线段最值问题总结

数学历史名题与中考数学命题（一）

——线段最值问题总结

【讲座提纲】

应群主纪老师的邀请，进行这次的讲座，对于中考数学我其实是外行，因为我主要是

教高中数学，初中数学我平时也会偶尔关注一下，对于特等老师们的执着、专业、无私，我

是从心里佩服的，他们才是中考数学解题命题专家，他们的讲座给与我很大的启发，学到了

很多。但是我这个外行为什么还进行这次讲座呢？一是在群里学到了很多大神的妙招，我也

应该为草根群出自己一份力，提供个人的一些浅薄的想法；二是通过这次讲座跟各位老师学

习和交流，提高自己的解题水平；三是通过自己的一些想法，抛砖引玉，希望群里其他真正

厉害的高手出来为群里老师们进行指导，形成草根群更加浓厚的学术交流氛围。在此特别感

谢群主和各位群友在草根群一直对我的指导和帮助，谢谢大家！

数学历史名题是各文明古国灿烂文化的结晶，有的是数学大师的伟大数学思想的光辉

杰作，有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。我们通过数学名题，学习和欣赏数学大师

们的别致、独到的构思，新颖、奇巧的方法和精美、漂亮的结论的基础上，启迪我们的思维、

开阔我们探索问题的思路、提高解决问题的能力、丰富我们的解题经验。数学文化现在越来

越受到大家的重视，2017年高考考纲正式加入数学文化的内容，中考数学试题中更是很多

数学试题是根据数学名题改编或者简化或者直接引用而成，本讲座主要在于探索一些中考几

何真题的文化价值和命题背景。

本讲座主要涉及的名题背景有“将军饮马问题”、“阿波罗尼斯圆与胡不归问题”将研究其解法和背景，结合中考真题进行讲解分析，期待引起大家对数学名题的关注和研究！

线段的最值问题频频出现在各地中考数学试卷上面，这些问题有大家熟知的“将军饮马

问题”及其引申，也有近几年非常热火的“胡不归问题”与“阿波罗尼斯圆问题”，很多老

师对它们有所了解，但是却缺乏这方面的总结整理，甚至有“知其然不知其所以然”，因此

很有必要对它们作一个梳理，这里我尽可能讲清楚这些问题的来龙去脉，历史渊源，归纳其

解法，掌握其思想，对中考数学命题背景作一些浅显的探讨，由于本人水平有限，准备时间

仓，可能整理得不够完整，甚至出现错误，望各位批评指正，感激不尽！

一将军饮马问题：

问题起源：亚历山大城有一位精通物理和数学的学者海伦，一天一位罗马将军专程去拜访他，向

他请教一个百思不得其解的问题，军官每天从军营出发先到河边饮马，然后再去河的同侧帐篷休

息，应该怎么走最省时？海伦利用光学性质很快就得到了解答，我们知道光在同一种介质里面是

沿直线传播的，也就是说是沿最短路径行进的，但是当光从一点射出后不是直线射向另一点，而

是经过平面镜反射到另一点的时候，光依旧会沿最短的路径进行。你说大自然多么奇妙，这个世

界冥冥之中是按数学最优美的次序书写的，让人惊叹！从此“将军饮马”问题广为流传，在我国

唐代诗人李欣写有《古从军行》一诗，

古从军行

白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。

野营万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。

胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。

年年战骨埋荒外，空见蒲萄入汉家。

前两句诗句就记录了“将军饮马”的情景。也可以说是中国给这个经典问题的名称的由来吧。

【熟悉十二个基本问题】

【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．连AB，与l交点即为P．两点之间线段最短．

PA+PB最小值为AB．

【问题2】“将军饮马”作法图形原理

在直线l上求一点P，使

PA+PB值最小．作B关于l的对称点B＇连

AB＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．

PA+PB最小值为AB＇．

【问题3】作法图形原理

在直线

1l、

2l上分别求点

M、N，使△PMN的周长

最小．分别作点P关于两直线的

对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，

与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．

PM+MN+PN的最小值为

线段P＇P＇＇的长．

【问题4】作法图形原理

在直线

1l、

2l上分别求点

M、N，使四边形PQMN的

周长最小．分别作点Q、P关于直线

1l、

2l的对称点Q＇和P＇

连Q＇P＇，与两直线交点即

为M，N．两点之间线段最短．

四边形PQMN周长的最小

值为线段P＇P＇＇的长．

【问题5】“造桥选址”作法图形原理

直线m∥n，在m、n，将点A向下平移MN的长

