三角形的全等判定
- 格式：doc
- 大小：589.50 KB
- 文档页数：8
三角形的全等判定
一、证明三角形全等的思路
全等三角形的判定公理及推论
（1）边角边公理（SAS） （2）角边角公理（ASA）
（3）角角边推论（AAS） （4）边边边公理（SSS）
（5）斜边、直角边公理（HL）
二、全等三角形的应用
证明线段或角相等，通常先观察要证明的线段或角分布在怎样的两个可能全等的三角形中，再分析这两个三角形全等已经有什么条件，还缺少什么条件，最后证出所缺条件。
三、例题分析
例1：如图，ABC是一个屋顶钢架，AB=AC，D是BC中点。求证：ADBC
分析：要证明ADBC，就必须证出∠1=∠2，才能知道∠1=∠2=90，可得ADBC。
怎么才能证出∠1=∠2呢，从题目条件可看出，只要证出ABD和ACD全等即可，分析一下这两个三角形全等条件够吗？显然可利用“边边边”公理可证。
证明：在ABD和ACD中
ABACADADBDDC已知公共边已知
∴ABD≌ACD（SSS）
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）
∴11290BDC（平角定义）
∴ADBC（垂直定义）
例2：已知：如图，AB=AD，BC=DC。求证：∠B=∠D。
分析：要证∠B=∠D，显然在ABC和ADC中。
若ABC≌ADC，就必然得出∠B=∠D。
如何证明ABC和ADC全等呢，全等条件具备哪些呢？已知AB=AD，BC=DC只差一个条件，就可以用“边边边”公理了。同学们自己想一想，为什么不选择“边角边”公理呢？这样只要连结AC便是公共边。
证明：连结AC
在ABC和ADC中
ABADBCDCACAC已知已知公共边
∴ABC≌ADC（边边边）
∴∠B=∠D
同学们想一想，能不能连结BD两点呢，目前来说，还不行，等以后学习面多了，自然也是可证明的，只是我们在添加辅助线时，尽量保留下已知条件和要证明的结论的完整性。
例3：如图，AB=AE，AC=AD，BC=DE。求证：∠CAE=∠DAB
分析：从求证∠CAE=∠DAB一种考虑，可以从现成的已知条件入手，直接证明ABC≌AED，得出∠BAC=∠EAD，再通过等式性质可得
∠CAE=∠DAB。
另外也可以考虑，变化一下已知条件，根据等式性质，先求出BD=EC，再证BAD≌EAC再出结论也可以。
证明（一）：
在AEC和ABD中
ABAEACADBCDE已知已知已知
∴ABC≌AED（边边边）
∴∠BAC=∠EAD（全等三角形对应角相等）
∴∠BAC＋∠CAD=∠EAD＋∠CAD（等式性质）
即∠CAE=∠DAB
证明（二）：
∵BC=DE（已知）
∴BC＋CD=DE＋CD（等式性质）
即BD=EC
在ABC和AED中
AEABACADBDEC已知已知已证
∴AEC≌ABD（边边边）
∴∠CAE=∠DAB（全等三角形对应角相等）
例4：已知：如图，AB=CD，AD=BC。求证：①AB//DC ②∠B=∠D
分析：从要求证的结论AB//DC，来考虑，显然需要先证出角等。（或同位角，内错角等）（或同旁内角互补）方可知道两直线平行，为了此目的，我们选定好辅助线，连结AC，就可达此目的，只要证出连结对角线后所分成的两个三角形全等就可以了。
证明：连结AC
在ABC和CDA中
ABCDBCADACAC（已知）（已知）（公共边）
∴ABC≌CDA（边边边）
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）
∴AB//DC（内错角相等，两直线平行）
∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等）
例5：已知：两个三角形的两边及第三边上的中线对应相等，求证这两个三角形全等。
分析：命题的证明，要转化成几何证明格式，既根据命题的题设和结论，写出已知，求证，证明，画出几何图形。
已知：在ABC和ABC中，ABAB，ACAC，AD、AD是中线，且AD=AD。
求证：ABC≌ABC
分析：从结论上，要证ABC≌ABC，显然只有两条边对应相等，欲证全等，必须找第三个条件，或者说，只有证出两边的夹角相等，或证出第三边相等，才能达到要证明的目的，此题的关键是中线AD=AD，如何发挥其作用，是我们初学者应该认真学习掌握的。∵AD=AD，若倍长AD到E，AD到E仍是等量，再连结BE，BE，可将AC转移到BE，AC转移到BE这样，问题可以得到解决。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE
延AD到E，使DEAD，连结BE
在ACD和EBD中
ADDEBDCD（已作）（对顶角相等）（已知）12
