2020-2021学年杭州高中高三上学期期中数学试卷(含解析)
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2020-2021学年杭州高中高三上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 集合{𝑎,b，𝑐}的所有子集的个数有( )
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
2. 设复数满足 (为虚数单位)，则的实部是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知函数𝑓(𝑥)是(−∞,+∞)上的偶函数，若对于𝑥≥0，都有𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥)，且当𝑥∈[0,2)，𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2(𝑥+1)，则𝑓(−2011)+𝑓(2012)=( )
A. 1+𝑙𝑜𝑔23 B. −1+𝑙𝑜𝑔23 C. −1 D. 1
4. 将函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥的图象经过怎样的平移，可以得到函数𝑦=sin(𝑥+𝜋6)的图象(
) A. 向左平移𝜋6个单位 B. 向左平移𝜋3个单位
C. 向右平移𝜋3个单位 D. 向右平移𝜋6个单位
5. 若𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃=2，则𝑠𝑖𝑛𝜃·𝑐𝑜𝑠𝜃=( )
A. −310 B. 310 C. ±310 D. 34
6. 下列函数中，周期为𝜋，且在(0, )上单调递增的是( )
A. 𝑦=tan|𝑥| B. 𝑦=−|𝑡𝑎𝑛𝑥| C. 𝑦=|𝑠𝑖𝑛𝑥| D.
𝑦=|𝑐𝑜𝑠𝑥|
7. “𝑎=1”是“函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1没有极值”的(
)
A. 充分不必要条件 B.
必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )
A. 10 B. 20 C. 32 D. 25
9. 已知𝜃是第三象限角，|𝑐𝑜𝑠𝜃|=𝑚，且sin𝜃2+cos𝜃2>0，则cos𝜃2等于( )
A. √1+𝑚2 B. −√1+𝑚2 C. √1−𝑚2 D. −√1−𝑚2
10. 如图可能是下列哪个函数的图象( ) A. 𝑦=𝑥𝑥+1
B.
𝑦=𝑥𝑙𝑛𝑥
C.
𝑦=(𝑥2−2𝑥)𝑒𝑥
D. 𝑦=𝑥2−2|𝑥|
二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）
11. 曲线𝑦=2𝑥−3𝑥3在点(−1,1)处切线的斜率为______．
12. 若满足𝐵=45°，𝐴𝐶=5，𝐵𝐶=𝑘的△𝐴𝐵𝐶恰有一个，则实数k的取值范围是______ ．
13. 若函数在区间(−∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是
三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）
14. 袋子里有7个大小相同的小球，其中2个红球，5个白球，从中随机取出2个小球，则取出的都是红球的概率为 (1) ；若𝜉表示取出的红球的个数，则𝐸(𝜉)= (2)
15. 设函数𝑓(𝑥)={2−𝑥,𝑥<1𝑙𝑜𝑔2𝑥,𝑥≥1 那么𝑓[𝑓(−12)]= (1) ；若函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑘有且只有两个零点，则实数k的取值范围是 (2) ．
16. 若(𝑥+𝑦)(2𝑥−𝑦)5=𝑎1𝑥6+𝑎2𝑥5𝑦+𝑎3𝑥4𝑦2+𝑎4𝑥3𝑦3+𝑎5𝑥2𝑦4+𝑎6𝑥𝑦5+𝑎7𝑦6，则𝑎4= (1) ，𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5+𝑎6+𝑎7= (2) ．
17. 已知𝑥∈𝑅，定义：𝐴(𝑥)表示不小于x的最小整数．如𝐴(√3)=2，𝐴(−1.2)=−1.若𝐴(2𝑥+1)=3，则x的取值范围是 (1) ；若𝑥>0且𝐴(2𝑥⋅𝐴(𝑥))=5，则x的取值范围是 (2) ．
四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18. 在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
(1)若𝑐=2，𝐶=60°，且△𝐴𝐵𝐶的面积为2√3，求△𝐴𝐵𝐶的周长；
(2)若𝑠𝑖𝑛𝐶+sin(𝐵−𝐴)=𝑠𝑖𝑛2𝐴，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状．