度单位得A＇，连A＇B，交n

于点N，过N作NM⊥m于

M．两点之间线段最短．

AM+MN+BN的最小值为

A＇B+MN．

上分别求点M、N，使MN

⊥m，且AM+MN+BN的值

最小．

【问题6】作法图形原理

在直线l上求两点M、N（M

在左），使a

MN

，并使AM+MN+NB的值最小．将点A向右平移a个长度

单位得A＇，作A＇关于l

的对称点A＇＇，连A＇＇B，交

直线l于点N，将N点向左

平移a个单位得M．两点之间线段最短．

AM+MN+BN的最小值为

A＇＇B+MN．

【问题7】作法图形原理

在

1l上求点A，在

2l上求

点B，使PA+AB值最小．作点P关于

1l的对称点

P＇，作P＇B⊥

2l于B，交

2l

于A．点到直线，垂线段最短．

PA+AB的最小值为线段P＇B

的长．

【问题8】作法图形原理

A为

1l上一定点，B为

2l上

一定点，在

2l上求点M，

在

1l上求点N，使

AM+MN+NB的值最小．作点A关于

2l的对称点

A＇，作点B关于

1l的对

称点B＇，连A＇B＇交

2l于

M，交

1l于N．两点之间线段最短．

AM+MN+NB的最小值为

线段A＇B＇的长．

【问题9】作法图形原理

在直线l上求一点P，使

PBPA的值最小．连AB，作AB的中垂线与

直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两

端点的距离相等．

PBPA＝0．

【问题10】作法图形原理

作直线AB，与直线l的交

点即为P．三角形任意两边之差小于

第三边．PBPA≤AB．

在直线l上求一点P，使

PBPA的值最大．PBPA的最大值＝AB．

【问题11】作法图形原理

在直线l上求一点P，使

PBPA的值最大．作B关于l的对称点B＇作

直线AB＇，与l交点即为

P．三角形任意两边之差小于

第三边．PBPA≤AB＇．

PBPA最大值＝AB＇．

【问题12】“费马点”作法图形原理

△ABC中每一内角都小于

120°，在△ABC内求一点

P，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即

满足∠APB＝∠BPC＝∠

APC＝120°．以AB、AC

为边向外作等边△ABD、

△ACE，连CD、BE

相交于

P

，点

P即为所求．两点之间线段最短．

PA+PB+PC最小值＝CD．

将军饮马问题耳熟能详，大家都掌握得非常熟练了，我就仅举一例说明中考的考法，并留几

个习题供大家练习

例题1：（广州中考题）已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A

、(40)B，

，抛物线

22(0)yaxbxa

过点AB、，

顶点为C

，点(,)(0)Pmnn

为抛物线上一点.

（1）求抛物线的解析式和顶点C

的坐标；

（2）当APB

为钝角时，求m

的取值范围；

（3）若3

,

2m

当APB

为直角时，将该抛物线向左或向右平移5

(0)

2tt

个单位，点C

、

P

平移后对应的点分别记为''CP、

，是否存在t

，使得首尾依次连接''ABPC、、、

所构成的多边形的周长最短？若存在，求t

的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，

请说明理由.【分析】：第一问考察了求二函解析式与求顶点，但由于带这分数运算，所以计算并不简

单，属于中等难度题目。第二问考察当点P坐标为何时，∠APB为钝角。想钝角

需要先从直角思考。所以利用画圆找90°，然后利用相似三角形或勾股逆定理求

证三点成90°。再由90°过度到钝角。第二问思维跨度比较大，属于难题。第三

问则考察了函数的平移，题型新型，难度很大，背景为“将军饮马问题”。这里

主要讲解第三问.

解:(1)代入

10A,

,

40B,

二次函数:22yaxbx

得:

02

01642ab

ab





,解得:1

2

3

2a

b















∴抛物线解析式为:213

2

22yxx

.对称轴为直线3

22b

x

a

,代入213

2

22yxx则顶点325

28C,





.

(2)如图所示，设抛物线与y轴交点D

，连接AD,BD

∵

104002A,,B,,D,

由勾股定理得

:22125AD

,224225BD

,145AB

∴222ADBDAB

,

∴ABD

为直角三角形,90ADB

.

由图可得：当10m

时，APB

为钝角.∵抛物线关于轴对称3

2x

对称，∴D

的对称点'D

的坐标为：

32,

由图可得：当34m

时，APB

为钝角.

综上所述：当10m

或34m

时，APB

为钝角.