必修1数学新教材人教B版第二章 2.2.4 均值不等式及其应用

- 1 - 2.2.1 不等式及其性质

[A 基础达标]

1．下列说法正确的是( )

A．若a>b，c>d，则ac>bd

B．若1a>1b，则a

C．若b>c，则|a|b≥|a|c

D．若a>b，c>d，则a－c>b－d

解析：选C.A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：同向不等式不能相减．

2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A.(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a

3．若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是( )

A．y1

C．y1>y2 D．随x值变化而变化

解析：选C.y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)

＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，

所以y1>y2.故选C.

4．已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )

A．a＋1b>b＋1a B．a＋1a≥b＋1b

C.ba>b＋1a＋1 D．b－1b>a－1a

解析：选A.因为a>b>0，所以1b>1a>0，所以a＋1b>b＋1a，故选A.

5．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )

A．ab>bc B．ac>bc

C．ab>ac D．a|b|>c|b|

解析：选C.因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，

所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零． - 2 - 由b>c，a>0知，ab>ac.故选C.

6．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得1a<1b成立的是________．

解析：1a<1b⇔b－aab<0，所以①②④能使它成立．

答案：①②④

7．若a1

解析：(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)

课后作业(十二)

复习巩固

一、选择题

1．当x>0时，y＝12x＋4x的最小值为( )

A．4 B．8

C．83 D．16

[解析] ∵x>0，∴12x>0,4x>0.∴y＝12x＋4x≥212x·4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，∴当x>0时，y的最小值为83.

[答案] C

2．设x，y为正数，则(x＋y)1x＋4y的最小值为( )

A．6 B．9

C．12 D．15

[解析] (x＋y)1x＋4y＝x·1x＋4xy＋yx＋y·4y＝1＋4＋4xy＋yx≥5＋2

4xy·yx＝9.

[答案] B

3．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有( )

A．最大值64 B．最小值164

C．最小值12 D．最小值64

[解析] 由题意xy＝2x＋8yxy＝2y＋8x≥22y·8x＝8xy，∴xy≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.

[答案] D

4．已知p>0，q>0，p＋q＝1，且x＝p＋1p，y＝q＋1q，则x＋y的最小值为( )

A．6 B．5

C．4 D．3

[解析] 由p＋q＝1，

∴x＋y＝p＋1p＋q＋1q＝1＋1p＋1q＝1＋1p＋1q(p＋q)

＝1＋2＋qp＋pq≥3＋2qp·pq＝5，

当且仅当qp＝pq即p＝q＝12时取等号，

所以B选项是正确的．

[答案] B

5．若a<1，则a＋1a－1有最________(填“大”或“小”)值，为________．

[解析] ∵a<1，

∴a－1<0，

∴－a－1＋1a－1＝(1－a)＋11－a≥2，

∴a－1＋1a－1≤－2，

∴a＋1a－1≤－1.

当且仅当a＝0时取等号．

[答案] 大 －1

二、填空题

6．已知0

[解析] 由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×3x＋3－3x22＝34，当且

第二章 等式与不等式

2．1 等 式 ............................................................................................................. - 1 -

2．1.1 等式的性质与方程的解集 ....................................................................... - 1 -

2．1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 ......................................... - 11 -

2．1.3 方程组的解集 ......................................................................................... - 19 -

2．2 不 等 式........................................................................................................ - 30 -

2．2.1 不等式及其性质 ..................................................................................... - 30 -

2．2.2 不等式的解集 ......................................................................................... - 41 -

2．2.3 一元二次不等式的解法 ......................................................................... - 49 -

1 2.2.4均值不等式及其应用

第二章 等式与不等式

2.2 不等式

2.2.4 均值不等式及其应用

考点1均值不等式的理解

1.(2018·山东兖州二中高二月考)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )。

A.a2+b2>2ab B.a+b≥2√𝑎𝑏

C.1𝑎+1𝑏 >2√𝑎𝑏 D.𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2

答案：D

解析：a2+b2≥2ab,所以A错误;ab>0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a<0,b<0时,B错误;同理,C错误;𝑎𝑏或𝑏𝑎都是正数,根据不等式求最值,𝑎𝑏+𝑏𝑎≥2√𝑎𝑏×𝑏𝑎=2,故D正确。

2.若a,b∈R,则下列不等式恒成立的是( )。

A.|𝑎+𝑏|2≥√|𝑎𝑏| B.𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2

C.𝑎2+𝑏22≥(𝑎+𝑏2)2 D.(a+b)(1𝑎+1𝑏)≥4

答案：C

解析：对于A,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,不等式不成立,故A中不等式不恒成立;对于B,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,-(𝑎𝑏+𝑏𝑎)≥2√𝑎𝑏·𝑏𝑎=2,那么𝑎𝑏+𝑏𝑎≤-2,故B中不等式不恒成立;对于C,𝑎2+𝑏22≥(𝑎+𝑏2)2,故C中不等式恒成立;对于D,(a+b)1𝑎+1𝑏=2+𝑎𝑏+𝑏𝑎,当a,b同号时𝑎𝑏+𝑏𝑎≥2,原不等式成立,当a,b异号时,-(𝑎𝑏+𝑏𝑎)≥2√𝑎𝑏·𝑏𝑎=2,那么𝑎𝑏+𝑏𝑎≤-2,原不等式不成立,故D中不等式不恒成立。故选C。

3.(2019·北京第九十四中高二期中)若正实数a,b满足1𝑎+2𝑏=√2𝑎𝑏,则ab的最小值为( )。

A.√2 B.2 C.2√2 D.4

答案：B

2 解析：对于正实数a,b,由均值不等式可知1𝑎+2𝑏≥2√2√𝑎𝑏,当且仅当1𝑎=2𝑏时取等号,则√2𝑎𝑏≥2√2√𝑎𝑏⇒ab≥2,故选B。