∴ACD≌EBD（边角边）
∴BE=AC（全等三角形对应边相等）
∠E=∠3（全等三角形对应角相等）
同理可证
BEAC=
∠∠E=4
ADADAEAE已知等式性质
在ABE和ABE中
ABABBEBEAEAE（已知）（等量代换）（已证）
∴ABE≌ABE（边边边）
∴∠5=∠6（全等三角形对应角相等）
∴BACBAC（等式性质）
在ABC和ABC中
ABABBACBACACAC（已知）（已证）（已知）
∴ABC≌ABC（边角边）
小结：在证题中，遇到中线，往往给它倍长，使问题转化，同学们不妨在证题时，试一试用中线倍长这一规律。
并且，欲证出某一结论，有时又不是一次全等就可以证明的，它有时需要通过两次全等，或再经过等式性质方可达到证明的目的。这就更需要认真学习几何的分析法，提高逐步推理的能力。
斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写成“斜边直角边”或“HL”）
此公理，可以通过画图法加深对它的认识、理解和掌握。
例6：已知：如图，在ABC和ABC中，CD，CD分别是高，且ACAC，CDCD，ACBACB。求证：BB
分析：从求证BB来看，它们是ABC和ABC的对应角，或BCD和BCD的对应角，很显然，要证BB，首先应考虑先证出上述两组三角形全等，从已知条件上看，ACAC，ACBACB，只要再证出AA，就可以达到证ABC≌ABC，证明目的就能达到。
证明：∵CD，CD分别是ABC和ABC的高（已知）
∴ADCADC90
在RtADC和RtADC中
ACACCDCD（已知）（已知）
∴RtADC≌RtADC（HL）
∴AA（全等三角形对应角相等）
在ABC和ABC中
AAACACACBACB（已证）（已知）（已知）
∴ABC≌ABC（ASA）
∴BB
例7：已知，如图∠ACE=90，AC=AE，B为AE上一点，ED⊥CB于D，AF⊥CB交CB延长线于F。
求证：DF=CF－AF
分析：从结论上分析，DF=CF－AF，从图中可直接看出DF=CF－CD，那么现在只要求出CD是否等于AF，所以证明CD=AF，显然是问题的关键所在，而要证明CD=AF，很容易得出就要证明RtACF≌ECD，现在，看它们全等的条件，已知有AC=CE，∠F=∠2=90，如何寻找另外一个全等条件呢？再回过头来仔细分析，吃透已知条件，不难看出∠3与∠4是互为余角，而∠1与∠4也是互为余角，∴得出∠3=∠1，问题得到解决。
证明：
∵∠ACE=90（已知）
即∠3＋∠4=90
∵ED⊥CB于D（已知）
∴∠2=90
∴∠1=∠3（同角的余角相等）
∵AF⊥CB于F（已知）
∴∠F=90
在RtACF和RtCED中
FACCE29031（已证）（已证）（已知）
∴RtACF≌RtCED（角角边）
∴AF=CD（全等三角形对应边相等） ∵DF=CF－DC
∴DF=CF－AF（等量代换）
例8：已知：如图，∠A=∠D=90，AC、BD交于点O，且AC=BD。求证：OB=OC
分析：同学自己分析一下所要证明的结论OB=OC，显然在AOB和DOC当中，而这两个三角形，具备∠A=∠D，∠1=∠2，这两个角相等的条件，若要证明这两个三角形全等，必须只能找一条边相等，要求证的OB=OC不能当作条件来找了，那么，就只剩下AB和DC可以利用了，同学不难发现，AB和DC不仅是AOB和DOC的对应边，同时还是ABC和DCB的对应边，所以只要证出ABC≌DCB就迎刃而解了。
证明：∵∠A=∠D=90（已知）
在RtABC和RtDCB中
ACBDBCBC（已知）（公共边）
∴RtABC≌RtDCB（HL）
∴AB=DC（全等三角形对应边相等）
∴在AOB和DOC中
ADABDC9012（已知）（对顶角相等）（已证）
∴AOB≌DOC（角角边）
∴OB=OC（全等三角形对应边也相等）
例9：已知：如图，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB和∠CBA，DC过点E。求证：AB=AD+BC
分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD（或BC），利用角平分线的条件证全等。
证明（一）：
在AB上截AF=AD，连结EF
在ADE和AFE中
ADAFDAEFAEAEAE已作已知公共边
∴ADE≌AFE
∴∠D=∠AFE（全等三角形对应角相等）
∵AD∥BC（已知）
∴∠D+∠C=180（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠D=∠AFE（已证）
∴∠BFE=∠C（等角的补角相等）
在BFE和BCE中
