2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)

第 1 页 共 19 页 2020届浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知全集UR，{|11}Mxx，{|0}Nyy，则U()MNIð（ ）

A．(1,0) B．(1,0] C．(0,1) D．[0,1)

【答案】D

【解析】求出集合N的补集，再进行交集运算.

【详解】

因为{|0}Nyy，所以U{|0}Nyyð

所以U(){|01}MNxxIð

故选：D

【点睛】

本题主要考查了集合的交并补混合运算，属于基础题.

2．若函数()sinfxx的最小正周期为π，则正数的值是（ ）

A．12 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】根据周期公式求解即可.

【详解】

因为函数()sinfxx的最小正周期为π

所以222T

故选：C

【点睛】

本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题.

3．已知a，b都是实数，那么“22loglogab”是“ab”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】利用对数函数的单调性解不等式得到22loglogabab，取特殊值第 2 页 共 19 页 得到22loglogaabb，从而得到“22loglogab”是“ab”的充分不必要条件.

【详解】

因为22loglogab，所以0ab

根据不等式的性质得到：ab

即22loglogabab

反过来，因为当1,0ab时，2logb的值没有意义，所以22loglogaabb

则“22loglogab”是“ab”的充分不必要条件

故选:A

【点睛】

本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题.

4．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】由题意得2cos2sin2iei，得到复数在复平面内对应的点(cos2,sin2)，即可作出解答.

【详解】

由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，

∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．

∵2∈，

∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，

∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，

故选B.

【点睛】

本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题. 第 3 页 共 19 页 5．函数2eexxfxx的图像大致为 (

)

A．

B．

C． D．

【答案】B

【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.

详解：20,()()()xxeexfxfxfxxQ为奇函数，舍去A,

1(1)0feeQ舍去D;

243()()2(2)(2)()2,()0xxxxxxeexeexxexefxxfxxxQ，

所以舍去C；因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

6．若()sincosfxxx在[,]aa是增函数，则a的最大值是（ ）

A．4 B．2 C．34 D．

【答案】A

【解析】根据辅助角公式,将函数()fx化简,结合正弦函数的单调性递增区间即可求得函数()fx的单调递增区间.根据闭区间[,]aa内单调递增,即可求得a的最大值.

【详解】 第 4 页 共 19 页 函数()sincosfxxx

所以()2sin4fxx

由正弦函数的单调递增区间可知, ()2sin4fxx的单调递增区间为

22,422kxkkZ

解得322,44kxkkZ

因为在[,]aa是增函数

所以a的最大值是4

故选:A

【点睛】

本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用,正弦函数单调区间的求法,属于基础题.

7．已知函数()xfxaxb的零点0(,1)(Z)xnnn，其中常数a，b满足20192020a，20202019b，则整数n的值是（ ）

A．2 B．1 C．1 D．2

【答案】B

【解析】利用指数与对数之间的转化求出a，b，结合函数()xfxaxb的单调性以及零点存在性定理，即可得出整数n的值.

【详解】

20192020aQ，20202019b

2019log20201a ，2019202020192019log201911log2019log2020log2020ba

因为函数xya与函数yxb在R上都为增函数，所以函数()xfxaxb在R上是增函数

因为11(1)(1)10faa，011(0)010faaa

所以(1)(0)0ff

函数()xfxaxb的零点0(1,0)x，即1n 第 5 页 共 19 页 故选：B

【点睛】

本题主要考查了零点存在性定理的运用，属于中档题.

8．若关于x的不等式22|1|xxmx的解集中有2个整数则实数m的取值范围是（ ）

A．21m B．21m C．11m D．11m

【答案】C

【解析】去掉绝对值，令2()21,(,1]fxxxx，2()3,(1,)gxxx，ym，画出函数()fx与()gx的草图，结合图像即可得到实数m的取值范围.

【详解】

当1x时，222|1|21xxmxmxx

当1x时，222|1|3xxmxmx

令2()21,(,1]fxxxx，2()3,(1,)gxxx，ym

函数()fx与()gx的草图如下图所示

由于关于x的不等式22|1|xxmx的解集中有2个整数

则(0)(2)fmg，即11m

故选：C

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的解确定参数的取值范围，属于中档题.

9．设ae，ln1b，ecee，则（ ） 第 6 页 共 19 页 A．abc B．bca C．cba D．bac

【答案】D

【解析】构造函数()xfxex，()lngxxx，利用导数得出函数()fx，()gx的单调性，结合单调性得出ca，ba，即可得出答案.

【详解】

设函数()xfxex，()lngxxx

()1xfxe

当0x时，()0fx，当0x时，()0fx

所以函数()xfxex在(,0)上单调递减，在()0,+?上单调递增

所以()()eeffeeeeeee

故ca

11()1xgxxx

当01x时，()0gx，当1x时，()0gx

所以函数()lngxxx在(0,1)上单调递增，在()1,+?上单调递减

所以()()lnlnln1ggeeee

故ba

综上，bac

故选：D

【点睛】

本题主要考查了比较大小，关键是利用函数的单调性来解决问题，属于中档题.

10．设O是ABC的外心，满足11()22AOtABtACuuuruuuruuur，()tR，若||||4ABACuuuruuur，则ABC的面积是（ ）

A．4 B．43 C．8 D．6

【答案】B

【解析】取AC中点D,由AOADDOuuuruuuruuur以及题设条件得到8AOACuuuruuur，计算11()22AOACtABACtACACuuuruuuruuuruuuruuuruuur，得到3sin2BAC，由三角形面积公式第 7 页 共 19 页 求解即可.

【详解】

取AC中点D，因为O是ABC的外心，所以DOACuuuruuur

21=82AOACADDOACADACACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

11()22AOtABtACuuuruuuruuurQ

21111()cos()82222AOACtABACtACACtABACBACtACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

则111cos()168226BACtt ，解得：1cos2BAC

所以3sin2BAC

即13sin44432212ABCSABACBACuuuruuur仔=创?=?

故选：B

【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题.

二、填空题

11．己知向量(1,2)ar，(,1)br，则||ar_______，若//abrr，则_________.

【答案】5 12

【解析】由向量模长的坐标公式以及平行的坐标公式求解即可.

【详解】

22||125ar

//abrrQ