最值问题(定弦定角定线段)

定弦对定角另两边之和的最大值 概述说明以及解释

1. 引言

1.1 概述

本文旨在探讨定弦对定角另两边之和的最大值。我们将研究这一数学问题的定义、相关背景以及解释定弦和定角之间的关系。通过分析定弦与另两边之和的影响因素，我们希望得出一套推导公式并进行数学证明，最终总结出最大值的性质，并进一步探讨其在实际应用中的相关情况。

1.2 文章结构

本文共分为五个部分进行论述。首先是引言部分，概述了全文的主要内容和目标。随后，在第二部分中，我们将详细介绍定弦对定角另两边之和问题的定义和背景，并解释了这两者之间的关系。第三部分将对该问题进行分析和讨论，包括推导公式表达式、数学证明与解释、以及实例分析与讨论。在第四部分中，我们将总结研究结果，并提出相关性实际应用方面的探讨。最后，在第五部分中给出结论。

1.3 目的

研究此问题有以下几个目的：首先，揭示定弦对于一角两边之和最大值行为的规律和特点，拓展数学领域中的相关知识；其次，通过推导公式和数学证明，对于该问题的解答提供一套理论体系。最后，结合实例分析和讨论探索定弦对定角另两边之和最大值在实际应用中的潜在价值，为可能的应用领域提供指导，并为进一步研究打下基础。

以上是第一部分“引言”内容，请根据需要进行修改或扩展。

2. 定弦对定角另两边之和的最大值：

2.1 定义和背景：

在几何学中，当两条线段（即两边）与一个定点（即顶点）之间的夹角保持不变时，我们称这个夹角为定角。而当一条线段连接两个固定点，并与一个已知半径的圆交于该圆上另一点时，我们称这条线段为定弦。现在我们需要研究的是，在一个给定大小的圆内，如何选择合适长度的定弦，使得它与圆内某一定角形成的两边之和达到最大值。

2.2 解释定弦和定角关系：

为了解释针对固定圆内形成的夹角而言，选取何种长度的弦可使得另两边之和达到最大值这一问题，我们需要先明确以下关系。首先，根据数学性质以及几何图形规律，同样以某个顶点为起始点、终止点不同的所有弦都会有相等长度。其次，在一个给定半径下，那些开始于同一顶点并且结束于相邻两个端点之间任意一点形成的角度是相等的。换言之，无论以哪种方式将某一顶点与其他两个点相连，形成的夹角大小都是相同的。这些前提条件与我们针对的定弦和定角问题密切相关。

定弦定角最值问题

1、如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．2 D．2441

第1题图 第2题图 第3题图

2、如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（ ）

A．213 B．213 C．5 D．916

3、如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．2 D．324

4、如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（ ）

A．3612 B．336 C．3312 D．346

5、如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）

A．21 B．22 C．23 D．43

6、如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________

第6题图 第7题图

7、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________

8、如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是弧BC上上一动点，D是AP的中点，连接CD，

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类型一：

例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。求MP+NP的最小值。

例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。求PC+CD的最小值。

例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。求PE+PF的最小值。

类型二：折叠隐圆

基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.

例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。

例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？

例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？

类型三：随动位似隐圆

例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？

分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。

方法归纳：

1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。则点M运动轨迹为圆O2，且O2为AO1的中垂线与O1的交点。

定弦定角最值问题（答案版）

【例11 （2016 •新观察四调模拟 1）如图，△ ABC中，AC = 3 , BC = 4j2，/ ACB = 45° D为△

ABC内一动点，O O为^ ACD的外接圆，直线 BD交O O于P点，交BC于E点，弧AE= CP, 则AD的最小值为（

D. 741 4^2

解：•••/ CDP = / ACB = 45°

•••/ BDC = 135 ° （定弦定角最值）

如图，当AD过0时，AD有最小值

•••/ BDC = 135 °

•••/ BOC = 90 °

•- △ BOC为等腰直角三角形

:丄 ACO = 45。+ 45 °= 90 °

••• AO = 5

又 O B = O 'C= 4

• AD = 5 — 4= 1

【例21如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D为AC上一动点，以 AD为直径作圆，连接 BD交圆于E点，连CE,贝y CE的最小值为（

2 C. 5

•/ AD为O 0的直径

•••/ AEB = / AED = 90 °

••• E点在以AB为直径的圆上运动

当CE过圆心 0时，CE有最小值为 J13

【练1 （2015 •江汉中考模拟 1）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4运，/ ACB = 45° AM II BC，

点P在射线AM上运动，连

A . 1 B

. C. © BP交△APC的外接圆于

解：连接 CD

FAC = Z PDC = Z ACB = 45 °

BDC =

135 ° •••/

如图，当AD过圆心0时，AD有最小值

•••/ BDC = 135°

•••/ BO 'C =

90°

又/ ACO = 90°

••• AO = 5

• AD的最小值为 5 — 4= 1 4 P M

D

【例3】（2016 •勤学早四调模拟 1）如图，O O的半径为2,弦AB的长为2/，点P为优弧AB