全等三角形的判定

全等三角形的判定及性质

一、全等的概念

全等图形：

能够完全重合的两个图形就是全等图形．

全等多边形：

能够完全重合的多边形就是全等多边形．

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．

全等多边形的对应边、对应角分别相等．

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形'''''ABCDE．

这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．

A'B'C'D'E'EDCBA 全等三角形：

能够完全重合的三角形就是全等三角形．

全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；

反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．

全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

(3)有公共边的，公共边常是对应边．

(4)有公共角的，公共角常是对应角．

(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

二、全等的性质和判定

全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

判定三角形全等的基本思路：

SASHLSSS 找夹角已知两边 找直角 找另一边

ASAAASSASAAS 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→

ASAAAS 找两角的夹边已知两角 找任意一边

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：

⑴ 平移全等型

⑵ 对称全等型

⑶ 旋转全等型

由全等可得到的相关定理：

⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)．

⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．

⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．

⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

板块一、基本概念及性质判定

【例1】 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．

全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ．

【例2】 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等．

A．两边和其中一边的对角对应相等

B．三个角对应相等

C．两角和一组对应边相等

D．两边及第三边上的高对应相等 例题精讲

【例3】 下列命题错误的是（ ）

A．全等三角形对应边上的高相等

B．全等三角形对应边上的中线相等

C．全等三角形对应角的角平分线相等

D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等

【例4】 考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有_________个．

【例5】 已知ABC中，ABBCAC，作与ABC只有一条公共边，且与ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．

【例6】 如右上图所示，ABCD∥，ACDB∥，ABCD，AD与BC交于O，AEBC于E，DFBC于F，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．

AFEODCB 【例7】 如图所示，ABAD，BCDC，EF、在AC上，AC与BD相交于P．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．

FAEPDCB 【例8】 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？

（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，

可证明如下：已知：ABC、111ABC均为锐角三角形，11ABAB，11BCBC，1CC．

求证：111ABCABC≌．

(请你将下列证明过程补充完整．)

证明：分别过点B，1B作BDAC于D，1111BDAC于1D．则11190BDCBDC，

∵11BCBC，1CC，

∴111BCDBCD≌

∴11BDBD

DCBAD1C1B1A1 （2）归纳与叙述：

由⑴可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

板块一、巩固练习

平移类全等

【例1】 已知：如图，ABDE∥，ACDF∥，BECF． 求证：ABDE．

FEDCBA

【例2】 ABC中，,,ABC的对边长分别为,,abc．如果1()2bac．求证：1()2BAC．

EDCBA

【例3】 在正方形ABCD中，AB、BC、CD三边上分别有点E、G、F，且EFDG．求证：EFDG．

GFEDCBA

【巩固】在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EGFH，求证：EGFH．

HGFEDCBA

【例4】 如图，已知ABC

⑴请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明ABACADAE．

CBA ⑴DECBA

轴对称类全等

【例1】 如图所示，OP是AOC和BOD的平分线，OAOC，OBOD．求证：ABCD．

PDBOCA

【例2】 如图所示， 已知ABDC，AEDF，CEBF，证明：AFDE．

FEDCBA

【例3】 如图所示：ABAC，ADAE，CD、BE相交于点O．求证：OA平分DAE．

ABCDEO

【例4】 已知：如图，ADBC，ACBD，求证：CD．

ODCBA

【巩固】如图，已知ACBD，ADAC，BCBD，求证：ADBC．

DCBA

【例5】 已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC．求证：OAOD．

FEODCBA

【例6】 已知ABC中，ABAC，BE、CD分别是ABC及ACB平分线．求证：CDBE．

EDCBA

【巩固】已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：BFCE．

FECBA

【例7】 如图，已知E是AC上的一点，又12，34．求证：EDEB．

EDCBA4321

【例8】 已知ABC中，ABAC，GE过A且GEBC∥，B的平分线与AC和GE分别交于D，E，C的平分线与AB和GE分别交于F，G．求证DEFG．

GFEDCBA

【巩固】如图所示，C是AB的中点，CDCE，DCAECB，求证DAEEBD．

EDCBA

【例9】 如图，在△ABC中，90BAC，BD平分ABC交AC于D，AEBC于E交BD于G，FG∥AC交BC于F，连接DF．求证：DFBC

GFEDCBA 【例10】 如图，ABC中，ABBC，90ABC，D是AC上一点，且CDCBAB，DEAC交AB于E点．求证：ADDEEB．