ，则Q 点坐标为（m ，-m -4）， 故221144222PQ m m m m m ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭，当m =-2时，PQ 取到最大值2，此时△BPC 面积最大，四边形ABPC 面积最大． 此时P 点坐标为（-2，-4）．已知抛物线234 2y ax x=++的对称轴是直线3x=，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；【分析】（1）抛物线：213442y x x =-++点A 坐标为（-2,0），点B 坐标为（8,0）．（2）显然将四边形PBOC 拆为△BOC 和△PBC ，点C 坐标为（0,4），故184162BOCS=⨯⨯=， 设P 点坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，根据B 、C 坐标可得BC 的解析式为142y x =-+过点P 作PQ ⊥x 轴交BC 于点Q ，则Q 点坐标为1,42m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故2213114424224PQ m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，当m =4时，PQ 取到最大值4，184162BPCS=⨯⨯=， 故四边形PBOC 的最大面积为32，此时P 点坐标为（4,6）．这个题目四边形已拆好，只要负责计算就可以了，而计算的内容，与三角形无异．【2019日照中考】如图1，在平面直角坐标系中，直线55y x=-+与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线2y x bx c=++经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，12PC PA+的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．图1图2【分析】（1）由题意得：A （1,0）、C （0,5），代入可解抛物线解析式为：265y x x =-+，点B 坐标为（5,0）．（2）显然四边形AMBC 可拆为△ABC 和△AMB ，11451022ABCSAB OC =⋅=⨯⨯=， 显然，当M 点在抛物线顶点时，△AMB 面积最大，此时M 点坐标为（3，-4），14482AMBS=⨯⨯=， 故四边形AMBC 面积最大值为10+8=18，此时M 点坐标为（3，-4）．（3）这才是本题重点啊！这个重点掩藏得很不认真．显然是个“阿氏圆”问题，构造12PA 即可，参考阿氏圆解决方法，取点D （4,0），连接PD ，任意时刻，均有12PD PA =，问题易解．【2019相城区一模】如图，抛物线234(0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A ，B 两点，直线1122y x =+经过点A ，与抛物线的另一个交点为点C ，点C 的横坐标为3，线段PQ 在线段AB 上移动，1PQ =，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，交抛物线于E 、F ，交直线于D ，G ． （1）求抛物线的解析式；（2）在线段PQ 的移动过程中，以D 、E 、F 、G 为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．【分析】（1）由题意得C 点坐标为（3,2），代入抛物线解析式得：12a =-，抛物线解析式为：213222y x x =-++．（2）注意题目的描述：线段PQ 在线段AB 上移动，故四边形可能在C 点左侧，可能在C点右侧，可能横跨C 点．显然四边形面积的最大值存在于第一种情况．当四边形在点C 左侧时，设D 11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则G 点坐标为111,22m m +⎛⎫++ ⎪⎝⎭，E 点坐标为213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，F 点坐标为2111,322m m m ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭，故221311132222222DE m m m m m ⎛⎫=-++-+=-++ ⎪⎝⎭，22111113222222m FG m m m +⎛⎫⎛⎫=-++-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，272FG DE m m +=-++， 当12m =时，FG +DE 取到最大值为154， 此时四边形面积为115151248⨯⨯=．故最大面积为158．写在最后：特四找公式，普四化为三．。

中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=，mx 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

二次函数中面积的最值问题(六大题型)通用的解题思路：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：1)当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：一般步骤为：①设出要求的点的坐标；②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；③列出关系式求解；④检验是否每个坐标都符合题意．2)用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.3)利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；②通过已知点的坐标，求出直线解析式；③求出题意中要求点的坐标；④检验是否每个坐标都符合题意．题型01三角形面积最值问题1(2024·宁夏银川·一模)如图，二次函数y =-x 2+6x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1，5 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB 上方，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②设△PAB 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．2(2024·新疆克孜勒苏·二模)如图，抛物线y =x ²+bx +c (b ，c 是常数)的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，A 2,0 ，AB =6，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ ∥BC 交AC 于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标．3(23-24九年级下·湖北武汉·开学考试)如图，抛物线y =ax 2-4ax +3a 交x 轴于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴正半轴于点C ,OB =OC ，点P 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)若tan∠ACP=2，求点P的横坐标．(3)平面上有两点M m,-m-3，求△PMN的面积的最小值．,N m+2,-m-54(23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习)△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，点P从点C出发，沿射线CA方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点B出发，沿射线BA方向运动．设运动时间为x(x≠2且x≠4)秒，△APQ的面积为S．(1)当0<x<2时，如图①，求S与x的函数关系式；(2)当2<x<4时，如图②，求S的最大值；(3)若在运动过程中，存在两个时刻x1，x2，对应的点P和点Q分别记为P1，P2和Q1，Q2，对应的△AP1Q1和△AP2Q2的面积分别记为S1和S2，且当CP1=P1P2时，S1=S2，请求出x1的值．5(2023·山东聊城·二模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点A 的坐标为-1,0，直线CD:y=2x-3与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动， ，与y轴交于点C0,-3过点M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线CD于点N．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点M在运动过程中，能否使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．6(2024·浙江宁波·模拟预测)如图，一次函数y=33x+3的图象与坐标轴交于点A、B，抛物线y=-33x2+bx+c的图象经过A、B两点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB 面积的最大值及点P的坐标，请说明理由．7(2024·甘肃陇南·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B1,0，抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标；(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点．要使得以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，请直接写出点P的坐标．8(2024·江苏盐城·模拟预测)已知抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；(2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，求△PBC的最大面积；(3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y=2x-9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．9(2024·四川广元·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=-x2+bx+c与x轴交于点B，A(-3, 0)，与y轴交于点C(0,3)．(1)求直线AC和抛物线的解析式．(2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AC为底的等腰三角形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求△PAC面积的最大值．10(2024·安徽安庆·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0两点，与y轴交于、B3,0点C．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值；②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△DEF为直角三角形，请直接写出E点坐标．11(2024·安徽合肥·一模)如图，直线y=x-3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c 经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直接写出当x-3>x2+bx+c时，x的取值范围；(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标．12(2024·天津西青·一模)已知抛物线y=-x2-4ax-12a(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C．(1)若点D4,12在抛物线上．①求抛物线的解析式及点A的坐标；②连接AD，若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA，PD，当△PAD面积最大时，求点P的坐标及△PAD面积的最大值；(2)已知点Q的坐标为-2a,-8a，连接QC，将线段QC绕点Q顺时针旋转90°，点C的对应点M恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．13(2024·山东临沂·二模)如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A和点B4,0，与y轴交于点C0,2，连接BC，点D在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值；(3)小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB=∠ABC，请帮助小明求出∠DCB=∠ABC时点D的坐标．14(2024·广东深圳·二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与轴交于A，B 点，与y轴交于点C0,3，点B的坐标为3,0，点P是抛物线上一个动点．(1)求二次函数解析式；(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形；若不存在，请说明理由．15(2024·湖北·模拟预测)如图，抛物线y=x-12+k与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C0,-3．设P点在抛物线上运动，横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式；(2)当P点位于第四象限时，求△BCP面积的最大值，并求出此时P点坐标；(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h．① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．16(22-23九年级下·重庆·阶段练习)抛物线y=ax²+bx+5经过点A1,0和点B5,0．该抛物线与直线y=12x+5相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)连接PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．17(2024·江苏宿迁·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线l∥y轴，直线l与△ABD的外接圆相交于点E．①仅用无刻度直尺找出图2中△ABD外接圆的圆心P．②连接BC、CE，BC与直线DE的交点记为Q，如图3，设△CQE的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．18(2024·新疆乌鲁木齐·一模)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒t>0．(1)AH=，EF=(用含t的式子表示)．(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．19(2024·重庆·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点(3,-4)，交x轴于点A(-1,0)，B两点，交y轴于点C(0,2)．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC ，BC ，M 为线段AB 上一动点，过点M 作MD ∥BC 交直线AC 于点D ，连接MC ，求△MDC 面积的最大值及此时M 点的坐标；(3)在(2)中△MDC 面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线BC 方向平移2个单位长度，P 是平移后的抛物线上一动点，连接CP ，当∠PCM 与△OBC 的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．20(2024·湖南衡阳·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 1,0 ,B -3,0 ,C 0,3 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD 面积的最大值；(3)设点P 为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．21(2024·甘肃天水·一模)如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x 轴交于A ,B 两点，D 是抛物线的顶点．O 为坐标原点．A ,B 两点的横坐标分别是方程x 2-4x -12=0的两根，且cos ∠DAB =22．(1)求抛物线的函数解析式；(2)作AC ⊥AD ，AC 交抛物线于点C ，求点C 的坐标及直线AC 的函数解析式；(3)在(2)的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，使△APC 的面积最大？如果存在，请求出点P 的坐标和△APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由．22(2024·山东聊城·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若点P 为第四象限内抛物线上一点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一点，点Q 是线段BC 上一点(点Q 不与两端点重合)，是否存在以P 、Q 、O 为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23(2024·吉林长春·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点C 2,2 作x 轴垂线，垂足为D ，连接BC ．现有动点P 、Q 同时从A 点出发，分别沿AB 、AD 向终点B 和终点D 运动，若点P 的运动速度为每秒2个单位长度，点Q 的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为t 秒．(1)求A、B两点的坐标；(2)当CQ∥AB时，t=；(3)设△CPQ的面积为y，写出y与t的函数关系式，并求△CPQ面积的最大值；(4)当△CPQ为轴对称图形时，直接写出t的值．24(2023·湖南娄底·中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A-1,0，交y轴于点C．、点B5,0(1)求b，c的值．(2)点P x0,y0是抛物线上的动点0<x0<5①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25(2024·河南安阳·模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2+x-1的形状相同，且与x轴交于点-1，0．直线y=kx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，和4，0与y=ax2+bx+c于点C，D(点C在点D的左侧)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点，当k=2时，求△PCD面积的最大值；(3)若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围．26(2024·湖南长沙·一模)如图，抛物线y=x2-bx+c与x轴交于A-1,0两点，与y轴交于，B m,0点C0,-3，顶点为D，直线BD交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式．(2)设点P为线段BD上一点(点P不与B，D两点重合)，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接DF，BF，求△BDF面积的最大值．(3)连接CD，在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．27(2024·江西萍乡·一模)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A3,0，连接AC，BC．，C0,3(1)求抛物线的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OBC相似，求出点P的坐标；(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接MC，MA．设△ACM的面积为S，试求S的最大值．28(2024·四川广元·二模)如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为5，0，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为(3,-4)．(1)求抛物线和直线BC的解析式．(2)在抛物线上是否存在点M，使得△BCM是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为⊙B 上的一个动点，连接AC ，求△ACP 面积的最大值．29(2023·山东青岛·中考真题)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =10cm ，BD =45cm ．动点P 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，动点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为2cm/s ．以AP ，AQ 为邻边的平行四边形APMQ 的边PM 与AC 交于点E ．设运动时间为t s 0<t ≤5 ，解答下列问题：(1)当点M 在BD 上时，求t 的值；(2)连接BE ．设△PEB 的面积为S cm 2 ，求S 与t 的函数关系式和S 的最大值；(3)是否存在某一时刻t ，使点B 在∠PEC 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南怀化·中考真题)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A (-4,0)、B (2,0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求△PAC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)设直线l 1:y =kx +k -354交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线l 2:y =-374上总存在一点E ，使得∠MEN 为直角．31(2024·海南省直辖县级单位·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+2x +c a ≠0 ，与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC 、PB 、BC ，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，△PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，△PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF ⊥x 轴于F ，若M m ,0 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请直接写出实数m 的取值范围．32(2024·四川成都·一模)如图，直线y =-x -4分别交x 轴，y 轴于A ，C 两点，点B 在x 轴正半轴上．抛物线y =15x 2+bx +c 过A ，B ，C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥AC 交y 轴于点D ，交抛物线于点F ．若点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，连接PD 交AC 于点E ，连接EB ，求S △PEB 的最大值及最大值时点P 的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y =-2x 与新抛物线交于O ，G 两点，点H 是线段OG 的中点，过H 作直线RQ (不与OG 重合)与新抛物线交于R ，Q 两点，点R 在点Q 左侧．直线GR 与直线OQ 交于点T ，点T 是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．33(2024·江苏苏州·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2-8ax +10a -1a <0 与x 轴的交点分别为A x 1,0 ，B x 2,0 ，其中(0<x 2<x 1)，且AB =4，与y 轴的交点为C ，直线CD ∥x 轴，在x 轴上有一动点E t ,0 ，过点E 作直线l ⊥x 轴，与抛物线、直线CD 的交点分别为P 、Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当0<t ≤8时，求△APC 面积的最大值；(3)当t >2时，是否存在点P ，使以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBC 相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．题型02四边形面积最值问题1(2024·安徽阜阳·一模)如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A -1，0 ，B 3，0 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求△PAC 的周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若M 为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB 的面积的最大值及此时点M 的坐标.2(2024·山东临沂·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于点A (-2,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,4)，点P 是直线BC 上方的抛物线上一点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求线段PD 长的最大值；(3)连接CP ，BP ，请直接写出四边形ABPC 的面积最大值为．3(2024·山西运城·一模)综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A-1,0、B两点，与y轴交于点C，点D-2,9 2在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线BD于点Q，连接PA、PB、QA，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求四边形PAQB面积的最大值及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得∠MAB=2∠ACO，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．4(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A，B两点，直线l：y=kx+2与抛物线交于A，C两点，且A-1,0，B3,0．(1)求a，b，k的值；(2)点M是线段OB上的动点，点N在x轴上，MN=2，且点N在M的左边．过点M作MP⊥x轴，交抛物线于点P．过点N作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线l于点R．①当以P，Q，R，M为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．②记以P，Q，R，M为顶点的四边形面积为S，求S的最大值．5(2024·安徽蚌埠·一模)如图1，已知直线y=-x+5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是-1，0，抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示；①求AE+DF的值；②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．6(2024·安徽马鞍山·一模)如图，过原点的二次函数y=ax2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于B1,-3，与y轴交于点C0,-4．(1)分别求此二次函数与直线AB的解析式．(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为t．①当PD=12OC时，求t的值；②当点P在直线AB下方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF，求四边形FQED面积的最大值．7(2024·山东济南·一模)如图，直线y=-12x+3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P m,0顺时针旋转90°得到线段O A ，若线段O A 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．8(2024·四川广元·二模)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于原点O和点A4，0，经过点A的直线与该函数图象交于另一点B1，3，与y轴交于点C．(1)求直线AB的函数解析式及点C的坐标．(2)点P是抛物线上位于直线AB上方的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，连接OP，与BF交于点G，连接DG．求四边形GDEF面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得∠BOQ=45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9(2024·广东珠海·一模)如图，抛物线y=-x2+3x+4和直线y=x+1交于A-1,0点，点B，B3,4在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．(1)求∠BAC的度数．(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒t>0．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．10(2024·安徽宿州·二模)如图1，抛物线y=ax2+bx-3(a，b是常数且a>0)与x轴交于点A-1,0和点B(点B在点A的右侧)，点D是抛物线的顶点，CD是抛物线的对称轴且交x轴于点C1,0.(1)求a，b的值；(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．(i)如图2，连接AP，DP，BD，求四边形ABDP面积的最大值；(ii)如图3，连接AP并延长交CD延长线于点Q，连接BP交CD于点E，求CE+CQ的值.11(2024·安徽·二模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4交x轴于点A-1,0,B4,0，交y轴于点C，点M在该抛物线上，横坐标为m，将该抛物线M,C两点之间(包括M,C两点)的部分记为图象W．(1)求抛物线的解析式；(2)图象W的最大值与最小值的差为4时，求m的值；(3)如图2，若点M位于BC下方，过点A作AE∥BC交拋物线于点E，点D为直线AE上一动点，连接CM, CD,BM,BD，求四边形CDBM面积的最大值及此时点M的坐标．12(2024·四川广安·二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-4,0．，B两点，交y轴于点C0,4(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13(23-24九年级上·重庆渝北·期末)二次函数y=ax2+bx+4经过点A-1,0，点C，点D，点B4,0分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，连接BC ，过点A 作BC 的平行线交二次函数于点E ，连接CM ，BM ，BE ，CE ．求四边形CMBE 面积的最大值以及此时点M 的坐标；(3)如图2，过点M 作MN ∥y 轴，交BC 于点N (点M 不与点D 重合)，过点D 作DH ∥y 轴，交BC 于点H ，当DM =HN 时，直接写出点M 的坐标．题型03面积比最值问题14(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =a x +1 x -4 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C 0，-2 ．(1)求a 的值；(2)点D 为第四象限抛物线上一点①求△BCD 的面积最大值②连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；15(2023·四川遂宁·中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．16(2024·湖北省直辖县级单位·一模)抛物线y =x 2-4x 与直线y =x 交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．(1)求出点B 和点D 的坐标；(2)如图①，连接OD ，P 为x 轴的负半轴上的一点，当tan ∠PDO =12时，求点P 的坐标；(3)如图②，M 是点B 关于抛物线的对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横坐标为m 0<m <5 ，连接MQ ，BQ ，MQ 与直线OB 交于点E ，设△BEQ 和△BEM 的面积分别为S 1和S 2，求S1S 2的最大值．17(2023·湖南永州·中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．18(2024·四川南充·一模)抛物线y =-38x 2+bx +c b >0 与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C 0,3 ，抛物线对称轴为x =1，点P 是抛物线在第一象限上动点，连接CB ，PB ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图，连接PA ，交BC 于点M ，设△ABM 的面积为S 1，△PBM 的面积为S 2，求S 1S 2的最小值及此时点P的坐标．19(2024·湖北孝感·一模)如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-1,0，B3,0，与y轴交于点C，连接BC．(1)求a，b的值及直线BC的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，(ⅰ)若EP=EG，求点P的坐标，(ⅱ)连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1S2的最大值；(3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．题型04面积和最值问题1(2024·吉林长春·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(-1,0)、B(3,0)，交y轴于点C，连结AC、BC．点D在该抛物线上，过点D作DE∥AC，交直线BC于点E，连结AD、AE、BD．设点D横坐标为m(m>0)，△DAE的面积为S1，△DBE的面积为S2．(1)求a，b的值；(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围；(3)当点D在第一象限时，求S1+S2的最大值；(4)当S1:S2=2:1时，直接写出m的值．题型05面积差最值问题1(2024·安徽合肥·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=。

