曲面的第一基本形式
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作者：王幼宁
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第三章 曲面的第一基本形式
本章将接触到曲面论的最基本概念．类比于曲线；但内容更加丰富，
特别要注意两者的差异．首先要明确曲面的局部表示和相关的基本概念；
其次要明确度量几何的基本要素——弧长元素．在学习的过程中，应该注
意对概念的深入理解．
§1 参数化曲面
一．E3
中参数化曲面的定义
r: UE3
(u, v) r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ．
Ck
阶参数化曲面，简称参数曲面；
参数，或称曲线坐标或曲纹坐标，
简称坐标．点． u 坐标曲线，简称
u 线； v 坐标曲线，简称 v 线；坐
标曲线．坐标曲线网或参数网．自
然切向分别表示为
r
u
r
u ，r
v
r
v ．
连续曲面，光滑曲面．参数化通常在曲面局部有意义，在整体不一定
能做到．以后不声明时在局部总考虑 C3
类参数曲面，并简称之为曲面．
二．正则曲面
定义1 奇（异）点；正则点．正则曲面，正则参数． 正则点的几何意义是当参数在该点处作微小变动时动点的轨迹构成二
维实体；正则点附近总存在小邻域，使得参数值与其位置向量之间保持一
一对应．
例5 按定义直接计算可知例1和例2中的参数曲面都是正则的．对于
例3中的参数曲面，有
r
u ( v sin u , v cos u , 0) ，
v
z
(u
0, v
0)
P(u
0, v
0)
u
S
U
O
y
x
图3-1 作者：王幼宁
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r
v (cos u , sin u , 1) ，
r
ur
v (v cos u , v sin u , v) v (cos u , sin u , 1) ；
r
ur
v 当且仅当参数 v 0 时为零向量，故参数值 (u, 0) 对应于全部非正则点
——锥顶．对于例4中的旋转面，当 f(v) 0 时，对应点不是正则的．
例6 单位圆柱面具有存在奇点的下列参数化：
r(t, z) = (cos t2
, sin t2
, z) ． 一般地，存在奇点的参数曲面在奇点附近的性质需要单独加以讨论，
并且往往比较复杂；而对于连续可微参数曲面，正则点附近总存在较小邻
域使正则性得到满足．因此将曲面论的局部基本理论建立在正则曲面之
上，是具有一般性的．
三．正则曲面的切平面和法线
已知正则曲面 S: r r(u, v) ．考虑
过点 r(u
0, v
0) , r(u
0+
u, v
0) 和 r(u
0,
v
0+
v) 的平面
当 (
u,
v)(0, 0) 时
的极限位置，亦即切平面的位置．正
则性保证了平面
的极限位置平面 0
的法向向量确定为
r
u(u
0, v
0)r
v(u
0, v
0) ．
曲面上的曲线在该点处的切向量总落在平面
0 上面；任给坐标曲线自然
切向量的线性组合，曲面上总存在曲线以之为点 r(u
0, v
0) 处的切向．
定义2 切平面；法线，法向；单位法向特指为单位向量
(1.2) n(u
0, v
0) r
u(u
0, v
0)r
v(u
0, v
0)
r
u(u
0, v
0)r
v(u
0, v
0)
；
正定向，简称正向；负定向，简称负向．
正则曲面是有正定向的曲面．
在切点 P: r(u
0, v
0) 处的切平面通常记为 T
P ，它按坐标曲线自然切向量
的线性组合可以理解为二维向量空间
(1.3) T
P {a r
u(u
0, v
0) b r
v(u
0, v
0) (a, b)R2
} E2
，
其中的向量称为曲面的切向量，两个切向量 a 和 b 的内积 (a, b) 规定为 E3
的诱导内积，即
(1.4) (a, b) ab , a, bT
P ．
图3-5
作者：王幼宁
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此时，切平面同时具有向量空间结构和度量结构．切平面的基向量组 {r
u,
r
v} 通常称为自然基，而标架场 {r; r
u, r
v, n} 通常称为自然标架场．用经典
微积分的观点来看，切平面上的微元
(1.5) dr(u, v) r
u(u, v)du r
v(u, v)dv
