定弦定角最值问题
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定弦定角最值问题
【定弦定角题型的识别】 有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。 【题目类型】
图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉 及定弦定角最值问题
【解题原理】
同弧所对的圆周角相等， 定弦的同侧两个圆周角相等， 则四点共圆， 因此动点的轨迹是圆。
（线段同侧的两点对线段的张角相等， 则这两点以及线段的两个端点 共圆。）
【一般解题步骤】
①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨 迹是一段弧。
②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一 般为
45°、 60°或者一个确定的三角函数的对角等） ③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。
④确定圆心位置，计算隐形圆半径。
⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 ⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最 小值）。
【例 1】（2016 ·新观察四调模拟 1）如图，△ ABC中， AC＝3，BC＝ 4 2 ，∠ ACB＝ 45°， D为△
ABC内一动点，⊙ O为△ ACD的外接圆，直线 BD交⊙ O于 P点，交 BC于 E点，弧 AE＝CP，则
AD 的最小值为（ ）
A．1 B． 2 C． 2 D． 41 4 2 解：∵∠ CDP＝∠ ACB＝45°
∴∠ BDC＝135°（定弦定角最值） 如图，当 AD过 O′时， AD有最小值
∵∠ BDC＝ 135°
∴∠ BO′ C＝ 90°
∴△ BO′C为等腰直角三角形
∴∠ ACO′＝ 45 °＋ 45°＝ 90°
∴AO′＝ 5
又 O′ B＝ O′C＝ 4 ∴AD＝5－4＝1
【例 2】如图， AC＝ 3， BC＝ 5，且∠ BAC＝90°， D为 AC上一动点，以 AD为直径作圆，连接 BD
交圆于 E 点，连 CE，则 CE的最小值为（ ）
A． 13 2 B． 13 2 C． 5 D． 16
9
解 ：连接 AE
∵AD为⊙ O的直径
∴∠ AEB＝∠ AED＝ 90°
∴ E点在以 AB为直径的圆上运动
当 CE过圆心 O′时， CE有最小值为 13 2
【练】 （2015 ·江汉中考模拟 1）如图，在△ ABC中， AC＝3，BC＝ 4 2 ，∠ ACB＝45°， AM∥BC，
点 P 在射线 AM上运动，连 BP 交△ APC的外接圆于 D，则 AD的最小值为（ ）
A．1 B． 2
C． 2 D． 4 2 3
解 ：连接 CD
∴∠ PAC＝∠ PDC＝∠ ACB＝ 45° ∴∠ BDC＝ 135°
如图，当 AD过圆心 O′时， AD有最小值
∵∠ BDC＝ 135°
∴∠ BO′ C＝ 90°
∴ O′ B＝ O′ C＝ 4
又∠ ACO′＝ 90 ° ∴ AO′＝ 5
∴AD的最小值为 5－ 4＝ 1
【例 3】（2016 ·勤学早四调模拟 1） 如图，⊙ O的半径为 2，弦 AB的长为 2 3 ，点 P为优弧 AB 上一动点， AC⊥ AP交直线 PB于点 C，则△ ABC的面积的最大值是（ ）
A．12 6 3 B． 6 3 3 C．12 3 3 D． 6 4 3
【练】（2014 ·洪山区中考模拟 1）如图，⊙ O的半径为 1，弦 AB＝1，点 P为优弧 AB上一动点，
AC⊥ AP交直线 PB于点 C，则△ ABC的最大面积是（ ）
A．
【例 5】如图，A（1，0）、B（3，0），以 AB为直径作⊙ M，射线 OF交⊙ M于E、 F两点， C为弧
AB 的中点， D为 EF的中点．当射线绕 O点旋转时， CD的最小值为 ______ 解 ：连接 DM
∵ D是弦 EF的中点
∴DM⊥EF
∴点 D在以 A 为圆心的， OM为直径的圆上运动 当 CD过圆心 A时， CD有最小值
连接 CM
∵ C为弧 AB的中点
∴ CM⊥ AB
∴ CD的最小值为 2 1
练 】如图， AB是⊙ O的直径， AB＝2，∠ABC＝60°， P是上一动点， D是 AP的中点，连接
CD，
则 CD的最小值为 _________ 解 ：连接 OD
∵ D为弦 AP的中点
∴OD⊥AP
∴点 D 在以 AO为直径的圆上运动 当 CD过圆心 O′时， CD有最小值 过点 C作 CM⊥ AB于 M
∵OB＝OC，∠ ABC＝60°
∴△ OBC为等边三角形
∴ OM＝ 1 ， CM＝ 3
22
∴ O′ C＝ 7
4
∴ CD的最小值为 7 1
42 B．
C． D．
2