2020年中考数学压轴题之二次函数专题突破1． 如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，D 为抛物线的顶点，A （-1，0），B （3，0）．（1）求出二次函数的表达式．（2）点P 在x 轴上，且∠PCB=∠CBD，求点P 的坐标．（3）在x 轴上方抛物线上是否存在一点Q ，使得以Q ，C ，B ，O 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2+2x+3；（2）P （6，0）或P 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，点Q 1122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或17,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）将点A 、B 坐标代入解析式求出b 、c 的值即可得；（2）∠PCB=∠CBD 有两种情况，①P 在B 的右侧时，延长BD 交y 轴于点H ，由∠OCB=∠OBC=45°，可证明∠HCB=∠CBP，从而△PCB≌△HBC，由直线BD 即可求得：OH=OP=6，从而得到P 点坐标；②P 在B 的左侧时，此时PC∥BD，根据一次函数解析式即可求出P ；（3）分以下两种情况分别求解，①点Q 在y 轴右侧时，由OB=OC ，可得出OQ 是∠BOC 的平分线，联立二次函数解析式与直线OQ 的解析式即可求解；②点Q 在y 轴左侧时，可得这条对角线只能是BQ ，过点C 作x 轴的平行线EF ，过点Q ，B 分别作EF 的垂线，垂足分别为F ，E ，延长FQ 交x 轴于点G ，设点Q 的坐标为(m ，n)，根据S △BOQ =S △CBQ =S 梯形FQBE -S △FCQ -S △BEC 可得出关于m ，n 的关系式，再与二次函数的解析式联立即可求解．2．已知，如图，二次函数2y ax bx c =++图像交x 轴于(1,0)A -，交y 交轴于点(0,3)C ，D 是抛物线的顶点，对称轴DF 经过x 轴上的点(1,0)F ．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴DF 与BC 交于点M ，点P 为对称轴DF 上一动点．①求AP PD +的最小值及取得最小值时点P 的坐标； ②在①的条件下，把APF V 沿着x 轴向右平移t 个单位长度(04)t ≤≤时，设APF V 与MBF V 重叠部分面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并求出S 的最大值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2P 坐标为(1,1)；②2221(2)1(01)4751(12)12331(4)(24)6t t S t t t t t ⎧--+≤≤⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，当107t =时，S 最大值67=． 【分析】（1）函数对称轴为x=1，则点B （3，0），用交点式表达式得：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3），即可求解；（2）①连接BD ，过点A 作AH⊥BD 于点H ，交DF 于点P ，PD=AP+PD ，此时PD=AH 最小，即可求解；②根据题意，可分为0≤t≤1、1＜t ＜2、2≤t≤4三种情况，分别求解，即可得到答案．3．平面直角坐标系中，0是坐标原点，抛物线21233y x x c =-+交x 轴于,A B 两点(如图)，顶点是C ，对称轴交x 轴于点,2,D OB OA =（1）如图(1)求抛物线的解析式；（2）如图(2)E 是第三象限抛物线上一点，连接ED 并延长交抛物线于点F ，连接,,EC FC 求证：90ECF ∠=︒；（3）如图(3)在(2)问条件下，,M N 分别是线段,OA CD 延长线上一点，连接,MN CM ，过点C 作CQ MN ⊥于,Q CQ 交DM 于点P ，延长FE 交MC 于R ，若2,NMD DMC ∠=∠DN BO +,:7:3,MP MR RC ==求点F 坐标．【答案】（1）2128333y x x =--；（2）证明见解析；（3）75,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）设DA=DB=m ，根据抛物线对称性和OB=2OA ，建立方程求解即可；（2）配方法可求得抛物线顶点坐标，过点E 作EH⊥CD 于G ，过F 作FG⊥CD 于G ，可证明△DEH∽△DFG，tan∠GFC=tan∠ECH，即可证明∠ECF=90°；（3）以DM 为边在x 轴上方作正方形DMKT ，延长CQ 交KT 于S ，过S 作SG⊥DM 于G ，连接MT ，作∠SCT 平分线交MT 于I ，过点I 作IJ⊥CT 于J ，设DM=t ，则DT=TK=t ，易证：△MDC≌△CJI，△MDN≌△SGP，可得：SZ=SL=t-7，CZ=CJ=t ，CS=2t-7，利用勾股定理建立方程即可求得点M 坐标，再利用相似三角形性质可求得点R 坐标，运用待定系数法即可求得直线DR 解析式，解方程组可求得点F 的坐标．4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2经过点A （﹣2，与x 轴相交于B ，C 两点，且B 点坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BCD 沿直线BD 翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D 的坐标；（3）抛物线与y 轴交于点Q ，连接BQ ，DQ ，在抛物线上有一个动点P ，且S △PBD ＝S △BDQ ，求满足条件的点P 的横坐标．【答案】（1）2y x =-（2）1D ⎛ ⎝⎭；（3）83 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）设对称轴于BC 的交点为E ，先求出点C ，点E 坐标，可求BC=4，BE=CE=2，由折叠的性质可得BC'的长，由勾股定理可求C'E ，DE 的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，利用等底等高的两个三角形的面积相等，可求解．5．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若8CG AG =，求点P 的坐标．【答案】（1）21322y x x =--；（2）1m t =-；（3）933,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】 （1）将抛物线解析式化为顶点式可得y=a （x-1）2-4a ，则C 点为（1，-4a ），再由-4a=-2即可求a 的值，进而确定函数解析式；（2）由已知分别求出点P 和点A 的坐标，可得AP 的直线解析式，求出D 点坐标则可求CD ；（3）设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，由三角形中位线的性质可求BE=2（t-3）=2t-6；过点F 作FN⊥BE 于点N ，过点P 作PM⊥BE 交BE 的延长线于点M ，可证明Rt△PME≌Rt△ENF （HL ），从而推导出∠EPF=∠EFP=45°；过点C 作CK⊥CG 交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，能够进一步证明△ACK≌△BCG （SAS ），得到∠KGB=90°；令AG=8m ，则CG=BG=6m ，过点G 作GL⊥x 轴于点L ，在Rt△ABG 中，AG=10m=4，求出m 值，利用等积法可求G 点的坐标，再将G 点坐标代入3322t t y x --=+，求出t ，即可求出点P 坐标. 6．已知函数12y kx k =+与函数2223,y x x =-+定义新函数21y y y =-（1）若2,k =则新函数y = ；（2）若新函数y 的解析式为22,y x bx =+-则k = ，b = ； （3）设新函数y 顶点为(),m n ．①当k 为何值时，n 有最大值，并求出最大值；②求n 与m 的函数解析式；（4）请你探究：函数1y 与新函数y 分别经过定点,A B ，函数2223y x x =-+的顶点为C ，新函数y 上存在一点D ，使得以点,,,A B C D 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k 的值．【答案】（1）261-+x x ；（2）5,12-；（3）①当32k =-时，174n =最大值；②24=--+n m m ；（4）1712=k 或1712k =-或3512k =- 【分析】（1）将k=2代入函数，然后用21y y -得到新函数；（2）先求出新函数，然后比较2个函数，利用对应位置的系数相同可求得；（3）①先用k 表示新函数的定点，得出m 、n 和k 的关系式，再利用配方法求得n 最大时k 的值；②已求得m 、n 关于k 的关系式，将1k m =-代入n 中，化简可得m 、n 的关系式；（4）先求出定点A 、B 、C ，如下图，存在3处D 可构成平行四边形，利用平行四边形的特点求出点D 的坐标，进而得出k 的值．。

2020年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。

重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题17二次函数的面积问题【考点1】二次函数的线段最值问题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值．【变式1-1】已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）试说明抛物线与直线有两个交点；（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．【变式1-2】如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．（1）求顶点A 的坐标（2）若P 是抛物线上且位于直线OB 上方的一个动点，求△OPB 的面积的最大值及比时点P 的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA 交于C ，D 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【考点2】二次函数的面积定值问题【例2】已知二次函数2248y x mx m =-+-．（1）图象经过点1,1（）时，则m =_________；（2）当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；（3）以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：AMN ∆的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【变式2-1】如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M 1、M 2、M 3使得△M 1BC 、△M 2BC 、△M 3BC 的面积均为定值S ，求出定值S 及M 1、M 2、M 3这三个点的坐标．【变式2-2】如图：已知抛物线()()13(0)2y x m x m m m=-+->与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 交于点C ，抛物线对称轴与x 轴交于点D ，93,02E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为x 轴上一点．（1）写出点A 、B 、C 的坐标（用m 表示）；（2）若以DE 为直径的圆经过点C 且与抛物线交于另一点F ， ①求抛物线解析式；②P 为线段DE 上一动（不与D 、E 重合），过P 作PQ EC ⊥作PH DF ⊥，判断PQ PHDC EF+是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由；（3）如图②，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，与y 相交于点M ，连接BM .点S 是线段AM 的中点，连接OS .若点N 是线段BM 上一个动点，连接SN ，将△SMN 绕点S 逆时针旋转60o 得到△SOT ，延长TO 交BM 于点K ．若△KTN 的面积等于△ABM 的面积的112，求线段MN 的长．【考点3】二次函数的面积最值问题【例3】已知抛物线22y x x m m =---．（1）求证：抛物线与x 轴必定有公共点；（2）若P （a ，y 1），Q （－2，y 2）是抛物线上的两点，且y 1>y 2，求a 的取值范围；（3）设抛物线与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，点A 在点B 的左侧，与y 轴负半轴交于点C ，且123x x+=，若点D 是直线BC 下方抛物线上一点，连接AD 交BC 于点E ，记△ACE 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，求21S S 是否有最值？若有，求出该最值；若没有，请说明理由． 【变式3-1】如图，直线334x y =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B，抛物线234y ax x c =++经过B 、C 两点.①求点C 的坐标； ②求抛物线的解析式；③如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当BEC ∆面积最大时，请求出点E 的坐标和BEC ∆面积的最大值.【变式3-2】如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点()30A -,和点()10B ,，交y 轴于点C .(1)求这个抛物线的函数表达式；(2)若点D 的坐标为()1,0-，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值. 【考点4】二次函数面积的其它问题【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线55y x =-+与x 轴、y 轴分别交于,A C 两点，抛物线2y x bx c =++经过,A C 两点，与x 轴交于另一点B .（1）求抛物线解析式及B 点坐标； （2）连接BC ，求ABC ∆的面积；（3）若点M 为抛物线上一动点，连接,MA MB ，当点M 运动到某一位置时，ABM ∆面积为ABC ∆的面积的45倍，求此时点M 的坐标.【变式4-1】如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点O ，与x 轴交于另一点N ，直线y ＝kx ＋4与两坐标轴分别交于A 、D 两点，与抛物线交于点B(1，m)、C(2，2)．1. 求直线与抛物线的解析式．2.若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P(x ，y)，设∠PON ＝，求当△PON 的面积最大时tan的值．3. 若动点P 保持（2）中的运动线路，问是否存在点P ，使得△POA 的面积等于△PON 的面积的？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【变式4-2】如图1，抛物线23y x x =--与直线22y x =--交于A 、B 两点，过A 作//AC x 轴交抛物线于点C ，直线AB 交x 轴于点D ．()1求A 、B 、C 三点的坐标；()2若点H 是线段BD 上的一个动点，过H 作//HE y 轴交抛物线于E 点，连接OE 、OH ，当310HE AC =时，求OEH S V 的值；()3如图2，连接BO ，CO 及BC ，设点F 是BC 的中点，点P 是线段CO 上任意一点，将BFP V 沿边PF翻折得到GPF V ，求当PC 为何值时，GPF V 与CFP V 重叠部分的面积是BCP V 面积的14．一、解答题1．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为()1,0，与y 轴交于点()0,3C-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC ，点P 在抛物线上，且满足2PAB ACO ∠=∠．求点P 的坐标；（3）如图②，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM DN +是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2．如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D 、E 的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD ，PE ，DE ．（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置是发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由； （3）请直接写出△PDE 周长的最大值和最小值．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，OA="16" cm ，OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）用含t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）判断四边形OPBQ 的面积是否是一个定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； （3）当△OPQ ∽△ABP 时，抛物线y ＝x 2+bx+c 经过B 、P 两点，求抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下，过线段BP 上一动点M 作轴的平行线交抛物线于N ，求线段MN 的最大值． 4．如图1所示，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点()A 4,0-和点()B 1,0，交y 轴于点()C 0,4．()1求抛物线的函数表达式；()2如图2所示，若点M 是抛物线上一动点，且AOM S BOC S 3=V V ，求点M 的坐标；()3如图3所示，设点N 是线段AC 上的一动点，作PN x ⊥轴，交抛物线于点P ，求线段PN 长度的最大值．5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0） （1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△P AB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）该抛物线有一点D （x ，y ），使得S △ABC ＝S △DBC ，求点D 的坐标．6．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD =2，连接DE 、OF ．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标；（3）过点A 的直线将（2）中的平行四边形ODEF 分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）7．平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A 、C 的坐标分别为(0，3)、(1-，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形'''A B OC ． (1)若抛物线过点C ，A ，A'，求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC 和平行四边形'''A B OC 重叠部分△'OC D 的周长；(3)点M 是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M 在何处时△AMA'的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M 的坐标．8．如图，已知抛物线213y x bx c =++经过点(1,0)A -、(5,0)B . （1）求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；（2）若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积（3）定点(0,)D m 在y 轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P 在新的抛物线上运动，求定点D 与动点P 之间距离的最小值d （用含m 的代数式表示）9．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点()30A -,和点B ，交y 轴于点()0,3C . （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在抛物线上，且4AOP BOC S S ∆∆=，求点P 的坐标；（3）如图，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ x ⊥轴，交抛物线于点D ，求线段DQ 长度的最大值，并求出DAC ∆面积的最大值.10．抛物线2y ax bx c =++经过点A （-1,0）、B （4,0），与y 轴交于点C （0,4）. (1)求抛物线的表达式；(2)点P 为直线BC 上方抛物线的一点，分别连接PB 、PC ，若直线BC 恰好平分四边形COBP 的面积，求P 点坐标；(3)在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q,该抛物线对称轴上存在一点N ，使得以A 、P 、Q 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由.11．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD y ⊥轴交抛物线于另一点D ，作DE x ⊥轴，垂足为点E .双曲线6(0)y x x=>经过点D ，连接MD ，BD .(1)求抛物线的表达式；(2)点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；12．如图，抛物线24y ax bx =+-交x 轴于(40)A -，、(20)B ，两点，交y 轴于点C ，顶点为H ，其对称轴交x 轴于点N ．直线l 经过B 、D 两点，交抛物线的对称轴于点M ，其中点D 的横坐标为5-． (1)求抛物线的表达式；(2)连接AM ，求ABM V 的周长；(3)若P 是抛物线位于直线BD 的下方且在其对称轴左侧上的一点，当四边形DPHM 的面积最大时，求点P 的坐标．13．如图，抛物线经过点A （1，0），B （5，0），C （0，）三点，设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且在x 轴下方，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E （x ，y ）运动时，试求平行四边形OEBF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值？（3）是否存在这样的点E ，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求E 点，F 点的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），交y 轴与C （0，3），D 为抛物线上的顶点，直线y=x ﹣1与抛物线交于M 、N 两点，过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线与点Q ．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）求线段PQ 的最大值；（3）设E 为线段OC 的三等分点，连接EP 、EQ ，若EP=EQ ，直接写出P 的坐标．15．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A （﹣3，0）与B （1，0），与直线y ＝kx （k≠0）交于点C （﹣2，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E 是抛物线上（x 轴下方）的一个动点，过点E 作x 轴的平行线与直线OC 交于点F ，试判断在点E 运动过程中，以点O ，B ，E ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E 的坐标；若不能，请说明理由．（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DM 交x 轴于点M ，当点E 在抛物线上B ，D 之间运动时，连接EA 交DM 于点N ，连接BE 并延长交DM 于点P ，猜想在点E 的运动过程中，MN+MP 的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与X 轴的交点为A,与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）．（1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；（3）当902t ＜＜时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．17．已知抛物线y =2ax bx c ++（a ≠0）与x 轴交于A ､B 两点,与y 轴交于C 点,其对称轴为x =1,且A （-1,0）､C （0,2）.（1）直接写出该抛物线的解析式;（2）P 是对称轴上一点,△PAC 的周长存在最大值还是最小值?请求出取得最值（最大值或最小值）时点P 的坐标;（3）设对称轴与x 轴交于点H,点D 为线段CH 上的一动点（不与点C ､H 重合）.点P 是（2）中所求的点.过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E.连接PD ､PE.若CD 的长为m ,△PDE 的面积为S,求S 与m 之间的函数关系式,试说明S 是否存在最值,若存在,请求出最值,并写出S 取得的最值及此时m 的值;若不存在,请说明理由.18．如图，已知直线AB 与抛物线C ：2y ax 2x c =++ 相交于()1,0A -和点()B 2,3两点.⑴求抛物线C 的函数表达式；⑵若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA MB 、为相邻两边作平行四边形MANB ,当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线17y 4=的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.19．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 中的点D 沿AE 对折，使点D 落在OC 上的F 点，已知AO=8，AD=10，G(-1,7),已知抛物线过点O ,F,G. （1）求抛物线的解析式；（2）点M 为抛物线的对称轴上一动点，当MG MF -取得最大值时，求点M 的坐标；（3）一条动直线过平面上一点B ，点B 的坐标为(3,-8)，且该直线与（1）中的抛物线交于P,Q 两点，请判断：PQPB QB⨯是否为定值.若是定值请求出定值，若不是定值，请求出其取值范围.（参考公式：在平面直角坐标系中，若H(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则,H N 两点间的距离为()()222121HN x x y y =-+-）20．如图，已知抛物线(2)(6)y a x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且tan 32CAB ∠=.设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N . （1）求抛物线的解析式；（2）P 为抛物线的对称轴上一点，(,0)Q n 为x 轴上一点，且PQ PC ⊥. ①当点P 在线段MN (含端点)上运动时，求n 的变化范围； ②当n 取最大值时，求点P 到线段CQ 的距离；③当n 取最大值时，将线段．．CQ 向上平移t 个单位长度，使得线段．．CQ 与抛物线有两个交点，求t 的取值范围.。

