2019_2020学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用课件新人教B版必修第一册

第 1 页 共 8 页 2019-2020学年高中数学新教材必修一第二章《等式与不等式》测试试卷

(满分：150分 时间：120分钟)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )

A.1a＜1b B.1a＞1b

C．a＞b2 D．a2＞2b

C [取a＝2，b＝－12，满足a＞1＞b＞－1，但1a＞1b，故A错；取a＝2，b＝13，满足a＞1＞b＞－1，但1a＜1b，故B错；取a＝54，b＝56，满足a＞1＞b＞－1，但a2＜2b，故D错，只有C正确．]

2.已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是( )

A．a＞ab＞ab2 B.ab2＞ab＞a

C.ab＞ab2＞a D.ab＞a＞ab2

C [∵a＜0，b＜－1，∴ab＞0，b2＞1，∴1b2＜1.

又∵a＜0，∴0＞ab2＞a，∴ab＞ab2＞a.

故选C.]

3．不等式－x2－x＋2≥0的解集为( )

A．{x|x≤－2或x≥1} B．{x|－2＜x＜1}

C．{x|－2≤x≤1} D．∅

C [不等式－x2－x＋2≥0可化为x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，所以－2≤x≤1，即解集为{x|－2≤x≤1}．]

4.已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则M∩N＝( )

A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2} 第 2 页 共 8 页 C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}

B [由于N＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，又因为M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}．]

5．下列方程，适合用因式分解法解的是( )

A．x2－42x＋1＝0 B．2x2＝x－3

C．(x－2)2＝3x－6 D．x2－10x－9＝0

第1课时　基本不等式

1．理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式及成立条件．

2．会用基本不等式证明简单的不等式．两个不等式

叫做正数a

，b

的算术平均数，叫做正数a

，b

的几何平均数．a

＋b

2ab

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

温馨提示：“当且仅当a

＝b

时，等号成立”是指若a

≠

b

，则a

2＋b

2≠2ab

，≠ab

，即只能有a

2

＋b

2>2ab

，<.a＋b

2aba

＋b

2

1

．不等式a

2＋b

2

≥2ab

与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？aba

＋b

2

[答案]　不同，a

2＋b

2≥2ab

成立的条件是a

，b

∈R；≤

成立的条件是a

，b

均aba

＋b2

为正实数

2．a

＋≥2(a

≠0)是否恒成立？1

a[答案]　只有a

>0时，a

＋≥2，当a

<0时，a

＋≤－21

a1

a

3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a

，b

∈R，a

2＋b

2≥2ab

、a

＋b

≥2

均成立．( )ab

(2)若a

≠0，则a

＋≥2

＝4.( )4

aa

·4

a

(3)若a

，b

∈R，则ab

≤2.( )(a

＋b

2)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

题型一对基本不等式的理解

【典例1】　给出下面三个推导过程：

①因为a

，b

∈(0，＋∞)，所以＋≥2

＝2；b

aa

bb

a·ab

②因为a

∈

R，a

≠0，所以＋a

≥2 ＝4；4

a4a·a

③因为x

，y

∈R，xy

<0，所以＋

＝－x

yy

x[(

－x

y)

＋(

－yx)]

≤－2 ＝－2.(

－x

y)(

－y

x)

其中正确的推导过程为( )

A．①② B．②③ C．② D．①③[思路导引]　根据基本不等式中的条件进行判断．

[解析]　从基本不等式成立的条件考虑．

①因为a

，b

∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①b

aa

b

的推导过程正确；②因为a

∈R，a

≠0不符合基本不等式成立的条件，

所以＋a

≥2 ＝4是错误的；4a4a·a

③由xy

<0得，均为负数，但在推导过程中将＋

看成一个整体提出负号后，，x

yyxx

第二课时 均值不等式的应用

课标要求

素养要求

掌握均值不等式ab≤a＋b2(a，b≥0).结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题. 通过学习均值不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.

教材知识探究

(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？

(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？

问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？

提示 这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤x＋y22＝252＝625，当且仅当x＝y＝25时取等号，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小值，x＋y≥2xy＝210 000＝200，当且仅当x＝y＝100时取等号，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省.

1.均值不等式与最大(小)值 口诀：和定积最大，积定和最小 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.

(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.

(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.

2.均值不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.

教材拓展补遗

[微判断]

1.对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值.(×)

提示 a，b不一定为正实数.

2.对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.(×)

提示 a，b不一定为正实数.

3.若x>2，则x＋1x的最小值为2.(×)

提示 当且仅当x＝1时才能取得最小值2，故x>2时，取不到最小值2.

[微训练]

1.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.

2．2.4 均值不等式及其应用

课时作业17 均值不等式

知识点一 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式

1．已知数轴上，A(2)，B(－4)，求线段AB的长以及线段AB的中点M的坐标．

解 画出数轴，如图所示．

则线段AB的长为AB＝|－4－2|＝6.

AB中点M的坐标为－4＋22＝－1，即M(－1).

知识点二 算术平均值与几何平均值

2.下列不等式中正确的是( )

A．a＋4a≥4 B．a2＋b2≥4ab

C.ab≥a＋b2 D．x2＋3x2≥23

答案 D

解析 若a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错误；由均值不等式可知D正确．

3．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( ) A．a＜b＜ab＜a＋b2 B．a＜ab＜a＋b2＜b

C．a＜ab＜b＜a＋b2 D.ab＜a＜a＋b2＜b

答案 B

解析 解法一：∵0＜a＜b，∴a＜a＋b2＜b，排除A，C.又ab－a＝a(b－a)＞0，即ab＞a，排除D，故选B.

解法二：取a＝2，b＝8，则ab＝4，a＋b2＝5，所以a＜ab＜a＋b2＜b.故选B.

知识点三 利用均值不等式证明不等式

4.(1)已知a，b，c均为正实数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c；

(2)已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.

证明 (1)∵a，b，c均为正实数，∴a2b，b2c，c2a均大于0，

又a2b＋b≥2a2b·b＝2a，

b2c＋c≥2b2c·c＝2b，

c2a＋a≥2c2a·a＝2c，

三式相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，

∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.

(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0.

∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，