19. (本题满分14分)已知四边形满足//，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点．
(Ⅰ)求四棱锥的体积；(Ⅱ)证明：//面；
(Ⅲ)求面与面所成二面角的余弦值．
20. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=3，𝑎𝑛⋅𝑎𝑛−1=2𝑎𝑛−1−1
(1)求𝑎2，𝑎3，𝑎4；
(2)求证：数列{1𝑎𝑛−1}是等差数列，并求出{𝑎𝑛}的通项公式．
21. 已知椭圆C：𝑥22+𝑦2=1.过点𝑃(0,2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
(1)线段AB的垂直平分线交AB于点M，交y轴于点Q，求证：线段QM的中点在定直线上；
(2)求𝑃𝐴𝐴𝐵的取值范围．
22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑎𝑥−𝑏𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑎∈𝑅,𝑏∈𝑅)．
(1)若𝑏=0，讨论函数𝑓(𝑥)在区间(0,𝜋)上的单调性；
(2)若𝑎=2𝑏且对任意的𝑥≥0，都有𝑓(𝑥)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：本题考查子集的概念，注意空集是任何集合的子集。集合{𝑎,b，𝑐}的所有子集是
，共8个，选C。
2.答案：A
解析：试题分析：∵，∴，∴的实部是1．
考点：1.复数的除法运算；2.复数的实部与虚部．
3.答案：C
解析：解：由对于𝑥≥0，都有𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥)，
∴有𝑓(𝑥+4)=−𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)，
∴函数的周期为𝑇=4
∵函数𝑓(𝑥)是(−∞,+∞)上的偶函数，𝑥∈[0,2)，𝑓(𝑥)=log2(𝑥+1)
∴𝑓(−2011)+𝑓(2010)
=𝑓(2011)+𝑓(2010)
=𝑓(3)+𝑓(0)
=−𝑓(1)+𝑓(0)
=−1+0
=−1．
故选：C
由对于𝑥≥0，都有𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥)，可得当𝑥≥0时函数的周期为𝑇=4，然后由函数为偶函数可得𝑓(−2 011)+𝑓(2 012)=−𝑓(1)+𝑓(0)，代入可求．
本题考查了函数性质：函数的奇偶性、函数的周期的综合运用，及转化的思想在解题中的运用，解答本题的关键是熟练掌握函数的性质及一些常用的反映函数性质的结论．
4.答案：C
解析：解：把函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥=sin(𝑥+𝜋2)的图象向右平移𝜋3个单位，可得𝑦=sin(𝑥+𝜋2−𝜋3)=sin(𝑥+𝜋6)的图象；
故选：C． 根据函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查诱导公式，函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，属于基础题．
5.答案：B
解析：
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
方法一：先解得𝑡𝑎𝑛𝜃=3，利用同角三角函数的基本关系将所求式子化为𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛2𝜃+1，可得结果；
方法二：由条件得sin𝜃+cos𝜃=2(sin𝜃−cos𝜃)，两边平方，即可求出结果．
解：方法一：∵𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃=2，
∴𝑡𝑎𝑛𝜃+1tan𝜃−1=2，
∴𝑡𝑎𝑛𝜃=3，
∴𝑠𝑖𝑛𝜃·𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑠𝑖𝑛𝜃⋅𝑐𝑜𝑠𝜃 sin2𝜃+ cos2𝜃=𝑡𝑎𝑛𝜃tan2𝜃+1
=39+1=310．
方法二：
∵𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃=2，
∴sin𝜃+cos𝜃=2(sin𝜃−cos𝜃)
∴(sin𝜃+cos𝜃)2=4(sin𝜃−cos𝜃)2
∴1+2sin𝜃·cos𝜃=4−8sin𝜃·cos𝜃
∴𝑠𝑖𝑛𝜃·𝑐𝑜𝑠𝜃=310
故选B．
6.答案：C
解析：本题考查三角函数的周期性，单调性的应用，注意基本函数的基本知识是解好这类题目的关键，考查了学生的计算能力．
解：对于𝐴.𝑦=tan|𝑥|，不是周期函数，故A错误；
对于𝐵.𝑦=−|𝑡𝑎𝑛𝑥|的周期为，故B错误；