2020年东营市中考数学压轴题型讲练——二次函数综合【题型导引】题型一：二次函数中的最值问题：本类型涉及到函数中动态线段的最值，组成的三角形的周长最值，特殊三角形面积的最值，不规则多边形面积的最值探究。

题型二：二次函数中的存在性问题：本类型涉及到函数中动点过程中组成的特定角的存在性，特殊三角形的存在性，特殊四边形的存在性等。

【典例解析】类型一：最值问题研究例题1：（2019•山东省滨州市•14分）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），当y＝0时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（﹣t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得，t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣），当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠PAD的值是或．技法归纳：(1)解答二次函数中存在性问题的一般思路：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的计算、推理，若推出矛盾，则否定先前假设，若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论；(2)对于点的存在性问题，首先要根据条件，运用画图判断存在的可能性，作出合理的猜想．然后再通过方法的选择，在演绎的过程或结论中，作出存在与否的判断；(3)对于单个图形形状的存在性判断，先假设图形形状存在，然后根据图形的特殊性来求出存在的条件(即要求的点的坐标)．当图形的形状无法确定唯一时，还要注意分类，如等腰三角形的腰与底，直角三角形中直角顶点的位置等．类型二：存在性问题研究例题2：(2018·齐齐哈尔中考)综合与探究如图1所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)将A(－4，0)代入y ＝x ＋c 得c ＝4，将A(－4，0)和c ＝4代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得b ＝－3，∴抛物线解析式为y ＝－x 2－3x ＋4. (2)如图，作点C 关于抛物线对称轴的对称点C′，连接OC′，交直线l 于点E ，连接CE ，此时CE ＋OE 的值最小．∵抛物线对称轴直线x ＝－32，∴CC′＝3.由勾股定理可得OC′＝5， ∴CE＋OE 的最小值为5. (3)①当△CNP∽△AMP 时，∠CNP＝90°，则NC 关于抛物线对称轴对称， ∴NC＝NP ＝3，∴△CPN 的面积为92.当△CNP∽△MAP 时，由已知△NCP 为等腰直角三角形，∠NCP＝90°.如图，过点C 作CE⊥MN 于点E ，设点M 坐标为(a ，0)，∴EP＝EC ＝－a ，则N 为(a ，－a 2－3a ＋4)，MP ＝－a 2－3a ＋4－(－2a)＝－a 2－a ＋4，∴P(a，－a 2－a ＋4)， 代入y ＝x ＋4，解得a ＝－2或a ＝0(舍)，则N(－2，6)，P(－2，2)，故PN ＝4. 又∵EC＝－a ＝2， ∴△CPN 的面积为4.故答案为92或4.②存在．设点M 坐标为(a ，0)，则点N 坐标为(a ，－a 2－3a ＋4)，则P 点坐标为(a ，－a 2－3a ＋42)，把点P 坐标代入y ＝x ＋4， 解得a 1＝－4(舍去)，a 2＝－1.当PF ＝FM 时，点D 在MN 垂直平分线上，则D(12，32)；当PM ＝PF 时，由菱形性质得点D 坐标为(－1＋322，322)或(－1－322，－322)；当MP ＝MF 时，M ，D 关于直线y ＝x ＋4对称，点D 坐标为(－4，3)．技法归纳：以二次函数图象为背景探究动点形式的最值问题，要注意以下几点：1.要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动的时间t 或动点的坐标；2.(1)求三角形面积最值时要用含t 的代数式表示出三角形的底和高的代数式或函数表达式；(2)求四边形面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t 的代数式表示的线段，然后用含t 的代数式表示出图形面积；3.用二次函数的性质来求最大值或最小值． 【变式训练】1. （2019•甘肃武威•12分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx+4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x+3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）， 即：﹣12a ＝4，解得：a ＝﹣， 则抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+x+4；（2）存在，理由：点A.B.C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝4，∠OAB ＝∠OBA ＝45°，将点B.C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx+b 并解得：y ＝﹣x+4…①， 同理可得直线AC 的表达式为：y ＝x+4，设直线AC 的中点为M （﹣，4），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为﹣， 同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：y ＝﹣x+…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（，）；③当CQ＝AQ时，联立①②并解得：x＝（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣m2+m，∵﹣＜0，∴PN有最大值，当m＝时，PN的最大值为：．2. (2018·菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的解析式；(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．【解析】 (1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －5经过点B(－5，0)和点C(1，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧25a －5b －5＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋4x －5.(2)∵抛物线y ＝x 2＋4x －5交y 轴于点A ， ∴A 点坐标为(0，－5)．又∵点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上， ∴点E 的纵坐标为5.如图，过点E 作EF⊥DA，交DA 的延长线于点F ， ∴EF＝5＋|－5|＝10.设点D 的坐标为(a ，－5)， ∴a 2＋4a －5＝－5， ∴a 1＝0，a 2＝－4，∴点D 的坐标为(－4，－5)， ∴AD＝|－4|＝4，∴S △ADE ＝12AD·EF＝12×4×10＝20.(3)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，且该直线经过点B(－5，0)和点A(0，－5)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－5k ＋b ＝0，b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－5， ∴直线AB 的解析式为y ＝－x －5.如图，过点P 作PN⊥x 轴，垂足为点N ，交直线AB 于点M.设P(x ，x 2＋4x －5)，则M(x ，－x －5)， ∴S △ABP ＝S △PMB ＋S △PMA ＝12[(－x －5)－(x 2＋4x －5)]×5 ＝－52(x 2＋5x)＝－52(x ＋52)2＋1258，∴当x ＝－52时，S △ABP 最大，最大值为1258.将x ＝－52代入y ＝x 2＋4x －5得y ＝－354，∴P 点的坐标为(－52，－354)．3. (2018·宜宾中考改编)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线y ＝14x 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 为y ＝－1.(1)求抛物线的解析式；(2)在y 轴上是否存在一点M ，使点M 到点A ，B 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在l 上是否存在一点P ，使PA ＋PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (4)设点S 是直线l 的一点，是否存在点S ，使的SB －SA 最大，若存在，求出点S 的坐标．【解析】(1)∵抛物线的顶点坐标为(2，0)，设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2. ∵该抛物线经过点(4，1)，∴1＝4a ，解得a ＝14，∴抛物线的解析式为y ＝14(x －2)2＝14x 2－x ＋1.(2)存在．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ，y ＝14x 2－x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝14或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝1， ∴点A 的坐标为(1，14)，点B 的坐标为(4，1)．设点M 的坐标为(0，m)，∴MA 2＝(0－1)2＋(m －14)2，MB 2＝(0－4)2＋(m －1)2.∵点M 到A ，B 的距离相等，∴MA 2＝MB 2，即(0－1)2＋(m －14)2＝(0－4)2＋(m －1)2，∴m＝858，∴点M 的坐标为(0，858)．(3)存在．如图，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA ＋PB 取得最小值．∵点B(4，1)，直线l 为y ＝－1， ∴点B′的坐标为(4，－3)．设直线AB′的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，将A(1，14)，B′(4，－3)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝14，4k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1312，b ＝43， ∴直线AB′的解析式为y ＝－1312x ＋43.当y ＝－1时，有－1312x ＋43＝－1，解得x ＝2813，∴点P 的坐标为(2813，－1)．(4)存在．点S 和点A ，B 在同一条直线上时，SB －SA 最大． ∵点S 在直线l 上，∴设点S 的坐标为(n ，－1)，代入y ＝14x 得n ＝－4，∴点S 的坐标为(－4，－1)．4. (2018·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC ＝2O B ，t a n ∠ABC＝2，点B 的坐标为(1，0)，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A ，B 两点． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一点．过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE ＝12DE.①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】：(1)在Rt △ABC 中，由点B 的坐标可知OB ＝1. ∵OC＝2OB ，∴OC＝2，则BC ＝3. 又∵t a n ∠ABC＝2，∴AC＝2BC ＝6，则点A 的坐标为(－2，6)．把点A ，B 的坐标代入抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 中得 ⎩⎪⎨⎪⎧－4－2b ＋c ＝6，－1＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝4，∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2－3x ＋4.(2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋2.如图，设点P 的坐标为(m ，－m 2－3m ＋4)，则点E 的坐标为(m ，－2m ＋2)，点D 的坐标为(m ，0)，则PE ＝－m 2－m ＋2，DE ＝－2m ＋2，由PE ＝12DE 得－m 2－m ＋2＝12(－2m ＋2)， 解得m ＝±1.又∵－2＜m ＜1，∴m＝－1，∴点P 的坐标为(－1，6)． ②∵M 在直线PD 上，且P(－1，6)， 设M(－1，y)，∴AM 2＝(－1＋2)2＋(y －6)2＝1＋(y －6)2，BM 2＝(1＋1)2＋y 2＝4＋y 2，AB 2＝(1＋2)2＋62＝45. 分三种情况：(ⅰ)当∠AMB＝90°时，有AM 2＋BM 2＝AB 2，∴1＋(y －6)2＋4＋y 2＝45，解得y ＝3±11， ∴M(－1，3＋11)或(－1，3－11)；(ⅱ)当∠ABM＝90°时，有AB 2＋BM 2＝AM 2，∴45＋4＋y 2＝1＋(y －6)2，解得y ＝－1， ∴M(－1，－1)．(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM 2＋AB 2＝BM 2，∴1＋(y －6)2＋45＝4＋y 2，解得y ＝132，∴M(－1，132)．综上所述，点M 的坐标为(－1，3＋11)或(－1，3－11)或(－1，－1)或(－1，132)．5. （2019•湖南衡阳•10分）如图，二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1））∵抛物线y ＝x 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （3，0）， 把A.B 两点坐标代入上式，，解得：，故抛物线函数关系表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3； （2）∵A （﹣1，0），点B （3，0）， ∴AB ＝OA+OB ＝1+3＝4，∵正方形ABCD 中，∠ABC ＝90°，PC ⊥BE ， ∴∠OPE+∠CPB ＝90°， ∠CPB+∠PCB ＝90°， ∴∠OPE ＝∠PCB ，又∵∠EOP ＝∠PBC ＝90°， ∴△POE ∽△CBP ， ∴，设OP ＝x ，则PB ＝3﹣x ，∴，∴OE= =∵0＜x＜3，∴时，线段OE长有最大值，最大值为．即OP＝时，线段OE有最大值．最大值是．（3）存在．如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴x＝0，y＝﹣3，∴N点坐标为（0，﹣3），设直线BN的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，设M（a，a2﹣2a﹣3），则H（a，a﹣3），∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝，∵，∴a＝时，△MBN的面积有最大值，最大值是，此时M点的坐标为 (, ).6. (2018·怀化中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；(3)试探究：①在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②在数轴上是否存在点M ，使得△ACM 是以AC 为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)设抛物线解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，即y ＝ax 2－2ax －3a ，∴－2a ＝2，解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.当x ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝3，则C(0，3)． 设直线AC 的解析式为y ＝px ＋q ，把A(－1，0)，C(0，3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，q ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3.(2)∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴顶点D 的坐标为(1，4)．如图，作B 点关于y 轴的对称点B′，则B′(－3，0)，连接DB′交y 轴于M.∵MB＝MB′，∴MB＋MD ＝MB′＋MD ＝DB′，此时MB ＋MD 的值最小． ∵BD 的值不变，∴此时△BDM 的周长最小． 易得直线DB′的解析式为y ＝x ＋3.当x ＝0时，y ＝x ＋3＝3，∴点M 的坐标为(0，3)． (3)①存在．如图，过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P.∵直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3，∴直线PC 的解析式可设为y ＝－13x ＋b ，把C(0，3)代入得b ＝3，∴直线PC 的解析式为y ＝－13x ＋3.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－13x ＋3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝209， 则此时P 点坐标为(73，209)．如图，过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P′， 直线P′A 的解析式可设为y ＝－13x ＋b 1，把A(－1，0)代入得13＋b 1＝0，解得b 1＝－13，∴直线PC 的解析式为y ＝－13x －13.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－13x －13得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－139， 则此时P′点坐标为(103，－139)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为(73，209)或(103，－139)．②存在．当点M 在x 轴上时，设点M 的坐标为(n ，0)，∵MA 2＝MB 2，即[n －(－1)]2＝n 2＋(0－3)2， ∴n＝4，∴此时点M 的坐标为(4，0)．当点M 在y 轴上时，设点M 的坐标为(0，a)，∵MA 2＝MB 2，即[0－(－1)]2＋(a －0)2＝(3－a)2，∴a＝43，∴此时点M 的坐标为(0，43)．综上所述，符合条件的点M 的坐标为(4，0)或(0，43)．7. （2019•湖北省咸宁市•12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD ＝2∠BAC 时，求点D 的坐标；（3）已知E ，F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ，O ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标．【解答】解：（1）在中，令y ＝0，得x ＝4，令x ＝0，得y ＝2∴A （4，0），B （0，2） 把A （4，0），B （0，2），代入，得，解得∴抛物线得解析式为（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE∴∠DBE＝∠ABE∴∠DBE＝∠BAC设D点的坐标为（x，），则BF＝x，DF＝∵tan∠DBE＝，tan∠BAC＝∴＝，即解得x1＝0（舍去），x2＝2当x＝2时，＝3∴点D的坐标为（2，3）（3）当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF设E（m，），F（m，）EF＝|（）﹣（）|＝2解得m 1＝2，，当BO 为对角线时，OB 与EF 互相平分过点O 作OF ∥AB ，直线OF 交抛物线于点F （）和（）求得直线EF 解析式为或直线EF 与AB 的交点为E ，点E 的横坐标为或∴E 点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）8. (2017·天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a(a ＜0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC. (1)求A ，B 两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线l 的函数解析式(其中k ，b 用含a 的式子表示)；(3)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值；(4)设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【解析】：(1)当y ＝0时，ax 2－2ax －3a ＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，对称轴为直线x ＝－1＋32＝1.(2)∵直线l 为y ＝kx ＋b 且过A(－1，0)， ∴0＝－k ＋b ，即k ＝b ，∴直线l 为y ＝kx ＋k. ∵抛物线与直线l 交于点A ，D ，∴ax 2－2ax －3a ＝kx ＋k ，即ax 2－(2a ＋k)x －3a －k ＝0.∵CD＝4AC ，∴点D 的横坐标为4，∴－3－ka＝－1×4，∴k＝a ，∴直线l 的函数解析式为y ＝ax ＋a. (3)图1如图1，过点E 作EF∥y 轴交直线l 于点F.设E(x ，ax 2－2ax －3a)，则F(x ，ax ＋a)，EF ＝ax 2－2ax －3a －ax －a ＝ax 2－3ax －4a ，∴S △ACE ＝S △AFE －S △CEF ＝12(ax 2－3ax －4a)(x ＋1)－12(ax 2－3ax －4a)x ＝12(ax 2－3ax －4a)＝12a(x －32)2－258a ，∴△ACE 的面积的最大值为－258a.∵△ACE 的面积的最大值为54，∴－258a ＝54，解得a ＝－25.(4)以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形．令ax 2－2ax －3a ＝ax ＋a ，即ax 2－3ax －4a ＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4，∴D(4，5a)． ∵抛物线的对称轴为直线x ＝1， 设P(1，m)，如图2，①若AD 是矩形ADPQ 的一条边，图2则易得Q(－4，21a)，m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)． ∵四边形ADPQ 是矩形， ∴∠ADP＝90°，∴AD 2＋PD 2＝AP 2， ∴52＋(5a)2＋32＋(26a －5a)2＝22＋(26a)2，即a 2＝17.∵a＜0，∴a＝－77， ∴P(1，－2677)．②如图3，若AD 是矩形APDQ 的对角线，图3则易得Q(2，－3a)， m ＝5a －(－3a)＝8a ， 则P(1，8a)．∵四边形APDQ 是矩形， ∴∠APD＝90°，∴AP 2＋PD 2＝AD 2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2，即a 2＝14.∵a＜0，∴a＝－12，∴P(1，－4)．综上所述，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 坐标为(1，－2677)或(1，－4)．。

