均值不等式及其应用-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第一册练习

- 1 - 新教材高中数学：

2.2.4 均值不等式及其应用

第1课时 均值不等式

学 习 目 标 核 心 素

养

1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)

2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点) 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养．

2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养．

如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．

问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？

1．算术平均值与几何平均值

对于正数a，b，常把数a＋b2叫做a，b的算术平均值，数ab叫做a，b的几何平均值．

2．均值不等式

(1)当a＞0，b＞0时，有a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

思考1：均值不等式中的a，b只能是具体的数吗？

[提示] a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．

思考2：均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？

[提示] 不能．如a＝－3，b＝－4，均值不等式不成立．

(2)均值不等式的常见变形

①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2ab； - 2 - ②若a＞0，b＞0，则ab≤a＋b22.

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立． ( )

(2)若a≠0，则a＋1a≥2a·1a＝2. ( )

(3)若a>0，b>0，则ab≤a＋b22. ( )

[答案] (1)× (2)× (3)√

[提示] (1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立．

(2)只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋1a≥2a·1a＝2成立．

(3)因为ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.

- 1 - 新教材高中数学：

第2课时 均值不等式的应用

学

习

目

标

核 心 素 养

1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)

2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点) 1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．

2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．

(1)某养殖场要用100米的篱笆

围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能

使鸡舍面积最大？

(2)某农场主想用篱笆围成一个

10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？

问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？

已知x，y都是正数．

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S24.

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.

上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．

[拓展] 在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．

一正：各项必须为正数．例如，求代数式x＋1x的最值时，不能直接用x＋1x≥2x·1x＝2.取特殊值x＝－1，x＋1x＝－2，可见x＋1x的最小值不为2，产生错误的原因是这里的x不一定为正数．只有各项为正数时才能利用均值不等式．

二定：积或和为定值．积为定值和有最小值；和为定值积有最大值．为了利用均值不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．例如： - 2 - ①当x＞2时，x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥2＋2＝4(当且仅当x＝3时，等号成立).

②当0＜x＜83时，x(8－3x)＝13(3x)(8－3x)≤

133x＋8－3x22＝163(当且仅当x＝43时，等号成立).

三相等：等号能否取到．例如，x2＋2＋1x2＋2中，虽然x2＋2与1x2＋2的积为定值1，但是当x2＋2＝1x2＋2时，有x2＝－1不成立．所以x2＋2＋1x2＋2≥2中等号不成立，即此时不能用均值不等式求最值．

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均值不等式及其应用

【学习目标】

掌握基本不等式ab≤a＋b2（a，b≥0）．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．

【学习重难点】

均值不等式的应用．

【学习过程】

【第1课时】

一、自主学习

知识点一：数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式

1．数轴上两点之间的距离公式

一般地，如果A（a），B（b），则线段AB的长为AB＝|a－b|．

2．中点坐标公式

如果线段AB的中点M的坐标为x．若a

则M为x＝a＋b2．

知识点二：基本不等式

（1）重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

（2）基本不等式：ab≤a＋b2（a>0，b>0），当且仅当a＝b时，等号成立．其中a＋b2和ab分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．

基本不等式2abab（a，b∈R＋）的应用：

（1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0，b>0，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤M 24，当且仅当a＝b时等号成立．即：a＋b＝M，M为定值时，（ab）max＝M 24．

（2）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0，b>0，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，当且仅当a＝b时等号成立． 2 / 16

基础自测：

1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是（ ）

A．a2＋b2>2ab

B．a＋b≥2ab

C．1a＋1b>2ab

D．ba＋ab≥2

解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以ba>0，ab>0，所以ba＋ab≥2ba·ab，即ba＋ab≥2成立．

答案：D

2．若a>1，则a＋1a－1的最小值是（ ）

A．2

B．a

C．2aa－1

D．3

解析：a>1，所以a－1>0，

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第二章等式与不等式

2.2 不等式

2.2.4 均值不等式及其应用

课后篇巩固提升

基础达标练

1.已知0

A.13 B.12 C.14 D.23

解析∵00.∴x(1-x)≤(𝑥+1-𝑥2)2=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立.

答案B

2.(多选题)设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有(

)

A.ab>1 B.ab<1

C.𝑎2+𝑏22<1 D.𝑎2+𝑏22>1

解析因为ab≤𝑎+𝑏22,a≠b,所以ab<1.

又1=(𝑎+𝑏)24=𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏4<𝑎2+𝑏22,

所以𝑎2+𝑏22>1,所以ab<1<𝑎2+𝑏22.

答案BD 2

3.已知a,b是不相等的正数,x=√𝑎+√𝑏√2,y=√𝑎+𝑏,则x,y的关系是( )

A.x>y B.x

C.x>√2y D.y<√2x

解析x2=𝑎+𝑏+2√𝑎𝑏2<2(𝑎+𝑏)2=a+b,y2=a+b,所以x20,y>0,∴x

答案B

4.(多选题)下列不等式一定成立的是( )

A.x2+14>x(x>0) B.x+1𝑥≥2(x>0)

C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.1𝑥2+1>1(x∈R)

解析A中,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;B中,当x>0时,不等式x+1𝑥≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;C中,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;D中,因为x2+1≥1,所以0<1𝑥2+1≤1,所以D不成立.

答案BC

5.已知当x=3时,代数式4x+𝑎𝑥(x>0,a>0)取得最小值,则a= .

解析4x+𝑎𝑥≥2√4𝑥·𝑎𝑥=4√𝑎(x>0,a>0),当且仅当4x=𝑎𝑥,即x=√𝑎2时等号成立,所以√𝑎2=3,即a=36.

答案36

6.已知x>0,y>0,且满足𝑥3+𝑦4=1,则xy的最大值为