全等三角形的判定-综合讲解

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全等三角形的判定-综合讲解

一．三角形全等判定方法小结：

判定方法 条件 注意

⑴边边边公理（SSS） 三边对应相等 三边对应相等

⑵边角边公理(SAS) 两边和它们的夹角对应相等

（“两边夹一角”） 必须是两边夹一角，不能是两边对一角

⑶角边角公理(ASA) 两角和它们的夹边对应相等

（“两角夹一边”）

不能理解为两角及任意一边 ⑷角角边公理(AAS) 两角和其中一角的对边对应相等

【当堂训练】

1.如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个条件 ，能直接判定△ABC≌ △DCB，判定方法为 （写出所有可能的情况）,并总结该题类型和思路。

注意:公共边这一隐含条件

思路1：已知两边→找第三边 AC=DB （SSS）

→找夹角∠ ABC=∠DCB （SAS）…

2.如图，已知AB和CD交于O，AD=CB，请补充一个条件 ，能直接判定△AOD≌ △COB，判定方法为 （写出所有可能的情况），并总结该题类型和思路。

注意:对顶角这一隐含条件

思路2： 已知一边一对角→找任一角 ∠A=∠C或 ∠B=∠D（AAS）

3、如图，已知∠1= ∠2，请补充一个条件 ，能直接判定△ABC≌ △CDA，判定方法

为 （写出所有可能的情况），并总结该题类型和思路。

思路3：已知一边一邻角 →找夹这个角的另一边AD=CB（SAS） →找任一角 ∠ACD=∠CAB（ASA）或 ∠D=∠B（AAS）

4、如图，已知∠B= ∠E，请补充一个条件 ，能直接判定△ABC≌ △AED，判定方法

为 （写出所有可能的情况），并总结该题类型和思路。

注意:公共角这一隐含条件

思路4：已知两角→找任一边 AB=AE （ASA) 或AC=AD (AAS)

或 DE=BC (AAS)

例题讲解：

1． 已知：如图1，AE=AC， AD=AB，∠EAC=∠DAB，

求证：△EAD≌△CAB．

解：提示：先证∠EAD=∠CAB，再由SAS即可证明．

（学生完成） A C

B E

D

图1

2

2． 已知，如图2，D是△ABC的边AB

上一点, DF交AC于点E, DE=FE, FC∥AB,

求证：AD=CF．

解：提示：由ASA或AAS，证明△ADE≌△CFE．．

（学生完成）

3． 阅读下题及证明过程：已知：如图3， D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE．

证明：在△AEB和△AEC中，

∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，

∴△AEB≌△AEC……第一步

∴∠BAE=∠CAE……第二步

问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依

据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证

明过程．

解：上面证明过程不正确; 错在第一步. 正确过程如下：在△BEC中，∵BE=CE， ∴∠EBC=

∠ECB， 又∵∠ABE=∠ACE，∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC. 在△AEB和△AEC中, AE=AE. BE=CE, AB=AC, ∴△AEB≌△AEC, ∠BAE=∠CAE.

4．如图4所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

解：如图5所示，过B点作BH⊥BC交CE的延长线于H点．

∵∠CAD＋∠ACF＝90°，∠BCH＋∠ACF＝90°，

∴∠CAD＝∠BCH．在△ACD与△CBH中,

∵∠CAD＝∠BCH，AC＝CB，∠ACD＝∠CBH＝90°，

∴△ACD≌△CBH．∴∠ADC＝∠H ① CD＝BH，

∵CD＝BD，∴BD＝BH．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠CBA＝∠HBE＝45°

∴在△BED和BEH中，BE,BEEBH,EBD,＝＝BHBD，∴△BED≌△BEH．

∴∠BDE＝∠H， ② 由①②得，∠ADC＝∠BDE．

二．直角三角形全等的判定

重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

难点：

创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

例题讲解： A B C

D

E F

H 图5 E

图2 A

B D F

C

C A

B D E

图3

A B C

D

E F

图4

3

例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE

求证：OB=OC.

分析：欲证OB=OC可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE与△CBD全等即可

证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°

∴在Rt△BCE与Rt△CBD中BCBCBDCE

∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)

∴∠1=∠2，∴OB=OC

例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE

分析：由已知可以得到△DBE与△BCE全等

即可证明DE=EC又BD=BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CD⊥BE。

证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°

∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中

BD=BC

BE=BE

∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）

∴DE=EC又∵BD=BC

∴E、B在CD的垂直平分线上

即BE⊥CD.

例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。

分析：在Rt△DEC中，若能够证明G为DC中点则有DG=EG

因此此题转化为证明DG与GC相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。

证明：作FQ⊥BD于Q，∴∠FQB=90°

∵DE⊥AC∴∠DEC=90°

∵FG⊥CD CD⊥BD ∴BD//FG，∠BDC=∠FGC=90°

∴QF//CD∴QF=DG，

∴∠B=∠GFC

∵F为BC中点

∴BF=FC

在Rt△BQF与Rt△FGC中FCBFGFCBFGCBQF

∴△BQF≌△FGC（AAS）

∴QF=GC ∵QF=DG ∴DG=GC

∴在Rt△DEC中，∵G为DC中点∴DG=EG

课后练习与解答：

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1．选择：

（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（ ）个

①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等

③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等

A．0 B．1 C．2 D．3

（2）在下列定理中假命题是（ ）

A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形

B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形

C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形

D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形

（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（ ）

A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3

（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是（ ）

A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定

（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．解答：

（1）已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC 求证：AB=DE.

（2）已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.

（3）已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F

求证：CE=DF.

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参考答案

（1）C; （2）D; （3）D

设BC=x则AC=2x，CD=2x ∴BD=3x∴AC：BD=2：3

（4）B

∵CE为△ABC中线,∴AE=EC

∴∠3=∠A

∵CF平分∠ACB

∴∠ACF=∠FCB 即∠3+∠1=∠2+∠4

∵CD⊥AB，∠ACB=90°∴∠4=∠A

∴∠3+∠1=∠2+∠A

∴∠1=∠2

（5）C

∠ADC=60°∴∠ADB=120°

2．

（1）∵FB=CE

∴BC=FE

在Rt△ABC与Rt△DEF中EFBCDFAC

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）

∴AB=DE

（2）∵AB⊥BD CD⊥BD

∴∠ABD=∠BDC=90°

∴在Rt△ABD与Rt△CDB中BDBDBDCABDDCAB

∴△ABD≌△CDB（SAS）

∴∠ADB=∠DBC