2020年中考数学必考经典专题2二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题【方法指导】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。

有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．（4）同底三角形的面积比等于高的比．（5）同高三角形的面积比等于底的比．【题型剖析】【类型1】二次函数与面积最值问题【例1】如图，抛物线2(1)y x k =-+与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点(0,3)C -．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且0m >．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求ABP ∆面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点)P 最高点与最低点的纵坐标之差为h ．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当9h =时，直接写出BCP ∆的面积．【变式训练】如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,4)C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为(4,0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK KN +最小，并求出点K 的坐标；（3）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作//QE AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当CQE ∆的面积最大时，求点Q 的坐标；【类型2】二次函数与面积定值问题【例2】抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(5,0)B 两点，顶点为C ，对称轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与C ，D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x 轴于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）当PCF ∆的面积为5时，求点P 的坐标；（3）当PCF ∆为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．【变式训练】已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为____，抛物线的顶点坐标为____；（2）如图1，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标；（3）如图2，点E 的坐标为(0,1)-，点G 为x 轴负半轴上的一点，15OGE ∠=︒，连接PE ，若2PEG OGE ∠=∠，请求出点P 的坐标；（4）如图3，是否存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型3】二次函数与等面积问题【例3】如图，二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)-，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上．（1）b =______；（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM MN NH ==？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ BD ⊥，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且2PQB QRB S S ∆∆=，求点P 的坐标．【变式训练】如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及PAC ∆的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆=？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型4】二次函数与面积数量关系【例4】如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(1,3)．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E 是线段BD 上的一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为F ，且ED EF =，求点E 的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G ，使得ADG ∆的面积是BDG ∆的面积的35？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 、E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【达标检测】1．如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ，交y 轴于点C ，过点C 作//CD x 轴，交抛物线于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线(30)y m m =-<<与线段AD 、BD 分别交于G 、H 两点，过G 点作EG x ⊥轴于点E ，过点H 作HF x ⊥轴于点F ，求矩形GEFH 的最大面积；（3）若直线1y kx =+将四边形ABCD 分成左、右两个部分，面积分别为1S ，2S ，且12:4:5S S =，求k 的值．2．如图，抛物线2(0)y ax bx a =+<过点(10,0)E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左边），点C ，D 在抛物线上．设(,0)A t ，当2t =时，4AD =．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．3．已知：如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，该抛物线的顶点为M ．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）求直线BM 的函数解析式．（3）试说明：90CBM CMB ∠+∠=︒．（4）在抛物线上是否存在点P ，使直线CP 把BCM ∆分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线21:C y x ax =+与22:C y x bx =-+相交于点O 、C ，1C 与2C 分别交x 轴于点B 、A ，且B 为线段AO 的中点．（1）求a b的值；（2）若OC AC ⊥，求OAC ∆的面积；（3）抛物线2C 的对称轴为l ，顶点为M ，在（2）的条件下：①点P 为抛物线2C 对称轴l 上一动点，当PAC ∆的周长最小时，求点P 的坐标；②如图2，点E 在抛物线2C 上点O 与点M 之间运动，四边形OBCE 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线232y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(2,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y x n =-+与该抛物线在第四象限内交于点D ，与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，且4BE EC =．①求n 的值；②连接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，AGF ∆与CGD ∆是否全等？请说明理由；（3）直线(0)y m m =>与该抛物线的交点为M ，N （点M 在点N 的左侧），点M 关于y 轴的对称点为点M '，点H 的坐标为(1,0)．若四边形OM NH '的面积为53．求点H 到OM '的距离d 的值．6．如图，已知二次函数23(2)34y ax a x =--+的图象经过点(4,0)A ，与y 轴交于点B ．在x 轴上有一动点(C m ，0)(04)m <<，过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D ．（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，设ACE ∆，DEF ∆的面积分别为1S ，2S ，若124S S =，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且DEGH 周长取最大值时，求点G 的坐标．7．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -、(3,0)B 两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ ．（Ⅰ）若点P 的横坐标为12-，求DPQ ∆面积的最大值，并求此时点D 的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，DPQ ∆面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．8．已知抛物线2(1)y a x =-过点(3,1)，D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点1(0,)4B ，且90BDC ∠=︒，求点C 的坐标；（3）如图，直线4y kx k =+-与抛物线交于P 、Q 两点．①求证：90PDQ ∠=︒；②求PDQ ∆面积的最小值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，且与x 轴相交于A ，B 两点(B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使PBC ∆的面积最大．若存在，请求出PBC ∆的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当3MN =时，求M 点的坐标．。

