人教高中数学B版必修一 《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT

- 1 - 2.2.1 不等式及其性质

[A 基础达标]

1．下列说法正确的是( )

A．若a>b，c>d，则ac>bd

B．若1a>1b，则a

C．若b>c，则|a|b≥|a|c

D．若a>b，c>d，则a－c>b－d

解析：选C.A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：同向不等式不能相减．

2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A.(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a

3．若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是( )

A．y1

C．y1>y2 D．随x值变化而变化

解析：选C.y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)

＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，

所以y1>y2.故选C.

4．已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )

A．a＋1b>b＋1a B．a＋1a≥b＋1b

C.ba>b＋1a＋1 D．b－1b>a－1a

解析：选A.因为a>b>0，所以1b>1a>0，所以a＋1b>b＋1a，故选A.

5．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )

A．ab>bc B．ac>bc

C．ab>ac D．a|b|>c|b|

解析：选C.因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，

所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零． - 2 - 由b>c，a>0知，ab>ac.故选C.

6．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得1a<1b成立的是________．

解析：1a<1b⇔b－aab<0，所以①②④能使它成立．

答案：①②④

7．若a1

解析：(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)

考点

学习目标 核心素养

数（式）大小比较 会运用作差法比较两个数或式的大小 逻辑推理

不等式的性质 掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题 逻辑推理

问题导学

预习教材P５8—P6３的内容，思考以下问题：

１．如何比较两个实数的大小？

２．不等式的性质有哪些？

３．不等式的性质有哪些推论？

１．比较实数a，b的大小

（１）文字叙述

如果a—b是正数，那么a>b；如果a—b等于零，那么a＝b；如果a—b是负数，那么a

（２）符号表示

a—b>0⇔a>b；a—b＝0⇔a＝b；a—b<0⇔a

■名师点拨

符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．

２．不等式的性质

性质１：如果a>b，那么a＋c>b＋c.

性质２：如果a>b，c>0，那么ac>bc.

性质３：如果a>b，c<0，那么acb，b>c，那么a>c.（传递性）

性质５：a＞bb＜a.

推论１：如果a＋b>c，则a>c—b.（不等式的移项法则）

推论２：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.（同向可加性）

推论３：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

推论４：如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>１）．

推论５：如果a>b>0，那么错误!>错误!.

■名师点拨

（１）推论１表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．

（２）推论２表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．

（３）推论３表明，n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）实数a不大于—２，用不等式表示为a≥—２．（ ）

1 2.2.4均值不等式及其应用

第二章 等式与不等式

2.2 不等式

2.2.4 均值不等式及其应用

考点1均值不等式的理解

1.(2018·山东兖州二中高二月考)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )。

A.a2+b2>2ab B.a+b≥2√𝑎𝑏

C.1𝑎+1𝑏 >2√𝑎𝑏 D.𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2

答案：D

解析：a2+b2≥2ab,所以A错误;ab>0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a<0,b<0时,B错误;同理,C错误;𝑎𝑏或𝑏𝑎都是正数,根据不等式求最值,𝑎𝑏+𝑏𝑎≥2√𝑎𝑏×𝑏𝑎=2,故D正确。

2.若a,b∈R,则下列不等式恒成立的是( )。

A.|𝑎+𝑏|2≥√|𝑎𝑏| B.𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2

C.𝑎2+𝑏22≥(𝑎+𝑏2)2 D.(a+b)(1𝑎+1𝑏)≥4

答案：C

解析：对于A,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,不等式不成立,故A中不等式不恒成立;对于B,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,-(𝑎𝑏+𝑏𝑎)≥2√𝑎𝑏·𝑏𝑎=2,那么𝑎𝑏+𝑏𝑎≤-2,故B中不等式不恒成立;对于C,𝑎2+𝑏22≥(𝑎+𝑏2)2,故C中不等式恒成立;对于D,(a+b)1𝑎+1𝑏=2+𝑎𝑏+𝑏𝑎,当a,b同号时𝑎𝑏+𝑏𝑎≥2,原不等式成立,当a,b异号时,-(𝑎𝑏+𝑏𝑎)≥2√𝑎𝑏·𝑏𝑎=2,那么𝑎𝑏+𝑏𝑎≤-2,原不等式不成立,故D中不等式不恒成立。故选C。

3.(2019·北京第九十四中高二期中)若正实数a,b满足1𝑎+2𝑏=√2𝑎𝑏,则ab的最小值为( )。

A.√2 B.2 C.2√2 D.4

答案：B

2 解析：对于正实数a,b,由均值不等式可知1𝑎+2𝑏≥2√2√𝑎𝑏,当且仅当1𝑎=2𝑏时取等号,则√2𝑎𝑏≥2√2√𝑎𝑏⇒ab≥2,故选B。

均值不等式及其应用

【学习目标】

掌握基本不等式错误!≤错误!（a，b≥0）．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．

【学习重难点】

均值不等式的应用．

【学习过程】

【第1课时】

一、自主学习

知识点一：数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式

1．数轴上两点之间的距离公式

一般地，如果A（a），B（b），则线段AB的长为AB＝|a－b|．

2．中点坐标公式

如果线段AB的中点M的坐标为．若a0，b>0），当且仅当a＝b时，等号成立．其中错误!和错误!分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．

基本不等式2abab（a，b∈R＋）的应用：

（1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0，b>0，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤错误!，当且仅当a＝b时等号成立．即：a＋b＝M，M为定值时，（ab）ma＝错误!．

（2）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0，b>0，且ab＝111aa2a2a2a2a2a2ain＝25．

答案：25

（三）解答题

8．已知0．

f（）＝4－5＋3＋错误!＝－错误!＋3≤－215454xx＋3＝1．

当且仅当5－4＝错误!时等号成立， 又5－4>0，

所以5－4＝1，＝1．

所以f（）ma＝f（1）＝1．

9．已知函数f（）＝4＋错误!（>0，a>0）在＝3时取得最小值，求a的值．

解析：因为f（）＝4＋错误!≥2错误!＝4错误!，

当且仅当4＝错误!，即42＝a时，f（）取得最小值．

又因为＝3，所以a＝4×32＝36．

尖子生题库：

10．已知∈错误!，求函数＝错误!＋错误!的最小值．

解析：＝错误!＋错误!＝错误!·（2＋1－2）＝10＋2·错误!＋8·错误!，

而∈错误!，2·错误!＋8·错误!≥2错误!＝8，

当且仅当2·错误!＝8·错误!，

即＝错误!∈错误!时取到等号，则≥18，

所以函数＝错误!＋错误!的最小值为18．