是位置向量增量 [r(u + du , v + dv) r(u, v)] 的线性主部，称为切向微元；按
(1.3) 式所表示的同构，其按自然基分解的系数 (du, dv) 亦可视为切平面中
的微元，其方向由比例du:dv 确定．
例8 已知半径为 a > 0 的圆柱面的经纬参数方程为
r(t, z) (a cos t , a sin t , a z) ．
试求其过点 (a, 0, a) 的任意切向以及分别由比例 1:2 和 1:0 确定的切向．
例9 已知正则曲面由隐式方程 F(x, y, z) 0 确定，其中梯度向量 F
(F
x, F
y, F
z) 0 ．证明该曲面上点 (x, y, z) 处的法向确定为F(x, y, z) ．
四．参数变换
定义3 给定正则曲面 S: r r(u, v) ，若参数变换 {u u(u*, v*)
v v(u*, v*) 满足
① 是连续可微的一一对应；
② Jacobi行列式 (u, v)
(u*, v
*) u
u
*
v
u*
u
v
* v
v* 处处非零，
E3
r*(U*)
r(U)
S
v
r v* r*
R2
R2
U U*
u u*
图3-6 作者：王幼宁
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则称之为容许参数变换；当 (u, v)
(u*, v
*) > 0 时称之为保向的，当 (u, v)
(u*, v
*) <
0 时称之为反向的．
注记 容许参数变换只有保向或反向两种．
在容许参数变换 {u u(u*, v*)
v v(u*, v*)下，有
(1.6)
r
u*
r
v* =
u
u
* v
u
*
u
v
* v
v
*
r
u
r
v ，
(1.7) r
u*r
v* (u, v)
(u*, v
*) r
ur
v ．
由此可知，在容许参数变换下，正则性和可微性保持不变，切平面不变；
单位法向在保向容许参数变换下不变，在反向容许参数变换下变号．
五．参数曲面的等价
类似曲线的论断：
① 一个曲面点集实体允许存在多种参数化方式，有参数变换．
② 曲面实体的几何属性不依赖于其参数化的方式，也不依赖于空间
直角坐标系的选取．
③ 两个合同的曲面实体相当于同一曲面实体的不同位置表现形式．
④ 若两张正则曲面之间仅仅相差一个容许的参数变换，则它们表示
同一个几何实体，称这两张正则曲面是相同的．相同的正则曲面实际上是
指正则曲面的一种等价类，其在同一实点上的切平面、法线等等几何实体
分别是重合的．
⑤ 定向相同的；定向相反的．
⑥ 定向相同的曲面的单位法向以及有向切平面，对于每个对应点都
是唯一确定的．
⑦ 曲面的整体概念和整体性质是复杂的，将留待于第八章中进行较
为深入的讨论．
约定：在以后讨论曲面局部性质的各章中，不声明时总考虑正则曲面
和容许参数变换，并分别简称为曲面和参数变换． 作者：王幼宁
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§2 直纹面与可展曲面
直纹面可以由一族直线“织成”，即：过曲面上每一点都存在过该点
的直线落在该曲面上．
一．直纹面及其上的参数变换
直纹面的直纹或（直）母线；准
线．直纹的位置和直纹上的点的相对位
置，给出直纹面 S 的下列自然参数化
(2.1) S: r r(u, v) a(u) v l(u) ，
其中准线为连续可微参数曲线
(2.2) C: r* a(u) ，
过准线上点 a(u) 处的直纹方向确定为向量
l(u) ，且 l(u) 连续可微．此时，
(2.5) r
ur
v [a(u) v l(u)]l(u) a(u)l(u) v l(u)l(u) ．
由此可确定正则条件．
例1 直纹面可按 (2.1) 式准线与直纹方向的关系归为不同的子类．
① 柱面：各直纹平行．正则性条件即为准线不与直纹相切，单位法
向沿着直纹是常向量，切平面沿着直纹重合．
② 锥面：各直纹相交于锥顶点．准线可以“收缩”为锥顶．不妨设
已经规范为a(u) a
0 ，则正则性条件化为
(2.7) r
ur
v v l(u)l(u) 0 ．
故锥顶是奇点；并且，当直纹单位方向向量在单位球面上为正则曲线时，
也只有锥顶是奇点．其切平面沿着直纹也重合．
③ 切线面：直母线族是某条准线的切线族，即直母线族有包络线可
作为准线．不妨设已经规范为a(u) l(u) 0 ，且此时不妨设准线以 u 为弧
长参数，则正则性条件化为
(2.8) r
ur
v v T
(u)T(u) 0 ．
l(u)
a(u)
准线C
O
图3-7
① ② ③
图3-8