压轴专题练：《二次函数与周长、面积最值问题》1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）点E是线段BC上方的抛物线上一个动点，求△BEC的面积的最大值；（3）点P是抛物线的对称轴上一个动点，当以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形时，求出点P的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x 2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直．则称该矩形为点P，Q的相关矩形“．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0）．①若点B的坐标为（2，5），求点A，B的“相关矩形”的周长；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A和点C，求抛物线y＝x2+mx+n与y轴的交点D的坐标；（2）⊙O的半径为4，点E是直线y＝3上的从左向右的一个动点．若在⊙O上存在一点F，使得点E，F的“相关矩形”为正方形，直接写出动点E的横坐标的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）若OB＝3OC，求抛物线的解析式．（2）如图1，设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若，求a的值．（3）如图2，a＝﹣1，若P点是半径为2的OB上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，的值最大，请求出这个最大值，并说明理由．4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），点B在x轴的正半轴上．点P，Q均在线段AB上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标大于m，在△PQM中，若PM∥x轴，OM∥y轴，则称△PQM为点P，Q的“云三角形”．（1）若B点的坐标为（4，0），m＝2，则点P，B的“云三角形”的面积为．（2）当点P，Q的“云三角形”是等腰三角形时，求点B的坐标．（3）在（2）的条件下，作过O，P，B三点的抛物线y＝ax2+bx+c，①若点M为抛物线上一点，△POM是点P，O的“云三角形”，求△POM的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；②当点P，Q的“云三角形”的面积为3，且抛物线y＝ax2+bx+c与点P，Q的“云三角形”恰有两个交点时，直接写出m的取值范围．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）已知抛物线上点D的横坐标为2，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BDP 的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．抛物线y＝﹣x2+x+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）若B点坐标为（2，0）①求实数b的值；②如图1，点E是抛物线在第一象限内的图象上的点，求△CBE面积的最大值及此时点E的坐标．（2）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点D，若抛物线上存在点P，使得P、B、C、D四点能构成平行四边形，求实数b的值．（提示：若点M，N的坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则线段MN的中点坐标为（，）7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为；（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点N，使以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．8．一次函数y＝﹣2x﹣2分别与x轴、y轴交于点A、B．顶点为（1，4）的抛物线经过点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为第一象限抛物线上一动点．设点C的横坐标为m，△ABC的面积为S．当m 为何值时，S的值最大，并求S的最大值；（3）在（2）的结论下，若点M在y轴上，△ACM为直角三角形，请直接写出点M的坐标．9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）求∠CBD的度数；（3）若点N是线段BC上一个动点，过N作MN∥y轴交抛物线于点M，交x轴于点H，设H点的横坐标为m．①求线段MN的最大值；②若△BMN是等腰三角形，直接写出m的值．10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1.0）．B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求地物线的解析式；（2）在地物线的对称轴上找一点M．使得MA+MC最小，请求出点M的坐标；（3）在直线BC下方抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP 的面积的最大值；（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式．（2）在该抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为该抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ＝）．13．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P沿线段AD从A到D，同时动点Q沿线段CA从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动过程中能否存在PQ⊥AC？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？14．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，3），且OB ＝OC ．直线y ＝x +1与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点Q 是抛物线的顶点，设直线AD 上方的抛物线上的动点P 的横坐标为m ．（1）求该抛物线的解析式及顶点Q 的坐标．（2）连接CQ ，直接写出线段CQ 与线段AE 的数量关系和位置关系．（3）连接PA 、PD ，当m 为何值时S △APD ＝S △DAB ？（4）在直线AD 上是否存在一点H ，使△PQH 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．已知一次函数y ＝kx +3与二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象的一个交点坐标为A （3，0），另一个交点B 在y 轴上，点P 为y 轴右侧抛物线上的一动点．（1）求此二次函数的解析式；（2）当点P 位于直线AB 上方的抛物线上时，求△ABP 面积的最大值；（3）当此抛物线在点B 与点P 之间的部分（含点B 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标之差为9时，请直接写出点P 的坐标和△ABP 的面积．参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4；（2）如图，作EF∥y轴交BC于点F，记△BEC的面积为S，∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3．设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3）．∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∴当时，此时，点E的坐标是（3）设P（1，n），A（﹣1，0）、C（0，3），∴AC2＝10，AP2＝4+n2，CP2＝1+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10①当AC⊥AP时，AC2+AP2＝CP2，即10+4+n2＝n2﹣6n+10．解得；②当AC⊥CP时，AC2+CP2＝AP2，即10+n2﹣6n+10＝4+n2，解得；③当AP⊥CP时，AP2+CP2＝AC2，即4+n2+n2﹣6n+10＝10．解得n＝1或2．综上所述，符合条件的点P的坐标是或或（1，1）或（1，2），2．解：（1）①如图1，∵矩形ACBD是点A，B的“相关矩形”，∴AD∥CB，∵点A（1，0），B（2，5），∴点C（2，0），BC＝5，∴AC＝2﹣1＝1，∴点A，B的“相关矩形”的周长为2（AC+BC）＝2×（1+6）＝14；②如图2，∵点C在直线x＝3上，∴点C的横坐标为3，∵点A（1，0），C的“相关矩形”为正方形，∴BC∥AD，AB＝BC，∴点B的坐标为（3，0），∴BC＝AB＝3﹣1＝2∴点C的纵坐标为（3，2），∵抛物线y＝x2+mx+n经过点A和点C，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2，令x＝0，则y＝0，∴点D的坐标为（0，2）；（2）如图3，当点F在y轴的右侧时，点E在点M的右侧时，点E的横坐标大，连接OM，OF，设OG＝m，∵点E，F的“相关矩形”为正方形，∴FM＝ME，∵点E在直线y＝3上，∴MG＝3，在Rt△OGF中，FG＝＝，∴点E的横坐标为OG+ME＝OG+MF＝OG+MG+FG＝OG+3+FG＝m++3＝（）2+）2﹣2+2+3＝（﹣）2+2+3≥2+3（当且仅当＝时，取等号），即m＝2时，点E的横坐标为（OG+ME）最大＝（m+）最大+3＝4+3，∴点E的横坐标最大是4+3，由圆的对称性得，点E的横坐标的最小值为﹣（4+3），即点E的横坐标的范围是大于等于﹣（4+3）而小于等于（4+3）．3．解：（1）∵B（3，0），∴OB＝3，OB＝3OC，∴OC＝1，∴C（0，1），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴设抛物线的解析式y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入，1＝a×（0+1）×（0﹣3），∴a＝﹣，∴y＝（（x+1）（x﹣3），即y＝；（2）设y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a ∴C（0，﹣3a），CQ＝﹣3a．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴设OD交BC于点M，由轴对称性，BC⊥OD，OD＝2OM，在Rt△COB中，由面积法：∴∴又，∴a2+1＝9．∴．∵a＜0∴．（3）在x轴上取点D（2，0），连接PD，CD，BP∴BD＝3﹣2＝1，∵AB＝4，BP＝2，∴，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD～△ABP，∴，∴，∴，∴当点C，P，D在同一直线上时，最大，∵，∴最大值为．4．解：（1）如图1，∵A（0，6），B（4，0），∴直线AB解析式为，∵m＝2，∴P（2，3）∵PM∥x轴，QM∥y轴，∴M（4，3），∠PMB＝90°∴PM＝2，BM＝3，∴点P，B的“云三角形”△PBM的面积＝；故答案为：3（2）如图2，根据题意，得MP＝MQ，∠PMQ＝90°，∴∠MPQ＝45°，∵PM∥x轴，∴∠ABO＝45°，∴OB＝OA＝6，点B的坐标为（6，0）；（3）如图3，①首先，确定自变量取值范围为0＜m＜3，由（2）易得，线段AB的表达式为y＝6﹣x，∴点P的坐标为（m，6﹣m），∵抛物线y＝ax2+bx+c经过O，B两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴点M的坐标为（6﹣m，6﹣m），∴PM＝（6﹣m）﹣m＝6﹣2m，∴；②当点P在对称轴左侧，即m＜3时，∵点P，Q的“云三角形”面积为3，由①得：2m2﹣12m+18＝3，解得：或（舍去）．当点P在对称轴上或对称轴右侧，即m≥3时，，∴，，，∵抛物线＝ax2+bx+c与点P，Q的“云三角形”恰有两个交点，∴，解得：．综上所述，m的取值范围为：或．5．解：（1）OC＝3，则c＝3，OA＝2，则点A（﹣2，0），将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4﹣2b+3，解得：b＝，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）当x＝2时，y＝﹣x2+x+3＝2，故点D（2，2）；令y＝0，则x＝3或﹣2，故点B（3，0），则函数的对称轴为：x＝，点B关于对称轴的对称点为点A，连接AD交函数对称轴于点P，则点P为所求点，△BDP的周长＝BD+BP+PD＝BD+AP+PD＝BD+AD为最小，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝（x+2），当x＝时，y＝，故点P（，）．6．解：（1）①将点B（2，0）代入y＝﹣x2+x+b，得到0＝﹣4+2+b，∴b＝2；②C（0，2），B（2，0），∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2，设E（m，﹣m2+m+2），过点E与BC垂直的直线解析式为y＝x﹣m2+2，∴直线BC与其垂线的交点为F（，﹣+2），∴EF＝（﹣+2）＝[﹣（m﹣1）2+]，当m＝1时，EF有最大值，∴S＝×BC×EF＝×2×＝1，∴△CBE面积的最大值为1，此时E（1，2）；（2）∵抛物线的对称轴为x＝，∴D（，0），∵函数与x轴有两个交点，∴△＝1+4b＞0，∴b＞﹣，可求C（0，b），B（，0），设M（t，﹣t2+t+b），①当CM和BD为平行四边形的对角线时，C、M的中点为（，），B、D的中点为（，0），∴＝，＝0，∴b＝﹣1+或b＝﹣1﹣，∴b＝﹣1+；②当BM和CD为平行四边形的对角线时，B、M的中点为（，），C、D的中点为（，），∴＝，＝，∴b无解；③当BC和MD为平行四边形的对角线时，B、C的中点为（，），M、D的中点为（，），∴＝，＝，∴b＝或b＝﹣（舍）；综上所述：b＝﹣1+或b＝．7．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）过点A（﹣2，0），B（3，0），∴解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6．（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3，∴B（3，0），抛物线对称轴为直线，∵点D在直线上，点A，B关于直线对称，∴，AD＝BD，∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小，设直线BC解析式为y＝kx﹣6，∴3k﹣6＝0，解得：k＝2，∴直线BC：y＝2x﹣6，∴，∴，故答案为：；（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F，设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6），∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t，∴＝，∴当时，△BCE面积最大为，∴，∴此时点E坐标为；（4）存在点N，使以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，设N（n，n2﹣n﹣6），M点的横坐标为，∵B（3，0），C（0，﹣6），①当BC∥MN，BC＝MN时，B、M的横坐标为，C、N的中点的横坐标为，∴＝，∴n＝，∴N；②当BC∥NM，BC＝NM时，B、N的中点的横坐标为，C、M的中点的横坐标为，∴＝，∴n＝﹣，∴N；③当BN∥CM，BN＝CM时，B、C的中点横坐标为，M、N的中点横坐标为，∴＝，∴n＝，∴N；综上所述：点N坐标为，，．8．解：（1）一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于点A，则A的坐标为（﹣1，0），∵抛物线的顶点为（1，4），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，∵抛物线经过点A（﹣1，0），∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，∴a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）连接OC，点C为第一象限抛物线上一动点，点C的横坐标为m，∴C（m，﹣m2+2m+3），一次函数y＝﹣2x﹣2与y轴交于点B，则OB＝2，∵A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∴，，．∴，∴当m＝2时，S的值最大，最大值为；（3）设M（0，n），∵A（﹣1，0），C（2，3），∴直线AC的解析式为y＝x+1，①当AC⊥MC时，＝﹣1，∴n＝5，∴M（0，5）；②当AC⊥AM时，n＝﹣1，∴M（0，﹣1）；③当AM⊥MC时，•n＝﹣1，∴n＝，∴M或M；综上所述：点M的坐标为（0，﹣1）、（0，5）、或．9．解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴c＝3，将点B（3，0）代入y＝x2+bx+3，求得b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+3；（2）∵顶点为D，∴D（2，﹣1），∴直线BD的解析式y＝x﹣3，∴∠OBD＝45°，∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∴∠CBD＝90°；（3）①直线BC的解析式y＝﹣x+3，∵H点的横坐标为m，∴N（m，﹣m+3），M（m，m2﹣4m+3），∴MN＝﹣m+3﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，当m＝时，MN的最大值为；②BM2＝（m﹣3）2（m2﹣2m+2），BN2＝2（m﹣3）2，MN2＝m2（m﹣3）2，当BM＝BN时，m2﹣2m+2＝2（m﹣3），解得m无解；当BM＝MN时，m2﹣2m+2＝m2，解得m＝1；当BN＝MN时，2＝m2，解得m＝±，∵点N是线段BC上一个动点，∴m＞0，∴m＝；③当M与D点重合的时候BN＝BM，此时三角形BMN是等腰直角三角形，∴m＝2；综上所述，当m＝或m＝1或m＝2时△BMN是等腰三角形．10．解：（1）把A（﹣1.0）．B（5，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣5得，，解得，a＝1，b＝﹣4，∴抛物线的关系式为y＝x2﹣4x﹣5，（2）当x＝0时，y＝﹣5，∴点C（0，﹣5）设直线BC的关系式为y＝kx+b，把点B、C坐标代入得，，解得，k＝1，b＝﹣5，∴直线BC的关系式为y＝x﹣5，∵抛物线的关系式为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为直线x＝2，由对称可得，直线BC与对称轴x＝2交点就是所求的点M，当x＝2时，y＝2﹣5＝﹣3，∴M（2，﹣3）时，MA+MC最小；（3）向下平移直线BC，使平移后的直线与抛物线有唯一公共点P时，此时点P到BC的距离最大，因此△PBC的面积最大，设将直线BC向下平移后的直线的关系式为y＝x﹣5﹣m，则方程x2﹣4x﹣5＝x﹣5﹣m，有两个相等的实数根，即x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，∴m＝，当m＝时，方程x2﹣3x+m＝0的解为x＝，把x＝代入抛物线的关系式得，y＝﹣4×﹣5＝﹣，∴P（，﹣），答：在直线BC下方批物线上存在点P，使得△PBC的面积最大，此时点P的坐标为（，﹣）．11．解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，将B（0，3）代入可得a＝﹣，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）连接PO，BO＝3，AO＝3，设P（n，﹣n2+2n+3），∴S△ABP ＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，S△BPO＝n，S△APO＝﹣n2+3n+，S△ABO＝，∴S△ABP ＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，∴当x＝时，S△ABP的最大值为；（3）存在，设点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，∴∠ACD＝30°，∴2DG＝DC，在Rt△CGD中，CG＝＝DG，∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，∴t＝3+3或t＝3（舍）∴D（3+，﹣3），∴AG＝3，GD＝3，连接AD，在Rt△ADG中，∴AD＝＝6，∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上，此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，∴AQ2＝AC2，∴9+m2＝36，∴m＝3或m＝﹣3，综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．12．解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，得，解得：，∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝﹣1+3＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）如图，设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t＝，1 t＝；2综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．13．解：（1）由y＝﹣x+3，令x＝0，得y＝3，所以点A（0，3）；令y＝0，得x＝4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，∴，解得：，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．（2）∵OA＝3，OB＝4，∴AC＝5．①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠PAQ＝∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴，即，解得：t＝．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ +S△APQ＝S△ACD，且S△ACD＝×8×3＝12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：，解得：h＝（5﹣t），∴S△APQ＝t×（5﹣t）＝（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APQ 达到最大值，此时S四边形PDCQ＝12﹣＝，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．14．解：（1）直线y＝x+1与抛物线交于A点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1）．∵OB＝OC，C（0，3），∴点B的坐标为（3，0），故抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），将点C的坐标代入，得﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∴函数的对称轴为x＝1，故点Q的坐标为（1，4）．（2）CQ＝AE，且CQ∥AE，理由：∵Q（1，4），C（0，3），∴CQ＝＝，CQ的解析式为y＝x+3，又∵AE＝＝，直线AE的解析式为y＝x+1，∴CQ＝AE，CQ∥AE，（3）∵，∴，，∴点D的坐标为（2，3）．如图1，过点P作y轴的平行线，交AD于点K，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1）∴S△PAD＝＝＝＝×4×3．解得m＝0或1．（4）存在，点P的坐标为（2，3）或（0，3）或．设点H（t，t+1），点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q（1，4），①当∠QPH＝90°时，如图2，过点P作y轴的平行线，过点H、点Q作x轴的平行线，交过点P且平行于y轴的直线于点M、G，∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GQP，∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ，∴△PGQ≌△HMP（AAS），∴PG＝MH，GQ＝PM，即4﹣n|＝|t﹣m|，|1﹣m|＝|n﹣（t+1）|，解得m＝2或n＝3．当n＝3时，3＝﹣m2+2m+3，解得m1＝0，m2＝2（舍去），∴点P（0，3）．②当∠PQH＝90°时，如图3所示，同理可得m 1＝0，m 2＝3（舍去），故点P 为（0，3）． ③当∠PHQ ＝90°时，如图4，同理可得n ＝2，解得m 1＝1+（舍去），m 2＝1﹣． 故点P （1﹣，2）．综上可得，点P 的坐标为（0，3）或（1﹣，2）． 15．解：（1）∵点A （3，0）在一次函数y ＝kx +3的图象上， ∴0＝3k +3，∴k ＝﹣1，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +3，∴B （0，3），又∵A 、B 都在二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象上， ∴∴b ＝2，c ＝3，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）过P作PC⊥x轴交AB于点C，设P点坐标为（m，﹣m2+2m+3），则C（m，﹣m+3），∴PC＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m∴S△PAB ＝S△PAC+S△PBC＝＝＝＝＝∵，∴当时，S△PAB有最大值；（3）抛物线的顶点坐标为：（1，4）为最高点，最高点与最低点的纵坐标之差为9时，则y P＝﹣5，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，解得：x＝4（不合题意值已舍去）故：P（4，﹣5），如图2，设PB交x轴于点H，由点BP的坐标得，直线PB的表达式为：y＝﹣2x+3，故点H（，0），则HA＝3﹣＝，S＝×HA×（y B﹣y P）＝×（3+5）＝6．△PAB。

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题1．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接P A，PB使得△P AB的面积最大，并求出这个最大值．4．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使P A+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6．如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点（1）求m的值及C点坐标；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标．8．如图A（0，3），B（3，0），C（1，0）分别是抛物线：y＝ax2+bx+c（a≠0）上的三点，点P为抛物线上一动点．（1）求此抛物线的解析式．（2）当△P AB是以AB为一直角边的直角三角形时，求此时点P的坐标．（3）若点P在抛物线上A、B两点之间移动时，是否存在一个位置，使△P AB的面积最大？若存在，请求此时点P的坐标．若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）当t为何值时，△P AE的面积最大？并求出最大面积；（3）是否存在点P使△P AE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）（1）求出该抛物线的函数关系式及对称轴（2）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．当△PCB的面积的最大值时，求点P的坐标（3）在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求P点的坐标．11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y＝+m经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D，交x轴于点F．（1）求该抛物线的解析式；（2）求sin∠ACE的值；（3）连接P A、PB（如图2所示），设△P AB的面积为S，点P的横坐标为x，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．13．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y＝﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y＝x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y＝x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E （0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，P为抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标；（3）当点P在运动过程中，求四边形P ABC面积最大时的值及此时点P的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△P AC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△P AC的最大面积．18．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．（3）在抛物线上BC之间是否存在一点D，使得△DBC的面积最大？若存在请求出点D 的坐标和△DBC的面积；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，对称轴x＝﹣，点N（n，0）是线段AB上的一个动点（N与A、B两点不重合），请回答下列问题：（1）求出抛物线的解析式，并写出C点的坐标；（2）试求出当n为何值时，△ANC恰能构成是等腰三角形．（3）如图2，过N作NF∥BC，与AC相交于D点，连结CN，请问在N点的运动过程中，△CDN的面积是否存在最大值；若存在，试求出该最大面积，若不存在，请说明理由．20．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（0，3）．该抛物线与直线相交于C，D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）连结PC，PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ 与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．详细答案一．解答题（共20小题）1．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（3，0），∴BC＝3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，∴P3（0，﹣3）；③当PB＝PC时，∵OC＝OB＝3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，∴S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．2．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，则C（﹣1，0），A′（3，0）；当x＝0时，y＝3，则A（0，3）；（2）∵四边形ABOC为平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，而C（﹣1，0），A（0，3），∴B（1，3）∴OB＝＝，S△AOB＝×3×1＝，又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，∴∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，又∵∠ACO＝∠ABO，∴∠ABO＝∠OC′D．又∵∠C′OD＝∠AOB，∴△C′OD∽△BOA，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△C′OD＝×＝；（3）设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y轴交直线AA′于N，易得直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m，﹣m+3），∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′＝MN•3＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S△AMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（）．3．【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，则点C坐标为（，0），故：存在，点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，故函数的表达式为：y＝x﹣3，设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△P AB＝•PH•x B＝（﹣m2+12m），当m＝2.5时，S△P AB取得最大值为：，答：△P AB的面积最大值为．4．【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时P A+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，∵﹣＜0，故x＝，故当点M（，）时，S△MOC最大值为．5．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，∴S△PBC＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．6．【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，解得，m＝4，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+4，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，∴，∴x2﹣4x+b＝0，∴△＝16﹣4b＝0，∴b＝4，∴，∴M（2，6），（3）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（m，﹣m2+3m+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，∴m＝﹣m2+3m+4，∴m＝1±，∴P（1+，1+）或P（1﹣，1﹣），②如图，设点P（t，﹣t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线，∵点D在直线BC上，∴D（t，﹣t+4），∵PD＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，BE+CF＝4，∴S四边形PBQC＝2S△PCB＝2（S△PCD+S△PBD）＝2（PD×CF+PD×BE）＝4PD＝﹣4t2+16t，∵0＜t＜4，∴当t＝2时，S四边形PBQC最大＝167．【解答】解：（1）∵由题意得解得：，∴y＝﹣x2+2x+．（2）设直线AB为：y＝kx+b．则，解得直线AB的解析式为y＝+．如图所示：记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．设D（m，﹣m2+2m+）则C（m，m+）．∵CD＝（﹣m2+2m+）﹣（m+）＝m2+m+2，∴S＝AE•DC+CD•BF＝CD（AE+BF）＝DC＝m2+m+5．∴S＝m2+m+5．∵﹣＜0，∴当m＝时，S有最大值．∴当m＝时，m+＝×+＝．∴点C（，）．8．【解答】解：（1）将A（0，3），B（3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）设点P的坐标为（m，m2﹣4m+3）．∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），∴AP2＝（m﹣0）2+（m2﹣4m+3﹣3）2＝m4﹣8m3+17m2，BP2＝（m﹣3）2+（m2﹣4m+3）2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，AB2＝（3﹣0）2+（0﹣3）2＝18．分两种情况考虑：①当∠BAP＝90°时，AB2+AP2＝BP2，即18+m4﹣8m3+17m2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，整理，得：m2﹣5m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝5，∴点P的坐标为（5，8）；②当∠ABP＝90°时，AB2+BP2＝AP2，即18+m4﹣8m3+23m2﹣30m+18＝m4﹣8m3+17m2，整理，得：m2﹣5m+6＝0，解得：m3＝2，m3＝3（舍去），∴点P的坐标为（2，﹣1）．综上所述：当△P AB是以AB为一直角边的直角三角形时，点P的坐标为（5，8）或（2，﹣1）．（3）存在，如图过点P作PD∥y轴交直线AB于点D．设直线AB的解析式为y＝kx+d（k≠0），将A（0，3），B（3，0）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．设点P的坐标为（n，n2﹣4n+3）（0＜n＜3），则点D的坐标为（n，﹣n+3），∴PD＝（﹣n+3）﹣（n2﹣4n+3）＝﹣n2+3n，∴S△P AB＝OB•PD＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+．∵﹣＜0，∴当n＝时，S△P AB取得最大值，此时最大值为，∴当△P AB的面积取最大值时，点P的坐标为（，﹣）．9．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴抛物线对称轴为x＝1，∴E（3，0），设直线AE的解析式为y＝kx+3，∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴＝＝，∴t＝时，△P AE的面积最大，最大值是．（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠P AE＝90°或∠APE＝90°，①当∠P AE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠P AG＝∠APG＝45°，∴PG＝AG，∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去），②当∠APE＝90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠P AQ＝90°，∴∠P AQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，∴，即t2﹣t﹣1＝0，解得：t＝或t＝＜0（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．10．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），∴a＝1∴设抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1；（2）设P（t，t2﹣2t﹣3），S△PCB＝S△POC+S△POB﹣S△BOC＝×3t+×3×|t2﹣2t﹣3|﹣＝∵a＝＜0，∴函数有最大值，当t＝时，面积最大，∴P（）（3）设Q（1，n）），①当PQ、PC为平行四边形的对角线时，P（4，n+3），∴42﹣2×4﹣3＝n+3，n＝2，∴P（4，5）；②当CQ、BP为平行四边形的对角线时，P（﹣2，n﹣3），∴（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝n﹣3，n＝8，∴P（﹣2，5）；综上所述，以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，P点的坐标（4，5），（﹣2，5）．11．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；把C（0，3）代入y＝﹣x+m，解得m＝3，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，解方程组，解得或，∴D点坐标为（，）；（2）存在．设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，∴S△PCD＝••（﹣m2+m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，当m＝时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；（3）当PC＝PE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝0（舍去）或m＝；当CP＝CE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝m2+（﹣m+3﹣3）2，解得m＝0（舍去）或m＝（舍去）或m＝；当EC＝EP时，m2+（﹣m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝（舍去）或m ＝，综上所述，m的值为或或．12．【解答】解：（1）当x＝﹣8时，y＝x﹣＝﹣，则B（﹣8，﹣），当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝2，则A（2，0），把B（﹣8，﹣），A（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣x+；（2）当x＝0时，y＝x﹣＝﹣，则G（0，﹣），在Rt△AOG中，∵OG＝，OA＝2，∴AG＝＝，∴sin∠AGO＝＝＝，∵PC⊥x轴，∴PC∥OG，∴∠ACE＝∠AGO，∴sin∠ACE＝；（3）设P（x，﹣x2﹣x+），则C（x，x﹣），∴PC＝﹣x2﹣x+﹣（x﹣）＝﹣x2﹣x+4，∴S＝•（2+8）•（﹣x2﹣x+4）＝﹣x2﹣x+20＝﹣（x+3）2+，当x＝﹣3时，S的最大值为．13．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a＝2，解得：a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x＝0代入y＝﹣x+4得：y＝4，∴A（0，4）．将y＝0代入得：0＝﹣x+4，解得x＝8，∴B（8，0）．∴OA＝4，OB＝8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG＝1，AG＝2．∴tan∠MAG＝tan∠ABO＝．∴∠MAG＝∠ABO．∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠MAG+∠OAB＝90°，即∠MAB＝90°．∴l是⊙M的切线．（3）∵∠PFE+∠FPE＝90°，∠FBD+∠PFE＝90°，∴∠FPE＝∠FBD．∴tan∠FPE＝．∴PF：PE：EF＝：2：1．∴△PEF的面积＝PE•EF＝×PF•PF＝PF2．∴当PF最小时，△PEF的面积最小．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．∴PF＝（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）＝﹣x+4+x2+x﹣＝x2﹣x+＝（x﹣）2+．∴当x＝时，PF有最小值，PF的最小值为．∴P（，）．∴△PEF的面积的最小值为＝×（）2＝．14．【解答】（1）解：∵直线y＝x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，∴B（4，0），C（0，﹣2），∵y＝ax2﹣x+c过B、C两点，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣2．（2）证明：如图1，连接AC，∵y＝x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点，∴A（﹣1，0），在Rt△AOC中，∵AO＝1，OC＝2，∴AC＝，在Rt△BOC中，∵BO＝4，OC＝2，∴BC＝2，∵AB＝AO+BO＝1+4＝5，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC为直角三角形．（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．设GC＝x，AG＝﹣x，∵，∴，∴GF＝2﹣2x，∴S＝GC•GF＝x•（2）＝﹣2x2+2x＝﹣2[（x﹣）2﹣]＝﹣2（x﹣）2+，即当x＝时，S最大，为．②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，设GD＝x，∵，∴，∴AD＝x，∴CD＝CA﹣AD＝﹣x，∵，∴，∴DE＝5﹣x，∴S＝GD•DE＝x•（5﹣x）＝﹣x2+5x＝﹣[（x﹣1）2﹣1]＝﹣（x﹣1）2+，即x＝1时，S最大，为．综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．15．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，∴CE＝＝＝5，当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝；当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝．∴当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形；（3）∵A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得．故直线AC的解析式为y＝﹣2x+6．∵P（1，4﹣t），将y＝4﹣t代入y＝﹣2x+6中，得x＝1+，∴Q点的横坐标为1+，将x＝1+代入y＝﹣（x﹣1）2+4中，得y＝4﹣．∴Q点的纵坐标为4﹣，∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，∴S△ACQ＝S△AFQ+S△CFQ＝FQ•AG+FQ•DG＝FQ（AG+DG）＝FQ•AD＝×2（t﹣）＝﹣+t＝﹣（t2+4﹣4t﹣4）＝﹣（t﹣2）2+1，∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．16．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y 轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，∴A（﹣3，0），∴解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．（2）设点P（x，2）即y＝﹣x2﹣2x+3＝2，解得x1＝﹣1或x2＝﹣﹣1，∴点P（﹣1，2）或（﹣﹣1，2）．（3）设点P（x，y），则y＝﹣x2﹣2x+3，∵S四边形BCP A＝S△OBC+S△OAP+S△OPC，∴＝，∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，四边形P ABC的面积有最大值，所以点P（﹣，）．17．【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3＝a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1＝2，x2＝6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x＝4，∴OB＝2，AB＝＝，BC＝4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，解得CE＝，∵＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ＝﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）＝﹣m2+m．∵S△P AC＝S△P AQ+S△PCQ＝×（﹣m2+m）×6＝﹣（m﹣3）2+；∴当m＝3时，△P AC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．18．【解答】解：（1）∵B点的坐标为B（8，0），∴﹣16+8b+4＝0，解得b＝，∴抛物线的解析式为y═﹣+x+4，对称轴方程为x＝﹣＝3；（2）∵由（1）知，抛物线的对称轴方程为x＝3，B（8，0）∴A（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，OB＝8，∴tan∠ACO＝tan∠CBO＝，∴∠ACO＝∠CBO．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．（3）设BC解析式为y＝kx+b，把（8，0），（0，4）分别代入解析式得，，解得，解得y＝﹣x+4，作DH⊥x轴，交BC于H．设D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），S△BCD＝DH•OB＝×（﹣t2+t+4+t﹣4）×8＝﹣t2+8t＝﹣（t2﹣8t+42﹣16）＝﹣（t﹣4）2+16，当t＝4时，△DBC的最大面积为16，此时D点坐标为（4，6）．19．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，不妨设抛物线的解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+2．∴C（0，2）．（2）分两种情形：①当AN＝AC时，如图1中，∵AC＝＝2，∴n﹣（﹣4）＝2，∴n＝2﹣4．②当NA＝NC时，如图2中，在Rt△NOC中，OC＝2，∵NC＝NA＝n﹣（﹣4）＝n+4，ON＝n，∴n2+22＝（n+）2，解得n＝﹣．综上所述，当n＝2﹣4或﹣时，△ANC是等腰三角形．（3）如图3中，由题意可知：直线BC的解析式为y＝﹣2x+2，直线AC的解析式为y＝x+2，设N（n，0），易知N在线段OB上时，△CDN的面积较小，不妨设n＜0，∵ND∥BC，设ND的解析式为y＝﹣2x+b，代入（n，0）可得b＝2n，∴ND的解析式为y＝﹣2x+2n，由，可得点D的纵坐标：y D＝（8+2n），∴S△CDN＝S△AOC﹣S△ADN﹣S△CON＝[2×4﹣2|n|﹣（8+2n）（n+4）＝﹣（n+）2+，∵﹣＜0，∴当n＝﹣时，△DCN的面积最大，最大值为．20．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、点B（5，0）和点C（0，3），因为与y轴相较于点C，所以c＝3．∴，解得，∴该抛物线对应的函数解析式为y＝x2﹣x+3；（2）∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，∴M（t，0），N（t，t+3），∴PN＝t+3﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣）2+直线CD与抛物线解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分别过C、D作直线PN的垂线，垂足分别为E、F，如图1，则CE＝t，DF＝7﹣t，∴S△PCD＝S△PCN+S△PDN＝PN•CE+PN•DF＝PN＝[﹣（t﹣）2+]＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，△PCD的面积有最大值，最大值为；（3）存在．∵∠CQN＝∠PMB＝90°，∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，∵CQ⊥PM，垂足为Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），∴CQ＝t，NQ＝t+3﹣3＝t，∴，∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），∴BM＝5﹣t，PM＝0﹣（t2﹣t+3）＝﹣t2+t﹣3，当时，则PM＝BM，即﹣t2+t﹣3＝（5﹣t），解得t＝2或t＝5（舍去），此时P（2，﹣）；当时，则BM＝PM，即5﹣t＝（﹣t2+t﹣3），解得t＝或t＝5（舍去），此时P（，﹣）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣）或（，﹣）．。

二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选【例1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．【答案】解：（1）当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3。

∵点A 在点B 的左侧，∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。

当x=0时，y=3。

∴C 点的坐标为（0，3）。

设直线AC 的解析式为y=k 1x+b 1（k 1≠0），则111b =3k +b =0⎧⎨-⎩，解得11k =3b =3⎧⎨⎩。

∴直线AC 的解析式为y=3x+3。

∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4）。

（2）抛物线上有三个这样的点Q 。

如图，①当点Q 在Q 1位置时，Q 1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q 1的坐标为（2，3）；②当点Q 在点Q 2位置时，点Q 2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q 2坐标为（1+7，﹣3）；③当点Q 在Q 3位置时，点Q 3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q 3的坐标为（1﹣7，﹣3）。

综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+7，﹣3），Q 3（1﹣7，﹣3）。

（3）点B 作BB′⊥AC 于点F ，使B′F=BF ，则B′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求。

过点B′作B′E ⊥x 轴于点E 。

二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。

2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一 二次函数中求线段的最值问题【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线()22131y x n x n =−++++交x 轴于点()10A −，和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，已知点P 是位于BC 上方的抛物线上的一点，作PM BC ⊥，垂足为M ，求线段PM 长度的最大值；(3)如图2，已知点Q 是第四象限抛物线上一点，45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．【答案】(1)234y x x =−++；(2)PM 的最大值为(3)点Q 的坐标为143439⎛⎫− ⎪⎝⎭，．【分析】（1）将点()10A −，代入()22131y x n x n =−++++，求得1n =，即可得解；（2）求得点B 和C 的坐标，推出45OAB OBC ∠=∠=︒，作PF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，得到PEM △是等腰直角三角形，2PM PE =，设()234P m m m −++，，求得PM 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）作BG CQ ⊥轴于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，求得BC =ACO GCB ∠=∠，利用正切函数的定义求得BG ，证明HBG 是等腰直角三角形，求得()31G −，，再求得直线CG 的解析式，据此求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线()22131y x n x n =−++++交x 轴于点()10A −，， ∴()121310n n −−+++=，解得1n =，∴抛物线的函数解析式为234y x x =−++； （2）解：当0x =时，4y =；当0y =时，2340x x −++=，解得4x =或=1x −；∴()40B ，，()04C ，，∴4OA OB ==，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，作PF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，∴9045PEM BEF OBC ∠=∠=︒−∠=︒，∴PEM △是等腰直角三角形，∴PM =，设直线BC 的解析式为4y kx =+，把()40B ，代入得044k =+，解得1k =−，∴直线BC 的解析式为4y x =−+，设()234P m m m −++，，则()4E m m −+，，∴))223442PM PE m m m m ==−+++−=−+∵0>，∴PM 有最大值，最大值为（3）解：作BG CQ ⊥轴于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，∵()10A −，，()40B ，，()04C ，，∴1OA =，4OB OC ==，BC =∵45ACQ ∠=︒，45OCB ∠=︒，∴ACO GCB ∠=∠，∴tan tan ACO GCB ∠=∠，即OA BG OC BC =，∴14=∴BG ，∵45OBC ∠=︒，∴45HBG ∠=︒，∴HBG 是等腰直角三角形，∴1BH GH ==，∴413OH =−=，∴()31G −，，同理直线CG 的解析式为543y x =−+， 联立得235434x x x =−+++−，解得0x =或143x =； 当143x =时，514344339y =−⨯+=−， ∴点Q 的坐标为143439⎛⎫− ⎪⎝⎭，．【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数2y =+的图象与x 轴分别交于点,O A ，顶点为B ．连接,OB AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，连接BC ．点,D E 分别在线段,OB BC 上，连接,,,AD DE EA DE 与AB 交于点,60F DEA ∠=︒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A ，，(B ；(2)①EDA ∠的大小不变，理由见解析；②线段BF 的长度存在最大值为12【分析】（1）0y =得20+=，解方程即可求得A 的坐标，把2y =+化为顶点式即可求得点B 的坐标；（2）①在AB 上取点M ，使得BM BE =，连接EM ，证明AED △是等边三角形即可得出结论；②证BDF OAD ∽，利用相似三角形的性质得BD BF OA OD =即22x BF x −=，解得()211122BF x =−−+进而利用二次函数的性质即可得解．【详解】（1）解：∵)221y x =+=−+∴顶点为(B ，令0y =，20+=，解得0x =或2x =，∴()20A ，；（2）解：①EDA ∠的大小不变，理由如下：在AB 上取点M ，使得BM BE =，连接EM ，∵)21y x =−∴抛物线对称轴为1x =，即1ON =，∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴BAC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，60C ∠=︒，∵()20A ，，(B ，()00O ，，1ON =，∴2OA =，OB =2，AB =2=，∴OA OB AB ==，∴OAB 是等边三角形，2OA OB AC BC ====，∴60∠=∠=∠=︒OAB OBA AOB ，∵60MBE ∠=︒，BM BE =，∴BME 是等边三角形，∴60BME ABE ∠∠=︒=，ME BE BM ==，∴180120AME BME ∠∠=︒−=︒，BD EM ∥，∵120DBE ABO ABC ∠∠∠=+=︒，∴DBE AME ∠∠=，∵BD EM ∥，∴18012060FEM BED AEF MEA FEM ∠∠∠∠∠+=︒−︒=︒==+，∴BED MEA ∠∠=，∴BED MEA ≌，∴DE EA =，又60AED ∠=︒，∴AED △是等边三角形，∴60ADE ∠=︒，即ADE ∠的大小不变；②设OD x =，则2BD x =−，∵OAB 是等边三角形，60ADE ∠=︒，∴60DOA FBD ADE ∠∠∠===︒，∵BDA BDF ADE DOA OAD ∠∠∠∠∠=+=+，∴BDF OAD ∠∠=，∴BDF OAD ∽，∴BD BF OA OD =即22x BF x −=， ∴()211122BF x =−−+，∴当1x =时，BF 有最大值为12．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于0()1,A -，B 两点，与y 轴交于点C (0,3)−．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点，PD BC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作MN x ⊥轴于N ，是否存在点M ，使CMN 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x =−−(2)当32m =时，PD取得最大值为．此时315,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫− ⎪⎝⎭或()12【分析】（1）把点,A C 坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求线BC 的解析式，设点p 的横坐标为m ，再用m 的代数式表示PD 的长度建立二次函数求解即可；（3）先求直线BE 的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）由题意得103b c c −+=⎧⎨=−⎩，解得：23b c =−⎧⎨=−⎩．则抛物线的解析式为：223y x x =−−；（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G当0y =时，2230x x −−=，解得=1x −或3，∴(3,0)B设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则11303k b b +=⎧⎨=−⎩，解得：113k b =⎧⎨=−⎩∴3y x =−设点()2,23P m m m −−（03m <<），则3G m m −（，）， ∴()()223233PG m m m m m =−−−−=−， ∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45BGH ∠=︒∴45PGD BGH ∠=∠=︒，∴PD =．)22332228PD m m m ⎫=−+=−−+⎪⎝⎭ ∴当32m =时，PD取得最大值为8．此时315,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭． （3）在EB 上存在点M ，使CMN 为直角三角形．抛物线顶点(1,4)E −，设直线BE 的解析式为：22y k x b =+，则2222430k b k b +=−⎧⎨+=⎩，解得：2226k b =⎧⎨=−⎩，∴26y x =−．设26M n n −（，）13n ≤<（），①∵90CNM ONC ∠=︒−∠，∴90CNM ∠<︒，不可能为直角；②当90CMN ∠=︒时，则90CMN MNB ∠=∠=︒ ∴//MC x 轴，则263n −=−，∴32n =，∴3,32M ⎛⎫− ⎪⎝⎭． ③当90MCN ∠=︒时，过点M 作MF y ⊥轴于点F ．∵90MCF NCO ∠+∠=︒，90CNO NCO ∠+∠=︒，∴MCF CNO ∠=∠，又90MFC CON ∠=∠=︒，∴MFC CON ∽， ∴CF MF NO CO =， ∴()3263n nn −−−=，∴2690n n +−=，解得：123,3n n ==−．∵13n ≤<，∴23n =−不合题意，应舍去，∴3n =∴()12M综上所述，CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫− ⎪⎝⎭或()12．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C −．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标．【答案】(1)211344y x x =+−；(2)PD 的最大值为45，此时点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭； (3)Q 点的坐标为9,12⎛⎫− ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线AC 的解析式为334y x =−−，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则45PD PQ =，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出219494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫− ⎪⎝⎭，()0,2F ，勾股定理分别表示出2EF ，2QE ，2QF 进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点()3,0B ，()0,3C −，代入214y x bx c =++得，2133043b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=−⎩，解得：143b c ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴抛物线解析式为：211344y x x =+−； （2）∵211344y x x =+−与x 轴交于点A ，B ，当0y =时，2113044x x +−=，解得：124,3x x =−=， ∴()4,0A −， ∵()0,3C −， 设直线AC 的解析式为3y kx =−，∴430k −−=， 解得：34k =−，∴直线AC 的解析式为334y x =−−，如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴223111334444PQ t t t t t ⎛⎫=−−−+−=−− ⎪⎝⎭，∵AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=︒，∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，∴5AC =， ∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=， ∴()222441141425545555PD PQ t t t t t ⎛⎫==−−=−−=−++ ⎪⎝⎭， ∴当2t =−时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +−=⨯−+⨯−−=−， ∴52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭； （3）∵抛物线211344y x x =+−211494216x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭， 将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =， 点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭， ∴()0,2F ， ∴22251173224EF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， ∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，则Q 点的横坐标为92， 设9,2Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22295322QE m ⎛⎫⎛⎫=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222922QF m ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭， 当QF EF =时，()229117224m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭， 解得：1m =−或5m =，当QE QF =时，()222295932222m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：74m =， 综上所述，Q 点的坐标为9,12⎛⎫− ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，二次函数213442y x x =−−的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的表达式；(2)如图1，若点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，交直线BC 于点M ，N ，试探究线段MN 长的最大值；(3)如图2，若点Q 是二次函数图象上的一个动点，直线BQ 与y 轴交于点H ，连接CD ，在点Q 运动的过程中，是否存在点H ，使以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A −，，()80B ，，()04C −，，直线BC 的表达式为1y x 42=−；(2)线段MN长的最大值为(3)点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，或()46−，．【分析】（1）令0y =，求得x 的值，令0x =，求得y 的值，可求得A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的表达式；（2）设213442P m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，证明PNM OBC ∠=∠，利用正切函数的定义推出2PN PM =，求得MN ，得到MN 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）利用勾股定理求得AC =，5AD OC ==，作DG AC ⊥于点G ，用正切函数的定义推出OCA BCH ∠=∠，分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，分别求得点H 的坐标，求得直线BH 的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则2134042x x −−=，解得12x =−，28x =，令0x =，则4y =−，∴()20A −，，()80B ，，()04C −，，设直线BC 的表达式为4y kx =−，代入()80B ，得084k =−，解得12k =， ∴直线BC 的表达式为1y x 42=−； （2）解：∵()20A −，，()80B ，，()04C −，，∴2OA =，8OB =，4OC =， 设213442P m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，2211314422424PM m m m m m ⎛⎫=−−−−=−+ ⎪⎝⎭，∵PN OB ∥，PM OC ∥，∴PNM OBC ∠=∠， ∴41tan tan 82OC PNM OBC OB ∠=∠===，∴2PN PM =，MN ，∴)221244MN m m m ⎫=−+=−+⎪⎭∵0<，∴当4m =时，线段MN 长的最大值为 （3）解：∵()20A −，，()80B ，，()04C −，， ∴对称轴为直线2832x −+==， ∴()30D ，，∴()325AD =−−=，5CD ==，AC == ∴5AD DC ==，作DG AC ⊥于点G ，∴12AG CG AC ===∴DG == ∴tan 2DG DCA CG ∠==， ∵tan 2OB BCO OC ∠==，∴DCA BCH ∠=∠，以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似，则分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，①当BC BH =时，∵BO CH ⊥，∴OH OC =，∴()04H ，，同理求得直线BH 的表达式为142y x =−+， 联立得241234412x x x −−−+=，解得14x =−，28x =（舍去），()14462y =−⨯−+=，∴点Q 的坐标为()46−，；①当BH CH =时，设()0H t ，，则2264BH t =+，()2224816CH t t t =+=++，∴2264816t t t +=++，解得6t =，∴()06H ，，同理求得直线BH 的表达式为364y x =−+， 联立得261434432x x x −−−+=，解得15x =−，28x =（舍去），()3395644y =−⨯−+=，∴点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，； 综上，点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，或()46−，．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．题型二 将军饮马河求二次函数中线段和最值问题【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线2y x bx c =−++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，MA MC ''+的最小值为 ．【答案】(1)()0,2M −，2722y x x =−++ (2)()2,5P(3)1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据点M 在y 轴负半轴且2OM =可得点M 的坐标为()0,2M −，利用待定系数法可得抛物线的解析式为2722y x x =−++；（2）过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，用待定系数法求得直线AC 的解析式为122y x =−+，设点P 的横坐标为()04p p <<，则27,22P p p p ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，故24(04)PE p p p =−+<<，先求得8ACM S =△，从而得到212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解出p 的值，从而得出点P 的坐标；（3）设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 右平移m 个单位长度得到点M '，由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y −于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线AC ''的解析式，从而确定M '的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．【详解】（1）解：∵点M 在y 轴负半轴且2OM =，∴()0,2M −将()0,2A ，()4,0C 代入2y x bx c =−++，得：21640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2722y x x =−++（2）解：过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，设直线AC 的解析式为()0y kx m k =+≠，将()0,2A ，()4,0C 代入y kx m =+，得：240m k m =⎧⎨+=⎩，解得122k m ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =−+ 设点P 的横坐标为()04p p << 则27,22P p p p ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭， ∴2271224(04)22PE p p p p p p ⎛⎫=−++−−+=−+<< ⎪⎝⎭∵8ACM S =△，∴212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解得122p p ==， ∴()2,5P ；（3）1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，补充求解过程如下：设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 向右平移m 个单位长度得到点M '，作出图形如下：由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，∴MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值， 显然点M '在直线=2y −上运用，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y −于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，∵点C 关于直线=2y −C ''，()4,0C ∴()4,4C ''−，∴()()min min MA MC M A M C AC ''''''+=+== 设直线AC ''的解析式是：11y k x b =+将点()0,2A ，()4,4C ''−代入得：111244b k b =⎧⎨+=−⎩，解得：11322k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩直线AC ''的解析式是：322y x =−+令3222y x =−+=−，解得：83x =， ∴8,23M ⎛⎫'− ⎪⎝⎭，∴平移的距离是83m = 又∵22778122416y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭， ∴平移前的抛物线的坐标是781416,⎛⎫ ⎪⎝⎭∴新抛物线的顶点坐标为7881,4316⎛⎫− ⎪⎝⎭即1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭ 故答案是：1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线2y x bx =−＋与x 轴交于点A ，与直线y x =−交于点()4,4B −，点()0,4C −在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．(1)求抛物线2y x bx =−＋的表达式；(2)当BP =1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC OD ，，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ PC ，，求CP BQ ＋的最小值．【答案】(1)抛物线的表达式为23y x x =−+ (2)平行四边形，见解析(3)【分析】（1）利用待定系数法将B 点坐标代入抛物线2y x bx =−+中，即可求解．（2）作辅助线，根据题意，求出PD 的长，PD OC =，PD OC ∥，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．（3）作出图，证明()SAS CBP MOQ ≌，CP BQ +的最小值为MB ，根据勾股定理求出MB 即可解答． 【详解】（1）解： 抛物线2y x bx =−+过点(4,4)B −，1644b ∴−+=−，3b ∴=，23y x x ∴=−+．即抛物线的表达式为23y x x =−+． （2）解：四边形OCPD 是平行四边形，理由如下：如图1，作PD OA ⊥交x 轴于点H ，连接PC 、OD ，点P 在y x =−上，OH PH ∴=，45POH ∠=︒，连接BC ，4OC BC ==，OB ∴= 2BP =OP OB BP ∴=−=2OH PH ∴===，当2D x =时，4322D DH y ==−+⨯=，224PD DH PH ∴=+=+=， (0,4)C −，4OC ∴=，PD OC ∴=，OC x ⊥Q 轴，PD x ⊥轴，PD OC ∴∥，∴四边形OCPD 是平行四边形．（3）如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ，在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=︒，OM BC =，4OC BC ==，BC OC ⊥，45CBP ∴∠=︒，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ =，CBP MOQ ∠=∠，BC OM ，(SAS)CBP MOQ ∴△≌△，CP MQ ∴=，CP BQ MQ BQ MB ∴+=+≥（当M ，Q ，B 三点共线时最短），CP BQ ∴+的最小值为MB ，454590MOB MOQ BOQ ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MB ∴即CP BQ +的最小值为答：CP BQ +的最小值为【点睛】本题主要考查待定系数法，二次函数图象与性质，平等四边形的判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答醒的关键．1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点()00O ，，()55A ，，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时；求点B 的坐标．(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，求P 的坐标以及PA PB −的最大值．【答案】(1)24.y x x =- (2)()2,8B (3)()2,12,P - PA PB −的最大值为【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设()2,,B y 且0,y > 记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx = 解得：1,k = 可得直线OA 为：,y x = 则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=⨯⨯−列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB −=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【详解】（1）解： 抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a +=⎧⎪∴⎨−=⎪⎩ 解得：1,4a b =⎧⎨=−⎩∴抛物线为：24.y x x =-（2）解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y > 记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =55,k \= 解得：1,k =∴ 直线OA 为：,y x =()2,2,Q ∴ ()12OAB BOQ ABQ A O SS S BQ x x ∴=+=⨯⨯− 12515,2y =−⨯=解得：8y =或4,y =−∵0,y > 则8,y =()2,8.B ∴（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB −=最大，()()5,5,2,8,A BAB ∴=设AB 为：,y k x b ''=+ 代入A 、B 两点坐标，55,28k b k b '''+=⎧∴⎨+=⎩' ，解得：1,10k b =−⎧⎨='⎩'∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =−+⎧∴⎨=−⎩ 解得：52,,512x x y y ==−⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴−【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB −最大时P 的位置是解本题的关键．2．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，5OB OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1 图2 图3(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标；(2)如图2，点Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC △的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)245y x x =−++，对称轴为直线2x =，顶点D 的坐标为()29，；(2)QAC △(3)直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【分析】（1）求得点B 的坐标为()50，，点C 的坐标为()05，，利用待定系数法求解，再配成顶点式，即可得解；（2）先求得直线BC 的解析式，再求直线BC 与对称轴交点Q ，将AQ CQ +转化为BC ，在Rt AOC 中求AC ，在Rt BOC 中求BC 即可求解；（3）如图，过点D 作直线l 垂直y 轴，再过点M ，N 分别作直线l 的垂线，设点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，证明MDH DNG ∽△△，求得()250mn m n −++=，再利用待定系数法求得直线MN 的解析式为()45y m n x mn =−−+++，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵5OB OC ==，∴点B 的坐标为()50，，点C 的坐标为()05，，∴25505b c c −++=⎧⎨=⎩，解得4b =，∴抛物线的解析式为245y x x =−++， ∵()224529y x x x =−++=−−+，∴对称轴为直线2x =，顶点D 的坐标为()29，； （2）解：∵点A 与点()50B ，关于直线2x =对称，∴直线BC 与对称轴的交点为Q ，则Q 为QA QC +最小时位置，设直线BC 的解析式为5y kx =+，代入点()50B ，得055k =+，解得1k =−，∴直线BC 的解析式为5y x =−+，当2x =，253y =−+=，∴()23Q ，，∵点()10A −，，∵ACAQ CQ CB +===∴QAC △（3）解：如图，过点D 作直线l 垂直y 轴，再过点M ，N 分别作直线l 的垂线，垂足分别为H ，G ，设点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，∵顶点D 的坐标为()29，， ∴()()222945442MH m m m m m =−−++=−+=−，2DH m =−，()()222945442GN n n n n n =−−++=−+=−，2DG n =−，由题意得90H G MDN ∠=∠=∠=︒，∴90MDH NDG DNG ∠=︒−∠=∠， ∴MDH DNG ∽△△， ∴MH HD DG NG =，即()()222222m mn n −−=−−，∴()()221m n −−=−， ∴()250mn m n −++=，∵点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，设直线MN 的解析式为11y k x b =+，∴2112114545mk b m m nk b n n ⎧+=−++⎨+=−++⎩①②，−①②得()()()2214m n k m n m n −=−−+−， ∵m n ≠，∴14k m n =−−+，将14k m n =−−+代入①得()21445m m n b m m −−++=−++，求得15b mn =+；∴直线MN 的解析式为()45y m n x mn =−−+++， ∵()250mn m n −++=，即()25m n mn +=+， ∴()()428y m n x =−−+−+， ∴当20x −=即2x =时，8y =，∴无论m n 、为何值，直线MN 总会经过定点()28，， ∴直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线2Ly ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =．(1)求直线AB 的解析式及抛物线的解析式；(2)如图①，点P 为第一象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求当点P 的横坐标为多少时，PD AD +最大；(3)如图②，将抛物线2Ly ax bx c =++∶向左平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M 、N 两点，若点B 是线段MN 的中点，求抛物线'L 的解析式．【答案】(1)3y x =−+，223y x x =−++；(2)点P 的横坐标为时，PD AD +有最大值； (3)2154y x x =−−+．【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；（2）设点P 的横坐标为t ，则()2,23P t t t −++，(,0)C t ，(,3)D t t −+，先证明ACD 为等腰直角三角形，得到)AD t =−，进而得到2PD AD t ⎛+=−+ ⎝⎭，根据二次函数的性质即可求解；（3）设平移后抛物线L '的解析式2()4y x m =−−+，联立函数解析式得23()4x x m −+=−−+，整理得，22(21)10x m x m −++−=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1x ，2x 是方程22(21)10x m x m −++−=的两根，由B 为MN 的中点可得210m +=，求出m 即可求解；本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：抛物线2L y ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =，930312a b c c b a ⎧⎪++=⎪∴=⎨⎪⎪−=⎩，解得123a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线L 的解析式为223y x x =−++；设直线AB 的解析式为3(0)y kx k =+≠，把(3,0)A 代入得，330k +=，解得1k =−，∴直线AB 的解析式为3y x =−+；（2）解：设点P 的横坐标为t ，则()2,23P t t t −++，(,0)C t ，(,3)D t t −+， 3AC t ∴=−，23PD t t =−+，(3,0)A ，(0,3)B −，3OA OB ∴==，AOB ∴为等腰直角三角形，45OAB ∴∠=︒，PC x ⊥轴， ACD ∴为等腰直角三角形，)AD t ∴==−，∴223PD AD t t t ⎛+=−++=− ⎝⎭，∴当t =时，PD AD +有最大值，即点P的横坐标为32时，PD AD +有最大值；（3）解：由（1）可知，直线AB 的解析式为3y x =−+，抛物线L 为：2223(1)4y x x x =−++=−−+，∴设平移后抛物线L '的解析式2()4y x m =−−+，联立函数解析式得，()234y x y x m =−+⎧⎪⎨=−−+⎪⎩，23()4x x m ∴−+=−−+，整理得，22(21)10x m x m −++−=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1x ，2x 是方程22(21)10x m x m −++−=的两根，1221x x m ∴+=+，∵B 为MN 的中点，∴120x x +=，∴210m +=， 解得12m =−，∴抛物线L '的解析式22115424y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭．题型三 胡不归求二次函数中线段和最值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·三模）已知抛物线2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0)a ≠与x 轴交于点()A −、点B 两点，与y 轴交于点()0,2C，对称轴为x =(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限，过M 作MN AC ⊥于点N，求AN 的最大值．【答案】(1)22y x =−+(2)496【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）过点M 作MF y ∥轴，交AC 于点E ，先求出一次函数AC 的解析式，用解直角三角形的方法求出30OAC ∠=︒，表示出MN =，设2,2M m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，2E m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，分别表示出EF ME AE MN ，，，，最后得到249=26AN m ⎛−+ ⎝⎭，求出最后结果即可．【详解】（1）解：点()A −，对称轴为x =(2a c ∴−−+=，2c =，2b a −=解得：1a =−，b = ∴抛物线的表达式为：22y x =−+；（2）如图，过点M 作MF y ∥轴，交AC 于点E ，设AC 的解析式为y kx b =+，02b b ⎧−+=⎪∴⎨=⎪⎩，2k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴AC的解析式为2y =+，2AO =2CO =，tan CO OAC AO ∴∠==，30OAC ∴∠=︒，90AFE MNE ∠=︒=∠，AEF MEN ∠=∠， 30M OAC ∴∠=∠=︒，2AE EF ∴=，12EN ME =，sin MN ME ACO ∴=⋅∠=，设2,2M m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，2E m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2EF ∴=+，2222ME m m ∴=−+−=−−，24AE EF ∴==+，21122EN ME m ==−，23MN m==−，AN ∴，AE EN=+2213422m m =+−−−224m =−+24926m ⎛=−++ ⎝⎭，20−<，∴当m =时，AN 的最大值为496．【例2】（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B −和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值． 【答案】(1)214433y x x =−−+(2)①()2,2E −−；②【分析】（1）将点B 、C 的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；（2）①由Q 坐标求出BQ 解析式，然后根据四边形ANEM 是平行四边形和BME AOM ≌得出4BM OA ==，再分类讨论求得M 和E 的坐标；②求出AM 解析式，交点为P ，再求出H 坐标，然后由两点间距离公式求出BP 和BH 长度，因为旋转不改变长度，所以1BP长度不变，当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，所以此时1OH 等于BO BH −，然后代入计算即可．【详解】（1）解：①抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B −和点()2,0C ， ∴366404240a b a b −+=⎧⎨++=⎩，解得：1343a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩ ∴214433y x x =−−+；（2）解：214433y x x =−−+4∴=OA ，设直线BQ 的解析式为1y kx b =+， ()6,0B −，713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴117360k b k b ⎧+=⎪⎨⎪−+=⎩，解得1132k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BQ 的解析式为123=+y x ，N Q 为BQ 与y 轴交点， ()0,2N ∴，2AN ∴=，四边形ANEM 是平行四边形，∴AN EM ∥且2EM AN ==，且点E 在点M 下方， 点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，4BM OA ∴==， ()6,0B −， ()2,0M ∴−或()10,0−，若M 为()2,0−，90BME AOM ∠=∠=︒，故()2,2E −−， 若M 为()10,0−，2OM ME ==，此时10OM =，(矛盾，舍去)，综上，点E 的坐标为()2,2−−；②如图，设AM 的解析式为,y kx b =+抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，∴点A 的坐标为(0，4)，将点()0,4A 、()2,0M −的坐标代入y kx b =+得：420b k b =⎧⎨−+=⎩，解得24k b =⎧⎨=⎩，AM ∴的解析式为24y x =+，AM 与BQ 相交于点P ，∴24123y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得6585x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点P 的坐标为68,55⎛⎫− ⎪⎝⎭，设直线BE 的解析式为y mx n =+，将点B 、E 的坐标代入直线BE 的解析式得：2260m n m n −+=−⎧⎨−+=⎩，解得123m n ⎧=−⎪⎨⎪=−⎩， 所以直线BE 的解析式为132y x =−−，BE 与AM 相交于点H ，∴24132y x y x =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得14585x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴点H 的坐标为148,55⎛⎫−− ⎪⎝⎭，BP ∴==BH ==1BP ∴当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，∴16OH BO BH =−=116BP ∴==⎭∴11BP的最小值为1．（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =−++交x 轴于()4,0A 、B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线表达式中的b 、c ；(2)点P 是直数AC 上方抛物线上的一动点，过点F 作PF y 轴交AC 于点E ，作PE AC ∥交x 轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)将该抛物线沿射线CA方向平移1y ，请直接写出新抛物线1y 的表达式______．【答案】(1)1b =，4c =(2)PE 取得最大值为254，此时335,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(3)()2115322y x =−−+【分析】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式： （1）利用待定系数法即可求解；（2）延长PE 交x 轴于H ，根据题意求得直线AC 的解析式为4y x =−+，OC OA =，设点()21,4042P p p p p ⎛⎫−++<< ⎪⎝⎭，则(),4E p p −+，(),0H p ，证得PHF是等腰直角三角形，从而求得232524PE PE PH p ⎛⎫=+=−−+⎪⎝⎭，即可求解； （3）先求得CA =，根据1y 由抛物线()2211941222y x x x =−++=−−+，向右和向下分别平移2个单位长度得到，进而可求解；掌握待定系数法求函数解析式及利用数学结合是解题的关键．【详解】（1）解：抛物线212y x bx c =−++交于()4,0A 和()0,4C ，8404b c c −++=⎧∴⎨=⎩，解得：14b c =⎧⎨=⎩． （2）延长PE 交x 轴于H()4,0A ，()0,4C ，∴直线AC 的解析式为4y x =−+，OC OA =， PE y ∥Q 轴，PE x ∴⊥轴， 90AOC ∴∠=︒，45OAC ∴∠=︒，PFAC ，45OFP ∴∠=︒，2PH PF ∴=，PE PE PH ∴+=+，设点()21,4042P p p p p ⎛⎫−++<< ⎪⎝⎭，则(),4E p p −+，(),0H p ， ()221144222PE p p p p p ∴=−++−−+=−+，2142PH p p =−++，222211325243422224PE PF PE PH p p p p p p p ⎛⎫∴+=+=−+−++=−++=−−+⎪⎝⎭，PE ∴+的最大值为254，此时点P 的坐标为325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）()4,0A ，()0,4C ，CA ∴=将抛物线y 沿射线CA 方向平移1y ，∴1y 由抛物线()2211941222y x x x =−++=−−+，向右和向下分别平移2个单位长度得到， ()2115322y x ∴=−−+，故答案为：()2115322y x =−−+．2．（2024·海南海口·一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A −，()3,0B ，()0,3C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当P 为抛物线的顶点时，求证：PBC 直角三角形； ②求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；③过点P 作PN x ⊥轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E．当PE 的值最大时，求点P 的坐标．【答案】(1)223y x x =−++(2)①PBC 是直角三角形；②315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）把A 、B 、C 三点坐标代入2y ax bx c =++求解即可； （2）①作PH y ⊥轴于点H ，易证PCH △和BOC 是等腰直角三角形，即可求出90PCB ∠=︒； ②先求出直线BC 的解析式，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，设点()2,23P x x x −++，则(),3E x x −+，故23PE x x =−+，23922PBC S x x ∆=−+，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P 作PN x ⊥轴于点N ，交BC 于点E ，设点()2,23P x x x −++，则(),3E x x −+，故23PE x x =−+，判断BEN是等腰直角三角形得出BE =，即可求出25PE x x =−+，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点()1,0A −，()3,0B ，()0,3C 代入解析式得：09303a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵抛物线的解析式为223y x x =−++；（2）解：①配方得()222314y x x x =−++−−+∴点P 的坐标为()1,4，作PH y ⊥轴于点H ，则1PH CH ==，∴45HCP ∠=︒又∵在Rt BOC 中，3OB OC ==， ∴45OCB ∠=︒， ∴90PCB ∠=︒∴PCB 是直角三角形②设直线BC 的解析式为y kx b =+，将点B 、C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =−+， ∵()3,0B ，∴3OB =， 设点()2,23P x x x −++（03x <<），过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，如图所示：∴(),3E x x −+，∴()222333PE x x x x x=−++−−+=−+，∴()22211393327332222228PBCSPE OB x x x x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯−+⨯=−+=−−+ ⎪⎝⎭，当32x =时，PBC 的最大面积为278，2915233344x x −++=−++=，∴315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭③设点()2,23P x x x −++（03x <<），过点P 作PN x ⊥轴于点N ，交BC 于点E ，如图所示：∴(),3E x x −+，∴()222333PE x x x x x =−++−−+=−+， ∵()0,3C ，()3,0B ，∴3OC OB ==，3BN x =−，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45NEB OBC ∠=∠=︒，∴BE ==，∴()CE BC BE =−==，∴22525524PE x x x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭， ∴当52x =时，PE 有最大值，此时57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2023·山东济南·一模）抛物线()21122y x a x a =−+−+与x 轴交于(),0A b ，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,C c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若14PMB AMB S S =V V ，求点P 的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为9(0)0αα︒<<︒，连接E B '，E C '，求34E B E C ''+的最小值． 【答案】(1)2a =，2b =−，4c = (2)53,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P 作PD x ⊥轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，求得BC l 的解析式，设21,42P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，则(),4D m m −+，利用相似三角形的判定与性质可得答案； （3）在y 轴上取一点F ，使得94OF =，连接BF ，由相似三角形的判定与性质可得34FE CE ''=，可得34E B E C BE E F '''+'+=，即可解答．【详解】（1）解：将()4,0B 代入()21122y x a x a =−+−+，得()84120a a −+−+=，2a ∴=，∴抛物线的解析式为2142y x x =−++，令0x =，则4y =，4c ∴=，令0y =，则21042x x =−++，14x ∴=，22x =−，()2,0A ∴−，即2b =−； ∴2a =，2b =−，4c =（2）过点P 作PD x ⊥轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，设BC l ：y kx b =+，将()0,4，()4,0代入得440b k b =⎧⎨+=⎩解得：4b =，1k =−，BC l ∴：4y x =−+， 设21,42P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，则(),4D m m −+， ()221144222P D PD y y m m m m m =−=−++−−+=−+，PD HA ∥，AMH PMD ∴∽，PM PD MA HA ∴=，将2x =−代入4y x =−+，6HA ∴=，112142PMB AMBPM h S PM S AM AM h ⋅===⋅， 164PD PD HA ∴==，32PD ∴=， 231222m m ∴=−+，11(m ∴=舍)，23m =，53,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；（3）在y 轴上取一点F ，使得94OF =，连接BF ，根据旋转得性质得出：3OE OE '==，∵9494OF OC ⋅=⨯=， 2OE OFOC '∴=⋅，∴OE OC OF OE '='，COE FOE ''∠=∠，∴FOE E OC ''∽，。

2020年中考数学二次函数压轴题专题复习 (含答案)2020年中考数学二次函数压轴题专题复1.在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c$交$x$轴于$A、B$两点，交$y$轴于点$C(0,c)$，$OA=1$，$OB=4$，直线$l$过点$A$，交$y$轴$CD$于点$D$，交抛物线于点$E$，且满足$\tan∠OAD=$。

1）求抛物线的解析式；2）动点$P$从点$B$出发，沿$x$轴正方向以每秒$2$个单位长度的速度向点$A$运动，动点$Q$从点$A$出发，沿射线$AE$以每秒$1$个单位长度的速度向点$E$运动，当点$P$运动到点$A$时，点$Q$也停止运动，设运动时间为$t$秒。

①在$P、Q$的运动过程中，是否存在某一时刻$t$，使得$\triangleADC$与$\triangle PQA$相似，若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由。

②在$P、Q$的运动过程中，是否存在某一时刻$t$，使得$\triangle APQ$与$\triangle CAQ$的面积之和最大？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由。

2.在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c$交$x$轴于$A、B$两点（$A$在$B$的左侧），且$OA=3$，$OB=1$，与$y$轴交于$C(0,3)$，抛物线的顶点坐标为$D(-1,4)$。

1）求$A、B$两点的坐标；2）求抛物线的解析式；3）过点$D$作直线$DE\parallel y$轴，交$x$轴于点$E$，点$P$是抛物线上$B、D$两点间的一个动点（点$P$不与$B、D$两点重合），$PA、PB$与直线$DE$分别交于点$F、G$，当点$P$运动时，$EF+EG$是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由。

3.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$A、B$，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为（$-4,0$），$P$是抛物线上一点（点$P$与点$A、B、C$不重合）。

一、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高3. 一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式4. 根据二次函数性质求出最大值.注意事项： 1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1. 如图，已知抛物线(2)(4)y a x x =+-(a 为常数，且a ＞0)与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =-+与抛物线的另一交点为D ，且点D 的横坐标为﹣5． (1)求抛物线的函数表达式；(2)P 为直线BD 下方的抛物线上的一点，连接PD 、PB , 求△PBD 面积的最大值．【解析】：本题主要考查二次函数的图象与性质和二次函数的面积最值问题。

（1）根据二次函数交点式得出A,B 点坐标，从而求出一次函数解析式，根据已知的D 点横坐标求出纵坐标从而求出抛物线解析式。

（2）用三角形的面积公式建立函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得最大值。

解答：(1)抛物线(2)(4)y a x x =+-令y ＝0，解得x ＝－2或x ＝4，DB O AyxC∴A (－2，0)，B (4，0)． ∵直线3-3y x b =+经过点B(4，0)，∴3-4=03b ⨯+，解得43=3b ， ∴直线BD 解析式为：343-33y x =+ 当x ＝－5时，y ＝33，∴D (－5，33)∵点D(－5，33)在抛物线(2)(4)y a x x =+-上，∴(-52)(-54)=33a +-，∴39a =． ∴抛物线的函数表达式为：2332383(2)(4)=9999y x x x x =+---． (2)设P (m , 232383999m m --) ∴2134323839(3)()233999BPD S m m m ⎡⎤=⨯-+---⎢⎥⎣⎦△ 233=+10322m m --23181=()+3228m -+ ∴△BPD 面积的最大值为8138． 【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--（0>a ）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），经过点A 的直线l ：y kx b =+与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =．（1）直接写出点A 的坐标，并用含a 的式子表示直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）.（2）点E 为直线l 下方抛物线上一点，当△ADE 的面积的最大值为425时，求抛物线的函数表达式；y x l B C DA O E FH再求得点P 的纵坐标为m 2-可得线段PF 的长;解答：1）A （－1，0） ∵CD ＝4AC ，∴点D 的横坐标为4∴a y D 5=，∴)5,4a D （.∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a（2）过点E 作EH ∥y 轴，交直线l 于点H设E （x ，ax 2－2ax －3a ），则H （x ，ax ＋a ）.∴a ax ax a ax ax a ax HE 43)32()(22++-=---+= ∴a x a a ax ax S S S DEH AEH ADE 8125)23(25)43(2522+--=++-=+=△△△. ∴△ADE 的面积的最大值为a 8125，∴4258125=a ，解得52=a . ∴抛物线的函数表达式为5654522--=x x y . 【中考链接】3.如图，直线l ：y =﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y =ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；【解析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为DM•OB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，∴x=，∴D的坐标为（，﹣m2+2m+3），∴DM=m﹣=，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m ﹣）2+∵0＜m ＜3，∴当m =时，S 有最大值，最大值为；四边形面积最值问题的处理方法核心步骤：对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究，然后用求三角形面积最值问题的方法来求解例题演示4.如图，已知抛物线213y x bx c =++经过ABC 的三个顶点，其中点(0,1)A ，点(9,10)B -，//AC x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标;【解析】：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点P （m ， m2+2m+1），表示出PE=﹣m2﹣3m ，再用S 四边形AECP=S △AEC+S △APC=AC ×PE ，建立函数关系式，求出最大值即可解答：（1）∵点A （0，1）．B （﹣9，10）在抛物线上，∴代入解析式求出b=2，c=1，∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1（2）∵AC∥x轴，A（0，1）∴=x2+2x+1=1，∴x1=6，x2=0，∴点C的坐标（﹣6，1），∵点A（0，1）．B（﹣9，10），∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，设点P（m，m2+2m+1）∴E（m，-m+1）∴PE=﹣m+1-（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m，∵AC⊥EP，AC=6，∴S四边形AECP=S△AEC+S△AP C=AC×EF+AC×PF =AC×（EF+PF）=AC×PE=×6×（﹣m2﹣3m）=﹣m2﹣9m=﹣（m+）2+，∵﹣6＜m＜0∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是此时点P（﹣，﹣）．。